Schaut doch gerne mal in meinem Mini-Shop vorbei. ➤ www.mathematrick.de/shop :) _____________________________________ Meine Wunschliste: mathematrick.de/wunschzettel
Hey, das ist mein 1.Kommentar. Habe schon mehr als 100 Videos von dir gesehen. Aber dieses ist dein Krönungsvideo. Schwieriges Thema unfassbar einfach erklärt. Als Hobbymathematiker (62 Jahre alt) knie ich mich hin und zieh meinen Hut. Danke für deine großartige Arbeit. Ist nicht zu toppen. LG, Klaus
Liebe Susanne, vielen Dank für die Aufgabe. Ich meine mit den Mathe-Aufgaben von Abitur-Niveau (10., 11. und 12. Jahrgang Gymnasium) und Uni-Mathe 1. und 2. Semester kannst du mehr als 95% deiner Abonnenten zufriedenstellen. Als unterhaltsamen Gag kannst du vielleicht 2-3 mal im Monat Algebra/Geometrie-Aufgaben von der 9.Klasse bringen und vielleicht mal "höhere" Mathematik mit komplexen Zahlen und Fourier- und Laplace-Transformation (3-4 mal im Monat) oder auch Statistik inklusiven ausführlichen Erklärungen, für Leute wie mich, die Uni-Mathe etwas vergessen haben. Dann wirst du die beliebteste Mathe-RUclipsrin in deutschsprachigen Raum und darüber hinaus. Gerade bei Studiengängen in technischen Bereichen von 2. bis 4. Semester wird Mathematik häufig nicht ausführlich und verständlich genug unterrichtet.
Da gibt's nix zu meckern 😉, also Daumen hoch 👍 und danke für die interessante Aufgabe! Ein kleiner Hinweis: Ja, die streng steigende Monotonie ist hinreichend für den Nachweis, dass es nicht mehr als eine Nullstelle im Intervall gibt, notwendig ist das jedoch nicht. Eine Funktion _muss_ also dafür nicht streng monoton steigend sein (wie Susanne bei etwa 9:10 sagt). Zur Erläuterung: Wenn das Intervall statt von 0 bis π/2 von 0 bis 2 reichen würde, dann gäb's auch nur eine Nullstelle, aber die Funktion wäre in diesem Intervall nicht mehr monoton steigend. Macht aber nix, trotzdem sehr schöne Aufgabe mit excellenter Erklärung des Lösungsweges! 🙂👻
Man. Uni Mathe war ja schon cool. Hab ich damals leider nicht so genossen... Na ja. Nächstes Jahr darf ich zum 137 Mal den Pythagoras erklären... Auch gut👍
Hallo Susanne, lieben Dank für die Erklärung! So hätte ich das damals im Mathe-LK erklärt haben sollen, dann wären in Mathe am Ende der 13. sicher mehr als 8 Punkte gestanden. LG auch an Thomas und Sabine aus dem Schwabenland.
Das ist dann schon ein bißchen mehr Mathe! Thumbs up! Ich versteh den Beweis aber die Ableitung von -e (obwohl in diesem Fall einfach) hätt ich nicht so hinbekommen!
e^x ableiten ist ja einfache kettenregel. -e^x ist -1*e^x, der vorfaktor ist nicht relevant und wird übernommen, e^x abgeleitet ist immer noch das gleiche. -e^-x ist dementsprechend dann e^-x. Das gilt halt bei e funktionen immer, nicht irritieren lassen. Klar die Potenz ableiten kann dann mal etwas ekliger werden oder wenn man n x*e^x hat, dann hat man was zu tun. Aber e funktion an sich ist immer harmlos.
Zu f(pi/2) >1 : Wenn man das nicht weiß, kann man auch über eine Ungleichung zeigen, dass 1 - e^(-pi/2) > 0 sein muss. Ansonsten: Schöne Standardaufgabe. Mich würde noch interessieren: Woher hast du die Aufgabe? Also ich würde tippen, dass es eine Aufgabe für Wiwis oder so war. Belehre mich gerne eines Besseren :)
Hilfe..nachdem Ich mir 5 Sekunden lang die Formel angeschaut habe, war für mich klar, dass es eine Mischung aus alt ägyptischem Hieroglyphen und summarischer Keilschrift ist.
Ich bin immer wieder von meinem Hirn begeistert! 🙂 Ich bin 62 Jahre alt, hab "nur" 2 Semester an der FH Esslingen studiert und bin dann an Mathe gescheitert. Meine Übungsaufgaben konnte mein Kumpel von der Uni nicht lösen. Und heute sehe ich ein Video, bei dem ich der Erklärung einfach so folgen konnte und es plötzlich wieder wusste, was man machen muss. Danke für diese kurze Lehrstunde! Ein Schwank aus der Mathevorlesung: An der Tafel steht: 1/ sinh und der Proff meint: Bitte leiten Sie diesen Ausdruck ab. Schweigen im Hörsaal. Proff: Geübte Mathematiker sehen sofort, dass man hier mit e hoch x minus e hoch minus x erweitern muss! Lautes Gelächter im Hörsaal und der Proff war sauer.... 🙂
Das muss man dann anders beweisen: In diesem speziellen Fall zeigt der Zwischenwertsatz nicht direkt die Existenz einer Nullstelle. Das bedeutet jedoch nicht, dass die Funktion keine Nullstelle hat, sondern nur, dass der Zwischenwertsatz in dieser speziellen Konstellation nicht verwendet werden kann, um das zu beweisen. Tatsächlich hat f(x)=x² eine Nullstelle bei x=0, aber der Nachweis dafür würde auf direktem Weg erfolgen. Bei komplizierten Funktionen, wo auch der direkte Weg nicht funktioniert: 1) Zwischenwertsatz in Kombination mit anderen Sätzen: kleinere Intervalle, Ableitungen, etc. 2) Numerische Methoden: Newton-Verfahren, das Sekantenverfahren oder die Regula falsi 3) spezielle Theoreme wie der Satz von Rolle oder der Satz über das Maximum und Minimum
@@bens.8943 In diesem Fall ist der ZWS nicht anwendbar, da weder f(a) < f(b) noch f(a) > f(b) gilt und somit eine der Vorraussetzunge nicht erfüllt wird.
