[지식in] 1+1=2 엄밀한 증명 / [Eng sub] Rigorous proof of 1+1=2
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- Опубликовано: 20 сен 2024
- 후원 | 우리은행 1002-031-127166 (이상엽)
━─ ↓↓ 책갈피 ↓↓ ─━
01:20 1. 공리와 정의 (Axiom and Definition)
04:11 2. 페아노 공리계 (Peano’s axioms)
08:47 3. +의 정의와 1+1=2 의 증명 (Definition of + and Proof of 1+1=2)
12:50 마치며 (Finishing)
#1+1 #1+1=2 #증명
이상엽math.com
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인트로를 삭제하였습니다.(2021.06.18) 그로 인해 기존 영상과 약 9초의 시간 차이가 발생하였으니 참고해주세요.
1 + 1 = 1 영상 봤더니 알고리즘이 정신차리라고 추천해줌ㅋㅋㅋㅋㅋ
와 다들 이 코스타고있구나 수학과생은 해석학 생각나서 멈춰놓고 댓글만보는중 ㅠ
1더하기1은2 입니다 ㅋㅋㅋ
야 너두?
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 저도 이거보고 맨탈잡을라고 왔어요 ㅋㅋㅋㅋ
ㄹㅇㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
1:06 실화냐...
큽..
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
그러게 말입니다
?? 1+1=귀요미 이렇게배웠는데??(진지)
@@golbaengimuchim6753 WA!
와, 유튜브에서 이렇게 좋은 자료를 보게 될 줄이야... 유클리드 기하학이나 논리학, 괴델 등 소싯적에 이 책 저 책 살짝 깔짝거려 보느라 한참 시간을 소비했더랬죠. 어렴풋이 어설프게 알고 있던 흐린 기억들에 대해 많은 도움과 영감을 준, 제 시간을 엄청나게 아껴준 좋은 동영상이었습니다. 리만 가설, P-NP 문제 등 올려주신 동영상 정주행하고 있는데, 유튜브 영상 시청이 천금같다고 느낀 적은 처음이네요. 좋은 자료 감사합니다.
대학생 때부터 15년이 지난
지금까지도 아이들 수학을 가르치고 있습니다
수학의 대중화에 힘쓰시는 모습
정말 존경합니다 선생님
선생님의 강의를 들을때 마다
많이 반성하게 되네요
잘은 모르지만 많이 고민하시고
많은 어려움을 겪으시면서
강의를 찍으시는 것이
예상되네요
항상 건강하시고 열정적인 모습
변치 않으시길 기대합니다
앞으로도 좋은 강의 부탁드립니다
수학의 대중화..... 진짜 쉬운 말이지만 이만틈 어려운 말도 없다
14:23 교수님..그만하세요...
으어ㅓㅓㅓ.....
1:07
댓이 없네
흑흑
인트로 9초 잘려서 이제 14:14 여기임
유튜브가 좋은게 이런 분들을 접할수 있는 기회를 얻는다는것. 이런 분들이 많아져야 공부의 질이 높아짐.
오아 처음 도입 부분 생각이 멋지십니다 ㅠㅠ 영상내내 새로운 개념도 많았지만 공리부분에 관해서는 저번에 수학 탐구주제로 비유클리드 기하학에 대해서 조사를 한터라 앞부분 이해가 쉬웠어요 ㅎㅎㅎ 괜히 뿌듯,,ㅎㅎ 그리고 수학은 팔 수록 흥미로운 것 같네요 아직 교과과정에서 벗어날 수 없는 몸이지만 선생님을 통해서 요론것도 관심가져보고 하겠습니당!-! 감사합니다 앞으로도 유익한 강의 많이 찍어주세요~
제발 더 유명해지십쇼... 누구를 타겟으로 만든 강의인지는 모르겠지만 이렇게 엄밀하면서 이해 잘되게 설명한 영상은 처음이네요!!!
와재밌다... 이런 노잼일수있는 내용을 이렇게 재밌게 쏙쏙 귀에 들어오도록 설명해주시다니 대단하세요!!!!
