신기하네요. 확률이 0인데도 발생할 수 있다. 그런데 전체 공간 길이의 집합은 뭐로 정의가 되어있는건가요?? 예컨대 전체 공간 길이가 무리수+유리수로 정의 되어있다면 유리수 전체 길이는 0이고 무리수 전체 길이는 1인건가요? 아니면 각 부분의 수의 길이는 모두 0이지만 다 더하면 1이 되는건가요?
경우의수를 몇개 또는 무한개라고 하는건 그렇다는 전제를 한 후에 확률을 계산하는 것인데 발생할 수 있는지 없는지는 구체적이고 물리적인 문제이기 때문에 추상적인 전제로부터 계산해서는 답을 할 수 없는 별개의 문제 같습니다. 주사위의 경우의수가 정확하게 6개만 되게 구현할수있는지도 뭔가 복잡해지는 문제인데, 경우의수 무한개는 과연 어떨까요...
잘 보았습니다. 옛날 교육과정 기준으로 이런 예시를 학생들에게 설명할 수 있는 것은 기하학적 확률을 이용한 것이 기억나는데, 결국 그것도 측도론을 이용한 것과 일맥상통하겠지요. (물론 기하학적 확률은 교육과정에서 빠진지 오래 되었습니다...ㅎㅎ) '기하학적'인 뭔가가 들어간? 말이 좀 넌센스하긴 한데... 어쨌든 그런 무언가와 상관없는 예시는 혹시 있을까요? 결국 measure 0를 생각해야 하니 '기하학적 직관'은 필수불가결인 걸까요?
이 주제가 정말 곱씹어 볼 수록 너무 흥미롭고 재밌는 주제입니다. 현대 수학에서는 집합론에서 선택공리를 채택할 경우 모집단의 표본의 발생을 허용하기 때문에 무작위 시행을 인정하면 자동으로 무작위 시행으로부터 모집단에 속한 표본의 발생도 가능한 것으로 규정됩니다. 0%가 나와도 말이죠... 무작위 시행을 통해 확률이 0%인 근원사건이 뽑히는 것을 부정하면 확률이 0%가 나오지 않는 값은 존재하지 않으니 모든 값의 발생을 부정하는 것처럼 보이고 그럼 무작위 시행 자체를 부정하는것처럼 보이니 맞는말 같습니다. 하지만 무작위추출로부터 확정된 단일 값들이 출현하는 것을 부정하는 것이 곧 무작위 시행자체에 대한 부정으로 이어지는 것은 아닙니다. 실수집합이 비가산집합이기 때문에 근원사건들의 무한합이 실수집합 전체가 되지 않기 때문이고 또한 무작위 시행 자체가 확정되지 않는 특징이 있기 때문입니다. 무작위 실수에서 유리수가 나올 확률이 0%로 나오지만 발생으로 정의되는 부분에 대해 접근하기는 일반인 입장에서는 직관적으로도 수학적으로도 이해하기 너무 어려운 문제입니다. 그래서 조금 더 쉬운 주제를 가지고 한번 이야기 해볼까 합니다. 이 문제에서 발생하는 아이러니에 대해 갸우뚱하시는 많은 일반인 분들께 작은 선물이 될 수 있으면 합니다. 동전 던지기 무한 시행에서 모두 앞면이 나올 확률은? 당연히 0%입니다. lim(n은 무한)0.5^n=0 이기 때문입니다. 하지만 모집단의 표본에 속하기 때문에 이 역시 발생 가능으로 규정됩니다. 어디서 괴리가 발생했다고 생각되시나요? 극한값이 이런 괴리를 만든 것입니다. lim는 목표지향점 같은 개념이지 실제로 닿을 수 있는 값이 아닙니다. 0.5를 아무리 거듭제곱해도 절대 0이 나오지 않습니다. 또한 동전던지기 무한시행이 현실에서 어떻게 발현되는지에 대해서도 고민을 해볼 필요가 있습니다. 우리는 무한시행이 진행중인 상황만 상상할 수 있을 뿐 무한시행이 끝난지점에서 무슨 일이 일어날지에 대해 생각할 수 없습니다. 무한이라는 말 자체가 끝도 없는 시행이기 때문입니다. 동전 던지기 무한시행으로 모두 앞면만 나오는 확률뿐만 아니라 앞면이 한번도 안나오는 경우, 한번만 나오는 경우, 두번만 나오는 경우, ..., 백번, 천번, 일억번, 일조번, 다 마찬가지입니다. 전부 확률은 0%입니다. 하지만 전부 모집단의 표본이기 때문에 발생 가능으로 규정됩니다. 동전던지기를 무한히 반복해서 시행하는데 특정면이 특정횟수만큼 나온다? 이게 가능하다고 생각되시나요? 동전던지기 시행이 무한으로 발산한다면 앞면이 나오는 횟수든 뒷면이 나오는 횟수든 발산하는 것이 맞지요. 그래서 시행이 무한으로 반복되는 사건은 확정될 수 없고 따라서 확정된 사건(앞면 혹은 뒷면이 나오는 횟수가 정해진 사건)이 나올 수 없는 것입니다. 무한시행사건 자체가 수렴할 수 없는데 여기에서 값이 수렴한 사건이 나올 수 있다고 생각하는 것이 모순이죠. 물론 무한시행사건 자체에 대한 부정은 아닙니다. 동전 계속 던지는게 왜 불가능하겠습니까? 확정될 수 없는 사건을 확정된 사건으로 규정하려는 것이 모순인 것입니다. 다시 무작위 실수를 뽑는 행위에 대해 생각해보겠습니다. 0과 1사이에서 무작위 실수를 뽑아 0.5가 나올 확률은? 당연히 0%입니다. 하지만 0.5가 나올 때까지 한번 무한한 도전을 해본다고 생각해봅시다. 어느 순간 0.5000000000.... 이 나왔는데 아래 자리수를 계속 보니 한 1조번 자리 밑에까지 전부 0이었습니다. 그럼 이 값은 0.5라고 할 수 있을까요? 여전히 0.5라고 단언할 수 없습니다. 자리수가 어디까지 내려가야 0.5라고 확정관측이 가능하겠습니까? 한도가 없습니다. 무작위 실수가 모든 자리수가 무작위로 무한히 발생한다 생각한다면 이 역시 확정될 수 없는 사건입니다. 확정될 수 없는 사건 자체를 불가능하다고 하는 것이 아닙니다. 무한히 자리수 내려가며 값을 정해나가는 것이 왜 불가능 하겠습니까? 그로부터 확정된 값이 단언해서 발생하는 것이 불가능 한 것입니다. 즉 무작위 시행 자체는 가능해도 (확정할 수 없는 시행의 가능성을 인정해도) 그로부터 확정된 값들(유리수를 포함해서 우리의 관념속에 있는 확정값을 갖는 모든 값들)로 전환되는 것이 불가능한 것입니다. 애초에 무작위 실수 자체가 수렴할 수 없는 값이니(자리수가 내려가면서 계속해서 무작위배정되니 진동형 발산으로 볼 수 있겠군요.) 모든 수렴된 값으로의 전환 자체가 되지 않는 것입니다. 무작위 실수와 인식가능한 관념의 값은 별개의 것이라는 겁니다. 그러니 우리가 인식가능한 관념의 값들(수렴된 값)이 무작위 시행으로부터 나올 확률은 전부 0%이고 이 모든 값들이 무작위 시행을 통해서는 전부 나올 수 없는 값이라고 규정해도 무작위 시행 자체에 대한 부정으로 이어지지 않을 수 있는 것입니다. 즉, 무작위 시행 자체는 가능하나 이 값이 인식가능한 값으로 전환되는 것은 불가능합니다. 이는 동전던지기 무한시행자체는 가능하지만 이 시행을 통해 동전의 특정면이 특정횟수만큼 나오는 사건으로 수렴하는 것이 불가능한것과 같습니다. 물론 현대 수학은 선택공리의 선택함수를 구분하지 않습니다. 확정될 수 없는 사건자체를 인정하면 그 사건이 확정된 사건으로 전환되는 것도 자동으로 인정되는 꼴입니다. 무한한 시행을 진행중인 과정으로 생각하는 것에 그친다고도 볼 수 있습니다. 동전던지기를 무한히 시행하는 행위에 끝맺음 점이 없으니 그 중간 과정에서야 어떤 확정된 사건도 나올 수 있다고 생각하고 결론을 지은것 같습니다. 요약: 1. 무작위 실수는 발산하는 값인데 인식가능한 모든 값은 수렴하는 값이기 때문에 무작위 실수로부터 인식가능한 모든 값이 나올 수 없는 것이고 이 둘은 별개 것으로 구분되어야 한다. 2. 실수집합은 비가산집합이기 때문에 무작위 실수로부터 인식가능한 모든 값이 나올 수 없다고 규정하는 것이 무작위 실수 자체에 대한 부정으로 이어지지 않는다. 가산집합 무한합으로 비가산집합이 나오지 않기 때문에 무작위 실수로부터 모든 인식가능한 값의 무한합에 해당하는 집합으로의 발생을 부정하여도 실수집합 전체에 대한 부정으로 이어지지 않기 때문이다. 3. 하지만 현대 수학에서 선택공리의 선택함수를 무작위시행과 지정시행(무작위 시행을 제외한 모든 가능한 시행)으로 구분하지 않기 때문에 무작위 실수가 발산하는 값임에도 불구하고 이를 인정하면 자동으로 무작위 실수가 수렴하는 것도 가능하다고 인정하는 꼴이 된다. 이것이 현대 수학에서 선택공리를 바라보는 관점의 한계이다.
너무 재밌는 영상 감사합니다. 루딘의 매운맛을 한 학기만 경험하고 도망간 비수학과 학생이었는데요, 겨우겨우 이해했던 칸토어 셋이 생각나는 영상이었네요 ㅋㅋ 사실 유리수 0, 무리수 1까지 갈 것도 없이 [0,1] 사이에서 1/2을 뽑을 확률이 0이라는 게 불가능과 확률0이 다르다는 걸 보이기 충분한 거 같긴 하네요ㅋㅋ앞으로도 잘 보겠습니다!!
개별 점을 테이프로 덮는 방법이 동일한 epsilon만큼의 테이프로 덮는방법도 있고, epsilon/n으로 덮는 방법도 있고 방법 자체는 여러개입니다. 그런데 집합의 길이를 테이프의 최솟값(엄밀히 얘기함면 infimum)으로 정의한다면, 해당 집합의 길이는 가능한 테이핑 조합이 주는 테이프 사용량의 최솟값이 될텐데, epsilon(1/2 + 1/3 + ....)
안녕하세요 방금막 확률에 대해 이야기 하던중 본인의 무지로 인해 답답한 상황이 생겼는데 도저히 스스로 해결이 안되어서 질문 남겨봅니다.. 간단히 설명하면 1/10확률에 대해 이야기 했는데 저는 '1/10확률'이 '무조건'적으로 나온다고 주장했는데 수학에서 확률은 100%가 아니라면 무조건이라는 수식일 사용할 수 없다고 하더라고요.. 그래서 드리고자 하는 질문은 확률을 설명하는데 있어서 무조건 나온다는 전제를 하는 것 자체가 수학적으로 결코 불가능한지 궁금합니다.. 미칠거 같아요 정말 ㅠㅠ
근데 궁금한 게 왜 시계를 봤을 때 12시일 확률이 0인가요? 이 부분이 잘 이해가 되지 않아서요. 그냥 현재 시각이 정확하게 12시일 확률이라면 확실히 0이라고 할 수 있습니다. 다만 시계를 기준으로라 한다면 시계의 종류마다 다를 수는 있지만, 대부분의 시계는 최소 단위가 1초임을 고려하면 0은 아니지 않나요? 혹은 놓친 점이 있는지 모르겠어요.
