@@S-Hiro_ 様…掛け算と割り算の不変量シフトを前提とする…反復性です…(−)=(−)(−)=#(⇆)=(+)(+)=(+)&(−)=(−)(+)=#(⇆)=(−)(+)=(+)という…プラス反復性とマイナス反復性を連結した反復性です…デカルトの単位円の半径(±1)の双方を解として有効活用する方法です…ゼロ反復性に準拠する空間内部で…from zero unit-circle to zero point という…三角関数の初期化を行うことで…プラス反復性に準拠する微分法で制御不可能なポイントを…制御する方法です…ゆくゆくは…中学校の数学の検定教科書に載せる事を考えています…ゼロ反復性の歴史は古く…軽く40年間も継続しています…
![Noob To Max With DRAGON REWORK In Blox Fruits [FULL MOVIE]](http://i.ytimg.com/vi/LnBMOinoOvA/mqdefault.jpg)
面白かったです。こういうことを自分で考え出してる人達はほんとすごいですね。
1と0.999...に差があるとしたら必ずその間に入る小数を考えることができるはずだけど、どう頑張ってもそんな数は考えられないので1と一致するって認識
@@ガータそう、そちらのほうが数学的に正しい。要はただの言い換え書換え
２進数では0.1が循環小数になってしまうのと同じ
1と0.999…を=で結んでいいの納得いかないな…
1>0.999…じゃないの？
…とか考えてたらそもそも1/3が0.333…で表されるのも納得いかなく思えてきたぞ
1/3+1/3+1/3=1
これはわかる
でも0.333…+ 0.333…+ 0.333…=0.999…じゃん！！！
(十進数で？)割り切れない分数を小数で表すのおかしくね？？？
小数って欠陥抱えてね？？？？
まさしくそのような欠陥を抱えているために仕方なく無限桁にしているのです。
そもそも1/10の累乗の倍数の有限回の足し算で表せるから十進数なのであって、無限桁の小数という明らかに無限回の足し算を必要とするものは存在自体ちょっとした無理があります。
言ってしまえば本来表せない1/3などを十進法で表すという無理を、無限桁の小数を登場させるという無理で相殺している感じですね。
この考え方の副産物として1＝0.99999⋯は生まれています。
中3くらいまでは、こういうこと考えてしまうんよ。無限の概念を理解してないから。
@@Deai-i7w 大学生でも考えちゃう、、、
0.333...×3は別に右側から計算する必要は無い。
1234円×2=2468円を計算する時右から計算しない。繰り上がりが発生しないからね。
0.333...×3も繰り上がりが発生しないから、左から計算してもいいよ。
それは思った。
末尾から計算は筆算という計算方法のひとつにすぎない
科学計算とか天文学計算とかを昔は手で筆算していた時代は、有効桁数の計算だけでおしまいにするために、掛け算も左から計算していましたね。
「a+ar+ar^2+…」という表記（式）は、2通りに解釈できます。(1) 極限値 lim S(n) を表している (2) { S(n) } という数列そのものを表している
(2)の解釈を許す理由は、(1)だけだと「1/2+1/4+1/8+…は収束する」や「1+1+1+…は発散する」などの文が、「1は収束する」や「無限大は発散する」という変な文章ということになってしまうからです。じっさい、注意深い本（一松信『解析学序説』など）では、無限級数の式を「単なる形式であるが、極限値を表すこともあり、文脈で判断せよ」みたいに書いています。
なので「極限は1だとしても、0.9999…自体は1ではないはず」という反論は、(1)の定義で圧殺せず、(2)で数列のnを動く変数とみなしているんだろうと思うことにしています。
ゼロ反復性をおすすめします…
それでも怪しむ人はε-N論法を勉強しよう
プラス反復性という数学的な認知バイアスにご用心召されい…現在の数学話法は…不変量設定の歪みを前提にしている…この歪みの解消策として…マイナス反復性…ゼロ反復性の導入は…喫緊の課題である…表単位円と裏単位円の連結から…重ね合わせ…に至るまでの一連の回転操作で…穴は埋まるというより…プラス反復性に準拠する点と…マイナス反復性に準拠する点が…原点という穴を…すり抜ける…これで原点は埋まる…振動概念の平面化である…
なんて読むん？w
ε‐δ（イプシロン-デルタ）法ではないんですね。実数と実数の極限ではなく、自然数と実数の極限だからでしょうか
ε-δは関数、ε-Nは数列に関する極限の論法ですかね
ε-N論法とは、数列{an}の極限がkということの定義で、
任意のε>0に対し、自然数Nが存在し、Nより大きい任意の自然数nについて
|an-k|0よりも小さいということになります。
ε-δ論法とは、関数f(x)をaに近づけたときの狂言血がbであることの定義で、
任意のε>0に対し、δ>0が存在し、
|x-a|
動画をありがとうございます。極限のこういう導入もいいなと思いました。😀細かいことですが 6:02 では最後の項は \frac{1}{2^n} がいいんじゃないかと思います。😉
ゼロ反復性をおすすめします…
@@user-tk2gx6u2sjなんなんですかそれは
@@S-Hiro_ 様…掛け算と割り算の不変量シフトを前提とする…反復性です…(−)=(−)(−)=#(⇆)=(+)(+)=(+)&(−)=(−)(+)=#(⇆)=(−)(+)=(+)という…プラス反復性とマイナス反復性を連結した反復性です…デカルトの単位円の半径(±1)の双方を解として有効活用する方法です…ゼロ反復性に準拠する空間内部で…from zero unit-circle to zero point という…三角関数の初期化を行うことで…プラス反復性に準拠する微分法で制御不可能なポイントを…制御する方法です…ゆくゆくは…中学校の数学の検定教科書に載せる事を考えています…ゼロ反復性の歴史は古く…軽く40年間も継続しています…
@@S-Hiro_ 様…ゼロ反復性に準拠する空間内で…逆演算の単独の演算子は機能を停止します…(+)-(−)&(×)-(÷)&(∫d#)-(d/d#)…という同時処理記号を利用します…空間図形のイメージとしては…古代ギリシャ時代の逆双円錐がわかり易いサンプルです…逆双円錐の2つの円をプラス反復性に準拠する表単位円…マイナス反復性に準拠する裏単位円と考えるとわかり易くなります…
