@@stepp.academy 谢谢老师的回复。您制作的影片质量非常高，讲解非常清楚，是我目前看到同类型影片中最简明扼要的了。您的讲解回答了我读书时的不少疑点。我上面仅是就平行线的性质与判定定理，利用第五公设，提出的一种可能的证明方式，以前我一直以为它们是作为公理来用的。我没有去查《原本》和希尔伯特的方法（太懒😂），不晓得您影片中的的证明方法是否完全就是欧几里得的方法？ 数学大厦的构建真是神奇，常常可以用彼此的论述做定义，从而推出对方，都能达到自洽的理论。我从小对逻辑论证的严谨性有洁癖，常常思考不同的证明方法之间是否本质相同，以及证明中是否存在潜在的循环论证。说到这里，我想请老师能不能讲讲向量，向量作为一种人为定义（artificial）的数学对象，却可以被用来证明许多几何上的结论，甚至大大简化立体几何，给人感觉十分神奇，有点out of blue，不知道其背后是否隐藏着什么深刻的内涵？还有平行线分线段成比例定理，我之前看到的证明是用面积法，但是好像有人说面积法还不够本质，因为面积的定义不够清晰，最终要追溯到实数的完备性上，但没看到过有人做出完整的论述，希望老师有空能讲讲这个话题。这个定理在教科书上是三角形相似的判定定理的前提，所以老师可以接着讲讲三角形相似（哈哈，我是不是有点太贪心，没办法，老师的讲解实在是太棒了😁😊）
![YoungBoy Never Broke Again - Catch Me [Official Video]](http://i.ytimg.com/vi/KxwEXXFQMTY/mqdefault.jpg)
關於 以及SAS和SSS全等性質，請參考我之前的影片，[全等三角形為什麼全等(上篇)]，連結如下 :
ruclips.net/video/iEyV7CGj3Po/видео.html
老师，是否可以直接用平行公设的简单推论得出“内错角相等，两直线平行”？因为平行公设说 “若一侧的同旁内角之和小于180，则两直线在这一侧相交”。而又已知两直线最多有一个交点(若不然，有两个交点，则该两点可以确定两条不同的直线，与公设1矛盾)，所以得出两直线在另一侧不相交，即可以表示为 “若一侧的同旁内角之和大于等于180，则两直线在这一侧不相交”。
而 “内错角相等”，可以等价于 “两侧的同旁内角之和都等于180”，则根据上面的结论，这两直线在左右两侧都无交点，即两直线平行。
而“两直线平行，内错角相等”的证明则可以如之前回复的一位同学的论证一样：若两直线平行，则根据第五公设的逆否命题：“若一侧不相交，则该侧两角之和≥180”，因为两直线平行，所以两侧都不会相交，则两侧的同旁内角之和都会大于等于180，它们之和会大于等于360，而它们又可以看作两个平角，之和为2x180=360, 所以左右两侧的同旁内角之和只能都等于180，那么显然可以得到内错角相等。
于是证明三角形内角和为180便可以放心地使用影片一开始那种常见的那种做平行线的方法了。
Hello Hu，
你所說的內容，我認為沒有什麼不妥。
我們都知道數學這個語言，是相當吹毛求疵的，尤其在證明方面，更是要求一絲不苟。我的這幾支有關幾何的影片，主要是想釐清幾何學的 "線頭"，所以還原了裡面的公理化方法和證明步驟，嘗試讓大家"用肉眼看到"幾何學的歷史起點。
說到證明的步驟或架構，其實不限於歐幾里得的方法，比如大數學家 Hilbert 就出版了一本，嘗試用自己的公理系統去建構出平面幾何的大廈，得到不少好評。
我認為"數學證明"這個東西的重點在於精巧，在於如何利用既有的基礎假設(公理)，一步一步、穩扎穩打的去推論出數學事實(定理)，使得旁人連一丁點縫隙都插不進去。
希望我這樣的回覆能讓你滿意。
@@stepp.academy 谢谢老师的回复。您制作的影片质量非常高，讲解非常清楚，是我目前看到同类型影片中最简明扼要的了。您的讲解回答了我读书时的不少疑点。我上面仅是就平行线的性质与判定定理，利用第五公设，提出的一种可能的证明方式，以前我一直以为它们是作为公理来用的。我没有去查《原本》和希尔伯特的方法（太懒😂），不晓得您影片中的的证明方法是否完全就是欧几里得的方法？
数学大厦的构建真是神奇，常常可以用彼此的论述做定义，从而推出对方，都能达到自洽的理论。我从小对逻辑论证的严谨性有洁癖，常常思考不同的证明方法之间是否本质相同，以及证明中是否存在潜在的循环论证。说到这里，我想请老师能不能讲讲向量，向量作为一种人为定义（artificial）的数学对象，却可以被用来证明许多几何上的结论，甚至大大简化立体几何，给人感觉十分神奇，有点out of blue，不知道其背后是否隐藏着什么深刻的内涵？还有平行线分线段成比例定理，我之前看到的证明是用面积法，但是好像有人说面积法还不够本质，因为面积的定义不够清晰，最终要追溯到实数的完备性上，但没看到过有人做出完整的论述，希望老师有空能讲讲这个话题。这个定理在教科书上是三角形相似的判定定理的前提，所以老师可以接着讲讲三角形相似（哈哈，我是不是有点太贪心，没办法，老师的讲解实在是太棒了😁😊）
正方形、一角90度*4=360度、對角斜線一劃、就等於兩個相等的直角三角形？同理可証所🈶️三角形都一樣⋯⋯簡單意懂
這麼好的頻道為什麼那麼少人訂閱@@ 國外3blue1brown都快三百萬訂閱了，我覺得這個頻道的實力也可以百萬訂閱阿 XDD
Wow~謝謝你，希望有一天真的可以百萬訂閱 !
