この辺りは結構ややこしいところですよね。可能な限り頑張って説明してみますが、質問の答えになっていなかったら申し訳ないです。 今回の問題では、関数 f(x)=1/(x^2 -x + 1) の定積分を、 x = √3/2 tan t + 1/2 を用いて置換しようという話です。質問内容は、右辺の t の範囲をどのように定めたらよいか？という事だと思います。結論から述べると、t の範囲は次の様にとる必要があります。 「x の動く範囲をカバーして、x と t が 1 対 1 で対応するような連続的な区間」 まず「x の動く範囲」というのは、f(x) の定義域の事。つまり、実数全体になります。それをカバーするような t の範囲は色々あって、動画内で登場した -π/2 < t < π/2 や、もっと範囲を広げて「実数全体」でもいいわけです。 ただし、その中で「x と t が１対１で対応する」ような連続的な区間である必要があります。「１対１で対応する」とは、 x にどんな値を代入しても、等式が成り立つような t がただ一つ存在するという事を意味しています。 例えば x = √3/2 tan t + 1/2において、x = 1/2 となるような t は t = 0，±π，±2π，… と無数に存在しますが、-π/2 < t < π/2 と t の動く範囲を制限すれば、t = 0 とただ一つに定まります。 では、動画内の様に -π/2 < t < π/2 にしないとダメなのかと言うとそんな事はなく、上述の条件を満たすような範囲ならokです。例えば、次のような範囲でも問題なし。 「π/2 < t < 3π/2」 「 3π/2 < t < 5π/2」 t の範囲として π/2 < t < 3π/2 を採用した場合、積分区間は t : 5π/6 → 7π/6 に変更されます。質問者さんの書いて頂いた積分区間 t : 5π/6 → π/6 だと、途中 t = π/2 があるので、tan t が定義されず少し問題があるかもですね。 色々書いてみましたが、文章だとなかなか説明が難しいですね🥲 もしあれならば x = √3/2 tan t + 1/2 のグラフを描いてみて、-π/2 < t < π/2 の範囲で x が全てカバーされているのを確認してみるのもありかと思います👍 もう少し専門用語を使った説明を許すならば、「xの動く範囲をカバーして、x と t が１対１で対応するような連続的な区間」は、関数 g(t)=√3/2 tan t + 1/2 が逆関数を持つような定義域で最大のものという言い方もできます。 上の説明で何かしら伝わればいいなと願っています（説明が長い😇）
ちなみに1/x^4+1の積分に関してはtanのべき乗の積分の時（12問、13問）で説明しています。この問題は昭和7年（1932年）東北帝國大學で出ていますね。ruclips.net/video/0SV3ak7l8nw/видео.html
4乗のやつ！いつか積分道場でも取り扱いたいなぁと思っています。暫しお待ちを👍
この時代は、actanが使えたの
ですね。
@@伸-x3s 時代によって求められるものが変わりつつあるのかもですね🤔
不定積分だと 1/3×（log|x+1|）-1/6×（log|x^2-x+1|）+√3/3×（Arctan((2√3/3)×(x-1/2))）＋C(Cは積分定数)
ってなりますよね。
定積分の計算だけだと気づきにくいですが、不定積分はこんな形になるんですね。1/(x^2 + 1) の不定積分と比べると、三乗になっただけでこんなに式が煩雑になる… とても不思議です🤔
ちなみに、∫(0～1) 1/x√x+1 dx (分母が（x^3/2)＋1) をやってみると、√x=tで置換して2×∫(0～1) t/t^3+1 dt になっちゃいますね。
そこから同じようなやり方をしてみると2/9×√3×π-(2/3×log3) となります。（不定積分だと1/6×log(x-(√x)+1)-1/3×log((√x)+1)+(2√3/3×Arctan(√3/3×((2√x-1)))+Cとかになるはず）
他のコメントで書いてくださった、三乗の場合の不定積分の形となんとなーく似てますね。項の数とか、log + log + Arctan といった見た目？とか🤔
tantの置換でなぜtの範囲が-π/2からπ/2なのか教えていただきたいです。
自分は積分区間の変更をするときに5/6πから1/6πにしてしまいました。
この辺りは結構ややこしいところですよね。可能な限り頑張って説明してみますが、質問の答えになっていなかったら申し訳ないです。
今回の問題では、関数 f(x)=1/(x^2 -x + 1) の定積分を、 x = √3/2 tan t + 1/2 を用いて置換しようという話です。質問内容は、右辺の t の範囲をどのように定めたらよいか？という事だと思います。結論から述べると、t の範囲は次の様にとる必要があります。
「x の動く範囲をカバーして、x と t が 1 対 1 で対応するような連続的な区間」
まず「x の動く範囲」というのは、f(x) の定義域の事。つまり、実数全体になります。それをカバーするような t の範囲は色々あって、動画内で登場した -π/2 < t < π/2 や、もっと範囲を広げて「実数全体」でもいいわけです。
ただし、その中で「x と t が１対１で対応する」ような連続的な区間である必要があります。「１対１で対応する」とは、 x にどんな値を代入しても、等式が成り立つような t がただ一つ存在するという事を意味しています。
例えば x = √3/2 tan t + 1/2において、x = 1/2 となるような t は t = 0，±π，±2π，… と無数に存在しますが、-π/2 < t < π/2 と t の動く範囲を制限すれば、t = 0 とただ一つに定まります。
では、動画内の様に -π/2 < t < π/2 にしないとダメなのかと言うとそんな事はなく、上述の条件を満たすような範囲ならokです。例えば、次のような範囲でも問題なし。
「π/2 < t < 3π/2」 「 3π/2 < t < 5π/2」
t の範囲として π/2 < t < 3π/2 を採用した場合、積分区間は t : 5π/6 → 7π/6 に変更されます。質問者さんの書いて頂いた積分区間 t : 5π/6 → π/6 だと、途中 t = π/2 があるので、tan t が定義されず少し問題があるかもですね。
色々書いてみましたが、文章だとなかなか説明が難しいですね🥲
もしあれならば x = √3/2 tan t + 1/2 のグラフを描いてみて、-π/2 < t < π/2 の範囲で x が全てカバーされているのを確認してみるのもありかと思います👍
もう少し専門用語を使った説明を許すならば、「xの動く範囲をカバーして、x と t が１対１で対応するような連続的な区間」は、関数 g(t)=√3/2 tan t + 1/2 が逆関数を持つような定義域で最大のものという言い方もできます。
上の説明で何かしら伝わればいいなと願っています（説明が長い😇）
i dont even know japense but it works
This RUclips channel is for Japanese, but the math symbols enable us to communicate with you. Thank you!