@@S-Hiro_様…地球の表面上で…正六面体サイコロを(+1)回振ると…何らかの目が(+1/6)の確率で出ます…しかし…この確率話法は…宇宙空間のラグランジュポイントで通用しません…そこで…月の重力にマイナス反復性を適用して…サイコロの目をマイナス判定…確率をマイナス判定…標準偏差をマイナス判定…期待値をマイナス判定します…この準備段階の後に…ゼロ反復性に準拠する空間内で…地球から見た…ラグランジュポイントにおける…サイコロの目の蓋然性を求める方法です…わかり易く説明すると…答えはゼロですが…ゼロはゼロでも無数のゼロがあります…無数のゼロのひとつを定める方法です…±0=±1=±2=±3=±4=…という無数のゼロのひとつを確定する方法です…
最初のなぞなぞの答えも数学的には
ほぼ３(≒３)ではなく３(＝３)である
ゼロ反復性をおすすめします…
プラス反復性を利用する証明は…(+1)=(+0.999999…)+(+0.000000…) というガウス少年の5050話法で説明できますが…この5050話法は厳密な証明ではないと糾弾する精鋭数学者が大勢いるはずです…しかし…そのような精鋭数学者とてプラス反復性に脳をハッキングされたままなのです…プラス反復性だけでは厳密な証明にならないのです…ゼロ反復性をおすすめします…ゼロ単位球⇆ゼロポイント…というサイクルが…ゼロポイントになるタイミングだけを唯一無二の解とするのが…プラス反復性の信者の隘路です…ゼロ反復性をおすすめします…ふふふ…
1=0.999...は、1÷1の筆算が一番わかりやすい
普通に筆算すると答えに1が出てきて終わりだけど、
答えの1の位を無理矢理0にすると、答えが0.999...、筆算は10-9=1を繰り返して永遠に終わらなくなる
ため息が出るほど面白い考え方
それ、自分で考えたなら天才認定するぞ！！
その発想なかったわ
本質的には動画に出てきた
1/3=0.333…
とおなじことだけど、
なぜか1/1のがわかりやすいw
@user-ws9dl9jx7f0.999…は１だし、1かけても何も変わらないし、一の位に１が立つ必要もないぞ。級数(数列)の極限だから感覚で語るとバグりやすいんよね。無限を有限と同じような感覚で扱うから。
0.999の発音リズムがクセになる🐸
「限りなく」がそもそも現実的に有り得ないから永遠にイコールにならないと思ってしまう
ありえないことを無理に考えるとそうなるということですね。
1/3＝0.33333...も同じ理屈です。
@@youdenkisho455
どうもド文系の自分には腑に落ちなくて笑
リプありがとうございます！
@user-ws9dl9jx7f
私自身がド文系なので、数学的にはロジカルなんでしょうけど、「イコールって等しい、同じって意味だよね？」ってなって、どうにも頭がついていかなくて笑
リプありがとうございました！
@user-ws9dl9jx7f
なるほど……「Aでない」には無限の選択肢があって矛盾を生まない選択肢があるかもしれない……言い換えれば「Aでないという仮定」が正しいのかも分からないから腑に落ちないんですかね……ごくごく単純に言えばド文系の私にはイコールの左辺と右辺が同じじゃないと感覚的に納得できないだけなんですよね……1=0.999...はいつまで経っても右辺が1にはならないじゃないかと感じてしまうんです笑
リプありがとうございます！！
@@kurdtkobain7818
今更ですが言い方が悪かったかもしれません。右辺がいつまで経っても1にならないというのは正しいです。末尾にどれだけ9を加えようが永遠に1となることはないからです。ではなぜそんなものをイコールで結べるかというと、同じと思ってあげた方が良いからとでも言いましょうか。
1/3＝0.33333⋯という例を最初に出しましたが、この右辺も末尾にどれだけ3を加えようが永遠に1/3とはならないので本来ならイコールで結んではいけないのかもしれません。ではそもそもの話、そんなものを右辺に持ってきた理由は何でしょうか。1/3を小数で表したかったからでしょう。ただ先程言った通り3をいくつ並べても小数を1/3と一致させるのは不可能です。だからその代わり、永遠に3を並べ続けることでその差を埋めようとしているのです。1/3に到達することはなくても、並べることをやめない限り、近付いていくことはできますから。
無限小数の『⋯』で省略された部分にはそんな意味が込められています。埋まらない差をどうにか埋めるためにわざわざ無限に並べているのに、「差があるじゃないか！」なんて言うのは筋違いということになります。だからイコールで結ぶのです。結ばせてあげていると言ってもいいかもしれません。
（補足）
この補足は要らないかもしれませんが、念の為。
到達することはなくても、近付いていくことはできるといった説明だけだと、じゃあ0.11111⋯でも近付いてはいるから良いんじゃないかと思えてしまいます。ただ、これの場合永遠に差が埋まらないどころか、常に0.2ちょっと離れていることになってしまうんですね。それではさすがにイコールとは認められません。やるからには限界の限界まで近付ける必要があります。0.99999⋯が1とイコールなのは、ただ近付くからではなく限界の限界まで近付くからなのです。
面積1/2+1/4+…を無限に並べていくと面積1の正方形になるイメージに到達し難いな。先に1が完成していて無限に分割していくこと、無限に分割し続けられる条件が1として完成しているものを分割している事だと考える方がわかりやすい。もし正方形に欠けがあって1になっていない時、その欠けた部分に来て分割する面積が欠けた分の面積を超えてしまった瞬間に分割は終わってしまう。
ゼロ反復性をおすすめします…
@@user-tk2gx6u2sj それって素人にわかりやすいものですか？
3:12 末尾の数から引き算していかないといけないのは繰り下がりがあったときのためじゃない？
いまやろうとしてる計算は引かれる数の各位の数が9だから引く数の各位の数がなにであっても”上の位から10を借りてくる”操作は不要なわけだ
そこが確認できれば末尾から計算することは必須ではないと思う
ゼロ反復性をおすすめします…
単純に３分の１で考えれば問題ないのに、少数にすると微妙にモヤっとする不思議
分数を考えたヤツはスゴイな。整数で表し切れない（？）数をサクッと表してしまうのだから。
コンピュータでも、小数の計算で誤差を生みたくないときに「分数」のままにしておくと言うテクニックがあるよ。興味があれば「任意精度演算」でググってみて。