@@bsj3002해당 질문은 1초단위로 움직이는 실제 시계보다는 지속적으로 움직이는(최소단위가 없는) 가상의 시계를 가정하고 한 것이라고 이해하시면 됩니다. 시계는 단지 시간을 비유한 것일 뿐이죠. 초침이 있는 시계가 아닌 디지털시계에서 스탑을 눌러서 12:00을 정확히 찍을 수 있는가? 하는것이죠. 근데 그 디지털 시계는 무한히 작은 단위까지 표기되는.. 쉽게 말하면 12:00:000000000000000000000000000000000000000000000000000000000.... 에 멈출 수 있는가 하는거죠. 이걸 간단하게 "시계를 보았을 때 12시가 될 확률은 0이다" 라고 말하는 것입니다.
좋은 영상 감사합니다!!ㅎㅎ 하나만 여쭤보고 싶은 부분이 있는데, 제 생각에는 도입부에 약간의 순환 논증이 있는 것 같습니다...! 구간의 길이를 얘기하기 위하여 테이프의 길이를 말씀하시는 것이 살짝 걸려서요,,,(a,b)의 길이는 b-a라고 인정하고 시작하시는 것이 어떨까요?
그렇게 해야 등비급수가 되어서 2입실론으로 수렴하기 때문입니다. 얘를들어 그냥 모든 점들을 입실론으로 덮으면 필요한 길이는 3입실론, 4입실론,...이 되어서 양의 무한으로 발산해 버립니다. 꼭 공비가 2분의 1인 등비급수가 아니더라도 수렴하는 무한급수 아무거나 이용해도 되는데 저게 제일 쉬우니까요
그거는 전제를 착각해서 해석하신거에요.. 특정수가 나올 확률이 0인건 맞지만 내가 뽑은 수는 특정수가 아니잖아요... 쉽게 설명하기 위해 다트게임에 비유하자면 첫번째로 던진 다트는 내가 뽑은 수 a인거고 그 수는 아마 0.64651325478945645.... 이런식으로 규칙성 없이 무한히 뻗어나가는 무리수일 것입니다. 만약 규칙성을 갖는다면 그것은 무작위로 뽑은 수라 할 수 없겠죠. 그리고 내가 뽑은 a를 다시 뽑으려 한다면 그것이 바로 특정수를 뽑는 시행이 될텐데 첫번째로 던진 a라는 다트 위에 두번째로 던진 다트가 과연 첫번째 다트위에 꽂히는게 가능하냐의 문제가 되는 겁니다. 물론 현실의 다트에서는 다트 위에 다트를 꽂는게 가능하겠지만 연속선상에서 특정된 하나의 값을 뽑는것은 불가능합니다. 앞서서 0.64651325478945645....이런 수를 뽑았는데 애초에 특정해서 표현하는 것 조차 불가능한 무리수를 계속해서 랜덤하게 나오는 소수점의 뒤에자리가 다 맞는게 가능할까요? 소수점의 뒤 자체가 끝이 없고 패턴도 갖지 않을텐데요...
4번 문제에서 {1/2, 1/3, 1/4, •••}의 길이를 구할때 테이프의 길이를 @, @/2, @/4, •••로 정하셨는데 각 점의 위치가 어떻든(1/2이든 1/3이든) 다 똑같은 점이니까 각 점을 덮을 테이프의 길이는 전부 @로 같아야되지않나요? >>총 길이는 2@가 아니라, n@가 되야한다고 생각하는데 뭐가 틀렸나요?(n은 점의 갯수, @는 입실론 대체문자)
정사각형의 한변을 삼각형의 한변으로 해서 정사각형 공간 내부에 한 점을 임의로 찍을 때 직각삼각형이 될 기하적 확률을 구하는 문제에서 반구를 찾아 지름을 한변으로 하고 반구의 호에 점이 찍히면 직각삼각형의 외심을 활용해 반구의 호에 점이 찍힐 때만 직각삼각형이 만들어진다는 사실과 선의 넓이가 0이라는 사실로 확률이 0이다라는 걸 이해할 때 점이 찍히는 데 왜 확률이 0인지 이해할 때 어려움을 겪었는데 비슷한 소재로 이야기를 다뤄주셔서 이해가 어느정도 되었습니다 감사합니다!
썸네일만 보고 신뢰도와 타당도를 떠올렸던 저는.. 다른 맥락을 짚었구나 하고 무릎을 탁 치고 갑니다. ㅎㅎ AI쪽에 계신 걸로 알고 있는데, 요즘 유행하는 mbti가 비판받는 이유가 많은데 통계적으로 분석하는 방법에 있어서 무엇이 문제다 라는 걸로... 한번 어그로 끌어서 구독자 아닌분들 설득해보시는건 어떠신지 한번 의견 드려봅니다.
예전 고등시절에 나름 고민했던 문제와 비슷하네요.. 1. 0-1 사이의 숫자를 하나 선택했는데 , 그런데 특정 수가 선택될 확률이 0 인데? .. 내가 선택한 이 수는 뭐지..?... 2. 책에서 읽은 게임. A,B 두사람이 동시에 지갑을 꺼내 가진 돈을 비교하고 돈이 적은 사람이 모든 돈을 다가져 간다. A 의 생각 : 이긴다면 내가 가진 돈보다 많은 돈을 따게 되고, 내가 진다면 내가 가진 돈만 잃게되므로 이 게임의 기대값은 0보다 크다.즉 나에게 유리한 게임이란 뜻.. B 의 생각 : A의 생각과 똑 같다. 그렇다면 A,B 모두에게 유리한 시합일까? 저 나름대로는 이 모순이 균등분포라는 확률분포에 문제가 있기 때문이라는 결론냈습니다.. 이제 딱히 수학적 문제 같은 것을 고민하지 않은지가 벌써 몇십년...세세한 기억은 잃었지만 확률분포 말고 다른 상황은 너무 자명해보여서 였던 것 같기도 합니다.. 수학적 확률이 본래 그런거야..라는 설명을 듣고 있으니 ..콜럼버스의 달걀로 머리를 쳐맞는 기분... 하지만 어째든 옛생각이 떠 올라 좋네요..^^
1번 문제는 제가 댓글 단거 하나 있는데 한번 읽어봐주세요 ㅎㅎ 당신이 선택한 수는 반드시 무리수입니다. 그리고 그 수는 확정될 수 없습니다. 임의의 실수를 뽑았는데 그 수를 애초에 표현하는게 가능할까요? 547.15345541321048040564549...... 이런식으로 계속 소수점이 밑으로 한 없이 내려갈텐데 어디서 이 행위를 중단할 수 있겠습니까... 임의의 실수인데.. 2번 문제는 너무나 흥미롭습니다. 깊이 생각해 보았는데 내가 가진 돈을 N이라고 할 때 상대의 돈을 임의의 값으로 정하고 그 값에 대해 최소값 0에서 최대값 (루트2+1)*N 구간에서 뽑는다는 전제가 있다면 이 게임은 공정한 게임이라 할 수 있겠죠.(왜 (루트2+1)*N인지는 한번 생각해보시고 여기서는 언급을 아끼겠습니다.) 문제는 그럼 최대값에 상한을 두지 않으면 무조건 유리한거 아냐? 이렇게 생각할 수 있겠지만 이는 애초에 전제 자체가 틀린겁니다. 상대방 입장에서도 내 입장에서도 나의 값은 이미 정해져 있습니다. 나의 금액만 알고 있는 제한된 정보에 놓인 상황에서 상대방의 금액범위를 멋대로 상한제한도 없이 산정해버리고 이것을 근거로 내가 이득인 게임이라고 추정하는 행위 자체가 틀린 것입니다.
그리고 이런 의문도 가능하겠네요. 어쨋든 어떤 수를 뽑는데는 성공했으니 불가능한건 아니지 않냐? 이런생각 드실 수 있는데.. 그게 아니죠... 다트게임으로 비유하자면 애초에 내가 뽑은 수는 첫번째 다트이고 특정한 한 점을 선택하는 문제는 첫번째 다트 위에 두번째 다트를 꽂는 문제인겁니다. 이게 현실의 다트라면 다트위에 다트를 꽂는게 가능하겠지만 어떤 값으로 특정된 한 점을 임의의 한 점을 뽑아 정확하게 그 점이 다시 나오는 것은 불가능하다는 이야기 입니다.
리만적분에서 구분구적법을 쓰면 x= k/n 에서의 함수값과 1/n을 곱한 사각형의 크기를 모두 더하는건데 n이 자연수이기때문에 n이 무한대로 가더라도 함수값이 항상 0으로 나올것같습니다.. 혹시 n이 자연수가 아닌가요? 고등학교 수준의 구분구적법까지 밖에 못배워서 여쭤봅니다..
[0, 1] 에서 랜덤하게 한 수를 어떻게 뽑나요? 애초에 "랜덤하게 뽑는다"라는 게 무엇인가요? 만약 임의의 실수를 균등한 확률로 뽑는다고 한다면 그 방법은 존재하지 않는 것 같습니다. p(x)를 x가 뽑힐 확률이라고 하면 모든 실수에 대해 p(x)의 값이 같아야 하나 그렇게 되면 모순이 되죠 (무한 * p(x) = 1이 되는 p(x)가 존재하지 않음)
애초에 p(x) 자체가 극한값을 갖기 때문입니다. 엄밀히 말하면 p(x)=0이 아니라 lim(n이 무한)p(x)=0 [p(x)는 무한으로 발산하는 n을 분모로 갖고 0보다 큰 값을 분자로 갖는 함수] 이기 때문에 엄밀히 따지면 우극한으로 0으로 수렴하는 것입니다. 단순히 무한대곱하기0=1이니 모순이다라는 이해는 극한값이라는 부분을 간과하여 벌어진 일이군요.
@@user-bv5nc3sn7r 실수에서 값을 뽑아야하는데 말씀하신 n이라는 건 뭔가요? 예를들어 "자연수집합에서 임의로 뽑은 두 수가 서로소일 확률" 같은 문제는 "lim (n->무한) 1부터 n까지 중 두 개를 뽑았을 때 서로소일 확률" 이런식으로 생각할 수 있다고 해도 [0,1]에서 두 수를 뽑는다면 말씀하신 극한이 어떻게 되는거죠..? 임의의 임의란 말이 균등한 확률로 뽑는다는건가요 아니면 치우쳐진 방법으로 뽑는건가요? 확률분포함수가 어떻게 되어야 가능한가요?
@@allrandomuser 제가 한 가지 착각을 하였군요 일단 분모가 발산하는 형태는 아닙니다. 정정하겠습니다. 확률밀도함수의 y값은 직접 확률을 의미하지 않습니다. 아시겠지만... 범위를 지정하여 적분하면 그 구간의 확률이 나오는 함수입니다. 일단 이 부분을 숙지하시고... 확률밀도함수 f(x)=1 입니다. 0부터 1사이에서 무작위 추출을 하기 때문입니다. 0부터 n사이에서 무작위 추출을 한다면 f(x)=1/n이 될 것입니다. 님이 지칭하신 해당값을 넣으면 그 지점의 확률이 나오는 함수는 먼저 구간으로 정의되어야 합니다. 인테그랄(M m)[M이 위이고 m이 밑이며 M은 m보다 큰 값이다.]f(x)dx=F(M)-F(m)=M-m 그럼 한 점에서의 확률을 나타내는 p(x)=lim(h는 우극한0으로 수렴인데 M이 m보다 크기 때문)F(x+h)-F(x)=x+h-x=h 즉 p(x)값 자체가 x에 상관없이 우극한 +0을 갖습니다. 그리고 해당구간 전체의 확률은 p(x)값을 이용하지 않습니다. 확률밀도함수를 0부터 1로 잡고 적분해야 구해지므로 결국 전체 구간 넓이는 1이 나옵니다.
