A SURPREENDENTE Matemática da TORRE de HANOI (Fractais, Binários…)
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- Опубликовано: 7 сен 2024
- A Torre de Hanoi é um brinquedo matemático do século dezenove, baseado numa antiga lenda indiana, e é um velho conhecido dos programadores. Neste vídeo, vamos falar sobre a matemática por trás da Torre de Hanoi, incluindo a sua solução recursiva, por meio da resolução de uma relação de recorrência linear não homogênea; uma solução iterativa, usando a representação binária de números inteiros; e uma solução gráfica, usando a base para o triângulo de Sierpinski, um famoso fractal.
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Roteiro, apresentação e edição: Daniel Nunes
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Bom dia parabéns indicação do RUclips
Viu comprar heheh. Vou dar pro meu sobrinho.
Foi pela torre de Hanoi que o meu professor do fundamental II me incentivou a gostar de Matemática (que era um trauma pra mim). Agradeço a ele por me mostrar esse jogo e me tornar o que eu sou hoje.
Eu ainda tenho esperança de um vídeo dos dois canais "Tem ciência" e "Ciência todo dia" juntos.
Será um excelente vídeo.
Momento nostalgia!!! Meu falecido pai, professor de matemática e física na rede estadual de São Paulo, mandou fazer várias Torres de Hanói com sete peças para seus alunos a fim de exemplificar "visualmente" potenciação. O intuito era fazê-los calcular o "(2 elevado a n)-1". Antes de levar para a escola ele deu uma para mim e uma para meu irmão. Tínhamos algo menos que a idade de seus alunos, mas ficamos fascinados pelo "brinquedo" e seu conceito. Aos 18 anos, aproximadamente, eu continuava jogando minha "torre" mas construí uma que me pudesse desafiar nesse momento (há já tantos anos passados). Construí uma de 21 peças. Com essa consegui perceber mais claramente os movimentos ondulatórios entre cada linha de altura da Torre e os padrões necessários para não errar os movimentos. Obrigado por esse vídeo e por, nele, dar outra visão sobre o exercício mental desse brinquedo que é a transcrição para números binários! Creio que meu pai o teria feito se estivesse dando aulas para uma turma mais avançada! (obs.: meu pai o fez por volta de 1980)
O segredo é se a quantidade de peças for par comece pela haste próxima, se for impar comece pela haste distante!
Meu pai sempre tirava onda de ter escrito um jogo de torre de Hanoi em assembly. Ele já até me mostrou uma vez. Bem simples mas bem legal.
O vídeo que eu pedi, do melhor canal de matemática! 🎉
Realmente achei muito interessante a Torre de Hanói. Nunca achei que pudesse haver tanta informação por trás de algo tão simples. Obrigado por transmitir conhecimento de uma forma tão cativante e fácil de entender, você é necessário!
No ensino médio achei uma solução iterativa, pensando na direção dos movimentos como um círculo: A -> B -> C -> A -> B -> C... a ideia é passar a maior peça possível para a torre mais longe (que não seja a posição atual). Caso o número de discos seja ímpar, deverá ser da esquerda pra direita, senão da direita pra esquerda. Exemplo: 3 discos, D1, D2 e D3. D1A -> C | D2A -> B | D1C -> B | D3A -> C | D1B -> A | D2B -> C | D1A -> C
Bom dia professor Daniel, seu canal foi recomendado pelo google por e-mail. Vou aprender muito com você. Muito sucesso e parabéns pelo canal.