パイを3等分したら0.333...でこれは1/3だから
くっつけて元に戻せば1になるからって説明が直感的に一番わかりやすい気がする
循環しない数で表せれば循環は表現方法によって現れる表現方法によって現れる欠損という感じ
1/10は十進数だと0.1だけど2進数で表そうとすると割り切れないので循環してしまう
これは基数によって同じ数が循環したりしなかったりと、やはり表現方法による欠損というか表現方法自体が欠陥品だと考えたほうが良いかも
コンピュータだとこういうありがちなとこで計算がおかしくなってしまうから誤差を容認する科学計算では無視できても
商用計算だと一円でも違ったらまずいので2進化10進数（バイナリーコーデッドデシマル）を使わないといけないとかあるし
@@星雲男子大学
long分のlongでは満足できなくなって、素因数分解した数クラスを作って、
それを分子と分母に持つ分数クラスを趣味で自作したことがある。
ちっちゃい数でテストしてた時は問題出なかったんだけれど、
大きい数になると素因数分解の工程に時間がかかりすぎて(素数の判定に時間がかかって)使い物にならなくなった。掛け算は爆速だったが、足し算時に速度が終わる。
結局、long分のlong以上の精度を出そうとすると使い物にならない。
何故分数が最強なのにあえてdoubleなんて欠陥品を使っているかが身に染みてわかった。
算数は、素直な世界
数学は、詭弁が闊歩する世界
算数の世界が好きだな
この件に関しては、＝ 記号で言うから違和感だらけ
limit を使った説明なら、少しは同意できそう
コメント欄を見ても分かるように、無限という概念をしっかり理解することは難しいですね。何せ現実には無限は存在しませんから。
無限を「ものすごく大きな有限の数」とイメージしてしまうと、1=0.999…に納得できないのだと思います。
K=∞ の時、
0.9999…=∑[n=1→k](9×0.1^n)
1=0.1^k+∑[n=1→k](9×0.1^n)
です。
極限では、0.1^k=0と「定義している」というのが正しいと思います。k=∞の時、0.1^kは実数値としては0として扱って問題ないと思いますが、場合によって問題が起こります。
例えば、動画の終わりの方で可視化の話が出てきましたが、そのようにして1桁計算する毎に図を10倍に拡大していく、と言う操作をk回繰り返すと、小さな方を拡大した時の大きさは、0.1^k×10^k、つまり必ず「1」になるわけですよね。操作を無限に行ったとしても必ず1になるという「現象」は変わらないはずです。なのに、0.1^k(k=∞)=0と定義することによって、それまでずっと1だったのが、無限回の操作で消えてしまうという「現象」が起きてしまいます。
ちなみに、k=∞として、
1/3=(0.1^k)/3+∑[n=1→k](3×0.1^n)
です。
1÷3をひっ算で計算すると、どれだけ計算を続けても永遠に余りが出続けますよね。その余りが上記の0.1^kです。そのあまりはその後も3で割らないといけないので(0.1^k)/3となるわけです。
動画の中で「…」の終わりがどうなっているのかを考える必要があるように言っていましたが、式で表すとこうなります。
「ずっと９が続くのだから最後の数も９だろう」と勘違いする人があまりにも多すぎる高校数学あるある
無限に続くということは終わりがないので最後の桁は存在しません、といった具合に自明なはずなのに
精度90％の検査で陽性が出るまで繰り返すも奇跡的に陰性が無限に続いたらもうそれ完全に陰性じゃない？ って話と似ています
限りなく近づくことがその数字になるという肝心なところの証明をだれか分かりやすく解説して欲しい
ゼロ反復性をおすすめします…
ゼロ反復性をおすすめします…
例えば a^2/a の値はaを0に近づけていくと0に近づくけどa=0 の時は0で割ることになるから定義できない、ということが有るから、単純に限りなく近づくからと言ってその数字になることが言えるのかどうかは良く分からない。
数は連続してるはずだから、違う数字ならその2つの間の数があるはずや。
1と0.999...が違う数字と言うなら、1より小さくて0.999...より大きい数字を考えてみな。
無理やろ?それは実は違う数字ではないということや
@@yosshi--oq8et １と２は連続した自然数なのでその間にある自然数は考えられませんが、１と２は明らかに違う数ですよね
1=1
1÷3=1÷3
1/3=0.333…
1/3×3=0.333…×3
1=0.999…
｢本来は両辺に同じ数字を割ってさらに同じ数字を掛けると答えは同じなはず
こうやって答えが違うことがあるから
割り切れないものを割り切ったとして考えるためにあるのが分数｣
と小学生の時に教えられた
れいてんキュー↑キュー↓キュー→
のイントネーションがブレなくてツボ
3:17
小数の計算で末尾から計算しなければならないという規則は特に無い．
無限小数を級数で表す場合でも「無限列の末尾」など存在しないのだから（だから無限なのだ），そんなルールに特に意味はない．
よく知られているのは，十進法表記の小数の掛け算・割り算において，「10を掛けると小数点が右に1つずれ，10で割ると小数点が左に1つずれる」という規則．
有限桁の場合は証明できる定理であり，無限の場合は公理だとすればいい．
この規則を有理小数の公理とするなら，実数論も極限も全く必要なく有理数と代数の範囲で0.999…＝1が厳密に証明できる．
よくこの証明が厳密ではないという言明があるが，実数論の範囲で証明する場合と，より弱い有理数の体系で証明する場合で「厳密さ」に差はない．
どちらも適切な前提を用意する限り数学的に厳密な証明となっている．
この事は，要するに0.999…＝1を証明するだけなら「実数の連続性公理」のような強力な道具は必要ないという事の言い換えである．
なぜなら0.999…や1は，無理数でも超越数でもなく有理数の中だけで議論を矛盾なく組み立てられるからだ．
実数の連続性公理をもとにした極限の発想で証明するのは解析学の教練での定番だが，より弱い前提で証明可能な「有理数の範囲の問題」を「より強力な実数のツール」で証明しているだけだからできて当然とはいえても「より厳密である」ということにはならない．
ダメ押しだが，「無限小数に10を掛けると小数点が右に1つずれ，10で割ると小数点が左に1つずれる」という規則を公理においた有理数の理論からは実数の連続性は導けない．つまり通常の実数論より真に弱い体系となる．逆に実数論からこの規則が導けるのは当たり前．
