3.3 Satz von Bolzano-Weierstraß | Analysis für Anfänger: Folgen
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- Опубликовано: 8 фев 2025
- Als Lehramtsstudent (Mathe u. Sport) haben ich im Rahmen meiner Masterarbeit dieses Anfänger-Online-Tutorial für Studierende der Analysis 1 erstellt. Der Inhalt ist wie folgt strukturiert:
1. Grundlagen Teil 1
2. Grundlagen Teil 2
3. Folgen
4. Reihen
5. Stetigkeit
6. Differentialrechnung
7. Integralrechnung
3. Folgen:
3.0 Folgen
3.0.1 Heron-Verfahren
3.1 Folgenkonvergenz
3.2 Cauchy-Folge
3.3 Satz von Bolzano-Weierstraß
3.4 Jede beschränkte monotone Folge Konvergiert
▬ Hinweise ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬
Alle Angaben ohne Gewähr. Durch freundlich formulierte Kritik in den Kommentaren könnt ihr mich gerne auf Fehler bzw. Ungereimtheiten aufmerksam machen :-)
Im Sinne einer Qualitätssicherung wurden die Videos vom „Learning Center“ der WWU gesichtet, bewertet und zur Veröffentlichung freigegeben. Mögliche Verbesserungsvorschläge, die ich vom „Learning Center“ erhalten habe, sind hier festgehalten:
1. Die Überschrift ist falsch geschrieben.
2. Es müssen nicht umbedingt Folgenglieder weggelassen werden bei einer Teilfolge (1:35).
3. "an" ist nur ein Folgeglied, "(an)n" würde die Folge beschreiben.
Literatur:
Greefrath et al. (2016). Didaktik der Analysis. Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe 1 + 2. Berlin, Heidelberg: Springer
Modler & Kreh (2011). Tutorium Analysis 1 und Lineare Algebra 1. 2. Auflage. Heidelberg: Springer
Königsberger (2004). Analysis 1. 6., durchgesehene Auflage. Berlin, Heidelberg, New York: Springer
Music:
Happy Alley by Kevin MacLeod
Link: incompetech.fi...
License: creativecommons...
Lizenz (CC BY 4.0):
Bei dem vorliegenden Video handelt es sich um ein freies Bildungsgut. Es darf unter einer Namensnennung im Rahmen der Universität, Schule und der allgemeinen Weiterbildung frei genutzt und vervielfältigt werden.
![Blox Fruits Dragon Rework Update [Full Stream]](http://i.ytimg.com/vi/EqDAp8udhm0/mqdefault.jpg)
Beste Erklärung einer Teilfolge die ich bis jetzt gesehen hab.
Sehr schön erklärt und geschnitten, bitte mehr davon:)
Danke. Wird in nächster Zeit auf jeden Fall neue Videos geben :-)
+elqq18 Danke :-) In den nächsten Monaten wird es definitiv neue Videos geben.
Du kannst super erklären, wirst mal ein klasse Lehrer werden....
Danke, das hört man doch gerne :-D
Danke!!!!!!!!!!!!!!!!!
Sehr guuuuuuuuuuuuuuuuuut erklärt!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
gutes Video und coole Idee mit der Scheibe :D
Danke! Idee mit der Scheibe kommt nicht von mir, aber die Umsetzung ist im deutschsprachigen Raum noch nicht so verbreitet :-)
@@Quatematik Aber wie geht das überhaupt so gut? Musst du nicht alles verkehrt herum schreiben?
@@halihammer Ich spiegel das Bild nachträglich am PC :)
@@Quatematik Ahh nice und clever!
Sehr gut erklärt!!!!
DAAANKE!!!!!
Danke für das nette Feedback :-)
Danke fürs Video! :)
Sehr gute Erklärung
Danke 🙂
Anstatt mich auf das Video zu konzentrieren, wunder ich mich wie gut er von rechts nach links schreibt. Triggert nur mich das?
Das Video habe ich nachträglich am Computer gespiegelt :-D
sehr gut erklärt, mein Analysis Professor ist eine Niete.