@@user-bv5nc3sn7r 즉 [0,1]에서 수를 뽑는게 연속확률분포라고 얘기하시는거죠? 좋습니다 동의합니다. 하지만 그렇다면 본문에서 얘기한 "수를 뽑았을 때 유리수일 확률이 0이지만 유리수가 나올 수도 있으므로 불가능하진 않다"라는 말에 오류가 있다고 생각합니다. 연속확률분포는 반드시 연속된 구간으로만 확률변수를 제대로 정의할 수 있으며 값의 성질에 관한 얘기, 즉 "유리수가 나올 확률", "0이 나올 확률" 같은 말이 아예 고려할 수 없는 얘기라고 생각합니다. 영상은 이산확률분포와 연속확률분포를 엄밀하게 정의하지 않고 쓰고 있고, "확률이 0이다와 불가능하다는 다르다" 라는 부분에 동의할 수 없습니다.
@@allrandomuser 네 그렇게 생각하실 수 있습니다. 저도 0%이면서 발생가능하다고 규정하는 부분에 문제가 있다고 생각하는데 수학자들이 정의한 선택공리(무작위 시행을 포함한 모집단에서 표본을 뽑는 행위에 대한 인정 자체)를 채택하면 시행의 종류에 관계없이 모집단에서 추출가능한 모든 근원사건(하나의 값을 갖는 집합)도 발생가능으로 정의해버립니다. 이 부분에 대해서 저도 깊이 생각해보았는데 궁금하시면 님 댓글 바로 밑에 저의 댓글을 읽어보셔도 좋을 것 같습니다.
충분히 오해할 수 있는 부분인데 임의로 하나의 수를 뽑는다고 확률이 0인 사건이 일어나는건 아닙니다. 애초에 특정된 값을 뽑은 것이 아니니까요... 다트게임에 비유하자면 임의로 뽑은 하나의 수는 처음으로 던진 다트인 것이고 특정값을 찝어야하는 부분은 이미 던진 다트 위에 또 다른 다트를 꽂는 문제가 되는 것입니다. 수를 뽑는 것 자체가 불가능한 것이 아니고 특정된 값을 연속선상에서 뽑는 것이 불가능 한 것입니다. 자세한 내용은 제가 댓글 달아놓은게 있으니 읽어보셔도 좋을 것 같습니다. ㅎㅎ
단순히 확률을 숫자가 아닌 문자를 쓴다 했을때 n이 무한대로 갈때 1/n은 극한값이 0으로 확률이 0이겠지만 실제로 발생하는 경우의 수가 1이 존재하는 상황이고 반대로 n/(n+1)은 극한값이 1로 확률이 1이겠지만 1/(n+1)이라는 경우의 수가 존재하기때문 뭐 이런거 아닐까요
정말 흥미로운 논점이었습니다. 이에 대해 하루 정도 깊이있게 고민을 해보며 즐거움을 느꼈습니다. 그리고 제가 내린 결론을 한번 들어봐주실 수 있을까요? 이 문제의 핵심은 연속선상에서 임의로 한 점을 찝을 때 정확한 어느 한 점을 찝는게 가능하냐 이 문제잖아요... 수학적으로 확률이 0으로 표현되는건 당연한건데 이게 실제 하는 값을 찝는 건데도 정말 불가능한게 맞냐 이런 논점인데 제가 내린 결론은 일단 불가능하다고 보는게 맞다 입니다. 여기에 유리수 집합을 가져오는건 그럴싸하게 보이는 것 뿐이라는 생각이 드네요. 그 갯수가 무한하든 그렇지 않든 어차피 같은 부분이 반복되는것 뿐이니 선상에 있는 모든 유리수들은 결국 연속선상에 있는 고독한 섬들일 뿐입니다. 고독한 섬들이 무한히 많은 것 뿐이죠... 임의의 실수를 뽑는게 가능하다는 전제가 확실하게 보장된다면 말이죠... 그럼 이걸 컴퓨터 돌려보고 해서 실제로 해봐? 이런 생각 하시는 분들도 있을 수 있는데 애초에 현실에서 임의의 실수를 뽑는다는 전제 자체를 실현시킬 방법이 없죠... 아무리 훌륭한 컴퓨터여도 소수점을 무한히 표시할 수는 없습니다. 7번에서 제시하신 논점도 6번의 논점을 뒤집은 것 뿐이기 때문에 무조건 성립한다라고 보는게 맞는 말이 되겠구요... (수학적으로 100%로 표현되는건 당연한거고) 그래서 재밌는 사실도 하나 알게 되었습니다. 임의의 실수를 뽑으면 반드시 무리수가 나온다. 이 말이 성립할 수 있다는게 되는거니까 너무 흥미롭습니다. 다만 앞에서 언급했듯이 임의의 실수를 뽑는다는 전제가 반드시 보장받아야 하고 이는 현실에서 구현할 수 없다. 이렇게 볼수 있겠죠..ㅎㅎㅎ 임의의 실수를 뽑는다는건 어떤 의미일까요... 88756.153543545231578915357531357... 이런 식으로 수소점을 무한히 찍고 내려가는 수일거라고 생각됩니다. 애초에 특정해서 표현하는 것 자체가 불가능 할 수 있죠... 소수점 밑으로 내려가는 것에 규칙도 없으니 루트2이니 파이이니 자연상수이니 하는 의미성을 띄는 값과는 거리가 멀 수도 있습니다. 그럼 무작위로 뽑은 실수에서 유리수가 나온다는건 무슨 의미 일까요... 88756.1535435452315789153575313570000000000000000000000... 이런식으로 뒤에나오는 모든 숫자가 반드시 0이 나와야한다는 전제가 성립되는 수가 유리수입니다.(그게 아니면 같은 패턴이 반복되는 순환을 갖거나) 근데 무작위로 추출한 실수에서는 무한히 뻣는 소수점의 밑에 자리가 다 무작위로 배정되야 임의의 실수라 할 수 있는 것인데 특정 지점 이후부터 반드시 0만 나와야한다?(혹은 일정한 패턴을 반복하거나) 이건 무작위 실수라고 볼 수 없는 겁니다. 그래서 무작위로 뽑은 실수는 반드시 무리수가 될 수밖에 없고 연속선 상위에 실제하는 값을 정확히 찝는 것은 불가능하며 확률로서 0%를 갖는 것입니다. 즉 확률이 0%이면 불가능한 것이 맞고(실제로도 절대 발생하지 않음!) 확률이 100%이면 반드시 일어날 수밖에(실제로도 예외없이 반드시 발생함!) 없는 것입니다. 제법 그럴싸해 보이는 논점이어서 하마터면 수학적으로 표현된 확률 기술이 엉터리인 것처럼 생각 될 수 있는 오해가 충분히 생길 수 있었지만 그 내용을 깊이 이해해보면 역시 수학은 직관과 틀리지 않다는 사실을 다시금 알게 되었습니다. 직관이 수학과 틀리다면 그것은 이해를 잘 못 한 것이라고 보는게 맞지 않을까요... 수직선상에 분명히 있는 값인데도 불구하고 연속선상위에서 무작위로 한점을 뽑아서는 그 값이 절대 나올 수 없다는 부분이 직관적으로 와 닿지 않으면서 발생하는 착각인것 같은데 아마 연속선상에서 무작위로 한점을 뽑는다는 전제에 대해 제대로 이해하지 못하고 넘어가면서 그런 사고의 오류가 생기는게 아닌가 싶습니다. 아무튼 너무 재밌는 논점이었습니다.
@@user-db3rd3gr4c 모든 소수점자리가 같은 수는 무작위 실수가 아닙니다. 소수점자리가 무한히 뻗어나가는데 그 모든 수가 무작위이기 때문입니다. 이 이상은 증명이 필요없는 공리입니다. 왜 그런지는 스스로 생각해보시고 1+1=2에 대한 증명 부탁드립니다.
임의추출을 했기 때문입니다. 연속선에서 임의추출을 하면 값이 특정되지 않습니다. 823740.2383740... 이런식으로 불규칙적으로 소수점아래로 무작위 값이 무한히 연속해서 나타나는 형식이 되기 때문에 극한값으로 가면 결국 유리수 값을 가지지 못하고 반드시 무리수가 나올 수 밖에 없습니다.
5번 질문의 답을 4번과 마찬가지로 할 수는 없을 것 같습니다. 해당 풀이(어떤 양수 길이의 테이프로 덮는 것)가 전제하는 것은 각각의 테이프 간에 겹치는 구간이 없다는 것인데, 5번 문제의 경우 어떤 작은 양수 입실론을 초기값으로 설정하든지 간에 그 테이프의 구간 내로 들어오는 유리수가 무조건 존재하기 때문이죠. 그래서 5번 문제의 경우 다른 방식으로 해결해야 할 것 같습니다.
@@12math 겹친다는게 잘못된 가정같습니다 겹친다는건 점보다 긴 테이프라는 것이죠. 설명하자면 0과 1사이의 다른 수의 점끼리는 겹치지 않는다. 하지만 테이프끼리는 겹쳐도 된다 테이프의 길이는 점보다 길다 가 되고 점보다는 긴 테이프고 가정하는 순간 가정하는 순간 0< 어떠한 수
한 수를 뽑았을 때 유리수일 확률을 (유리수 길이)/(전체 공간 길이)로 구했기 때문에 0이 나온 것이라 생각합니다. 일단 유리수를 뽑을 확률이 0이 아니기 때문에, (유리수 길이)/(전체 공간 길이)로 구한 것이 잘못된 방법이라는 것이 맞을 것 같고요. 좋은 의도로 접근하셨고 흥미로운 주제이기는 하지만, 무한소의 개념과 숫자 0이 다르다라고 접근하시는 것이 수학적으로 정확한 내용이 아닐까요? 확률 100%도 마찬가지로 확률이 1인데, 극한의 관점에서 1-0이 1을 의미하지는 않잖아요.
1의 좌극한 값이 1이라고 할때 그 1은 정확히 1입니다. 극한은 가까워지는 그 값 자체를 지칭하는 표현입니다. 유리수를 뽑을 확률은 정의에 따르면 0이 맞습니다. 길이(measure) 를 어떻게 정의할지에 대한 고민의 배경과 실제 measure theory에서 어떻게 정의하고 확률론이 정립이 되는 지를 설명한 것입니다.
@@12math 제가 말한 극한의 관점이 극한값을 의미한 것은 아닙니다. 다시 엄밀히 말해 1-(무한소) 라는 표현이 더 정확하겠네요. 댓글 주신 내용으로 제가 이해하기로는 measure thoery 안에서 확률을 잘 정의했다는 말씀이신거죠?? 그러니까 measure thoery로 바라 보았을 때, 확률이 0%지만 발생할 수 있는 상황이 생긴다는 것으로 이해하는 것이 맞나요? 영상을 보면 일반적인 확률론에서 0%지만 발생할 수 있다라는 오개념을 가질 수 있어 걱정이 됩니다.