@@vorrek1551 sehe ich auch so, aber nimm -3 bis 4. Dann wäre das schon so. Der Kommentar eins drüber erklärt das schon, klingt für mich halt a bisserl wie "wenn das eine nicht klappt" nimmt man halt was anderes zum Beweis. Ich weiß schon, warum ich im Studium Beweise immer gehaßt habe. Geht doch nichts über eine ordentliche Kurvendiskussion. Habt einen schönen Tag.
Ich bedanke mich ebenfalls für diese Frage aus dem Bereich Analysis-I 🙏👌 wir haben gezeigt, dass die Funktion stetig und streng monoton ist, was ein Beweise wäre, dass sie eine Nullstelle hat, ohne diese Nullstelle finden zu müssen.
Okay. a. Die Funktion ist im fraglichen Intervall monoton steigend und sowieso stetig. b. f(0)=sin(0)-e⁰=-1 c. f(π/2)>0. Also gibt es genau eine Nullstelle. Es ist jetzt nur eine Skizze. Jetzt schaue ich, ob ich etwas Wichtiges übersehen habe. Schulmathematik kann ich gut, aber aus der Uni bin ich lange draußen.
1. Susanne: "Der Kosinus ist auf dem Intervall nicht echt größer als 0, aber immerhin größer oder gleich 0, also gibt das schon mal was Positives." - finde den Fehler! 😏 2. Den Zwischenwertsatz habe ich ein wenig anders gelernt: Die Funktion muss nicht auf einem abgeschlossenen Intervall definiert sein, sondern nur reellwertig und stetig. Dann gilt für zwei beliebige Elemente a und b der Definitionsmenge, dass sie zwischen a und b jeden Wert zwischen f(a) und f(b) mindestens einmal annimmt. 3. Die Ableitung zu bilden war hier gar nicht nötig: sin(x) geht zwischen 0 und π/2 von 0 nach 1 (am Einheitskreis oder an der Sinuskurve ablesbar), ist also monoton steigend. Und exp(x) ist immer und überall streng monoton steigend, also ist exp(-x) = 1/exp(x) immer und überall streng monoton fallend. Entsprechend ist -exp(-x) = -1/exp(x) wieder immer und überall streng monoton steigend. Die Summe aus einer monton steigenden und einer streng monoton steigenden Funktion ist natürlich streng monoton steigend.
Klar, der Zwischenwertsatz... leider bis jetzt nie davon gehört oder vergessen. *Frage:* Kennt jemand eine Art Mathe-Lexikon wo solche Sätze mehr oder weniger nur aufgelistet und kurz beschrieben sind? Dann könnte man darin rumschmökern und sich bei Bedarf diejenigen näher ansehen, die einem interessant vorkommen.
@@roland3et Das war mir schon bewusst, dass es ein Scherz war und Euklid wohl keinen Zwischenwertsatz beschrieben hat. Trotzdem interessant, dass die "Elemente" noch verfügbar sind, sozusagen mit "Übersetzung" in eine heute verständlichere mathematische Sprache. Ich dachte halt an eine Art mathematische Enzyklopädie, alphabetisch geordnet oder so. Als Student (Geisteswissenschaften) hat mir die Duden-Enzyklopädie sehr geholfen. Habe gerne darin rumgeblättert und irgendwas Interessantes findet sich ja immer. Dann hangelt man sich von einen Begriff zum nächsten durch, der damit in Verbindung steht, und so kommt man schnell zu einem brauchbaren, wenn auch nur groben Überblick über so gut wie jedes Fachgebiet. Sowas nur für mathematische Sätze wäre doch super.
@@donp.909 Ich erinnere mich, dass wir damals als Studenten (lange vor Internet und Wikipedia) als Nachschlagewerk für Mathe "den Bronstein" benutzt haben. Das war so eine Art universelle Mathe Formelsammlung mit knappen, aber mathematisch fundierten Erläuterungen. Vielleicht gibt's da ja auch noch aktuelle Auflagen? 🙂👻 P. S. Bronstein war der Name des Autors.
Die streng monotone Steigung ist aber doch bereits eine hinreichende Bedingung dafür, dass es nur eine einzige Nullstelle gibt. Wie würde denn der allgemeine Beweis für nicht streng monotone Funktionen aussehen?
Es gibt keine Standardmethode für beliebige Funktionen. Man kann versuchen, den Funktionsverlauf zu analysieren, Extrempunkte berechnen, falls möglich, auf dieses Basis Monotoniebereiche ermitteln und die richtigen Schlüsse ziehen.
Ich sage nur: 1 + 2 = 12 🤣 Aber mal ernsthaft: für was braucht man solche Berechnungen.? Ist das nur mathematische Theorie.? Oder hat das ganze im wirklichen Leben auch eine praktische Anwendung.?
@@LONG-SHAN In manchen Berufen kann es wichtig sein zu wissen, ob keine, genau eine oder sogar mehrere Nullstellen einer Funktion existieren. Es müssen auch nicht unbedingt Nullstellen sein, denke eine additive Konstanten hinzu. Spontan fallen mir als Anwendung z.B. Optimierungsprobleme ein.
@@popogast OK.. aber wie heißen die Berufe..??.. Hat das eventuell etwas mit Verkehrsplanung zu tun.? Oder vielleicht mit Satellitenberechnung.? Ich habe noch nie in meinem Leben so eine Aufgabe gehört. Ich wusste überhaupt nicht, dass es so etwas gibt.
Nein, dass das Intervall abgeschlossen ist und die Funktion reellwertig ist muss auch gezeigt werden. Warum genau weiß ich selbst noch nicht aber wegen sowas freue ich mich schon auf mein Studium:) Ich denke es hängt mit den Eigenschaften von Komplexen Zahlen zusammen (deswegen soll die Funktion reellwertig sein) und mit den Eigenschaften der Unendlichkeit (deswegen abgeschlossen).