A matemática é bela demais! Recentemente publiquei um artigo onde usamos o Fractal de Sierpinski como parte de um protocolo de um passeio quântico e eu não imaginava que a mesma estrutura surge quando olhamos para os possíveis movimentos das peças em uma torre de Hanoi. Há uma fórmula recursiva que utiliza números binários e soma módulo 2 que gera o fractal, então pode ser que seja possível, olhando para o caminho mais curto, obter algorítmo ótimo usado para solucionar o problema. Muito bom o vídeo! :)
Eu cursei matemática bacharelado na Unifei. Infelizmente nao consegui me formar, saí faltando 8 matérias. Sempre fui apaixonado por matemática, mas eu tinha muita dificuldade. Me lembro do trauma que foi fakzer Estruturas Algébricas, foi a primeira vez na vifa que zerei numa prova. Quisera eu ter um professor, um colega ou até mesmo esse brilho que você tem. Acabando indo pra engenharia, esse ano me formo em Engenharia Mecânica Aeronáutica pela Unifei também. Seu canal é incrível e você é um cara sensacional. Desejo que seu canal cresça e milhões aprendam a matemática com você. Sucesso Daniel!
quando criança conheci o jogo e em apenas 2 minutos desenvolvi 1 forma de sempre resolver sem errar, com o passar do tempo descobri mais 3 formas e é bem impressionante quantas relações matemáticas se pode ter em um simples jogo, já resolvi até com 15 discos sem errar, demorou 4 horas (32767 movimentos)
Cê é o bichão mesmo, hein
Escalou cedo em
Rapaz, a forma que você apresenta a Matemática é genial, excelente, um dia quero ser assim 👏🏼👏🏼👏🏼👏🏼
Olá Daniel Nunes,
É com grande entusiasmo que te escrevo! Sou fã do seu canal e acompanho seus vídeos com admiração. Seu conteúdo é inspirador e tem me dado ideias incríveis para os meus artigos e aulas!
Sou professor e coordenador do curso de Matemática da Universidade Estadual de Goiás (UEG), campus Nordeste, em Formosa-GO. Adoraríamos ter a honra de recebê-lo aqui para uma visita! Seria uma oportunidade única para nossos alunos aprenderem com você e se inspirarem ainda mais pela matemática.
Tenho certeza de que sua presença seria um marco para nossa comunidade acadêmica e um grande incentivo para todos nós.
Estamos ansiosos para ouvir sua resposta e esperamos que possamos recebê-lo em breve!
Um grande abraço,
Carlos Derli Almeida Cornelio
Professor e Coordenador do Curso de Matemática
UEG - Campus Nordeste
Essas coisas não param de me surpreender.
Torre de Hanoi, Sequência de Fibonacci, Problema de Josephus; coisas aparentemente simples que carregam conceitos matemáticos espantosos.
Sou fã desse canal!!
Professor, faz um vídeo sobre o teorema de Bayes por favor!
Minha primeira aula de lógica de programação no curso técnico de informática foi sobre a torre de Hanoi. Algoritmos...
Um vídeo encantador. Uma ótima apresentação do jogo.
Transformou um assunto "massante" em entretenimento. Que beleza hein 👏
qualidade a mil, como sempre, vai crescer muito ainda
4:16 eu não sei dizer o porque, mas essa 'lousa' com o fundo desfocado me fez entender muito!!!
Vídeo fantástico, fiz uma torre de Hanoi para um trabalho de exposição de enigmas matemáticos no fim do fundamental II se não me engano, não fazia ideia da riqueza matemática envolvida nesse jogo. Muito obrigado.
Que tal um vídeo sobre a árvore de Stern-Brocot?
Excelente vídeo!! Eu adorava brincar com a torre quando era adolescente, e uma coisa sobre ela ainda não consegui entender. Percebi que a solução seria 2^N -1, mas também percebi que a solução poderia ser o somatório de 1 até N de 2^(N-1). Até hoje eu não sei o porquê dessa igualdade 😅. Como leigo em matemática, acho que seria interessante um vídeo que explique o porquê disso
É possível fazer uma analogia com a mudança dos números em binário e a lógica dos dois mudando quando uma maior se move para a direita com a versão mecânica de um placar caseiro em binário indo vc coloque uma travinha atrás do dígito e sempre que o 1 for girado ele gira a plaquinha à esquerda dele.