이산확률과 구분해야 하는 내용이네요 ㅎㅎ 간단하게 직관적으로 보면 이럴까요 ? 이 우주상에서 지구와 같은 행성이 있을 확률을 생각하면 0%라고 봐도 무방하겠지요 그러나 우주상에서 지구는 존재해요 0%지만 사실상 무한소 ÷ 1인거죠 반대로 이 우주상에서 지구와 같은 행성이 존재하지 않을 확률은 어느정도일까요 ? 거의 100%에 가까울겁니다 (1 - 무한소) ÷ 1이면 100%라 표기할 수 있을 것 같네요 확률이라함은 무의식적으로 이산확률로 생각하게 되는데 막상 해석학에서도 역시 확률적 내용이 들어간다는걸 실제 삶을 살다보면 망각하고 지내는 것 같네요 ㅎㅎㅎ
![[DOKKAN BATTLE] Worldwide Campaign Announcement Video Part 2!](http://i.ytimg.com/vi/JpT5Voak6WA/mqdefault.jpg)
난 또 K-게임식 확률인줄 알았네
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 도랏ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 지렸다
넥슨이 이 댓글을 싫어합니다
@@Gaygay6-d2e ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
던파 100프로 강화권 실패하던거 생각나네여
썸네일 보자마자 이 드립 생각났는데 어김없이 있네 ㅋㅋㅋ
실생활에선 주로 이산확률을 쓰다보니 그 개념이 자리 잡은 것 같아요. 실직선 상의 점이 차지하는 비율이라 하면 점의 길이가 존재하지 않아 0%가 나오지만 점 자체는 존재하고 있어서 처음 강의 들었을 때 재밌게 들었던 기억이 있네요ㅎㅎ😊
연속선상에서 특정값을 뽑는것은 불가능 한게 맞습니다. 실제하는 값이어도 그 값을 뽑을 수 있는가는 별개의 문제입니다. 자세한 내용은 제가 달아놓은 댓글을 읽어보셔도 좋을 것 같습니다. ㅎ
사실상 0%이라기보다는 0%에 가까운 근사값이라고 봐야하지 않을까요?
@@JinsuChoe 다른 방법으로 확률을 잘 정의하면 0%에 가까운 근사값으로 만들 수 있을진 모르겠지만, 이번 영상은 사용한 확률의 정의에 따라 0%가 맞습니다.
@@TamP__ 그래서 그냥 무조건 우리가 아는 0인 절대적 0이라는게 있지않나요
더 자세히 말하자면 측도의 개념을 들고와야합니다. 결국 이벤트의 존재와 확률측도가 0이냐는 별개의 문제가 되는것이지요.
신기하네요. 확률이 0인데도 발생할 수 있다.
그런데 전체 공간 길이의 집합은 뭐로 정의가 되어있는건가요??
예컨대 전체 공간 길이가 무리수+유리수로 정의 되어있다면 유리수 전체 길이는 0이고 무리수 전체 길이는 1인건가요?
아니면 각 부분의 수의 길이는 모두 0이지만 다 더하면 1이 되는건가요?
수 부터 수 까지가 길이이기때문인가..? 저도 궁금하네요
유리수는 0이고 무리수는 1인게 맞습니다. 자세한 내용은 제가 댓글로 달아놓은 글을 읽어보셔도 좋을 거 같아요 ㅎㅎ
경우의수를 몇개 또는 무한개라고 하는건 그렇다는 전제를 한 후에 확률을 계산하는 것인데
발생할 수 있는지 없는지는 구체적이고 물리적인 문제이기 때문에 추상적인 전제로부터 계산해서는 답을 할 수 없는 별개의 문제 같습니다.
주사위의 경우의수가 정확하게 6개만 되게 구현할수있는지도 뭔가 복잡해지는 문제인데, 경우의수 무한개는 과연 어떨까요...
잘 보았습니다.
옛날 교육과정 기준으로 이런 예시를 학생들에게 설명할 수 있는 것은 기하학적 확률을 이용한 것이 기억나는데, 결국 그것도 측도론을 이용한 것과 일맥상통하겠지요. (물론 기하학적 확률은 교육과정에서 빠진지 오래 되었습니다...ㅎㅎ)
'기하학적'인 뭔가가 들어간? 말이 좀 넌센스하긴 한데... 어쨌든 그런 무언가와 상관없는 예시는 혹시 있을까요? 결국 measure 0를 생각해야 하니 '기하학적 직관'은 필수불가결인 걸까요?
이 주제가 정말 곱씹어 볼 수록 너무 흥미롭고 재밌는 주제입니다.
현대 수학에서는 집합론에서 선택공리를 채택할 경우 모집단의 표본의 발생을 허용하기 때문에 무작위 시행을 인정하면 자동으로 무작위 시행으로부터 모집단에 속한 표본의 발생도 가능한 것으로 규정됩니다. 0%가 나와도 말이죠... 무작위 시행을 통해 확률이 0%인 근원사건이 뽑히는 것을 부정하면 확률이 0%가 나오지 않는 값은 존재하지 않으니 모든 값의 발생을 부정하는 것처럼 보이고 그럼 무작위 시행 자체를 부정하는것처럼 보이니 맞는말 같습니다. 하지만 무작위추출로부터 확정된 단일 값들이 출현하는 것을 부정하는 것이 곧 무작위 시행자체에 대한 부정으로 이어지는 것은 아닙니다. 실수집합이 비가산집합이기 때문에 근원사건들의 무한합이 실수집합 전체가 되지 않기 때문이고 또한 무작위 시행 자체가 확정되지 않는 특징이 있기 때문입니다.
무작위 실수에서 유리수가 나올 확률이 0%로 나오지만 발생으로 정의되는 부분에 대해 접근하기는 일반인 입장에서는 직관적으로도 수학적으로도 이해하기 너무 어려운 문제입니다.
그래서 조금 더 쉬운 주제를 가지고 한번 이야기 해볼까 합니다. 이 문제에서 발생하는 아이러니에 대해 갸우뚱하시는 많은 일반인 분들께 작은 선물이 될 수 있으면 합니다.
동전 던지기 무한 시행에서 모두 앞면이 나올 확률은? 당연히 0%입니다. lim(n은 무한)0.5^n=0 이기 때문입니다. 하지만 모집단의 표본에 속하기 때문에 이 역시 발생 가능으로 규정됩니다. 어디서 괴리가 발생했다고 생각되시나요? 극한값이 이런 괴리를 만든 것입니다. lim는 목표지향점 같은 개념이지 실제로 닿을 수 있는 값이 아닙니다. 0.5를 아무리 거듭제곱해도 절대 0이 나오지 않습니다. 또한 동전던지기 무한시행이 현실에서 어떻게 발현되는지에 대해서도 고민을 해볼 필요가 있습니다. 우리는 무한시행이 진행중인 상황만 상상할 수 있을 뿐 무한시행이 끝난지점에서 무슨 일이 일어날지에 대해 생각할 수 없습니다. 무한이라는 말 자체가 끝도 없는 시행이기 때문입니다.
동전 던지기 무한시행으로 모두 앞면만 나오는 확률뿐만 아니라 앞면이 한번도 안나오는 경우, 한번만 나오는 경우, 두번만 나오는 경우, ..., 백번, 천번, 일억번, 일조번, 다 마찬가지입니다. 전부 확률은 0%입니다. 하지만 전부 모집단의 표본이기 때문에 발생 가능으로 규정됩니다. 동전던지기를 무한히 반복해서 시행하는데 특정면이 특정횟수만큼 나온다? 이게 가능하다고 생각되시나요? 동전던지기 시행이 무한으로 발산한다면 앞면이 나오는 횟수든 뒷면이 나오는 횟수든 발산하는 것이 맞지요. 그래서 시행이 무한으로 반복되는 사건은 확정될 수 없고 따라서 확정된 사건(앞면 혹은 뒷면이 나오는 횟수가 정해진 사건)이 나올 수 없는 것입니다. 무한시행사건 자체가 수렴할 수 없는데 여기에서 값이 수렴한 사건이 나올 수 있다고 생각하는 것이 모순이죠. 물론 무한시행사건 자체에 대한 부정은 아닙니다. 동전 계속 던지는게 왜 불가능하겠습니까? 확정될 수 없는 사건을 확정된 사건으로 규정하려는 것이 모순인 것입니다.
다시 무작위 실수를 뽑는 행위에 대해 생각해보겠습니다. 0과 1사이에서 무작위 실수를 뽑아 0.5가 나올 확률은? 당연히 0%입니다. 하지만 0.5가 나올 때까지 한번 무한한 도전을 해본다고 생각해봅시다. 어느 순간 0.5000000000.... 이 나왔는데 아래 자리수를 계속 보니 한 1조번 자리 밑에까지 전부 0이었습니다. 그럼 이 값은 0.5라고 할 수 있을까요? 여전히 0.5라고 단언할 수 없습니다. 자리수가 어디까지 내려가야 0.5라고 확정관측이 가능하겠습니까? 한도가 없습니다. 무작위 실수가 모든 자리수가 무작위로 무한히 발생한다 생각한다면 이 역시 확정될 수 없는 사건입니다. 확정될 수 없는 사건 자체를 불가능하다고 하는 것이 아닙니다. 무한히 자리수 내려가며 값을 정해나가는 것이 왜 불가능 하겠습니까? 그로부터 확정된 값이 단언해서 발생하는 것이 불가능 한 것입니다. 즉 무작위 시행 자체는 가능해도 (확정할 수 없는 시행의 가능성을 인정해도) 그로부터 확정된 값들(유리수를 포함해서 우리의 관념속에 있는 확정값을 갖는 모든 값들)로 전환되는 것이 불가능한 것입니다. 애초에 무작위 실수 자체가 수렴할 수 없는 값이니(자리수가 내려가면서 계속해서 무작위배정되니 진동형 발산으로 볼 수 있겠군요.) 모든 수렴된 값으로의 전환 자체가 되지 않는 것입니다. 무작위 실수와 인식가능한 관념의 값은 별개의 것이라는 겁니다. 그러니 우리가 인식가능한 관념의 값들(수렴된 값)이 무작위 시행으로부터 나올 확률은 전부 0%이고 이 모든 값들이 무작위 시행을 통해서는 전부 나올 수 없는 값이라고 규정해도 무작위 시행 자체에 대한 부정으로 이어지지 않을 수 있는 것입니다.
즉, 무작위 시행 자체는 가능하나 이 값이 인식가능한 값으로 전환되는 것은 불가능합니다. 이는 동전던지기 무한시행자체는 가능하지만 이 시행을 통해 동전의 특정면이 특정횟수만큼 나오는 사건으로 수렴하는 것이 불가능한것과 같습니다.
물론 현대 수학은 선택공리의 선택함수를 구분하지 않습니다. 확정될 수 없는 사건자체를 인정하면 그 사건이 확정된 사건으로 전환되는 것도 자동으로 인정되는 꼴입니다. 무한한 시행을 진행중인 과정으로 생각하는 것에 그친다고도 볼 수 있습니다. 동전던지기를 무한히 시행하는 행위에 끝맺음 점이 없으니 그 중간 과정에서야 어떤 확정된 사건도 나올 수 있다고 생각하고 결론을 지은것 같습니다.
요약:
1. 무작위 실수는 발산하는 값인데 인식가능한 모든 값은 수렴하는 값이기 때문에 무작위 실수로부터 인식가능한 모든 값이 나올 수 없는 것이고 이 둘은 별개 것으로 구분되어야 한다.
2. 실수집합은 비가산집합이기 때문에 무작위 실수로부터 인식가능한 모든 값이 나올 수 없다고 규정하는 것이 무작위 실수 자체에 대한 부정으로 이어지지 않는다. 가산집합 무한합으로 비가산집합이 나오지 않기 때문에 무작위 실수로부터 모든 인식가능한 값의 무한합에 해당하는 집합으로의 발생을 부정하여도 실수집합 전체에 대한 부정으로 이어지지 않기 때문이다.