Die Frage ist etwas heikel, weil wenn neben der Stetigkeit noch weitere Voraussetzungen erfüllt sein müssen, was kann dann mit der Formulierung "ALLEIN durch Stetigkeit" gemeint sein? 🤔 Man kann Folgendes sagen: Der Zwischenwertsatz ist ein Spezialfall eines allgemeineren Sachverhalts. Dieser besagt (sehr knapp formuliert), dass eine stetige Funktion eine bestimmte topologische Eigenschaft des Definitionsbereichs auf die Bildmenge überträgt. Die hier erwünschte Eigenschaft betrifft Mengen und sie nennt sich "Zusammenhang". Eine Menge mit dieser Eigenschaft ist also eine "zusammenhängende Menge". Es ist einer der Sätze im Mathe-Studium, der sich besonders gut einprägt, weil er so "griffig" ist! Man sagt: "Das stetige Bild einer zusammenhängenden Menge ist eine zusammenhängende Menge." Die mathematische Definition von Zusammenhang führt jetzt zu weit, aber es genügt die intuitive Vorstellung davon, um zu verstehen, was damit gemeint ist und besonders einfach ist das in R: [a,b] ist eine zshgd. Menge, ]a,b[ ebenfalls. ]0,1]∪{2}∪[3,4] ist nicht zshgd., besteht aber aus 3 "Zusammenhangskomponenten". Die Bildmenge f([a,b]) einer stetigen Funktion f:[a,b]->R ist nach dem Satz also eine zshgd. Menge in R und enthält somit (mindestens) das Intervall [f(a),f(b)] (bzw. [f(b),f(a)] falls f(b)
@@maestro3887 Du hast recht damit, dass die Voraussetzungen verwendeter Sätze immer erfüllt sein müssen, die Frage war aber wohl etwas anders gemeint, nämlich dass WENN die Voraussetzungen gegeben sind, es nur noch die Stetigkeit ist, die sozusagen den "Trick" macht. Allerdings haben hier die Voraussetzungen einen gehörigen Anteil daran, dass der "Trick" überhaupt funktioniert... Um dein Verständnis zu verbessern, was hier passiert, nimm ein Blatt Papier, ein Lineal und einen Stift. Zeichne zunächst ein Koordinatensystem und lege dann das Lineal auf die y-Achse. Markiere zwei beliebige Punkte auf der y-Achse. Sie sollen die Werte f(a) und f(b) symbolisieren. Nun setzt du den Stift beim Punkt von f(a) an. Wir befinden uns in der Bildmenge und die liegt in R. Du darfst also nur entlang des Lineals zeichnen, musst irgendwann bei f(b) ankommen und darfst den Stift nicht absetzen (f ist ja stetig!). Kann sein, dass dich f vor und zurück schickt, aber irgendwann hast du (mindestens) die Verbindungsstrecke zwischen f(a) und f(b) auf der y-Achse gezeichnet! Nun das Gleiche in R²: Setze auf einem leeren Blatt Papier (das den R² darstellt) irgendwo zwei Punkte (die auch jetzt für f(a) und f(b) stehen) und lege das Lineal an sie an. Dieses würde wieder die Verbindungsstrecke der beiden Punkte markieren. Wenn du diesmal aber mit dem Stift bei f(a) startest, steht dir der gesamte R² zur Verfügung, um zu f(b) zu kommen, du bist nicht gezwungen, dich ans Lineal zu halten! Das Beispiel mit C ist auch zutreffend: Wähle f:[0,π]->C, α->cos(α)+i*sin(α). Dann ist f stetig, f(0)=1, f(π)=-1, "dazwischen" durchläuft f aber die obere Hälfte des Einheitskreises in der komplexen Zahlenebene, hat somit auch keine Nullstelle! Falsch liegst du mit deiner Verbindung zwischen Abgeschlossenheit und Unendlichkeit! Im allgemeinen Sprachgebrauch sagt man zwar z.B. "auf der nach oben offenen Richterskala", aber die mathematischen Begriffe dafür wären "beschränkt" bzw. "unbeschränkt". Es wird dich vielleicht überraschen, dass das Intervall [0,∞[ abgeschlossen ist? Daran siehst du, dass die Begriffe "offen" bzw. "abgeschlossen" eine andere Bedeutung haben, das sind topologische Grundbegriffe.
@@msecke9344 Danke für die sehr ausführliche Antwort! Ich brauche zwar keine Skizze um mir das vorzustellen aber ja, ich denke jetzt habe ich es verstanden. Ich habe mir das vorher so vor gestellt, dass eine Funktion generell so aussieht wie man es von den ganz rationalen oder exponentiellen Funktionen kennt, aber dabei hab ich vergessen, dass Funktionen eigentlich nur Abbildung zwischen zwei Mengen sind, die sich nur so verhalten, wie es die Abbildungsvorschrift vorschreibt. Dass die Funktion reellwerig sein soll leuchtet mir jetzt ein. Dass das Intervall abgeschlossen sein soll hingegen noch nicht. Dass das Inteervall [0[∞ offen ist wusste ich und es ergibt für mich auch Sinn, denn man kann immer eine Zahl finden die weiter rechts liegt und ∞ gibt es ja an sich nicht als Zahl (Und mit Topologie hab ich mich auch schon mal etwas beschäftigt). Was ich nicht verstehe ist, warum die Abgeschlossenheit eine notwendige Bedingung darstellt. Angenommen unsere reellwertige, kontinuierliche Funktion konvergiert für lim->∞ gegen f(x)=5. Wenn Punkt a jetzt bei x=0 und f(x)=0 liegt und Punkt b bei f(x)=5 liegt dann wäre das Intervall doch unendlich, also offen und trotzdem würde der Zwischenwertsatz gelten oder nicht? Jeder Punkt zwischen f(x)=0 und f(x)=5 würde einem X-Wert zugeordnet werden. Wahrscheinlich habe ich hier einen Denkfehler: Ich könnte mir vorstellen, dass es kein f(x)=5 gibt, wenn die Funktion gegen f(x)=5 konvergiert, aber falls das so ist, dann kann es doch gar kein offenes Intervall geben => die Voraussetzung es sei abgeschlossen würde hinfällig. Oder übersehe ich eine Möglichkeit für ein offenes Intervall bei dem der Zwischenwertsatz nicht gilt?
@@i12cu2 Dann meinen wir bestimmt das Gleiche 😚 Habe aber heute nach 0:30 abgebrochen,das Thema ist mir zu hoch, mir ist leider nie erklärt worden,wofür man das braucht 😞😭
😂🤣 Haha, ich habe es nicht einmal versucht, weil ich sofort gesehen habe, dass ich damit überhaupt nichts anfangen kann. Hab das Video nur geöffnet, um zu liken und zu kommentieren.
Wäre noch gut gewesen zu erwähnen, dass auch nicht streng-monotone Kurven nur eine Nullstelle haben können. Wenn nämlich der fallende Teil der Kurve entweder noch unter der x-Achse liegt, oder wenn der fallende Teil der Kurve zwar über der x-Achse liegt, aber nicht so stark fällt, dass er die x-Achse schneidet... In diesem Fall müsste man über die 1. Ableitung den Bereich der fallenden Kurve identifizieren, also den Bereich, wo die 1. Ableitung < 0 ist. Dann muss man den gesamten Prozess für diesen Bereich wiederholen und beweisen, dass es in diesem Bereich KEINE Nullstellen gibt.