Meu cérebro vai derreter... Kkkk mas ótima explicação... Dinâmico, quando se aplica a matemática mais jovem é mais fácil, mas vou persistir até aprender... Só espero que meus cabelos não comecem a sair fumaça...
Esse brinquedo junta computação, teoria dos grafos e geometria fractal, que daora.
Que vídeo fantástico! Simples e motivador.
Esse canal é aquele tipo que temos PRAZER de assistir na velocidade 1. Você é foda, professor! Eu espero, num futuro próximo, ter o prazer de trabalhar junto com você! Pras cabeças!
Meu TCC purinho. Kkkkkkk....
Só faltou as provas de matemática discreta e os algoritmos computacionais.
É impressionante o número 3 e o número 7 aparecerem com mais frequência que os outros números.
Cheguei a pesir essw vídeo pq dei esse brinquedo pra minha filha e realmente nao sabia qtos movimentos leva pra montar.
É igualzinho o do vídeo e quanta matemática tem esse brinquedo.
gostei do vídeo mas voce poderia fazer (uma série de vídeos) resolvendo os "riddles" famosos de entrevistas muitos deles eu não concordo, e acredito que a solução está errada, pois de certa forma consigo "provar o contrário" como no desafio dos 100 presos, (que precisam abrir as caixas e achar seu número) mas tem outras também super interessantes que vale a pena explicar.
Espetacular, não tenho palavras.
Professor, adoro seu vídeos sempre muito bem explicados e didáticos, parabéns!
excelente seu trabalho amigo com certeza vai muito longe ainda
12:45 a triforce de hanoi
Show de vídeo. Parabéns professor. Excelente.
Na prática tem um macete simples de resolver essa torre no menor número de movimentos.....
Basta analisar a quantidade de discos da torre de origem.
Se for ímpar, a primeira peça a ser movida tem que ir para o pino que é o objetivo final da pilha.
Se for par, a primeira peça a ser movida tem que ir para o pino que não é o objetivo final da pilha.
Esse macete além de permitir a determinação do primeiro movimento, também pode ser usado nas movimentações seguintes, seguindo-se os objetivos finais dos discos e suas quantidades.
Bom dia parabéns pelo excelente canal bons conteúdos vim pela indicação do RUclips sucesso
Logo quando eu estava pesquisando sobre fractais!!!
Incrível 👏. A Edição também está excelente
Adoro teus vídeos, mas há um equívoco nos movimentos e consequentemente na solução final representativa do número de movimentos. Veja que as premissas são: 1)cada disco deve se mover uma estaca por vez; 2) os discos discos devem ser empilhados na ordem crescente (ou seja, nunca um disco maior poderá estar ou passar por sobre um menor). Essas considerações alteram sobremaneira o resultado. Concordas?
Essas regras que você falou foram exatamente as regras que usei no vídeo. Você talvez esteja questionando o fato de que em alguns momentos o vídeo mostra uma pilha inteira sendo transferida de uma estaca para outra, mas nessas horas estou apenas representando o estado inicial e o estado final, sem mostrar as etapas intermediárias onde os discos são transferidos individualmente entre as estacas.
Amo esse joguinho ❤
Excelente.
Gostaria de ver um vídeo sobre Paralaxe. Serviria até pra mostrar pra pai, avô, tio e amigos que são leigos. Ex: Ângulos de câmeras diferentes da linha de impedimento do VAR, gol Gabigol contra Ahtletico-PR pela Copa do Brasil 2023. Numa câmera parece estar impedido, na outra parece não estar.
No VAR tem o problema da escolha do frame também. Frequentemente não tem o frame exato do momento do passe. Ou você pega um frame posterior ou um anterior. E isso pode ser a diferença entre estar ou não impedido. Fora a má vontade na hora de traçar as linhas rsrsrs.
Excelente! Parabéns.
Olá, boa noite
Muito legal o vídeo, como todos os seus outros que eu vi.
Mas devo confessar que não entendi direito como a representação binária se encaixa com a torre de hanoi.
Você poderia elaborar um pouco?
Obrigado!