3. 하지만 현대 수학에서 선택공리의 선택함수를 무작위시행과 지정시행(무작위 시행을 제외한 모든 가능한 시행)으로 구분하지 않기 때문에 무작위 실수가 발산하는 값임에도 불구하고 이를 인정하면 자동으로 무작위 실수가 수렴하는 것도 가능하다고 인정하는 꼴이 된다. 이것이 현대 수학에서 선택공리를 바라보는 관점의 한계이다.
흥미로운 고찰이네요 재밌게 읽었습니다👍
본문 내용도 그렇고 이 댓글도 그렇고 참 재미있게 읽었습니다. 수학 손 놓은지 10년은 됐는데 ㅎㅎ 이런 내용은 양자역학과 비슷한거 같기도 하고 흥미롭네요.
무한집합 속 유한한 개수의 경우라면 확률 자체는 0이지만 사건 자체는 존재하는거죠! 쉽게 설명해주셔서 정말 좋네요!
7번에서 리만적분이 안되는 이유를 생각해보니 적분을 배울때 적분가능성에 대해서 잘 배우지 않고 넘어갔던 것 같습니다.
어떠한 개념을 배우면 꼭 그 개념에 대해서 질문해보는게 굉장히 중요한 것 같네요
너무 재밌는 영상 감사합니다. 루딘의 매운맛을 한 학기만 경험하고 도망간 비수학과 학생이었는데요, 겨우겨우 이해했던 칸토어 셋이 생각나는 영상이었네요 ㅋㅋ
사실 유리수 0, 무리수 1까지 갈 것도 없이 [0,1] 사이에서 1/2을 뽑을 확률이 0이라는 게 불가능과 확률0이 다르다는 걸 보이기 충분한 거 같긴 하네요ㅋㅋ앞으로도 잘 보겠습니다!!
12 Math 님 혹시 수학이라는 학문의 본질과 역사, 이러한 수학을 대하는 태도등도 영상으로 만들어주실 수 있나요?
개인적으로 수학의 절대성이나 진리성등 수학의 본질을 다루는 철학적인 내용도 영상으로 보고 싶네요
이미 보셨을 지 모르겠는데 제 채널 홈 가장 아래쪽에 테크트리 영상이나 제 소개 영상 한번 참고해보시면 좋을 것 같아요 :)
근데 {0, 1, 1/2, 1/3, 2/3 .... }집합의 점들을 테이프로 덮을 때, 모두 같은 입실론 크기로 덮어야 하는것 아닌가요? 왜 갈수록 입실론/2, 입실론/3 ... 점점 작은 크기로 덮게 되는건가요?
개별 점을 테이프로 덮는 방법이 동일한 epsilon만큼의 테이프로 덮는방법도 있고, epsilon/n으로 덮는 방법도 있고 방법 자체는 여러개입니다. 그런데 집합의 길이를 테이프의 최솟값(엄밀히 얘기함면 infimum)으로 정의한다면, 해당 집합의 길이는 가능한 테이핑 조합이 주는 테이프 사용량의 최솟값이 될텐데, epsilon(1/2 + 1/3 + ....)
안녕하세요 방금막 확률에 대해 이야기 하던중 본인의 무지로 인해 답답한 상황이 생겼는데 도저히 스스로 해결이 안되어서 질문 남겨봅니다..
간단히 설명하면 1/10확률에 대해 이야기 했는데 저는 '1/10확률'이 '무조건'적으로 나온다고 주장했는데 수학에서 확률은 100%가 아니라면 무조건이라는 수식일 사용할 수 없다고 하더라고요..
그래서 드리고자 하는 질문은 확률을 설명하는데 있어서 무조건 나온다는 전제를 하는 것 자체가 수학적으로 결코 불가능한지 궁금합니다.. 미칠거 같아요 정말 ㅠㅠ
12math님께서는 진짜 설명하는데 굉장히 뛰어난 재능을 갖고 계신것 같습니다 이게 이렇게 쉽게 설명이 가능한 내용이었나요ㅋㅋㅋㅋ
이분은 학력, 교양, 가르침 등등 극상위권의
능력을 가지신 분이니까요 ㄷㄷ
좋은 말씀 감사합니다!
완전 뇌섹남이심
대학교 다닐 때 이 채널 있었고 구독했으면 미적분 학점이 최소 0.5는 올라갔을 듯
시험이 없을때는 수학만큼 재밌는 과목이 없습니다. 참관수업으로 들으면 고등학교 수업도 꿀잼입니다.
감사합니다 덕분에 메이플식 확률을 이해하도록 노력 하겠습니다!!
이 영상을 콜모고로프 옹이 좋아합니다..ㅋㅋㅋ 측도론과 측도론적으로 해석한 확률론에 대해 정말 직관적으로 잘 설명하셨네요..
이 영상을 보다가 각주로 달아주신 무한 영상 보고 다시 영상을 이어서 보니 음질 차이가 엄청나네요 ㅋㅋ 더 좋은 음질로 들을 수 있어서 참 좋습니다
너무 재밌어요! 12Math 님이 계시는게 한국인으로써 진짜 축복입니다 ㅎㅎㅎ
대학교3학년때 교수님한테 배웠던거네요
확률의 정의가 머리속에서 바뀐사건..
저같은 경우는 시계를 봤을때 12시일확률은 몇인가
그런식으로 질문하셔서 확률은0이지만 발생은할수있다는사실을깨달았었네요
시계를 봤을 때 12시일 확률은 0%이고 실제로도 불가능한 것이 맞습니다. 다만 실생활에서는 미세한 부분까지 캐치하는데 한계가 있겠죠... 자세한 내용은 제가 밑에 단 댓글을 읽어보시면 좋을 거 같습니다. ㅎ
근데 궁금한 게 왜 시계를 봤을 때 12시일 확률이 0인가요? 이 부분이 잘 이해가 되지 않아서요.
그냥 현재 시각이 정확하게 12시일 확률이라면 확실히 0이라고 할 수 있습니다.
다만 시계를 기준으로라 한다면 시계의 종류마다 다를 수는 있지만, 대부분의 시계는 최소 단위가 1초임을 고려하면 0은 아니지 않나요?
혹은 놓친 점이 있는지 모르겠어요.
시계를 봤을때 12시일 확률이 왜 0 인가요?
@@promise1539 12시 00분이라는 시간을 0.000000...1초 단위까지 정확하게 맞출수는 없다는 느낌
@@bsj3002해당 질문은 1초단위로 움직이는 실제 시계보다는 지속적으로 움직이는(최소단위가 없는) 가상의 시계를 가정하고 한 것이라고 이해하시면 됩니다. 시계는 단지 시간을 비유한 것일 뿐이죠. 초침이 있는 시계가 아닌 디지털시계에서 스탑을 눌러서 12:00을 정확히 찍을 수 있는가? 하는것이죠. 근데 그 디지털 시계는 무한히 작은 단위까지 표기되는.. 쉽게 말하면 12:00:000000000000000000000000000000000000000000000000000000000.... 에 멈출 수 있는가 하는거죠. 이걸 간단하게 "시계를 보았을 때 12시가 될 확률은 0이다" 라고 말하는 것입니다.
혹시 대수적 무리수와 유리수의 수가 같나요?? 혹시 같다면 이것을 이해하기 위해서 필요한 배경 지식으로는 무엇이 있는지 알려주실 수 있나요?
초월수보다는 대수적 무리수가 적다는 말을 본 적이 있는데 정확히 어떻게 되는건지는 모르겠어서 질문드립니다.
대수적 무리수와 유리수는 크기가 같습니다. 유리수가 자연수와 크기가 같다는 논리와 유사합니다. 다음에 초월수 다루는 영상을 만들어볼게요.
감사합니다
Topology a first course by JAMES R. MUNKRES 51쪽 연습문제 4(a)에 있는 문제입니다. algebraic number is countable
증명은 일대일대응관계가 있음을 보이면 됩니다. (고등학교 수준의 개념으로 충분하죠)
와 확률과통계 공부하면서 상트페테르부르크의 역설을 접하게 되어서 궁금한 점이 많은 부분이였는데 정말 잘 설명해주셨네요. 감사합니다!
지인중에 전자?쪽 전공하시는 분이 계신데 단위계단함수인가를 말해주시면서 불연속인데 미분가능 할 수도있다고 말해주시더라고요 미분하면 델타함수라는게 나온다던데 이런것도 쉽게 설명해주실수있나요?
unit step function을 말씀하신것 같은데 Dirac delta function처럼 수학적으로 엄밀하게 정의된 함수가 아니라고 알고 있어요
하지만 함수로 잘 쓰여지기 때문에 함수라고 생각하고 물리학, 공학에서 쓰인다고 하네요
재미있고 유익한 영상 감사합니다.
유리수가 뽑힐 확률이 0인 이유를 고등학교 극한 시간에 배우는 lim x->0+ (x) = 0과 같은 논리로 이해해도 될까요?
그게 맞는거 같습니다.
해석학이 제일 재밌네요. 배우기 전엔 수학을 포기하는 이유 배운 후엔 수학이 재밌는 이유가 되는
계산 노가다가 제일 적고 논리놀이가 제일 많아서
22.. 개인적으로 algebra가 제일 노잼입니다..
전 위상수학이 제일 재밌었고 대수가 제일 재미없었습니다🥹
술술 풀어가시는 설명들이 귀에 쏙쏙 들어옵니다. 재밌어요!
리만 적분으로 면적 구할 때 '1/n으로 쪼개면' (n개의 구간으로 쪼개면) n을 0으로 보내는 게 아니라 '1/n을 0으로' (즉 n이 무한대로) 보내야 하는 거죠?
ㅎㅎ 실수했네요. 1/n 입니다~ 재밌게 봐주셔서 감사해요~
좋은 영상 감사합니다!!ㅎㅎ 하나만 여쭤보고 싶은 부분이 있는데, 제 생각에는 도입부에 약간의 순환 논증이 있는 것 같습니다...! 구간의 길이를 얘기하기 위하여 테이프의 길이를 말씀하시는 것이 살짝 걸려서요,,,(a,b)의 길이는 b-a라고 인정하고 시작하시는 것이 어떨까요?
비유를 들면 설득이 더 쉽거든요 ㅎㅎ 정확한 것과 쉬운 것의 무게비교가 늘 어렵습니다.
좋은 영상 감사합니다. 4:15에서 1/2를 입실론으로 1/3을 입실론/2로 덮는 이유는 총 길이를 2입실론으로 계산하기 쉽게하기 위함일까요?
네
그렇게 해야 등비급수가 되어서 2입실론으로 수렴하기 때문입니다. 얘를들어 그냥 모든 점들을 입실론으로 덮으면 필요한 길이는 3입실론, 4입실론,...이 되어서 양의 무한으로 발산해 버립니다. 꼭 공비가 2분의 1인 등비급수가 아니더라도 수렴하는 무한급수 아무거나 이용해도 되는데 저게 제일 쉬우니까요
음 저도 옛날에 0~1중의 실수중에서 특정수가 나올 확률은 0이지만
막상 선택해서 a라는 수가 나온다면 a 역시 확률이 0이지만 실제론 나왔다는 결과가 모순적으로 느껴졌는데, 이 역시 비슷한 맥락인가요?
