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カタラン数は以前から聞いたことあったのですが、まさかウォリス積分と関係してくると思いませんでした🤔コメントしてくださった、a_n/nの総和にカタラン数が含まれているとか… 初めに計算した人はどうやって見出したのでしょうかね、とても不思議。貴重なコメントありがとうございました、色々と勉強になりました👍 （そして返信が遅くなり、申し訳ないです）

@@sekibun_dojo 非常に細かいですが、カタラン数とカタランの定数は別ですね。 オイラーの定数が、ネイピア数eともう一つ、調和級数と自然対数の差の極限であるオイラー・マスケローニ定数を表すこともあるように、紛らわしい名前がつくことはよくあります。

まぁまぁ、ここは積分の事は忘れてウクレレでも聞いていってくださいな😘 …ってそれだけではあれので、簡単に解説してみましょうか！ただ詳細に書いていると、このコメント欄では大変なので、手短になることをお許しください😇 とりあえず今回計算したい積分を I[n]=∮0→π sin nx / sin x dx とする。それで、今回のような自然数nを含む積分の場合は、漸化式で解けないかなと方針を立てる。まずは、nが小さいときに試しに計算。 n=0のとき、I[0]=0 n=1のとき、I[1]=π n≧2のとき、sin nxに加法定理を適用すると I[n] = ∮0→π {sin(n-1)x * cos x}/ sin x dx + ∮0→π cos(n-1)x dx = ∮0→π {sin(n-1)x * cos x}/ sin x dx ここで∮0→π cos(n-1)x dx = 0 に注意👍 さらに、sin(n-1)xに加法定理を適用し、積分を式変形していくと I[n] = ∮0→π {sin(n-2)x * cos x + cos (n-2)x sin x}* cos x/ sin x dx = I[n-2] - ∮0→π sin(n-2)x * sin x dx + ∮0→π cos(n-2)x * cos x dx = I[n-2] ここで、∮0→π sin(n-2)x * sin x dx = 0，∮0→π cos(n-2)x * cos x dx = 0 に注意。これらの積分計算は、三角関数の積和の公式を使えば出来る。良く分からない場合は、積分道場第30問を見てみて！ これで、漸化式 I[n]=I[n-2] が得られたから、n=0,1の結果と合わせれば、I[n] = 0 (nが偶数)，I[n] = π（nが奇数） やっぱりコメントで積分解くのは大変ですね。こんなもんでご勘弁を！クマ！

@@sekibun_dojo クマさん有難うございます。いつも動画を拝見させてもらって勉強になってます。今回の方針だとI(n)=∮sinx^n dxと似てると思いました！漸化式の場合は大抵この方針なんですね。

@@5ds_Komol29_sg5 同じこと僕も思いました、sinx のn乗積分😳問題として出題される場合は、やはり漸化式に持ち込む方法が王道なのかなと思いつつ…、正直そこまで多くの問題を網羅しているわけではないので、間違っていたらごめんなさい。 逆に、何か気づいたことあったらコメントで教えてくれると嬉しいです。いつも見てくれているということで、ありがとうございます👍

逆有理化ですか！更に分母分子に1-sinxかけたら、分子にはcosxの二乗が出てきそうですね😀その次はどうするか… 少し考えてみます。ありがとうございました👍

nを大きくしていたったグラフの様子からも、恐らく極限をとったら0に収束すると思うのですが…… ちゃんと証明したことはないですね、どうなんだろう🤔

直感的にも動画のグラフを見ていただいても分かりますように常にI₏>I₏₊₁が成り立ちます(もちろんちゃんと示すこともできます)。すなわち、nの増加に伴いI₏は単調減少します。 I₏は常に正かつ単調減少なのでn→∞のときに極限値を持ちます。これをCとおくと、 lim [n→∞] I₏=C です。 また、Wallis積分の結果の一般項は n:oddのとき I₏=(n-1)!!/n!! n:evenのとき I₏=(n-1)!!/n!!×(π/2) のようになります。 これを用いるとI₏とI₏₊₁の積は I₏×I₏₊₁=(π/2)/(n+1) です。これの両辺に対してn→∞の極限をとると C²=0 ∴C=0 となります。 したがって、Wallis積分はn→∞の極限で0になります。

@@boson_string なんとなんと証明が！？有益な情報ありがとうございます。自分でも少し考えてみたのですが…残念ながらサッパリでした😇 偶数項と奇数項の積を考えて、その極限をとる。そんな方法があるのですね、勉強になりました👍

あまり高校数学について詳しくないので、間違ったことを言ってたら申し訳ないです。この動画内容について、数学ⅡBの三角関数の範囲では、そこまで必要ないのかなと、個人的には思っています。たしか三角関数の積分は数学Ⅲでしたかね？とはいえ文理限らず、余裕があれば知っていて損はない内容なのかなとも思っています😄