非常同意
希望繼續更新
公設系統即一套部證自明的敘述，作為數學推論之基本，足夠直覺，無法互證。
❤️
將圓周等分成 65537×65535×2 等份後
連接 每個"等分點"與圓心
我們可以得到 65537×65535×2 個扇形
如果定義 每個扇形的尖角角度為 1°
那麼 任取圓周上任意三個"等分點"
所圍成的三角形
內角和都會是 65537x65535×(1°)
證明"每個三角形必有外接圓"
這件事 比 證明三角形內角和
還"重要"
感謝，解決了多年來的心結。
❤️
從以前就一直覺得，學校教的幾何學邏輯怪怪的，今天得到解答。
其實我覺得李永樂講的更容易理解
難怪，真該打。🤓😂 氣死我
真的佩服学者对于这个定理的论证方式， 每一个细节都是严密的逻辑。
❤️
@@stepp.academy 数学就是一门严密的科学， 每一步都有严密的逻辑证明。
昨天带着孩子拜听了您的尺规做图， 孩子巨感兴趣， 希望能打开孩子对于几何兴趣的大门！
非常有邏輯性的推理,謝謝!
這個套套邏輯也有瑕疵，在推內錯角相等時，不需要用到三角形內角和為180度。只需要三角形內角和相等即可。
整体上不错，只是感觉第二步骤不是很严谨。用“直观显而易见”的方法来证明∠6 < ∠1，以及P点的假设取样太少问题使得证明的过程变得复杂，2点加一起最终显得不够严谨。
个人认为只要证明内错角相等之后，就能很简单的证明三角形的内角和为180度。
通过 “第五公设 + 直线的角处处相等定理 ” 这2条就能证明内错角相等，不需要反正。
1. 直线的角处处相等定理：即都等于180度，通过“垂直”的定义，很容易就证明了。
2. 第五公设说，“如果一条线段与两条直线相交，在某一侧的内角和小于两直角和，那么这两条直线在不断延伸后，会在内角和小于两直角和的一侧相交。”
借用你的图:
1. 过C点画直线AB的平行线，并且延长直线AB；保持图中∠1和∠4设定不变；
2. 设左侧内下角为∠A, 右侧内上角为∠B。
证明过程：
首先，由第五公设得知：两条直线会相交于内角的和小于180度的一侧，也就是说，不小于180度的一侧不会相交，即相互平行的两条直线两侧都不能小于180度。
然后，根据直线的角处处相等定理，即直线的角处处都等于180度，得出 ∠4+∠B=180度，∠A+∠1=180度，又得出 ∠4+∠B+∠A+∠1=180度x2=360度, 360度被分为左右两侧两部分，每部分的和都不能小于180度，表示为 x + y = 360, 其中 x >= 180, y >= 180，解得 x = y = 180度，因此 ∠A+∠4=180度，∠B+∠1=180度。
观察以上有等式：
∠A+∠4=180度
∠A+∠1=180度
最后：计算以上两个等式结果：∠4=∠1，即内错角相等。
内错角相等证明结束。
再用内错角相等定理去证明三角形的内角和等于180度，就简单了。
喜歡你獨立思考的精神，實屬難得，然下面幾點看法與你討論 :
1、這個短片是以"還原經典平面幾何"的角度所做的論述，而你所指出的不嚴謹的步驟二，實乃根據 < 幾何原本.卷一 > 命題27、命題16...等，非我個人獨創，請參照原作。另外，經典幾何學確實存在一些令人詬病之處，像是 : 過度倚賴圖解證明 ( 也就是關於步驟二中P點的繪製以及大角小角的論述方式 )。這確實是證明中的一個軟肋。
2、你的證明的一大問題是 : 一開始的平行線是如何建構出來的 ? 這部分在證明過程中一語帶過，並沒有充分交代。(作圖在經典幾何學中是有其嚴格規定的，以證明來說尤其關鍵，需要明確交代步驟與方法)
3、你的證明過程中提到了平行，但沒有定義何謂平行，故還是需要 "平行" 的定義。
以上幾點淺見供你參考。
終於懂了，之前就覺得學校教的怪怪的⋯
有沒有機會能夠看到關於高中數學的大魔王，排列組合與機率的教學呢?謝謝
好ㄛ
@@stepp.academy 萬分期待
用內錯角證明內角和180,再用內角和180證明內錯角是否有疑慮，就是兩個互證，撇除這個外講得蠻好的
謝謝👍
教的真好，邏輯非常嚴謹
❤️
講的非常清楚。
❤️
真是個好節目👍🏻
❤️