그거는 전제를 착각해서 해석하신거에요.. 특정수가 나올 확률이 0인건 맞지만 내가 뽑은 수는 특정수가 아니잖아요... 쉽게 설명하기 위해 다트게임에 비유하자면 첫번째로 던진 다트는 내가 뽑은 수 a인거고 그 수는 아마 0.64651325478945645.... 이런식으로 규칙성 없이 무한히 뻗어나가는 무리수일 것입니다. 만약 규칙성을 갖는다면 그것은 무작위로 뽑은 수라 할 수 없겠죠. 그리고 내가 뽑은 a를 다시 뽑으려 한다면 그것이 바로 특정수를 뽑는 시행이 될텐데 첫번째로 던진 a라는 다트 위에 두번째로 던진 다트가 과연 첫번째 다트위에 꽂히는게 가능하냐의 문제가 되는 겁니다. 물론 현실의 다트에서는 다트 위에 다트를 꽂는게 가능하겠지만 연속선상에서 특정된 하나의 값을 뽑는것은 불가능합니다. 앞서서 0.64651325478945645....이런 수를 뽑았는데 애초에 특정해서 표현하는 것 조차 불가능한 무리수를 계속해서 랜덤하게 나오는 소수점의 뒤에자리가 다 맞는게 가능할까요? 소수점의 뒤 자체가 끝이 없고 패턴도 갖지 않을텐데요...
4번 문제에서 {1/2, 1/3, 1/4, •••}의 길이를 구할때 테이프의 길이를 @, @/2, @/4, •••로 정하셨는데
각 점의 위치가 어떻든(1/2이든 1/3이든) 다 똑같은 점이니까 각 점을 덮을 테이프의 길이는 전부 @로 같아야되지않나요?
>>총 길이는 2@가 아니라, n@가 되야한다고 생각하는데 뭐가 틀렸나요?(n은 점의 갯수, @는 입실론 대체문자)
학부생때 Principles of Real Analysis I 과정에서 배웠던 과정을 여기서 다시 보내요. 재밌게 잘 풀어내셔서 영상 잘 봤습니다 ㅎㅎ
오늘도 재밌는 수학영상 잘봤습니다. 특히 점의 길이에 대한 정의는 상당히 재밌네요... 모든 양수 집합에 최소값이 없으니 나머지에서 최대값을 고르는 방법이 있군요
supremum, infimum
정사각형의 한변을 삼각형의 한변으로 해서 정사각형 공간 내부에 한 점을 임의로 찍을 때 직각삼각형이 될 기하적 확률을 구하는 문제에서 반구를 찾아 지름을 한변으로 하고 반구의 호에 점이 찍히면 직각삼각형의 외심을 활용해 반구의 호에 점이 찍힐 때만 직각삼각형이 만들어진다는 사실과 선의 넓이가 0이라는 사실로 확률이 0이다라는 걸 이해할 때 점이 찍히는 데 왜 확률이 0인지 이해할 때 어려움을 겪었는데 비슷한 소재로 이야기를 다뤄주셔서 이해가 어느정도 되었습니다 감사합니다!
그렇네요 그런 주제에도 적용되는 이야기군요
썸네일만 보고 신뢰도와 타당도를 떠올렸던 저는.. 다른 맥락을 짚었구나 하고 무릎을 탁 치고 갑니다. ㅎㅎ
AI쪽에 계신 걸로 알고 있는데, 요즘 유행하는 mbti가 비판받는 이유가 많은데 통계적으로 분석하는 방법에 있어서 무엇이 문제다 라는 걸로... 한번 어그로 끌어서 구독자 아닌분들 설득해보시는건 어떠신지 한번 의견 드려봅니다.
예전 고등시절에 나름 고민했던 문제와 비슷하네요..
1. 0-1 사이의 숫자를 하나 선택했는데 , 그런데 특정 수가 선택될 확률이 0 인데? .. 내가 선택한 이 수는 뭐지..?...
2. 책에서 읽은 게임. A,B 두사람이 동시에 지갑을 꺼내 가진 돈을 비교하고 돈이 적은 사람이 모든 돈을 다가져 간다.
A 의 생각 : 이긴다면 내가 가진 돈보다 많은 돈을 따게 되고, 내가 진다면 내가 가진 돈만 잃게되므로 이 게임의 기대값은 0보다 크다.즉 나에게 유리한 게임이란 뜻..
B 의 생각 : A의 생각과 똑 같다.
그렇다면 A,B 모두에게 유리한 시합일까?
저 나름대로는 이 모순이 균등분포라는 확률분포에 문제가 있기 때문이라는 결론냈습니다..
이제 딱히 수학적 문제 같은 것을 고민하지 않은지가 벌써 몇십년...세세한 기억은 잃었지만 확률분포 말고 다른 상황은 너무 자명해보여서 였던 것 같기도 합니다..
수학적 확률이 본래 그런거야..라는 설명을 듣고 있으니 ..콜럼버스의 달걀로 머리를 쳐맞는 기분... 하지만 어째든 옛생각이 떠 올라 좋네요..^^
1번 문제는 제가 댓글 단거 하나 있는데 한번 읽어봐주세요 ㅎㅎ 당신이 선택한 수는 반드시 무리수입니다. 그리고 그 수는 확정될 수 없습니다. 임의의 실수를 뽑았는데 그 수를 애초에 표현하는게 가능할까요? 547.15345541321048040564549...... 이런식으로 계속 소수점이 밑으로 한 없이 내려갈텐데 어디서 이 행위를 중단할 수 있겠습니까... 임의의 실수인데..
2번 문제는 너무나 흥미롭습니다. 깊이 생각해 보았는데 내가 가진 돈을 N이라고 할 때 상대의 돈을 임의의 값으로 정하고 그 값에 대해 최소값 0에서 최대값 (루트2+1)*N 구간에서 뽑는다는 전제가 있다면 이 게임은 공정한 게임이라 할 수 있겠죠.(왜 (루트2+1)*N인지는 한번 생각해보시고 여기서는 언급을 아끼겠습니다.) 문제는 그럼 최대값에 상한을 두지 않으면 무조건 유리한거 아냐? 이렇게 생각할 수 있겠지만 이는 애초에 전제 자체가 틀린겁니다. 상대방 입장에서도 내 입장에서도 나의 값은 이미 정해져 있습니다. 나의 금액만 알고 있는 제한된 정보에 놓인 상황에서 상대방의 금액범위를 멋대로 상한제한도 없이 산정해버리고 이것을 근거로 내가 이득인 게임이라고 추정하는 행위 자체가 틀린 것입니다.
그리고 이런 의문도 가능하겠네요. 어쨋든 어떤 수를 뽑는데는 성공했으니 불가능한건 아니지 않냐? 이런생각 드실 수 있는데.. 그게 아니죠... 다트게임으로 비유하자면 애초에 내가 뽑은 수는 첫번째 다트이고 특정한 한 점을 선택하는 문제는 첫번째 다트 위에 두번째 다트를 꽂는 문제인겁니다. 이게 현실의 다트라면 다트위에 다트를 꽂는게 가능하겠지만 어떤 값으로 특정된 한 점을 임의의 한 점을 뽑아 정확하게 그 점이 다시 나오는 것은 불가능하다는 이야기 입니다.
@@user-bv5nc3sn7r 무리수를 확정할 수 없다는 말이 이상하네요. 루트 2 같은 수도 수직선 위에 잘만 찍어서 표시하는데 말이죠
소숫점이 무한하다고 해서 그 수를 확정할 수 없다는 건 말도 안되는 소리에요
마이크 바꾸니까 어마 좋습니다 캬ㅑ 곧 10만이네요 미리 축하드립니다
무수히 많은 유리수라고 하셨으니 원소의 개수는 무한개일테고 무한개에 아주 작은 입실론을 곱했으니 그걸 0이라고 정의할 수는 없지 않나요? 고등학교때 무한소 곱하기 무한대의 값은 케바케라고 배웠어서..
이해하기 쉽고 재밌어요
measure theory의 기초적인 임플란트를 최대한 직관적이고 쉽게 설명하신거 같네요! 잘 보고 갑니다 ~
확률과 통계 공부하고 있는 고딩인데 정규분포 부등호 부분 이해하는 데 도움이 된0요
쉽고 정확하게 알려주셔서 감사합니다!!
불면증으로 고생하고 있어요,
그런데 영상을 다 보기 전에 잠들다니!
목소리가 참 듣기 편안합니다. ^^
무한소의 개념을 이해하는게 이번영상을 알아듣는데 꼭 필요한 것 같네요
문과여서 그런지 확률에도 적용될거라고는 생각해본적이 없는데 하나 더 알아갑니다
정말 재밌게 들었습니다 감사합니다!
감사해요~
안녕하세요. 이 영상은 확률 개념을 새롭게 다루어 정말로 흥미롭게 만들었습니다. 몰랐던 개념들을 차근차근 설명해주셔서 수학적인 부분이나 생활에서 활용하는 데에 도움이 많이 되었습니다. 완전히 새로운 시각을 얻은 느낌이에요! 감사합니다.
장난이지만 1/2의 길이는 약 1.161*10^-35 일 수 없을까요? ㅎㅎ 수학이랑 물리랑 요즘 상당히 딥한 관계던데
들으면서 이럴 수도 있겠구나? 하긴 했는데 한 10번은 더 봐야 될 듯.
이해가 안 되긴 했지만 제가 모르는 것이 무엇인지 인지하게 된 거 같아 기쁘네요.
하나 궁금한게 있습니다
르벡적분? 을 이용해서
f(x)를
1(if.x는 무리수)
0(if.x는 유리수)를 적분하면 그 적분값은 0이 나올까요?
리만적분에서 구분구적법을 쓰면 x= k/n 에서의 함수값과 1/n을 곱한 사각형의 크기를 모두 더하는건데 n이 자연수이기때문에 n이 무한대로 가더라도 함수값이 항상 0으로 나올것같습니다.. 혹시 n이 자연수가 아닌가요? 고등학교 수준의 구분구적법까지 밖에 못배워서 여쭤봅니다..
0부터 루트2/2까지 적분하고 루트2/2에서 1까지 적분한걸 더하면 1이 되니 두값이 달라서 이상하겠죠?
리만적분에서는 x=k/n에서의 함수값대신 작은 인터벌 사이의 어떤 x에 대해 그 함수값을 사용해도 됩니다
@@12math 와 답글달아주실줄 몰랐어요 진짜 감사합니다 !!!
우주 입자의 개수 비유하신걸보면 집합이 무한대인건 현실에서 확률로 사용하는 경우가 없을것 같은데요. 그런데 이렇게 실생활에 쓰이지 못하는 수학이론이 예상치 못한 분야에서 쓰이는 사례도 종종 있잖아요. 지금 이 영상의 이론도 과학에서 쓰이는 예시가 있을까요?
우리 주변 혹은 우주의 도처에 퍼진 사물들의 길이 등을 아주 정밀하게 측정했을 때 대부분 5.29984...처럼 무리수가 나오는 것도 이런 원리로 설명할 수 있을까요?
헉 그럼 유리수인 측정값은 자연에 아예 없다고 봐도 되는 건가? 확률이 0이니까..
정말 수학에 대한 개념을 쉽게 말씀해주시네요. 수학이 재밌게 느껴집니다.
근데 테블렛에서 쓰는건지 아니면 마우스로 쓰시는건지 궁금하네용
초월수의 수는 무리수보다도 더 많은 것으로 알고있는데
[0,1] 구간에 초월수 길이까지 합치면 길이는 1이 넘게되나요?
[0, 1] 에서 랜덤하게 한 수를 어떻게 뽑나요? 애초에 "랜덤하게 뽑는다"라는 게 무엇인가요? 만약 임의의 실수를 균등한 확률로 뽑는다고 한다면 그 방법은 존재하지 않는 것 같습니다. p(x)를 x가 뽑힐 확률이라고 하면 모든 실수에 대해 p(x)의 값이 같아야 하나 그렇게 되면 모순이 되죠 (무한 * p(x) = 1이 되는 p(x)가 존재하지 않음)
애초에 p(x) 자체가 극한값을 갖기 때문입니다. 엄밀히 말하면 p(x)=0이 아니라 lim(n이 무한)p(x)=0 [p(x)는 무한으로 발산하는 n을 분모로 갖고 0보다 큰 값을 분자로 갖는 함수] 이기 때문에 엄밀히 따지면 우극한으로 0으로 수렴하는 것입니다. 단순히 무한대곱하기0=1이니 모순이다라는 이해는 극한값이라는 부분을 간과하여 벌어진 일이군요.