Aprendi de modo intuitivo de como obter o menor número de movimentos para transportar os discos.
Daniel, pra complementar esse vídeo talvez seja legal no futuro você fazer um vídeo sobre "Iteração", que é mais sobre informática do que matemática, mas tem bastante (ou tudo) a ver com o procedimento pra solucionar essa torre aí.
Já pensou numa torre de 4 estacas ou mais?.
Ou que tal uma generalização para n estacas (com n > 3)
O jogo em si ficaria mais fácil com mais estacas, só que seria realmente interessante calcular quantos movimentos seriam necessários quando você tem n estacas.
amo números binários e fractais!!
Muito bom, como sempre! Hehehe!
Gostei muito. Me inscrevi. Tenho aqui um livro com histórias medievais.
Angola assistindo 🧐
Qual a relação entre o número de Torres e o número de discos? Não cheguei em solução... O número de solução reduz e depois fica constante se aumentarmos o número de discos e o número de Torres?
Ótimo vídeo!
E a regra que obtive , com uma torre de n discos e m pinos , é uma extensão da conhecia para n discos e 3 pinos .
Simplesmente matemágica
O lado esquerdo da representação gráfica da torre de Hanói tbm não é uma solução ótima?
O lado esquerdo coloca todos os discos no pino central. Eu estou usando a regra que diz que todos os pinos devem terminar na direita.
@ Entendi
Professor uma dúvida, o que significa o Xn e porque o Xn=2Xn-1 foi para Xn=2^n-1X1?
Deixa eu fazer um comentário construtivo, a visualização dos binários em baixo da torre ficou confusa. Eu mesmo tive que fazer um esforço para lembrar que o valor não era referente a estaca mas a peça movimentada. Eu sabia o que estava acontecendo mais meu cérebro consistentemente parecia querer associar o binário com o movimento em relação a estaca...
Sensacional.
O pior é sair desse vídeo e procurar resolução acelerada da torre de 40 discos 😔
Perfeito
Eu vim compartilhar uma grande decepção aqui eu achei que eu tinha inventado esse número aqui as anos atrás:
0,123456789101112131415....
Mas aparentemente estava enganado
4:20 Eu ainda não consegui compreender o porquê de Xn = 2^(n-1) + X1, segundo a recorrência de Xn = 2Xn-1.
Excelente
Estou mais surpreso por demorar um tempo finito grande ao invés de infinito
porque é q eles transformaram um jogo q supostamente poderia acabar com o universo em uma brincadeira de crianças?
Sempre chamei essa torre por torrinha do jogo antistress
Resumindo o jeito de jogar: se o número de peças da torre for ímpar, a primeira peça deve ser colocada na direita. Se o número de peças da torre for par, a primeira peça deve ser colocada no meio.
Primeiro a comentar! Meu RUclipsr favorito!
TAQUIPARIU!!!!!!
EU TIVE UM DESSE E NEM IMAGINAVA PRA QUE SERIA..kkkkkkk
Professor, eis aqui um bom tema para vídeo: o zero existe?
Realmente não entendi a parte do binário
👏👏👏👏
muitooo f0d4
Qual a equação matemática que Deus criou para descrever uma espécie que pode se comportar como matéria e energia ?
13:22
Problem 497 de euler 💀
Eu não entendo nada essas equações
1023 movimento o mínimo
Eu considerei a Torre de Hanói de n peças e m pinos .
Se vc não colocar marca d'água em seus videos, corre o risco de ter seu conteúdo copiado e colado, sem quer os devidos créditos lhe sejam dados. Fica a dica.
nunca me senti tão burra vendo um video no youtube kkkk
Brinquedo inocente em? Kkkkkkk tem que pensar viu
Não entendi nada!!!😢
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, O VÍDEO DE HOJE FICOU CONFUSO ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,NÃO BOM.................................
Porque só não vira a taba. E fala qeue terminou
Viva Sócrates! O "iletrado" mais letrado que existiu!
não entendi porra nenhuma
TMJ