「アキレスが0.99…」で「亀が1」だとすると0.99…は一生1に追いつくことはできない
現実にはアキレスは亀に追いつくわけだから、この点からも「1=0.999…」とする必然性が出てくるわけですね。
五条先生「ほんとうにそうかな？」
limit [n→∞] { 9×∑[k=1→n] (1/10^k) } →1、揉める原因は所詮 極限＝収束値 の「妥当性」に過ぎない（数学的な議論ではない）ので、可視化しても納得しないものは認めないままの気がします
この手の話題によく極限を用いるけど、正確に極限は収束する場合限りなくその値に近づくだけでその値を取ることはない
この論法でいくと、y=1/xはx軸やy軸と交点を持つことになる
無限というのは定数ではなく際限なく増え続ける数です。しかし、y=1/xはというのはyもxも定数です。そもそも無限を当てはめられません
0.999･･･は10進法のバクみたいなもんって説明が1番しっくり来る
1÷1の筆算を割り切らずに寸止め戦法でやったら0.999…になる(？)
「限りなく」って言葉を本当に文字通り意味を捉えるだけで直感的にイコールな感じするけど。違うってひとは「限りなく」って言葉を聞いても何処かに…１が存在してるんじゃないかって思っちゃてるんだろうな
突然のご連絡失礼いたします。
お伺いしたいことがあります。
1/3=0.3 余り0.1
この式を変形して、
1=3×0.3+0.1
これを一般化？して、
1=3Σ[k=1～n]3/10^k+1/10^n
この式が、ペアノの公理で全ての自然数で成り立つと思います。
自然数は限りなく存在するので、無限級数？の形にして、
1=3Σ[n=1～∞]3/10^n+lim[n→∞]1/10^n
このとき、lim[n→∞]1/10^n=0の定義から、この部分を0と表記でき、また、０は表記しなくてもよいので、
1=3Σ[n=1～∞]3/10^n
この式が、
1=0.999...
というのことかと思います。
もし、上記が正しいのであればなのですが、lim[n→∞]1/10^n=0の定義を学校で教わったとき、この場合の＝は等しいではなく、収束するであると教わりました。
ですので、この定義を用いて以降は、＝を等しいとは呼べず、収束するとしか読めないのではと思います。
また、ペアノの公理の証明段階で、1/10^nが3(3/10^n+1)+1/10^n+1となり、これが成り立つため、すべての自然数で成り立つといえると思います。
ですので、lim[n→∞]1/10^n=0を等しいと考えることができない理由は、この点にあると思います。
この私の考えは、正しいでしょうか？
式の書き方含め、わかりづらい内容であり、申し訳ありませんが、よろしければ、ご回答の程よろしくお願いいたします。
霊夢が最後に0.999…は1より少し少ない数って言ってたけど、
よく考えたら、一体いくつ少ないんだろう？
いや少なくないな、同じだなってなった
円と正9角形を用いた解説すごく腑に落ちました。
数式の証明方法は以前から知っていたし理屈はわかるけど、なんかケムに撒かれている気がずっとしてた。
0.999…を綺麗な分数で表そうとしてどう頑張っても1にしかならなくて1=0.999…を渋々認めた思い出が。
魔理沙の「999」の発音がクセになる笑
仮に 0.999……＜1 であるとした場合、両者の差を埋めるような値が存在するはずである。その値をaと仮におく。0.999……＋a＝1。aは正の数とする。
0.9＜0.999……と0.9＋0.1＝1 の二つから、a＜0.1となる。それを加えると正の真少数が1になる値は、その正の真少数の値が小さいほど大きくなり、正の真少数の値が大きいほど小さい。これは当然の前提と言える。すると、0.99＜0.999……と0.99＋0.01＝1からa＜0.01であり、0.999＜0.999……と0.999＋0.001＝1からa＜0.001となる。以下、0.999……に近い数になるほどそれを1にする値は小さくなる。かつ、その値よりも常にaは小さいので、0.999……は9が無限に続くことから、aもどこまでも小さくする必要がある。すなわちa＝0.00……である。0.00……は各ケタに0が出てくる数であるが、すべてのケタの数字が0である数である。そのような数は0以外にはない。よってa＝0。a＝0ならば、0.999……＋0＝1ということになり、0.999……＝1である。0.000……＝0を直感的に正しいとしておきながら0.999……＝1に違和感をもつならばおかしな話ということだ。
その論法で行くなら、わざわざaなんて置かなくても
1-0.999…. = 0.000… = 0
でよくない？
@@星雲男子大学格式
ほぼやっていることはε-N論法
@@Setsuna2718 だね。
けど彼(彼女)がいうには
0.000…=0は正しいということを証明なしに用いてよいようだったから、
それなら1-0.999…で済むことなのかなと。
0.000…って0よりデカいかも知れん。
級数で和を示すのだけれども、経済工学の初歩の事例（高校2年生一学期に習う）で「等比級数の差」と習うから、時々、等比級数の和と言ってしまったことがありました。√2は無理数だけども、毎日見ている駅の床の正方形のタイルの対角線がタイルに収まっていることを考えると、0.999･･･も1になるというような感じはします。
1をどう定義するかは難しい問題なんですよね。
1を0を無限に続けた時の極限地として定義することもあります。
ただ難しい計算をするときは厳密な定義が必要だったりと、堂々巡りになってしまいます。
1=0.999………の可視化、は、むしろ1=0.999………の否定に使えそうだな。
どこまで小さくしようとも、中心には白い部分が残る。もし白い部分が消えてしまったなら、それ以降9が続けられなくなる。9が無限に続く以上、白い部分は永久に存在し続ける。
無限に続けたら消える
のと
無限に続けている途中のどこかで消える
のとは違いますよ。
まあそもそも『無限に続けたら消える』という表現自体だいぶ不可解なことを言っているのでナンセンスといえばナンセンスなのですが、まあ数学の考え方を無理やり現実の問題に翻訳した際に起こる事故ということで。
なるべく正確に言うなら、要は無限に続けることで＂どれだけ判断基準を厳しくしても＂、＂消えているようなものとみなせる＂ってことですかね。