能请教下，您这种视频是用什么工具来制作的么？是videoscibe么？这种演示方式是如何实现的呢，如能告知 非常感谢。
老师讲的好清楚，辛苦了！感恩！
你的讲解值得百万订阅
Wow~謝謝讚美，我會更加努力
為何M1一定可以跟L1和L2同時垂直？
右邊那個不是靠相似三角形的嗎？不是靠內角和呀。🤔
谢谢老师
上月偶遇老师视频，老师思路的清晰程度及透彻的讲解令人印象深刻，特慕名翻墙来学习，谢谢老师的辛苦制作
國中學三角定理，老師之前一直問，你怎麼能確定。當時以為，就是這樣，如今才覺得，一些東西本存在我們也知道，只是我們把它忘了。知道結果卻忘了初始的美好。現在看完，在自己證明一下，真的覺得以前的人真好，能體會吧本來就該明了缺忘記，找回來的那種喜悅。
❤️
不平行也不一定就交于P点，也可能交于另外一边呀？这个是否还要证明不相交于另外一边才证明是平行的？
對，你說得正確。礙於篇幅，讀者自行用類似想法證明即可。
感覺可以用凹多邊形解釋
前提必需第五平行公設要對 若是在非歐幾里德空間 就錯了
我都忘了用平行內錯角的這個方法，還以為這個要用圓內接三角形的內角和下去算
第五公設兩個角的和若等於180，那不就是平行線嗎
那些點「不讚」的可能都是補習班老師。
哈～謝謝🙏
好清楚！
❤️
只要在證明內錯角時，把三內角和設為X，就不會出現循環論證的問題。
第二部份的證明 可以用二個三角形中 二個內角相等 第三個內角必相等 得證 角2等於角1
是的，但為什麼3個內角之和一定會相等呢？
把三個角切下來拼一起看幾度不就得了？
可以的～～只是就數學來說不夠嚴謹
請問能講解超越函數嗎
黃黃 暫時沒有這主題的計畫
😂證明題我很弱，但很喜歡，真奇怪。
❤️
循环论证
𓀀 4:08
就是假設錯的來證明對的答案,在反過來做一次證明,反覆求證
結果這個證明還是在證明平行線內錯角然後用平行線內錯角證明三角形內角合阿
不更新了吗？
Kaito Kizuki 過幾天會更
hi
👋👋
一個內角+它的外角=180度，180度×3=540度，540度-360度(三角形外角和)=180度。這樣子不就可以了嗎？
沒錯，這也是一個簡單的證明方式。
不過這種證明方式，下意識用到了「平行線同位角相等」的假設。(也就是說，位於A、B、C三個頂點的3個外角，需要用到平行線同位角相等才可以合成一個360度的周角)
而至於 1.為什麼平行線的同位角會相等? 以及
2.當同位角相等時，兩條直線會平行。
卻沒有予以解釋。
所以我選擇利用以及來做證明。
這樣的證明方法雖然比較複雜，不過相對來說更完整一點，也可以讓大家了解最初歐幾里得是如何做這個證明的。
@@stepp.academy 內錯角相等是平行公設的簡單推論。因為平行線與一直線相交，有兩組內錯角 A/B 和 C/D 和兩組平角 A/C 和 B/D，即 A+C=180度，B+D=180度。加起來便是四直角，就是 A+B+C+D=360度。以平行公設得知，A/D 和 B/C 分別加起來至少有兩直角，不然會相交。所以 A+D >= 180度，B+C >= 180度。加起來是 >= 360度。得知 A+D=180度，B+C=180度（不然加起來就超過360度，與前面 A+B+C+D=360度抵觸）。由此可知 A=B（=180度-C），C=D（=180度-A）。早些確立基本的推論，工具多了，往後要作的圖便少很多。
你是如何知道三角形外角和等于360°呢？还不是因为先有内角和等于180°才知道的吗，你这样是循环论证。不过你第二个回复关于 两直线平行，内错角相等 的论证似乎成立
@@xjpwcnm 不用太嚴謹的話，倒是有方法直接知道所有凸多邊形的外角和都是 360° 的，方法如下。凸多邊形的外角各由兩條邊組成，順時針地對每個外角選第一條邊，把它們一直向外延長。這樣就把整個多邊形外的平面分割成 n 份（n 是邊的數目）。把整個圖一直縮小，中間的便變成個 360° 的全角，同時也是多邊形的外角和。所以凸多邊形的外角和都是 360° 的。
當然這不太嚴謹，但好處是這直觀易懂，外角和定理從要記憶的東西變成理所當然的東西，證明也從找到規律的東西變成認證理所當然的事情的工序。
@@xjpwcnm繞一圈要是360度啊