@@julianheller2720 Das ist auch eine Möglichkeit, aber längst nicht die Einzige. Auch z.B. x³ Kurven, bei denen beide Sattelpunkte über oder unter der x-Achse liegen haben nur eine Nullstelle.
Man könnte die vorgestellte Vorgehensweise nutzen und das Intervall in der Mitte teilen und dann für beide Teil-Intervalle die Vorgehensweise wiederholen. In einem Intervall wird die Nullstelle liegen, in dem anderen wird man keine finden. Dann könnte man das Intervall mit der Nullstelle nehmen, erneut in der Mitte teilen und ... und ... und ... und wenn man das oft genug macht, wird man die Nullstelle bei irgendwo zwischen 0,5 und 0,6 finden. Wenn es genauer sein soll, dann einfach weitermachen.
Der Zwischenwertsatz macht nur eine Aussage über die Existenz von Zwischenwerten und ist keine Methode zur Berechnung. Danach ist in dieser Aufgabe auch nicht gefragt. In diesem Fall müsste man zur Berechnung wohl ein Näherungsverfahren verwenden, z.B. das Newton-Verfahren. Die Nullstelle liegt bei etwa 0.5885.
@@adrianlautenschlaeger8578 M.W. gibt es bei Polynomen noch bis zum 5. Grad die sog. "Radikallösungen" - also die Lösungen mit den verschachtelten Wurzeln. Darüber hinaus geht dann nur noch durch Näherungslösungen.
Nur noch mal für mein Verständnis: dass eine beliebige Zahl hoch 0 = 1 ergibt, ist mir klar. Aber was ist mit der 0 selbst? 0 hoch egal was ergibt bei mir 0.
Ich frage mich jedesmal, wer die Zielgruppe für die Videos ist. Einerseits wird hier eine Uni-Aufgabe gezeigt, andererseits wird ellenlang erklärt, dass sin(0)=0 und irgendwas hoch 0=1 ist und dass 1 minus irgendwas positives
04:20 Es gibt MINDESTENS eine Nullstelle. Sonst wäre der zweite Teil der Aufgabe nicht nötig. Das "mindestens" hätte ich bei dieser Problemlage im gesprochenen Text eingefügt - auch wenn es rein mathematisch betrachtet, nicht notwendig ist. Aber daran hält sich Mathema Susanne ja nicht immer.
Der Begriff "es gibt eine Nullstelle" bedeutet in der Mathematik immer "es gibt mindestens eine Nullstelle". Wenn man ausdrücken will, dass es nicht mehrere Nullstellen gibt, wird das durch "es gibt genau eine Nullstelle" formuliert.
Für viele - sogar die meisten - Funktionen gibt es kein analytisches Verfahren zur Berechnung einer Nullstelle - dazu gehört auch diese Aufgabe. Da sind Existenzsätze wichtig und solche Aufgabenstellungen haben ihre Berechtigung. Die Hauptaufgabe der Mathematik ist nicht die Lösung von Rechenaufgaben, auch wenn die Erfahrung in der Schule meist eine andere ist und wenn dies von Praktikern gerne belächelt wird.
![Cody Johnson - I'm Gonna Love You (with Carrie Underwood) [Official Music Video]](http://i.ytimg.com/vi/yy9PuYMU29g/mqdefault.jpg)
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Gerne mehr Videos auf Uni-Niveau :) in den letzten Monaten kamen ja eher Zahlenrätsel und elementare Geometrie 😉
Dann schau mal bei MathePeter rein.
Mehr Uni-Mathe Videos bitte
Dann schau mal bei mathepeter rein
Hey, das ist mein 1.Kommentar. Habe schon mehr als 100 Videos von dir gesehen. Aber dieses ist dein Krönungsvideo. Schwieriges Thema unfassbar einfach erklärt. Als Hobbymathematiker (62 Jahre alt) knie ich mich hin und zieh meinen Hut.
Danke für deine großartige Arbeit. Ist nicht zu toppen.
LG, Klaus
Liebe Susanne, vielen Dank für die Aufgabe. Ich meine mit den Mathe-Aufgaben von Abitur-Niveau (10., 11. und 12. Jahrgang Gymnasium) und Uni-Mathe 1. und 2. Semester kannst du mehr als 95% deiner Abonnenten zufriedenstellen. Als unterhaltsamen Gag kannst du vielleicht 2-3 mal im Monat Algebra/Geometrie-Aufgaben von der 9.Klasse bringen und vielleicht mal "höhere" Mathematik mit komplexen Zahlen und Fourier- und Laplace-Transformation (3-4 mal im Monat) oder auch Statistik inklusiven ausführlichen Erklärungen, für Leute wie mich, die Uni-Mathe etwas vergessen haben. Dann wirst du die beliebteste Mathe-RUclipsrin in deutschsprachigen Raum und darüber hinaus. Gerade bei Studiengängen in technischen Bereichen von 2. bis 4. Semester wird Mathematik häufig nicht ausführlich und verständlich genug unterrichtet.
Da gibt's nix zu meckern 😉, also Daumen hoch 👍 und danke für die interessante Aufgabe!
Ein kleiner Hinweis:
Ja, die streng steigende Monotonie ist hinreichend für den Nachweis, dass es nicht mehr als eine Nullstelle im Intervall gibt, notwendig ist das jedoch nicht. Eine Funktion _muss_ also dafür nicht streng monoton steigend sein (wie Susanne bei etwa 9:10 sagt).
Zur Erläuterung:
Wenn das Intervall statt von 0 bis π/2 von 0 bis 2 reichen würde, dann gäb's auch nur eine Nullstelle, aber die Funktion wäre in diesem Intervall nicht mehr monoton steigend.
Macht aber nix, trotzdem sehr schöne Aufgabe mit excellenter Erklärung des Lösungsweges!
🙂👻
Das ist richtig, dass die strenge Monotonie nicht notwendig ist, aber sie macht den Nachweis wesentlich leichter.
Man. Uni Mathe war ja schon cool. Hab ich damals leider nicht so genossen... Na ja. Nächstes Jahr darf ich zum 137 Mal den Pythagoras erklären... Auch gut👍
Danke. Gerne mehr Videos auf Uni Niveau
Hallo Susanne,
lieben Dank für die Erklärung!