おおお、なんと！お役に立てて光栄です。 他にも気になる積分あったら是非とも👍

積分リスニングですか。なるほどなるほど、面白そうなアイデア、ありがとうございます😄でも英語リスニングみたいに耳だけだと、それはなかなか辛そうですね…要検討でしょうか👍

BBB！？これから使わせてもらいます🤣

今回の積分は…、なかなか難しいかもですね😅 ただ面白い性質というか、噛めば噛むほど味のある積分だと思うので、全部は理解しようとせず、少しずつでも読み解いてくれると良いのかなと、思ったり思ったり👍

おおお、ようこそ積分道場へ！！ ゆるゆると運営しているチェンネルですが、興味持ってもらえるような動画が投稿できるよう頑張ります👍

コメントありがとうございます。20分越えのボリューミー動画、しんどくないですかね？😅もう少し続けてみようと思っているので、良ければ見てみてください👍

ご無沙汰しております。久しぶりの積分計算だと、色々忘れちゃいますよね。また面白いなと思う積分ありましたら、コメントで教えて頂けると嬉しいです😄

@@sekibun_dojo ありがとうございます。

ありがとうございます。本当嬉しいです😄 今回は慣れていないとなかなか難しい積分でしたね。

嬉しいコメントありがとうございます😊 今回は少し長めの動画なので、見る際はお気をつけて！

ウォリス積分ってやつですね！せっかく今回不定積分計算したので、今度はウォリス積分もやりたいなぁと👍

そう言って頂けて嬉しいです😄 第二弾も見てもらえるよう、動画作成頑張ります！

ついにここまで来れました！ いつもありがとうございます😊

積分面白いですよ！ 計算はパズルみたいで、理論は色々と役立つ😄

なんと…予想されてた… 予知能力者！？！？

おおお、その置換はなかなか思いつかないですね。 ②④ですね、試しにやってみます。ありがとうございました👍

サムネに収まりきらない、迫力ある積分ですよね。 ただ見た目に反して、落ち着いてやればそこそこ計算できる所はいい問題なのかなと。 満足感を感じてもらえたなら嬉しいです😄

コメントありがとうございます。 最後はラスボス感漂う積分でしたが、なんとかゆっくりとですが、100問解くことが出来ました。 同じくもう学生ではないですが、積分するのに年齢は関係なし！ 次回も興味持ってもらえる動画作れるよう、頑張りたいと思います😊

コメントありがとうございます！ 次回の動画、興味持ってもらえるよう頑張りたいと思ってます😊

おおお、嬉しいコメント！！そしてそしておめでとうございます🎉その合格に、少しでも積分道場が貢献できているのであれば嬉しいですが、それにしてもおめでたいです☺ という事は、4月からは大学生なんですか！工学部なら（学科によるかもですが）まだまだ積分使いますかね（謎）勉強や遊びも含め、充実した大学生活が送れることを祈っています👍

5^logx = x^log5 ←この式変形出来たら、かっこよく＆サラリと積分できますね。僕もこの式変形できるように精進します👍

なんとなんと！KPで上手くいったのですが！動画内でもチャレンジしていますが、上手くいかずだったので🤔 三角関数の場合は、積分区間0→π/2が相性良さそうなんですかね。改めて考えてみます！（そして返信がかなーーーり遅くなってしまいました、申し訳ないです😓）

大台の100回！長いこと見てくださり、感謝感謝です😊

分野によっては、どっちの表記の方が使われるってのがあるんですね🤔動画内では特に意識せずやってましたが、そういう話聞くと今後は少し意識したほうがいいのかなとも思ったり。面白い話ありがとうございました😄

いやぁ、これは本当慣れてないと思いつかないですよね。言われてみれば確かに！ってなるんですけどね、僕もなかなか…無理😅

この変形… 言われたら理解できるのですが、自分ではなかなか思いつかない🤔 でも、この変形できれば、色々と見えてきますね！勉強になりました、ありがとうございます👍

t=cos2xって…一体どこから？って暫く考えていました。なるほど確かに出来ますね！ 被積分関数が sin(2x)/1+cos^2(2x) と変形できるということですか😲なかなか自分では思いつかない置換だったので勉強になりました、ありがとうございます👍

部分積分ですか、なるほど試しにやってみよう！てか色々解き方あって面白いなぁ、ありがとうございます😄

やっぱり似たような問題を解いているかって大切ですね！今回の積分は、僕も第70問解いてたから出来ましたが、ノーヒントだったら…😅

最後のところですよね。この(2-√2)^2と変形するところが、僕は結構見落としてしまいます… 答えにlogが出てきたら、少し意識しないとですね😅

この積分、sin^2で表してからの微分系の接触使う方が、解答としてはスマートですよね。でも3倍角からのごり押しも嫌いじゃないです👍

色々式変形して原始関数が見えてくるの、積分してて楽しい瞬間かなと思ったり！僕もそのヤッターを味わいたいです😄

このtan置換にもっていくための式変形、言われてみたら分かりますが、なかなか思いつかないですよね…🤔 もっと簡単に出来たらいいんですけどね、どうなんだろう。