Vielen Dank 🙏
5:49 - 5:57 bester part
Hehe :-D
Ist jemanden nicht aufgefallen, dass die Folge, die er im Beispiel benutzt divergent ist?
Ist an= -2 eine monoton wachsende Folge?
Wie machst du das?? Hast du einen Spiegel benutzt für dich? Also wie schreibst du auf die Scheibe aber wir können es trotzdem lesen???
Hallo Helen. Ich schreibe ganz "normal" auf die Glasscheibe und spiegel das Video am Ende in der Nachbearbeitung am PC. Keine Sorge, ich schreibe nicht Alles spiegelverkehrt :-D
Also das ist so gut gemacht, wir haben mehr darüber nachgedacht als das video zu verstehen beim ersten mal anschauen^^ richtig cool @@Quatematik
@@helenkretzschmar5667 Haha ich auch :D
gutes video
Danke :-). Schöne Feiertage und einen guten Rutsch :-)
Es wird gesagt, dass die beiden Schranken einer beschränkten Folge vom Betrag identisch sein müssen, sehe ich das richtig? Nämlich -s und s. Die harmonische Folge ist doch aber beispielsweise durch 1 nach oben beschränkt und nach unten durch 0?
Ah hatte ein Denkfehler never mind.
@@amdbnrhua6574 Hab glaub ich den gleichen Denkfehler, könntest du mir bitte erläutern warum?
@@fenasi4487 Also bezogen auf mein Beispiel, ist die im Video genannte Bedingung ja trotzdem erfüllt. Das Minimum kann ja auch größer sein als minus s also im Fall der harmonischen Folge größer als minus 1. -s muss ja weder das Infimum noch das Minimum sein, die Bedingung ist ja trotzdem erfüllt, auch wenn die harmonische Folge noch ,,stärker“ nach unten beschränkt ist nämlich durch 0.
@@amdbnrhua6574 Aber in der Definition von s wird gesagt, dass der Betrag von a_n kleiner gleich s ist, also das der Abstand von a_n zur x-Achse kleiner gleich s ist. Nehmen wir an bei der harmonischen Folge gäbe es eine Punkt der bei y= -0,5 liegt. Nach oben hin währe die Bedingung erfüllt da der Betrag kleiner ist als 1, nach unten hin aber nicht, da der Betrag größer ist als 0, obwohl er kleiner sein müsste.
@@fenasi4487 Aus der Bedingung, dass der Betrag kleiner gleich s ist bedeutet, folgt, dass a_n kleiner gleich s und größer gleich -s sein muss und das ist für die harmonische Folge erfüllt. Alle Folgenglieder sind größer als 0 und damit insbesondere größer als -1.
Gilt a_n bei Bsp.1 als beschränkte Folge, da sie gegen +/- unendlich konvergiert?
Eine Folge kann immer nur gegen einen bestimmten Wert konvergieren. Da unendlich aber keine Zahl ist, divergiert die Folge, da sie gegen unendlich geht. Das Beispiel diente lediglich zur Demonstration, wie eine Teilfolge aus einer gegebenen Folge erstellt werden kann. Deswegen wird auch erst bei 3:57 bei Beispiel 2 geschrieben, dass diese Funktion die Bedingungen vom Satz von Bolzano-Weierstraß erfüllt, da sie beschränkt ist.
Müsste am Anfang nicht gesagt werden, dass s nicht aus R, sondern aus R+ gewählt wird?
Hallo Lu Palu. Das wäre auf jeden Fall eindeutiger und diesem Fall auch sinnvoll. Dennoch ist es auf ganz R trotzdem richtig, denn durch den Existenzquantor wird ja nur gesagt, dass EIN s aus R existieren muss. D.h. man würde sich je nach Folge immer ein positives s wählen. :-)
du kannst spiegelverkehrt schreiben?!
Ich spiegel das Bild nachträglich am PC :)
hmm du wilst es für analysis anfänger erklären, sprichst aber wie mein Prof... nicht hilfreich :/
Absolut Trivial ich brauch den beweis ....