So hätte ich das damals im Mathe-LK erklärt haben sollen, dann wären in Mathe am Ende der 13. sicher mehr als 8 Punkte gestanden.
LG auch an Thomas und Sabine aus dem Schwabenland.
Das ist zu hoch für mich und ich bin raus. 😂
Trotzdem ein gutes Video. 👍
Geht mir genauso. Wir beiden sind halt eher fürs grobe. 😂
Das ist dann schon ein bißchen mehr Mathe! Thumbs up! Ich versteh den Beweis aber die Ableitung von -e (obwohl in diesem Fall einfach) hätt ich nicht so hinbekommen!
e^x ableiten ist ja einfache kettenregel. -e^x ist -1*e^x, der vorfaktor ist nicht relevant und wird übernommen, e^x abgeleitet ist immer noch das gleiche.
-e^-x ist dementsprechend dann e^-x. Das gilt halt bei e funktionen immer, nicht irritieren lassen.
Klar die Potenz ableiten kann dann mal etwas ekliger werden oder wenn man n x*e^x hat, dann hat man was zu tun. Aber e funktion an sich ist immer harmlos.
Zu f(pi/2) >1 :
Wenn man das nicht weiß, kann man auch über eine Ungleichung zeigen, dass 1 - e^(-pi/2) > 0 sein muss.
Ansonsten: Schöne Standardaufgabe.
Mich würde noch interessieren: Woher hast du die Aufgabe? Also ich würde tippen, dass es eine Aufgabe für Wiwis oder so war. Belehre mich gerne eines Besseren :)
8:10 kann man auch ableiten, wenn man die Funktion nicht kennt. e^(-pi/2) = 1 / e^(pi/2). e^(pi/2) ist positiv, damit ist 1/e^(pi/2) immer kleiner 1.
Viel zu kompliziert, wenn man nur Quali und mittlere Reife hat. Wir haben das gar nicht gelernt.
2 Wochen zu spät für meine Ana 1 Klausur 😅
Hilfe..nachdem Ich mir 5 Sekunden lang die Formel angeschaut habe, war für mich klar, dass es eine Mischung aus alt ägyptischem Hieroglyphen und summarischer Keilschrift ist.
Mega. Spannender als ein Krimi! ❤
wunderschön
Bitte mehr solchen Content, auch wenn ich schon ein paar Jährchen aus der Uni raus bin.
Wow mir wird schwindelig
Ich bin in den Keller gelaufen und habe mich eingeschlossen.
Ich bin immer wieder von meinem Hirn begeistert! 🙂 Ich bin 62 Jahre alt, hab "nur" 2 Semester an der FH Esslingen studiert und bin dann an Mathe gescheitert. Meine Übungsaufgaben konnte mein Kumpel von der Uni nicht lösen.
Und heute sehe ich ein Video, bei dem ich der Erklärung einfach so folgen konnte und es plötzlich wieder wusste, was man machen muss. Danke für diese kurze Lehrstunde!
Ein Schwank aus der Mathevorlesung: An der Tafel steht: 1/ sinh und der Proff meint: Bitte leiten Sie diesen Ausdruck ab. Schweigen im Hörsaal. Proff: Geübte Mathematiker sehen sofort, dass man hier mit e hoch x minus e hoch minus x erweitern muss! Lautes Gelächter im Hörsaal und der Proff war sauer.... 🙂
Was ist denn mit y=x^2? Die hat auch genau eine Nullstelle und da ist der Anfang aber nicht 0. Da wirds doch dann mit dem Zwischenwertsatz nix, oder?
Auf welchem Intervall?
@@vorrek1551 Nimm -3 bis 3.
Das muss man dann anders beweisen:
In diesem speziellen Fall zeigt der Zwischenwertsatz nicht direkt die Existenz einer Nullstelle. Das bedeutet jedoch nicht, dass die Funktion keine Nullstelle hat, sondern nur, dass der Zwischenwertsatz in dieser speziellen Konstellation nicht verwendet werden kann, um das zu beweisen. Tatsächlich hat f(x)=x² eine Nullstelle bei x=0, aber der Nachweis dafür würde auf direktem Weg erfolgen.
Bei komplizierten Funktionen, wo auch der direkte Weg nicht funktioniert:
1) Zwischenwertsatz in Kombination mit anderen Sätzen: kleinere Intervalle, Ableitungen, etc.
2) Numerische Methoden: Newton-Verfahren, das Sekantenverfahren oder die Regula falsi
3) spezielle Theoreme wie der Satz von Rolle oder der Satz über das Maximum und Minimum
@@bens.8943 In diesem Fall ist der ZWS nicht anwendbar, da weder f(a) < f(b) noch f(a) > f(b) gilt und somit eine der Vorraussetzunge nicht erfüllt wird.
@@vorrek1551 sehe ich auch so, aber nimm -3 bis 4. Dann wäre das schon so. Der Kommentar eins drüber erklärt das schon, klingt für mich halt a bisserl wie "wenn das eine nicht klappt" nimmt man halt was anderes zum Beweis. Ich weiß schon, warum ich im Studium Beweise immer gehaßt habe. Geht doch nichts über eine ordentliche Kurvendiskussion. Habt einen schönen Tag.
An unserer Uni hieß es "abgelitten"....☝️🤓
Naja, wir waren auch nur technische Hochschule 😢
😂😉
Ich bedanke mich ebenfalls für diese Frage aus dem Bereich Analysis-I 🙏👌
wir haben gezeigt, dass die Funktion stetig und streng monoton ist, was ein Beweise wäre, dass sie eine Nullstelle hat, ohne diese Nullstelle finden zu müssen.
Bei Aufgaben dieser Art hatte ich in den Klassenarbeiten immer "hohe" Zahlen drunter stehen...Allein für's Erklären gibt es hier ne 1 + mit *..
7:49
Okay.
a. Die Funktion ist im fraglichen Intervall monoton steigend und sowieso stetig.
b. f(0)=sin(0)-e⁰=-1
c. f(π/2)>0.
Also gibt es genau eine Nullstelle.
Es ist jetzt nur eine Skizze. Jetzt schaue ich, ob ich etwas Wichtiges übersehen habe. Schulmathematik kann ich gut, aber aus der Uni bin ich lange draußen.
Monotonie geht auch einfacher als über die erste Ableitung. sin(x) wächst im fraglichen Intervall, -e^(-x) wächst auch, also wächst auch die Summe.