数学的には正しい事は理解してるけど、感覚では0.999…=1は良いけど1=0.999...は落ち着かない。
これは自分が“実際は違うものだけど0.999...は1と見做す”と認識してると気づきました。
数学の時も1=0.999...と書く事は無かったからかな。
1:49 そろばんやってる人ならわかるかもだけどアタマから掛けるよね？笑
13:09 スマホで見て、画面を振ると、円がボヨンボヨンする
かけ算は末尾からするという定義ってあるんでしたっけ？
視聴数を稼ぐために仕方ないんだけど、数学科としては別にヤバくもなんともない。
「級数」は無限項の和を意味するので「無限等比級数」は冗長かも知れません
また、等比級数の閉じた式は定義されたもので公式(定理)ではないため、証明とは言い難いようです
最初の二つの証明が証明になってない事に驚きました（3番目は1.999…/2=0.999…が変だと思いましたが）
厳密に証明するには無限等比級数を使う必要があるんですね。言葉だと分かりにくいですが式で見ると割と分かりやすいです。円や9角形を使った説明も直観的に理解しやすいです
ただ、有限個nの等比級数をまず考え（Σとn, a, rで記述できる）、a(1-r^n)/(1-r)の形にし、nを無限に大きくしたときの極限a/(1-r)=1と考えるのは、実質動画の方法と同じなんでしょうか？
P.S. 6:06辺りのSnの最後の項は１/２nだと思います
末尾から計算しなきゃいけない問題を持ち出して、違うという人は結構いるけど、別に科学計算とかで筆算するときには上から計算していたからそれは本質じゃないと思うけどね。俺は、証明になっていると思うよ。
ゼロ反復性をおすすめします…
@@TIshida360 様…ゼロ反復性をおすすめします…
@@user-tk2gx6u2sj 検索しても引っかからないのですが？
@@TIshida360 様…そのうち全世界に拡散します…(−)=(−)(−)=#(⇆)=(+)(+)=(+)&(−)=(−)(+)=#(⇆)=(−)(+)=(+)…この反復性は…ゼロ反復性です…プラス反復性とマイナス反復性を連結して…(±)記号の機能を停止しているのです…現在は日本の高校で学習する…単位円の半径は…プラス反復性を利用して…(+1)を解としていますが…マイナス反復性を利用すると…半径として(−1)が解になります…そして(+1)が不適解になるのです…このプラス反復性肉準拠する(+1)と…マイナス反復性に準拠する(−1)を連結した数値を…#(1)=+1−1…とすると…ゼロ反復性を利用して(+1)を移項すると…#(1)=+1−1=(+)(+1)−1=(−)(−1)−1…ここで(−)=(−)(−)=#(⇆)(+)(+)=(+)を利用して…+1=#(⇆)=−1…また…プラス反復性に準拠する(+0.5−0.5=+0)…マイナス反復性に準拠する(−0.5+0.5=−0)…を用意します…(+0.5−0.5)=(+(+0.5)−0.5)=(−(−0.5)−0.5)=(−1)=+0また…(−0.5+0.5)=(−(−0.5)+0.5)=(+(+0.5)+0.5)=(+1)=(−0)…と変形できます…(−1)=(+0)と(+1)=(−0)を重ねる時に…ゼロ反復性を利用します…−(±1)=(±0)=#(0)…よって…#(0)=−(±1)=±1…です…+1=#(⇆)=−1⇆#(0)=±1=−(±1)…というサイクルが…三角関数の初期化です…
ゼノンの逆理は空間と時間についての論理なので、収束や極限による解釈で問題が無い訳ではない。
13:16 ああ、これワームホールやわ、無理。どっか別の宇宙に連れて行かれるやつや。
10を3で割れないのは10進法の大きな欠陥だよなあ
0.333…を見るたびに、もし人間の手の指の本数が12本だったらって思っちゃう
関数の極限について勉強した時、「nが無限大に近づくとき関数fがaに限りなく近づく」とか習いはしたが、「nが無限大のとき関数fはaと一致する」とは習わなかったと思います。
11:20辺りの説明は、「1=0.999…という表現は0.999…で表される数列の極限が1であることを表現するものであり、0.999…という数列が1と一致することを意味するわけではない」と捉えましたが、それなら理解できます。
この動画の説明は本当に合っているでしょうか？
0.99999⋯自体は数列じゃなく無限級数です。そもそも数列とは数の列なので0.9, 0.09, 0.009, ⋯なんかがそれにあたります。そしてこの数列の無限級数を考えるとそれは0.99999⋯と表せます。そして無限級数の値は極限で求めると習いましたよね。そういうことです。
11:20 『「限りなく近づく値」を表していることに注意してほしいぜ」』
1と0.999･･･はほぼ同じだけど別物だよ派
1>0.999･･･
0.999･･･は限りなく1に近づくよね派
1=0.999･･･
1と0.999･･･は同じだよね派（勘違い）
極限ってグラフにするとわかりやすいんだけど、解の値に永遠に近づくだけであって解の値には決してならないんだよね。その説でいくと1≠0.9999…になっちゃうけどどうなんだろ。
極限の考え方なら紛れもなくイコールです。なぜなら極限は近付く場所を示すものなので、その値になるかならないかは重要ではありません。
@@youdenkisho455 極限におけるイコールと、方程式などにおけるイコールで解釈が違うあたりの不満を世に問いたいですよね
@@ivy-casis
どちらかというと0.99999⋯の定義が曖昧なのが良くないところです。
lim[n→∞](9･Σ[k=1→n](1/10ⁿ))＝1
だったり
lim[n→∞](1−1/10ⁿ)＝1
だったりはlim[n→∞]の部分が近付く場所を示す機能を担うのでイコールは普段通りの意味しか持ちません。
一方0.99999⋯は必ずしも極限で考える必要がある訳ではなく、例えば見た目通り1未満の最大の数と考えても良いのです（そのような数は実数の中に無いので実数ではない何かという得体の知れない存在になってしまいますが）。あくまで、実数の中でそれに相当するものを探すとなれば極限で考えるしかなくて、その結果が1になるということを表しているに過ぎないので、結局イコールの機能というより0.99999⋯の解釈の問題になるんですよね。
循環小数は、１０進数では正確に表現出来ない数。
ゼロ反復性をおすすめします…
四捨五入すれば同じだろ（暴論）
5:56 正方形と長方形の数 の間違いでしょうか?