@@user-bv5nc3sn7r 실수에서 값을 뽑아야하는데 말씀하신 n이라는 건 뭔가요? 예를들어 "자연수집합에서 임의로 뽑은 두 수가 서로소일 확률" 같은 문제는 "lim (n->무한) 1부터 n까지 중 두 개를 뽑았을 때 서로소일 확률" 이런식으로 생각할 수 있다고 해도 [0,1]에서 두 수를 뽑는다면 말씀하신 극한이 어떻게 되는거죠..?
임의의 임의란 말이 균등한 확률로 뽑는다는건가요 아니면 치우쳐진 방법으로 뽑는건가요? 확률분포함수가 어떻게 되어야 가능한가요?
@@allrandomuser
제가 한 가지 착각을 하였군요 일단 분모가 발산하는 형태는 아닙니다. 정정하겠습니다.
확률밀도함수의 y값은 직접 확률을 의미하지 않습니다. 아시겠지만... 범위를 지정하여 적분하면 그 구간의 확률이 나오는 함수입니다. 일단 이 부분을 숙지하시고...
확률밀도함수 f(x)=1 입니다. 0부터 1사이에서 무작위 추출을 하기 때문입니다. 0부터 n사이에서 무작위 추출을 한다면 f(x)=1/n이 될 것입니다.
님이 지칭하신 해당값을 넣으면 그 지점의 확률이 나오는 함수는 먼저 구간으로 정의되어야 합니다.
인테그랄(M m)[M이 위이고 m이 밑이며 M은 m보다 큰 값이다.]f(x)dx=F(M)-F(m)=M-m
그럼 한 점에서의 확률을 나타내는 p(x)=lim(h는 우극한0으로 수렴인데 M이 m보다 크기 때문)F(x+h)-F(x)=x+h-x=h
즉 p(x)값 자체가 x에 상관없이 우극한 +0을 갖습니다.
그리고 해당구간 전체의 확률은 p(x)값을 이용하지 않습니다. 확률밀도함수를 0부터 1로 잡고 적분해야 구해지므로 결국 전체 구간 넓이는 1이 나옵니다.
@@user-bv5nc3sn7r 즉 [0,1]에서 수를 뽑는게 연속확률분포라고 얘기하시는거죠? 좋습니다 동의합니다. 하지만 그렇다면 본문에서 얘기한 "수를 뽑았을 때 유리수일 확률이 0이지만 유리수가 나올 수도 있으므로 불가능하진 않다"라는 말에 오류가 있다고 생각합니다. 연속확률분포는 반드시 연속된 구간으로만 확률변수를 제대로 정의할 수 있으며 값의 성질에 관한 얘기, 즉 "유리수가 나올 확률", "0이 나올 확률" 같은 말이 아예 고려할 수 없는 얘기라고 생각합니다. 영상은 이산확률분포와 연속확률분포를 엄밀하게 정의하지 않고 쓰고 있고, "확률이 0이다와 불가능하다는 다르다" 라는 부분에 동의할 수 없습니다.
@@allrandomuser
네 그렇게 생각하실 수 있습니다. 저도 0%이면서 발생가능하다고 규정하는 부분에 문제가 있다고 생각하는데 수학자들이 정의한 선택공리(무작위 시행을 포함한 모집단에서 표본을 뽑는 행위에 대한 인정 자체)를 채택하면 시행의 종류에 관계없이 모집단에서 추출가능한 모든 근원사건(하나의 값을 갖는 집합)도 발생가능으로 정의해버립니다. 이 부분에 대해서 저도 깊이 생각해보았는데 궁금하시면 님 댓글 바로 밑에 저의 댓글을 읽어보셔도 좋을 것 같습니다.
리니지 아이템뜰 확률인데 11프로인데 나올수도 안나올수도 25프로인데 안나올수도 안나올수도 있는 확률 가진 한국게임 가차확률인가여?
수학을 잘 몰라도 알기 쉽게 설명을 잘해주시니 너무 재밌고 흥미롭네요 ㅎㅎ
0부터 1까지의 실수 중에 임의로 수 하나를 뽑으면 확률이 0인 사건이 일어나게 되므로 임의로 수를 뽑을 수 없다고 해버릴 수는 없나요
선택공리를 받아들일것인가.. 하는 철학의 문제네요
충분히 오해할 수 있는 부분인데 임의로 하나의 수를 뽑는다고 확률이 0인 사건이 일어나는건 아닙니다. 애초에 특정된 값을 뽑은 것이 아니니까요... 다트게임에 비유하자면 임의로 뽑은 하나의 수는 처음으로 던진 다트인 것이고 특정값을 찝어야하는 부분은 이미 던진 다트 위에 또 다른 다트를 꽂는 문제가 되는 것입니다. 수를 뽑는 것 자체가 불가능한 것이 아니고 특정된 값을 연속선상에서 뽑는 것이 불가능 한 것입니다. 자세한 내용은 제가 댓글 달아놓은게 있으니 읽어보셔도 좋을 것 같습니다. ㅎㅎ
탄복합니다.
집합론(맨 뒤 제외) 강의 잘 들었습니다. 정말 쉽네요.
4분쯤부터... e + e/2 + e/4 +.... 이렇게 무한등비급수가 된다고 그랬는데 0은 이렇게 나눌수없지않나요? 2e라는 결론이 나오는게 맞는건가요..?
엡실론은 0은 아니예요
무한의 개념이 들어가니 이 궤변으로 보이는 말이 사실이 되는게 수학의 세계네요.
동일하진 않지만 저같은 초보자에게는 약간은 lim _{x -> inf} {{x} / {2^x}} = 0 의 개념과 비슷하게 이해하고 시작하게 되네요.
점을 최소한의 크기로 덮는다는 상상 자체가 잘못된거 같은데 무엇으로 덮든 간에 그건 모순이 될 것입니다 무조건 누구든 그보다 작은 크기의 것을 말할수 있으니까 수학은 논리의 학문인것 같지만 완벽해보이지 않네요 저에게는
언제나 느끼는 거지만, 정말 놀랍습니다.
마법을 보는 것 같아요....
감사해요~
0도 선택지중에 하나이므로 발생한다는건가요..???
수학어렵네요.
개쩌네요 설명 ㅋㅋㅋㅋ 통계학 배울때 한 점의 확률은 0이라고 그냥 넘어갔었는디 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 이해 되는 느낌이네요!
근데 길이라는 관점으로 봤을때 한선분에서 숫자하나의 랜덤추출이 아닌 점하나의 랜덤 추출이라면 그게 유리수가 나올확률은 0이 맞을듯요 실제 점이라는게 명확한 위치값을 가지고있지 못하기때문에 그게 유리수일 경우의수도 0일듯
측도이야기를 수학언어 없이 일반인에게 풀어서 설명을 시도하시다니 대단합니다. 👍
이해가 안돼요 ㅠㅠㅠㅠ
일단 점에 길이는 없는거 아닌가? 그리고 0이란 수는 “없다” “존재하지 않음”을 의미하는데 무슨 말인지 이해가 안되요. 또한 100%란 “반듯이 일어난다“ ”완전함“ 인데
무한에서는 우리의 직관과 다른 일들이 벌어지기 때문에 생기는 일인것같네요 ㅎㅎ 재밌게 들었습니다
직관적 해석 자체에서 오류를 범한 부분이 있습니다. 자세한 내용은 제가 댓글단 부분에 언급해두었으니 한번 읽어보셔도 좋을 것 같아요 ㅎㅎ
확률 100퍼 강화도 실패할 수 있으며, 확률 0퍼 랜덤박스도 뜰 수 있으니 문제가 없다
단순히 확률을 숫자가 아닌 문자를 쓴다 했을때 n이 무한대로 갈때 1/n은 극한값이 0으로 확률이 0이겠지만 실제로 발생하는 경우의 수가 1이 존재하는 상황이고 반대로 n/(n+1)은 극한값이 1로 확률이 1이겠지만 1/(n+1)이라는 경우의 수가 존재하기때문 뭐 이런거 아닐까요
Length = Distance = Abs( (a-b)^2 ) 원소가 하나면, Abs( (a-a)^2 ) = Abs( (0)^2 ) = 0
선생님 혹시 직업적인 학자로서는 잠시 쉬시는 건가요. 대학같은 곳에서 교수님으로 만나뵐 수 있으면 정말 좋을 것 같으신 분인데..
유튜브로 만나면 되죠 ㅎ
가챠시스템만들때 총 확률의 합이 100%로 만들어도 아이템 안나와서 시스템터질때 많음ㅠ 그래서 예외처리로 아무것도 안나오면 특정아이템 주게 짜버림...
Null값은 0이 있다는 거고, void는 메모리에 아예 없다는 고런 느낌이랄까 재밌네요ㅎㅎ
마이크가 엄청 좋아지셨네요
바꾸신 보람이 있네요
마이크 좋아진거 진짜루 좋아용!!
정말 흥미로운 논점이었습니다. 이에 대해 하루 정도 깊이있게 고민을 해보며 즐거움을 느꼈습니다. 그리고 제가 내린 결론을 한번 들어봐주실 수 있을까요? 이 문제의 핵심은 연속선상에서 임의로 한 점을 찝을 때 정확한 어느 한 점을 찝는게 가능하냐 이 문제잖아요... 수학적으로 확률이 0으로 표현되는건 당연한건데 이게 실제 하는 값을 찝는 건데도 정말 불가능한게 맞냐 이런 논점인데 제가 내린 결론은 일단 불가능하다고 보는게 맞다 입니다. 여기에 유리수 집합을 가져오는건 그럴싸하게 보이는 것 뿐이라는 생각이 드네요. 그 갯수가 무한하든 그렇지 않든 어차피 같은 부분이 반복되는것 뿐이니 선상에 있는 모든 유리수들은 결국 연속선상에 있는 고독한 섬들일 뿐입니다. 고독한 섬들이 무한히 많은 것 뿐이죠... 임의의 실수를 뽑는게 가능하다는 전제가 확실하게 보장된다면 말이죠... 그럼 이걸 컴퓨터 돌려보고 해서 실제로 해봐? 이런 생각 하시는 분들도 있을 수 있는데 애초에 현실에서 임의의 실수를 뽑는다는 전제 자체를 실현시킬 방법이 없죠... 아무리 훌륭한 컴퓨터여도 소수점을 무한히 표시할 수는 없습니다. 7번에서 제시하신 논점도 6번의 논점을 뒤집은 것 뿐이기 때문에 무조건 성립한다라고 보는게 맞는 말이 되겠구요... (수학적으로 100%로 표현되는건 당연한거고) 그래서 재밌는 사실도 하나 알게 되었습니다. 임의의 실수를 뽑으면 반드시 무리수가 나온다. 이 말이 성립할 수 있다는게 되는거니까 너무 흥미롭습니다. 다만 앞에서 언급했듯이 임의의 실수를 뽑는다는 전제가 반드시 보장받아야 하고 이는 현실에서 구현할 수 없다. 이렇게 볼수 있겠죠..ㅎㅎㅎ 임의의 실수를 뽑는다는건 어떤 의미일까요... 88756.153543545231578915357531357... 이런 식으로 수소점을 무한히 찍고 내려가는 수일거라고 생각됩니다. 애초에 특정해서 표현하는 것 자체가 불가능 할 수 있죠... 소수점 밑으로 내려가는 것에 규칙도 없으니 루트2이니 파이이니 자연상수이니 하는 의미성을 띄는 값과는 거리가 멀 수도 있습니다. 그럼 무작위로 뽑은 실수에서 유리수가 나온다는건 무슨 의미 일까요... 88756.1535435452315789153575313570000000000000000000000... 이런식으로 뒤에나오는 모든 숫자가 반드시 0이 나와야한다는 전제가 성립되는 수가 유리수입니다.(그게 아니면 같은 패턴이 반복되는 순환을 갖거나) 근데 무작위로 추출한 실수에서는 무한히 뻣는 소수점의 밑에 자리가 다 무작위로 배정되야 임의의 실수라 할 수 있는 것인데 특정 지점 이후부터 반드시 0만 나와야한다?(혹은 일정한 패턴을 반복하거나) 이건 무작위 실수라고 볼 수 없는 겁니다. 그래서 무작위로 뽑은 실수는 반드시 무리수가 될 수밖에 없고 연속선 상위에 실제하는 값을 정확히 찝는 것은 불가능하며 확률로서 0%를 갖는 것입니다. 즉 확률이 0%이면 불가능한 것이 맞고(실제로도 절대 발생하지 않음!) 확률이 100%이면 반드시 일어날 수밖에(실제로도 예외없이 반드시 발생함!) 없는 것입니다.