Für die Eindeutigkeit benötigt man die strenge Monotonie, die einfache Monotonie reicht nicht aus.
@@berndkru Ist aber auch gegeben im fraglichen Intervall.
@@susanna-be3ej Ja, natürlich. Ich habe mich nur auf das bezogen, was Du geschrieben hast.
Sagt sie am Anfang „Habibi ihr lieben!“? 😂
😂
❤
cool
1. Susanne: "Der Kosinus ist auf dem Intervall nicht echt größer als 0, aber immerhin größer oder gleich 0, also gibt das schon mal was Positives." - finde den Fehler! 😏
2. Den Zwischenwertsatz habe ich ein wenig anders gelernt: Die Funktion muss nicht auf einem abgeschlossenen Intervall definiert sein, sondern nur reellwertig und stetig. Dann gilt für zwei beliebige Elemente a und b der Definitionsmenge, dass sie zwischen a und b jeden Wert zwischen f(a) und f(b) mindestens einmal annimmt.
3. Die Ableitung zu bilden war hier gar nicht nötig: sin(x) geht zwischen 0 und π/2 von 0 nach 1 (am Einheitskreis oder an der Sinuskurve ablesbar), ist also monoton steigend. Und exp(x) ist immer und überall streng monoton steigend, also ist exp(-x) = 1/exp(x) immer und überall streng monoton fallend. Entsprechend ist -exp(-x) = -1/exp(x) wieder immer und überall streng monoton steigend. Die Summe aus einer monton steigenden und einer streng monoton steigenden Funktion ist natürlich streng monoton steigend.
Zu 1.)
Also ich find es wie Susanne ebenfalls positiv, dass es zwischen 0 und pi/2 nichts negatives gibt.
Man hätte doch auch den Banachschen Fixpunktsatz anwenden können. Man zeigt, dass die Funktion eine Kontraktion ist mit L
Ich freue mich auf Dein Video zu diesem Thema.
Klar, der Zwischenwertsatz... leider bis jetzt nie davon gehört oder vergessen. *Frage:* Kennt jemand eine Art Mathe-Lexikon wo solche Sätze mehr oder weniger nur aufgelistet und kurz beschrieben sind? Dann könnte man darin rumschmökern und sich bei Bedarf diejenigen näher ansehen, die einem interessant vorkommen.
Ja, Euklids "Elemente"! Bestseller seit über 2000 Jahren 😉.
🙂👻
@@roland3et Achso... dachte das Zeug wäre vergriffen und in altmodischer Sprache. Danke für den Tipp.
@@donp.909 Gern, aber bzgl. des Zwischenwertsatzes war der Hinweis auf Euklid ein Scherz, sorry 🤷😉.
Das Buch lohnt sich trotzdem!
🙂👻
@@roland3et Das war mir schon bewusst, dass es ein Scherz war und Euklid wohl keinen Zwischenwertsatz beschrieben hat. Trotzdem interessant, dass die "Elemente" noch verfügbar sind, sozusagen mit "Übersetzung" in eine heute verständlichere mathematische Sprache.
Ich dachte halt an eine Art mathematische Enzyklopädie, alphabetisch geordnet oder so. Als Student (Geisteswissenschaften) hat mir die Duden-Enzyklopädie sehr geholfen. Habe gerne darin rumgeblättert und irgendwas Interessantes findet sich ja immer. Dann hangelt man sich von einen Begriff zum nächsten durch, der damit in Verbindung steht, und so kommt man schnell zu einem brauchbaren, wenn auch nur groben Überblick über so gut wie jedes Fachgebiet. Sowas nur für mathematische Sätze wäre doch super.
@@donp.909 Ich erinnere mich, dass wir damals als Studenten (lange vor Internet und Wikipedia) als Nachschlagewerk für Mathe "den Bronstein" benutzt haben. Das war so eine Art universelle Mathe Formelsammlung mit knappen, aber mathematisch fundierten Erläuterungen. Vielleicht gibt's da ja auch noch aktuelle Auflagen?
🙂👻
P. S. Bronstein war der Name des Autors.
Sehr schön, einen besseren Einstieg in meine Staatsexamensvorbereitung hätte ich nicht haben können. Vielen Dank 🙂
Möchtest du auch Mathematiklehrer werden.?
@@LONG-SHAN ja, bin ich schon Aushilfsweise, aber ich muss noch die Formalität Staatsexamen erfüllen
@@lt-ganymed dann drücke ich dir die Daumen. Und sage nur: Mathematiklehrer hätte ich niemals werden können. 🤣
@@LONG-SHAN Danke dir. 🙂
7:34 Besser wäre gewesen, den Graphen der Funktion e^(-x) darzustellen und x =pi/2 zu markieren.
Meiner Meinung nach nicht besser.
Super!
Die streng monotone Steigung ist aber doch bereits eine hinreichende Bedingung dafür, dass es nur eine einzige Nullstelle gibt. Wie würde denn der allgemeine Beweis für nicht streng monotone Funktionen aussehen?
Es gibt keine Standardmethode für beliebige Funktionen. Man kann versuchen, den Funktionsverlauf zu analysieren, Extrempunkte berechnen, falls möglich, auf dieses Basis Monotoniebereiche ermitteln und die richtigen Schlüsse ziehen.
f(x) stetig, da aus wohlbekannten stetigen Funktionen zusammengesetzt.
f(0)=1>0
f(π/2)=-exp(-π/2)
(f0) = sin(0) - exp(0) = -1 0
@@popogast Also passt es doch Modulo Vorzeichen 😂
Ich sage nur: 1 + 2 = 12 🤣
Aber mal ernsthaft: für was braucht man solche Berechnungen.? Ist das nur mathematische Theorie.? Oder hat das ganze im wirklichen Leben auch eine praktische Anwendung.?
@@LONG-SHAN In manchen Berufen kann es wichtig sein zu wissen, ob keine, genau eine oder sogar mehrere Nullstellen einer Funktion existieren. Es müssen auch nicht unbedingt Nullstellen sein, denke eine additive Konstanten hinzu.
Spontan fallen mir als Anwendung z.B. Optimierungsprobleme ein.
@@popogast OK.. aber wie heißen die Berufe..??.. Hat das eventuell etwas mit Verkehrsplanung zu tun.? Oder vielleicht mit Satellitenberechnung.? Ich habe noch nie in meinem Leben so eine Aufgabe gehört. Ich wusste überhaupt nicht, dass es so etwas gibt.