14:43「限りなく1に近い数になる、という意味だったがこれで数学的には等式が成り立つ」
というのは、数学では限りなく1に近い数になることを等しいと定めた、という意味でしょうか。
そう定めたなら、そうなんだで済むのですが読み違えてるかな…
「そう定めた」というのは、誰がどうしてそう定めたのか？数学家のエライ人が定めるとそれで決定するのか…という問題が？
まあ、そう定めると色々問題が解決するから（「とぶ矢は飛ばない」とか、「アキレスと亀」とか）そう定めようというコンセンサスが得られ、文句を言う人も居ないという状況かと。
@@user-ws9dl9jx7f だから、その公理自体が結局限りなく１に近い数が１に一致させたい（一致すれば数々の利点があるから）という目的から設定されたモノだと思うんだけどね。
公理って天から与えられたモノでなく、人間が何らかの目的で設定したモノでしょ？
@@user-ws9dl9jx7f それは結局両者は相互同値な命題なのでは？
物理的に本当は実際の空間は飛び飛びになっていて、動く物体は微小時間を微小空間を量子飛躍しているやもしれず？でも、仮にそうだとしても連続しているとするならより単純な数学モデルで近似できるという意味で連続性はあってよいと思います。
そして確かに現代の証明の流れは連続性の定義が先になっていますが、歴史的流れとしては「飛ぶ矢は飛ばない」などの問題を解決したいってのが先にあったと思います。微小空間、微小時間の考え方も古代ギリシャ時代からあったはず。
@@user-ws9dl9jx7f 1が概念で、表現する方法が2通り以上ある、なら意味はわかります。
1の概念をそう決めたんだ、きっと便利なのだろうなと。
限りなく1に近づけると1になるなら、1になった時点で限りなく1に近づけることができなくなる
よって最初と矛盾するからおかしいと思ったんです。
それなのに数学的には等式が成り立つ意味がわかりませんでした。
そもそも1とはそういう概念と決めた、1も0.999...も1だから等式が成り立つ、ならすごくよくわかりました！
0.999...と1の間に他の実数があるわけない（実数の考え方的にあると困る）から等しいとする、というのもわかります。
「0.999...」と「1」の間に他の実数はないから等しいとする
「0.999...」 は限りなく1に近づける表現になっている
限りなく1に近づける表現と「1」は等しい
の流れなら国語的な意味で変な感じしないです。
"1=0.999…"に関して面積１の円や正九角形で説明しているけど、只の一本のロープ１ｍでも良いと思うよ。
このロープを9:1の長さに切り分ける。すると0.9mと0.1mの長さ２本になる。次に短い方の0.1mのロープを同様に9:1の長さに切り分けて0.09mと0.01mの長さ２本にする。この行為を永遠に続ける事を想定して数式化すれば
1=0.9+0.09+0.009+0.0009+0.00009+･･･
1=0.9999999･･････
証明しよう 0.999…+x=1の式を考える。 この式が成り立つにはxを0に近づければよいので、0.999…+0=1となるので、1=0.999…
なるほど小学生の時の感覚がそのまま正解だったのか、数字が人の都合で綺麗に等分できる訳でもなし当然といえば当然
数直線で考えてもいいと思うの、少しずつ右側（+1側）に移動するけど1にはたどり着かない…矛盾するから1やな、みたいな。
1＞0.999…と仮定すると、実数の連続性から
1＞x＞0.999…
を満たすxが存在しなければならないが、そのようなxは存在しないので1=0.999…である。
キューキューキューが耳について離れないw
1-0.999...は0.000...とどこまで行っても0が続く（1が立たない）ので1と0.999...は等しい、というのを昔数学の読み物で読んだ
単純に、そう定義した以上の事は無い気がする。
間違ってる気がするけど間違ってることを証明できない
ゼロ反復性をおすすめします…
そもそも論だけど1ってなんだってなりますよね
1=0.1×10
0.1=0.01×10
0.01=0.001×10...