제법 그럴싸해 보이는 논점이어서 하마터면 수학적으로 표현된 확률 기술이 엉터리인 것처럼 생각 될 수 있는 오해가 충분히 생길 수 있었지만 그 내용을 깊이 이해해보면 역시 수학은 직관과 틀리지 않다는 사실을 다시금 알게 되었습니다. 직관이 수학과 틀리다면 그것은 이해를 잘 못 한 것이라고 보는게 맞지 않을까요...
수직선상에 분명히 있는 값인데도 불구하고 연속선상위에서 무작위로 한점을 뽑아서는 그 값이 절대 나올 수 없다는 부분이 직관적으로 와 닿지 않으면서 발생하는 착각인것 같은데 아마 연속선상에서 무작위로 한점을 뽑는다는 전제에 대해 제대로 이해하지 못하고 넘어가면서 그런 사고의 오류가 생기는게 아닌가 싶습니다.
아무튼 너무 재밌는 논점이었습니다.
오..
@@user-db3rd3gr4c 확률이 0이면 발생 불가능한게 맞습니다. 저는 그 얘기를 한 것이고 제 글을 끝까지 읽어보시고 그 내용을 제대로 이해하셨다면 연역논증이 필요 없이 논리로 이해가 가능한 부분이라 생각됩니다.
@@user-db3rd3gr4c애초에 공리를 의심하는 질문이었습니다. 0%인데 발생가능하냐는 질문은 공리를 건드린 것입니다. 1+1=2인 것을 연역논증하실 수 있습니까?
@@user-db3rd3gr4c 모든 소수점자리가 같은 수는 무작위 실수가 아닙니다. 소수점자리가 무한히 뻗어나가는데 그 모든 수가 무작위이기 때문입니다. 이 이상은 증명이 필요없는 공리입니다. 왜 그런지는 스스로 생각해보시고
1+1=2에 대한 증명 부탁드립니다.
@@user-db3rd3gr4c수학은 보편적인 진리입니다. 전제는 제가 상정한것이 아니고 저는 보편적 진리를 얘기한 것입니다.
유리수를 뽑을 확률이 길이는 0이기 때문에 뽑을수없는건가요?
그리고 0~1사이 무리수길이가 왜 1인지도 이해가안가요 ㅜㅜ
임의추출을 했기 때문입니다. 연속선에서 임의추출을 하면 값이 특정되지 않습니다. 823740.2383740... 이런식으로 불규칙적으로 소수점아래로 무작위 값이 무한히 연속해서 나타나는 형식이 되기 때문에 극한값으로 가면 결국 유리수 값을 가지지 못하고 반드시 무리수가 나올 수 밖에 없습니다.
이해가 안되는 부분은 한점의 길이가 0보다 크고 가장 작은 양수니까 0은 아니라는 소리 아닌가요
십의 백승분의 일도 한없이 0에 가까운건 맞지만 0보다는 큰수구요
그리고 무리수도 1-유리수일 확율이니까 1에 한없이 근접하지만 1보단 작은수 아닌가요?
목소리가 감미로워지셨네요
한국인 : 안 매워요 (적게 매워요?)
외국인 : 안 매워요 (매운게 없어요?)
이걸로 대입해보면 딱 이해감
똑소리나네요 굿
불가능은 수학적으로 어떻게 정의하나요? 콜라를 탄 물에서 오렌지 주스 맛이 날 가능성
5번 질문의 답을 4번과 마찬가지로 할 수는 없을 것 같습니다. 해당 풀이(어떤 양수 길이의 테이프로 덮는 것)가 전제하는 것은 각각의 테이프 간에 겹치는 구간이 없다는 것인데, 5번 문제의 경우 어떤 작은 양수 입실론을 초기값으로 설정하든지 간에 그 테이프의 구간 내로 들어오는 유리수가 무조건 존재하기 때문이죠. 그래서 5번 문제의 경우 다른 방식으로 해결해야 할 것 같습니다.
테이프는 겹쳐도 괜찮습니다. 길이의 상한으로써 의미가 있으니까요.
@@12math
겹친다는게 잘못된 가정같습니다
겹친다는건 점보다 긴 테이프라는 것이죠.
설명하자면
0과 1사이의 다른 수의 점끼리는 겹치지 않는다.
하지만 테이프끼리는 겹쳐도 된다
테이프의 길이는 점보다 길다 가 되고
점보다는 긴 테이프고 가정하는 순간 가정하는 순간
0< 어떠한 수
@@user-de1xr2pj1e아니죠 임의의 엠실론으로 잡고 가산집합의 미져가 테이프값(2엡실론)보다 작으니까 0이죠.
근데인제 비가산중에도 미져0인건 이해가안가네 후
지금은 수학공부 안하니까 재밌게 보는것 같네요 🤣
그렇다면 어떤 사건의 확률이 0%일 때 사건이 발생할 수 없도록 설계하려면,
어떻게 정의 해야할까요? ㅎㅎ
open cover, measure theory 쉽게 설명하시네요~
역시 수학은 문제를 풀지않고 개념만 넣으면 참재미있는 학문같아요 문과가 보기에도 재미있네
개념 활용해서 풀면 문제풀이도 재밌어요
암기풀기가 노잼인거지
이게 우리 일상생활속의 확률과는 좀 다르게 실수와 유리수같은 무한의 개념으로 가면 확률은 0이지만 발생할 가능성이 있다는건가요?
비슷합니다. 발생가능성이 있다기 보다는 확률 0인 사건이 공집합이 아닐 수 있다. 정도의 표현일 것 같네요
@@12math 공집합이 아닐 수 있다가 정확한 표현이겠네요. 발생할 수도 있다는 말은 명백히 틀린 말입니다.
점을 길이라고 하지 않는다, 두개의 다른점사이의 거리를 길이라고 정의한다, 문제가 틀렸음,
한 수를 뽑았을 때 유리수일 확률을 (유리수 길이)/(전체 공간 길이)로 구했기 때문에 0이 나온 것이라 생각합니다. 일단 유리수를 뽑을 확률이 0이 아니기 때문에, (유리수 길이)/(전체 공간 길이)로 구한 것이 잘못된 방법이라는 것이 맞을 것 같고요.
좋은 의도로 접근하셨고 흥미로운 주제이기는 하지만, 무한소의 개념과 숫자 0이 다르다라고 접근하시는 것이 수학적으로 정확한 내용이 아닐까요?
확률 100%도 마찬가지로 확률이 1인데, 극한의 관점에서 1-0이 1을 의미하지는 않잖아요.
1의 좌극한 값이 1이라고 할때 그 1은 정확히 1입니다. 극한은 가까워지는 그 값 자체를 지칭하는 표현입니다. 유리수를 뽑을 확률은 정의에 따르면 0이 맞습니다. 길이(measure) 를 어떻게 정의할지에 대한 고민의 배경과 실제 measure theory에서 어떻게 정의하고 확률론이 정립이 되는 지를 설명한 것입니다.
@@12math 제가 말한 극한의 관점이 극한값을 의미한 것은 아닙니다. 다시 엄밀히 말해 1-(무한소) 라는 표현이 더 정확하겠네요.
댓글 주신 내용으로 제가 이해하기로는 measure thoery 안에서 확률을 잘 정의했다는 말씀이신거죠?? 그러니까 measure thoery로 바라 보았을 때, 확률이 0%지만 발생할 수 있는 상황이 생긴다는 것으로 이해하는 것이 맞나요?
영상을 보면 일반적인 확률론에서 0%지만 발생할 수 있다라는 오개념을 가질 수 있어 걱정이 됩니다.
유리수를 뽑을 확률은 0이 맞고 절대 불가능한것도 맞습니다. 자세한 내용은 제가 달아놓은 댓글 읽어보시면 좋을 것 같습니다. ㅎㅎ 0%지만 발생할 수 있다는 명백한 오개념이 맞구요... 0%이면 절대 발생하지 않는 것이 맞습니다.
진짜 볼 때마다 소름 돋아요
이산확률과 구분해야 하는 내용이네요 ㅎㅎ
간단하게 직관적으로 보면 이럴까요 ?
이 우주상에서 지구와 같은 행성이 있을 확률을 생각하면
0%라고 봐도 무방하겠지요
그러나 우주상에서 지구는 존재해요
0%지만 사실상 무한소 ÷ 1인거죠
반대로 이 우주상에서 지구와 같은 행성이
존재하지 않을 확률은 어느정도일까요 ?
거의 100%에 가까울겁니다
(1 - 무한소) ÷ 1이면 100%라 표기할 수 있을 것 같네요
확률이라함은 무의식적으로 이산확률로 생각하게 되는데
막상 해석학에서도 역시 확률적 내용이 들어간다는걸
실제 삶을 살다보면 망각하고 지내는 것 같네요 ㅎㅎㅎ
비유 자체에 문제가 있군요... 실제로 지구와 같은 행성이 천문학자들 사이에서 발견되고 있음에도 0%라고 한다니요... 님이 생각하신 지구와 같은 행성은 원자하나까지 똑같은 그런 것을 의미하는 건가요?
네네 그 말이에요
현재 지구처럼 문명도 있고 외계 탐사도 하고 그런 행성요
오 신기하당 ㅋㅋㅋㅋ
약간 찜찜하긴 하지만 말이 아주 안되는건 아니다... 수학이 그래도 되나.... 이게 너무 어렵네요. 어떤 부분은 좀 느슨해도 괜찮고 어떤 부분은 안 그렇고... 그냥 이해를 못해서 그런지 실제로 문제가 있는지 판단할 능력은 또 없고..
3:15
쉽게말해 almost surely 0인것 뿐이지 사건은 존재할 수 있음. 가령, 동전을 무한번 던져서 모두 앞이 나올 확률은 0이지만 그런 사건은 존재함.
와 길이... 생각지도 못한 개념으로 확률 잘 이해하고 갑니다!
잘 배우고 갑니다 꾸벅
예비고1인데 아무생각없이 보는데 재밌어요!
공돌이들 실무적으로 쓰는 dirac delta function이 필요한 시간입니다.
ㅎㅎㅎ
대학 다닐 때 이렇게 수업하는 교수님 있었으면 진짜 흥미롭게 들으면서 좋았을 거 같아요. 이 분 뭐하시는 분인가요?
카이스트 수학과 최우등 졸업, 프린스턴대에서 대학원 졸업..