Ist nicht allein durch Stetigkeit schon gegeben, dass alle Werte im Intervall angenommen werden?
Richtig. Aber es war ja auch zu zeigen, dass es genau eine Nullstelle gibt.
Nein, dass das Intervall abgeschlossen ist und die Funktion reellwertig ist muss auch gezeigt werden. Warum genau weiß ich selbst noch nicht aber wegen sowas freue ich mich schon auf mein Studium:) Ich denke es hängt mit den Eigenschaften von Komplexen Zahlen zusammen (deswegen soll die Funktion reellwertig sein) und mit den Eigenschaften der Unendlichkeit (deswegen abgeschlossen).
Die Frage ist etwas heikel, weil wenn neben der Stetigkeit noch weitere Voraussetzungen erfüllt sein müssen, was kann dann mit der Formulierung "ALLEIN durch Stetigkeit" gemeint sein? 🤔
Man kann Folgendes sagen: Der Zwischenwertsatz ist ein Spezialfall eines allgemeineren Sachverhalts. Dieser besagt (sehr knapp formuliert), dass eine stetige Funktion eine bestimmte topologische Eigenschaft des Definitionsbereichs auf die Bildmenge überträgt. Die hier erwünschte Eigenschaft betrifft Mengen und sie nennt sich "Zusammenhang". Eine Menge mit dieser Eigenschaft ist also eine "zusammenhängende Menge".
Es ist einer der Sätze im Mathe-Studium, der sich besonders gut einprägt, weil er so "griffig" ist! Man sagt:
"Das stetige Bild einer zusammenhängenden Menge ist eine zusammenhängende Menge."
Die mathematische Definition von Zusammenhang führt jetzt zu weit, aber es genügt die intuitive Vorstellung davon, um zu verstehen, was damit gemeint ist und besonders einfach ist das in R:
[a,b] ist eine zshgd. Menge, ]a,b[ ebenfalls. ]0,1]∪{2}∪[3,4] ist nicht zshgd., besteht aber aus 3 "Zusammenhangskomponenten".
Die Bildmenge f([a,b]) einer stetigen Funktion f:[a,b]->R ist nach dem Satz also eine zshgd. Menge in R und enthält somit (mindestens) das Intervall [f(a),f(b)] (bzw. [f(b),f(a)] falls f(b)
@@maestro3887 Du hast recht damit, dass die Voraussetzungen verwendeter Sätze immer erfüllt sein müssen, die Frage war aber wohl etwas anders gemeint, nämlich dass WENN die Voraussetzungen gegeben sind, es nur noch die Stetigkeit ist, die sozusagen den "Trick" macht. Allerdings haben hier die Voraussetzungen einen gehörigen Anteil daran, dass der "Trick" überhaupt funktioniert...
Um dein Verständnis zu verbessern, was hier passiert, nimm ein Blatt Papier, ein Lineal und einen Stift. Zeichne zunächst ein Koordinatensystem und lege dann das Lineal auf die y-Achse. Markiere zwei beliebige Punkte auf der y-Achse. Sie sollen die Werte f(a) und f(b) symbolisieren. Nun setzt du den Stift beim Punkt von f(a) an. Wir befinden uns in der Bildmenge und die liegt in R. Du darfst also nur entlang des Lineals zeichnen, musst irgendwann bei f(b) ankommen und darfst den Stift nicht absetzen (f ist ja stetig!). Kann sein, dass dich f vor und zurück schickt, aber irgendwann hast du (mindestens) die Verbindungsstrecke zwischen f(a) und f(b) auf der y-Achse gezeichnet!
Nun das Gleiche in R²: Setze auf einem leeren Blatt Papier (das den R² darstellt) irgendwo zwei Punkte (die auch jetzt für f(a) und f(b) stehen) und lege das Lineal an sie an. Dieses würde wieder die Verbindungsstrecke der beiden Punkte markieren. Wenn du diesmal aber mit dem Stift bei f(a) startest, steht dir der gesamte R² zur Verfügung, um zu f(b) zu kommen, du bist nicht gezwungen, dich ans Lineal zu halten!
Das Beispiel mit C ist auch zutreffend: Wähle f:[0,π]->C, α->cos(α)+i*sin(α). Dann ist f stetig, f(0)=1, f(π)=-1, "dazwischen" durchläuft f aber die obere Hälfte des Einheitskreises in der komplexen Zahlenebene, hat somit auch keine Nullstelle!
Falsch liegst du mit deiner Verbindung zwischen Abgeschlossenheit und Unendlichkeit! Im allgemeinen Sprachgebrauch sagt man zwar z.B. "auf der nach oben offenen Richterskala", aber die mathematischen Begriffe dafür wären "beschränkt" bzw. "unbeschränkt".
Es wird dich vielleicht überraschen, dass das Intervall [0,∞[ abgeschlossen ist?
Daran siehst du, dass die Begriffe "offen" bzw. "abgeschlossen" eine andere Bedeutung haben, das sind topologische Grundbegriffe.
@@msecke9344 Danke für die sehr ausführliche Antwort!
Ich brauche zwar keine Skizze um mir das vorzustellen aber ja, ich denke jetzt habe ich es verstanden. Ich habe mir das vorher so vor gestellt, dass eine Funktion generell so aussieht wie man es von den ganz rationalen oder exponentiellen Funktionen kennt, aber dabei hab ich vergessen, dass Funktionen eigentlich nur Abbildung zwischen zwei Mengen sind, die sich nur so verhalten, wie es die Abbildungsvorschrift vorschreibt. Dass die Funktion reellwerig sein soll leuchtet mir jetzt ein.
Dass das Intervall abgeschlossen sein soll hingegen noch nicht. Dass das Inteervall [0[∞ offen ist wusste ich und es ergibt für mich auch Sinn, denn man kann immer eine Zahl finden die weiter rechts liegt und ∞ gibt es ja an sich nicht als Zahl (Und mit Topologie hab ich mich auch schon mal etwas beschäftigt).
Was ich nicht verstehe ist, warum die Abgeschlossenheit eine notwendige Bedingung darstellt. Angenommen unsere reellwertige, kontinuierliche Funktion konvergiert für lim->∞ gegen f(x)=5. Wenn Punkt a jetzt bei x=0 und f(x)=0 liegt und Punkt b bei f(x)=5 liegt dann wäre das Intervall doch unendlich, also offen und trotzdem würde der Zwischenwertsatz gelten oder nicht? Jeder Punkt zwischen f(x)=0 und f(x)=5 würde einem X-Wert zugeordnet werden.