こんな風に1を10等分し続けたら0に限りなく近い0じゃない何かになる筈。
だけどどんなに小さくしても0を増やすだけでそれより小さい数が生まれる。
小さい単位で須臾という言葉があるがその須臾でさえ、数字上では10等分してさらに小さくできる。
じゃあ1は何で出来てるんだ？
やはり十進法が都合が悪いこと多いってことではないか
8:43 この辺の無限等比級数の式にnが入ってるのは誤解を招きそう
nが入ってる式は等比数列のn項迄の和で、極限取る前の話
最後の図示してるとこは直感的で良かったです！
0.333と0.999のイントネーションが頭に蔓延る
「同じ」なんてそもそもが仮想やしな
物理で言うなら相対性理論、
哲学で言うならテリウスの船
ゼロ反復性をおすすめします…
ゼロ反復性をおすすめします…
掛け算は末尾からって必ずなの？
そっちの方が楽なだけで先からやってもできるくない？
無限という非現実的な考え方で1=0.9999•••と「見なす」ことを便宜上数学的には良しとしているだけで、証明もクソも単に数学が間違っているだけでは
1-0.999…＝0.0000…でいいやん。この動画は分かりにくい
@@yhmv1=0.999…の説明の話
今日は地獄の空気ではなかったな！うまかったとおもうな！
可視化した証明は非常に分かりやすくていいぞ。小学生でも理解できる。
証明というか定義でしかないでしょう。
最初にあるように1/3×3の例を考えれば
明らかに1=0.999......が成り立たなければ困る
だから1=0.999......は厳密に成り立つと定義した。
もちろんもっというと他にもそう定義しなければ困ることが山ほどあり、逆にそう定義しても困ることがないから、この定義が数学的に受け入れられているわけです。
そもそも分数、小数というのは数の表し方であり、数の種類ではない。
つまり整数を小数という数の表し方で表現することも可能であるという事です。
これは同じ数を小数表記でも分数表記でも表現できる（0.25＝1/4など)し、整数を分数表記できる（2＝4/2など)ことから分かると思います。
0.25も1/4も同じ数を別の形で表現したものなのだから、1と0.999......も同じ数を別の形で表現したものであるというだけです。
それと、掛け算、引き算は右から計算を行わなければならないなんてルールはありません。左から行っても全く問題は起きません。繰り上がりなどが発生したときにちょっと戻ればいいだけです。もっというと今回の計算に繰り上がり、繰り下がりは発生しないので、本当に左からずっと計算していけます。
サンドウィッチマン 富澤氏から一言 ↓↓↓
ﾁｮﾄﾅﾆｲｯﾃﾙｶﾜｶﾝﾅｲ
@@もりりんゆう-s6v アザス！ だいぶ待ちましたｗ
図解の時の証明でなんで正9角形を使う必要があったのかが分からない
やってることは円と同じじゃね？
えーとそれでは0.999...は整数、という認識で合ってますか？
合ってます
@@yhmv
突然のご連絡失礼いたします。
お伺いしたいことがあります。
1/3=0.3 余り0.1
この式を変形して、
1=3×0.3+0.1
これを一般化？して、
1=3Σ[k=1～n]3/10^k+1/10^n
この式が、ペアノの公理で全ての自然数で成り立つと思います。
自然数は限りなく存在するので、無限級数？の形にして、
1=3Σ[n=1～∞]3/10^n+lim[n→∞]1/10^n
このとき、lim[n→∞]1/10^n=0の定義から、この部分を0と表記でき、また、０は表記しなくてもよいので、
1=3Σ[n=1～∞]3/10^n
この式が、
1=0.999...
ということかと思います。
もし、上記が正しいのであればなのですが、lim[n→∞]1/10^n=0の定義を学校で教わったとき、この場合の＝は等しいではなく、収束するであると教わりました。
ですので、この定義を用いて以降は、＝を等しいとは呼べず、収束するとしか読めないのではと思います。
また、ペアノの公理の証明段階で、1/10^nが3(3/10^n+1)+1/10^n+1となり、これが成り立つため、すべての自然数で成り立つといえると思います。
ですので、lim[n→∞]1/10^n=0を等しいと考えることができない理由は、この点にあると思います。
この私の考えは、正しいといえるでしょうか？
式の書き方含め、わかりづらい内容であり、申し訳ありませんが、よろしければ、ご回答の程よろしくお願いいたします。
@@レンア-k8kとりあえず一つ伝えたいのは、極限を含もうが含んでなかろうが"="は等しい以外の意味はありません。
例えば、
lim[x→1] 2x = 2
は、左辺部分が「xを限りなく1に近づけた時の2xが限りなく近づく値」を示しているので、その値は当然2になります。
つまり、この等式は、2=2と同じです。ここからもわかるように、"="自体に極限がどうこう言う能力はなく、ただ「等しい」と言うだけです。
収束を示す記号としては、別に「→」があります。
あなたの話に即して言い換えると、
lim (1/10)^n=0
について、左辺のlim自体が、「右の式(ここでいう(1/10)^n)の極限値」を返す演算子なので、
「(1/10)^n」に演算子「lim」を適用した結果が「lim(1/10)^n」です。ですから、=はいつもの=のままで話ができます。
@@yhmv 詳細な解説ありがとうございます。
それにしても高校の数学のテストで「次のうちから整数を選べ」みたいな問いの選択肢に「0.999...」が入ってると「試されてる」感じが半端ないですね。
ただの高校生なのですが、考え方、見方を変えているだけで、やってることずっと同じなのではないでしょうか？？
批判とかではなく結局どこまで小さければ0なのかがよくわかりません、、、
無限は定数ではなく際限のない数なので0以外の数では表せなくなります。おそらく、本を買うのが手っ取り早いです
その時は３進数とか駄目っすかねぇw
三分の一を使った証明？がシックリ来た！
ゼロ反復性をおすすめします…
3/3で納得した
私は無限に近づくと「＝」は厳密には違うと主張する派です。
昔、ある派閥の無限についての説を学んだことがあります。
そこでは線分A(3cm)と線分B(5cm)では線分Bが大きいと言う数学の世界とは別に
無限を扱えば線分Aと線分Bは等しいことになる事を学びました。
(この場合は濃度が等しい証明が出来る。)
無限についての数学は矛盾の無い計算と言う理論を構築することができますが
物理的な検証みたいな事はできません。
つまりは概念の話になります。
なので無限に近づくも物理的な検証はできません。
概念として計算式が矛盾なく行えるという話です。
例えばY＝１－1/Xは限りなく0.9999・・・・・に近づいていきますがY＝１となるのかという事ですね。
もちろん無限を使えばY＝１－１/∞となりそれはY=1なのですが
先述した通り無限については計算としては1/∞＝0と定義しても矛盾が起きていないという概念上の話であり
人間にはこれを物理的に検証できないから正しいとしましょうとしているのであってそれが正しいかどうかは分からない。
物理的な検証とは例えばXY軸のグラフにおいてY＝１－１/XとY＝１の交点を見いだせない。
何故なら人間は無限を目視できないから１X1の正方形を使った極限の説明でも
永遠に1/2が作れるのでいつまでたっても永遠に１に近づくが永遠に１にはたどり着けない。
しかし無限を使えばたどり着くことにしようという決まり事で計算上は矛盾が起きない。
それでも人間にはその決め事に間違いがないのかを検証することができない。
何故なら人間は無限を見る事ができないから。
先にも述べたように無限を使えば計算上長さの違う線分Aと線分Bが等しいという証明も出来てしまう。
人間と言うのは自分の概念内でしか物事を理解できない。
例えば素粒子論では計算上9次元の世界だと矛盾がなくなると分かっても
その9次元がどのような世界なのかは人間の概念外である。
計算ができるから正しいのかどうかを概念外の世界の事を物理的に検証できない。
無限も同じで計算式として矛盾が起きないように設定できたからそれが正しいのかどうかは
人間には感知できない無限の世界を検証できない。
もちろん人間の概念内で問題無いなら人間の概念内のみに限り「正しい」としましょうとするのは仕方のない事だとは思う。
しかしニュートン力学が絶対であると思っていたのにその時には無かった概念である相対性理論というのが発見されてそれが絶対ではないということが現実に起きたように
未来永劫１＝0.99999・・・・がまかり通るかは誰にも分からないと思う。
そもそも0.999...は有理数の集合に含まれるのか？
そもそも厳密云々を言ったら1/3＝0.333...すら怪しいのでは？
無限小数を扱うには無限大の数を扱う必要があり
整数の分数で扱う有理数では扱えない気もする。連分数は有理数か？
2.999で表す職業はプロレスラーやろ
保育士かと。
分からん、、、
理解できん、、、
どれだけ近づいても、違うもんは違う、
としか思えん、、、
ゼロ反復性をおすすめします…
逆に考えましょう。違うと言わせないためにどこまでも近付けているのだと。
１と0.999...が同じではないと仮定すると差が存在しなければならない。差の計算１－0.999...の値は？
0.000……
ですけど？
これが「=0」と、どうやって証明するんですか？
@@中島秀樹-l3i無限等比級数取れば簡単に行ける。
1=0.9999...よりは直感的にわかりやすいんじゃない？
@@中島秀樹-l3i 差は0.000……と断言するためにはこれが０と等しくないことを証明する必要がありませんか？
これだけ分かりやすく説明してるのに、そもそもの1＝0.9…に疑問を呈しているキッズがコメント欄に湧いてるの草
これが、
これこそが！
菩薩拳の概念ッッッッツ！
0.999･･･は、数学的には0.9に9の上に・を付ける表し方をします。それを用いると、0.999･･･=1-0.000･･･となり、0.000･･･は0.0の小数点以下の0の上に・が付く表し方をします。つまり、0が無限に続く無限小数となり、小数点以下の数に1以上の数が出ないこととなる。つまり、0.999･･･=1となる。
当然ながら1=0.9999...が成り立たないような位相を考えて実数を構成することも出来るかもネ
必要性を感じないので真剣に考えたことないけど
1 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + ････
も二進数で表せば
1=0.111･･･
の循環小数になる説明を加えれば更に良かったのに😊
これ両辺ガウス記号とったらどうなるんやろ
つまりアキレスは亀に追いつくし、飛んでいる矢は止まっているという解釈でよろしいか？w
追記
1cm²の面積を持つ二等辺三角形をどんどん高さを高くして底辺を狭くすると、底辺0×高さ∞÷2=1cm²て事でもよろしいか？w
🍘( "´༥`" )ŧ‹”ŧ‹”
0.9999=1でないなら、その2数の間に必ず別の数があるはずだが、なさそう。
いくら可視化しても無限に拡大して行けばドーナツはドーナツですが(1=0.999・・・ではない)
無限というのはxやyといった定数ではなくどんな数よりも大きい、小さい「概念」を表すので、0.999...と1の差はどんな数よりも小さくなるのでその差は0以外の数では表せなくなります。つまり、無限にドーナツの隙間を埋めていけばしっかりと埋まります。
数字は人間が考えた概念だから、人間が1＝0.9999・・・と定義するならそうだろうし、
1≠0.999・・・だと定義するならそれも正しいんじゃないかな
12月31日23時59分59.999・・・秒＝１月１日？
法律的には＝じゃないよね
新年１月１日から効力を発揮する法律は12月31日23時59分59.999・・・秒ではまだ無効
人間には12月31日23時59分59.999・・・秒を認識できないし、
面積0.999・・・の円は人間の目には面積１の円と見分けがつかないかもしれないけど、
概念上あるとすることはできると思う
無限に9が続くから区別できん
苦しい・・苦しい・・・・苦しくなって来たw 10:50
というか0.333・・・・*3は1だろうが、なんでこれを0.999・・・とするのか意味が分からん
コメ欄のド文系の方々は、正しいことを正しいと認識できないのに数学を楽しめるのかな？
ど文系でも数II Bまでの内容で十分楽しめる内容だったでしょ。
ゼロ反復性に準拠する三角関数を定義すると…プラス反復性に準拠する三角関数とマイナス反復性に準拠する三角関数の…『連結』または『重ね合わせ』である…#(cosθ)=+cosθ−cosθ…#(sinθ)=+sinθ−sinθ…等が連結…rolling-limit(#(cosθ))⇒#(0)=±cosθ… rolling-limit(#(sinθ))⇒#(0)=±sinθ…等が重ね合わせである…重ね合わせると…平面上のゼロ単位円の半径が直立する事で…原点と接する半径になる…これがゼロ反復性に準拠する収束である…
ﾚｰﾃﾝキューキューキュー
最も簡単な証明法は、0.999...=0.333...×３=１/３×３=1 以上証明終り。