Wahrscheinlich habe ich hier einen Denkfehler: Ich könnte mir vorstellen, dass es kein f(x)=5 gibt, wenn die Funktion gegen f(x)=5 konvergiert, aber falls das so ist, dann kann es doch gar kein offenes Intervall geben => die Voraussetzung es sei abgeschlossen würde hinfällig.
Oder übersehe ich eine Möglichkeit für ein offenes Intervall bei dem der Zwischenwertsatz nicht gilt?
Es fällt sofort auf, wenn Susanne mal nicht schwarz trägt...
Und die Haare lang,ich vermisse die lustigen Zöpfchen so sehr 😢
Die Teddy-Ohren-Frisur finde ich am süßesten...
@@i12cu2
Dann meinen wir bestimmt das Gleiche 😚
Habe aber heute nach 0:30 abgebrochen,das Thema ist mir zu hoch, mir ist leider nie erklärt worden,wofür man das braucht 😞😭
😂🤣 Haha, ich habe es nicht einmal versucht, weil ich sofort gesehen habe, dass ich damit überhaupt nichts anfangen kann. Hab das Video nur geöffnet, um zu liken und zu kommentieren.
@@i12cu2
🤣🤣Es soll auch Praktiker geben, habe ich mir sagen lassen 😍
Wäre noch gut gewesen zu erwähnen, dass auch nicht streng-monotone Kurven nur eine Nullstelle haben können. Wenn nämlich der fallende Teil der Kurve entweder noch unter der x-Achse liegt, oder wenn der fallende Teil der Kurve zwar über der x-Achse liegt, aber nicht so stark fällt, dass er die x-Achse schneidet...
In diesem Fall müsste man über die 1. Ableitung den Bereich der fallenden Kurve identifizieren, also den Bereich, wo die 1. Ableitung < 0 ist. Dann muss man den gesamten Prozess für diesen Bereich wiederholen und beweisen, dass es in diesem Bereich KEINE Nullstellen gibt.
Aber das ist doch offensichtlich.
@@berndkru Für manche ja, aber dies ist schließlich ein Kanal für Schüler.
Du meinst wohl einen parabelförmigen Verlauf mit dem Scheitel als Nullstelle.
@@julianheller2720 Das ist auch eine Möglichkeit, aber längst nicht die Einzige. Auch z.B. x³ Kurven, bei denen beide Sattelpunkte über oder unter der x-Achse liegen haben nur eine Nullstelle.
Und wie berechnet man jetzt diese Stelle?
Man könnte die vorgestellte Vorgehensweise nutzen und das Intervall in der Mitte teilen und dann für beide Teil-Intervalle die Vorgehensweise wiederholen. In einem Intervall wird die Nullstelle liegen, in dem anderen wird man keine finden. Dann könnte man das Intervall mit der Nullstelle nehmen, erneut in der Mitte teilen und ... und ... und ... und wenn man das oft genug macht, wird man die Nullstelle bei irgendwo zwischen 0,5 und 0,6 finden. Wenn es genauer sein soll, dann einfach weitermachen.
Der Zwischenwertsatz macht nur eine Aussage über die Existenz von Zwischenwerten und ist keine Methode zur Berechnung. Danach ist in dieser Aufgabe auch nicht gefragt. In diesem Fall müsste man zur Berechnung wohl ein Näherungsverfahren verwenden, z.B. das Newton-Verfahren. Die Nullstelle liegt bei etwa 0.5885.
Für die meisten Funktionen gibt es kein analytisches Verfahren zur Berechnung der Nullstellen. Selbst bei Polynomen ist nach Grad 4 i.A. Schluss.
@@berndkru ... oder z.B. Intervallschachtelung.
@@adrianlautenschlaeger8578 M.W. gibt es bei Polynomen noch bis zum 5. Grad die sog. "Radikallösungen" - also die Lösungen mit den verschachtelten Wurzeln. Darüber hinaus geht dann nur noch durch Näherungslösungen.
Wieso soll man das zeigen dass die Funktion genau eine Nullstelle besitzt? Das sieht man doch auf den ersten Blick.
Smilie wird nachgeliefert.
Das man etwas auf den ersten Blick sieht, ist kein hinreichendes Kriterium in der Mathematik! 🤠
@@Wolfgang-c1z Das war ein Scherz, ich habe keinen Plan davon :)
Nur noch mal für mein Verständnis: dass eine beliebige Zahl hoch 0 = 1 ergibt, ist mir klar. Aber was ist mit der 0 selbst? 0 hoch egal was ergibt bei mir 0.
Deine Frage hat zwar nichts mit diesem Video zu tun, aber vielleicht hilft folgender Link: de.wikipedia.org/wiki/Null_hoch_null
@@popogast 6:14 -e hoch 0, aber ansonsten Danke für den Link
Ich frage mich jedesmal, wer die Zielgruppe für die Videos ist. Einerseits wird hier eine Uni-Aufgabe gezeigt, andererseits wird ellenlang erklärt, dass sin(0)=0 und irgendwas hoch 0=1 ist und dass 1 minus irgendwas positives
04:20 Es gibt MINDESTENS eine Nullstelle. Sonst wäre der zweite Teil der Aufgabe nicht nötig. Das "mindestens" hätte ich bei dieser Problemlage im gesprochenen Text eingefügt - auch wenn es rein mathematisch betrachtet, nicht notwendig ist. Aber daran hält sich Mathema Susanne ja nicht immer.
Der Begriff "es gibt eine Nullstelle" bedeutet in der Mathematik immer "es gibt mindestens eine Nullstelle". Wenn man ausdrücken will, dass es nicht mehrere Nullstellen gibt, wird das durch "es gibt genau eine Nullstelle" formuliert.
Eine typische Mathematiker-Aufgabe: Beweise Existenz und Eindeutigkeit eines Ergebnisses. Das Ergebnis selbst soll nicht berechnet werden.
Für viele - sogar die meisten - Funktionen gibt es kein analytisches Verfahren zur Berechnung einer Nullstelle - dazu gehört auch diese Aufgabe. Da sind Existenzsätze wichtig und solche Aufgabenstellungen haben ihre Berechtigung. Die Hauptaufgabe der Mathematik ist nicht die Lösung von Rechenaufgaben, auch wenn die Erfahrung in der Schule meist eine andere ist und wenn dies von Praktikern gerne belächelt wird.