이런식의 대중화된, 일반 대중에게 퍼진 수학적 논리와 사고가 사람이 섣부르고 감정적인 판단하는 것을 막고, 합리적인 결정을 내리는 습관과 의심하는 습관을 주고, 내가 너무 직관에 맹신하여 속은적은 없는지 생각 할 수 있는건 분명 국민들의 인생 전반에 거쳐 강력한 뒷심을 만들어줄 것 같습니다. 수학을 점수만 받아내면 된다거나 어려운거라고만 생각하게 만드는게 한국인이 노벨상은 전무하고 퓰리처상은 작년에 한번 있었던 이유가 아닐까 싶습니다. 도전적인 사람이 줄어든거죠. 안정적인 직장만이 중요했던 한국이라 정말 수학 잘하고 수학으로 생계를 유지해야했던 많은 분들은 공학, 의료기기 영상처리와 같은 응용수학, 일부만 교수, 대부분은 대치동 강사가 되기위해 오직 수능문제를 풀기위한 사람으로 개조되고, 학생들앞에서 문제 하나라도 틀렸다간 크게 이슈가 되니 실수안하려고 수학연구보단 생계유지만을 생각하며 살아야했던 그 모든게 원인이었던거같다고 탓하는 생각이 듭니다. 그러던중 이렇게 밝게 빛나는 분께서 진짜 수학의 취미화를 위해 힘써주시는 분은 정말 귀인이시자 한국 수학문화를 뒤집어놓은 시발점을 찾아 근간을 찾아가면 Root Node에 계신 분으로 오래오래 기억되시지 않을까... 감히 생각해봅니다.
수학이 공리계에 따라 상대적이다.
정말 인상적이네요. 강의 감사합니다~
감사합니다
'1+1=2의 증명'과 '수학은 상대적인 진리를 탐구하는 학문이다'라는 내용을 재미있게 보고 갑니다. 1가지 궁금한 점이 있습니다. '1+1=2의 증명'이 담긴 책이 있을까요? 알고 계시다면 답변 부탁드립니다.
버트런드 러셀 & 알프레드 노스 화이트헤드 공저 수학원리(Principia Mathematica)를 찾아보시면 됩니다만 대략 3만원정도 할겁니다...
@@cailes 그 책 어렵나요? 고등수학수준만 된다면 이해할 수있을련지요..?
읽고싶은데 너무 어려워서 이해가 안된다면 3만원 날리는거라 사기기 두렵네요...
페아노 공리를 찾아보셔서 직접 증명하시는것도 괜찮습니다
과거 : 미래에는 수 많은 난제들이 해결 되겠지?
현재 : 1+1=2의 증명을 해드리겠습니다.
아 이런거 아주 좋아
물론 수많은 난제도 해결됨
1+1=2 증명이 어렵다는 이야기 수학귀신에서 나왔던거 기억나네요
그때 수학귀신 책이 학부모들 사이에서 열풍이돌아서 증명법의 난이도가 많은 아이들에게 와전되서 그런겁니다
그게 아니라 옛날에 중학교 교과서에도 실려있었음.
내가 수학을 좋아해서 기억하는데
무슨 옛날 수학자 초상화 띡 놔놓고
수식 빼곡히 적힌 옛날 문서 2장 보여주고선
1+1=2의 엄밀한 수식이 이렇다! 면서 굉장히 어려운거라고 글로 써있었음.
그냥 그당시에 저런류의 얘기들이 항간에 잘 떠돌아다녔음ㅋㅋ
러셀과 화이트헤드의 저서인 "수학원리"에 자세히 나와 있고 이게 난이도가 많이 높다고들 하더라고요~
공리를 줄이는게 굉장히 어렵기 때문입니다. 러셀 때에는 공리가 많고 비직관적이고 복잡했었죠.
수학귀신 개추억이네 ㅋㅋㅋ
수학귀신에서 증명 과정이 '한장 가득'이라 나왔던 걸로 기억합니다. 책을 읽은게 이십년 전이라 좀 가물가물하긴 하지만... '한장'이라 칠 경우 강의 내용과 크게 어긋나지 않는 셈이죠.
너무 재밌게 잘 봤습니다. 공리에 대한 이해와 정의가 무엇지에 대해 공리적으로 정의 내려주시다니. 너무 재밌었습니다.
"손가락 하나 펴 봐,어어 그리고 손가락 하나 더 펴봐 몇개야?두개지?그래서 1+1=2야"
-감사합니다 유치원 쌤-
어 이게 정설이지
줄 어떻게 그음?
@@Songhs_0105 -이렇게 그음-
-이렇게-
찰흙 한 덩어리와 찰흙 한 덩어리를 합치면 여전히 찰흙 한 덩어리죠
무슨 진리인마냥 주입식이 아니라 항상 저렇게 더 큰 전제를 환기시켜주는 참 좋은 선생님이시다.
1:08 어..,?
아....
14:22 도... 수미상관 교수님 개그...
1` = 귀요미
@@서울촌놈-k6y 수미상관ㅋㅋㅋㅋㅋ
어...? 이름
솔직히 공리랑 정의조차 제대로 구분할 줄 아는 사람도 드물죠ㅋㅋ 무 정의 용어는 저도 처음 듣네요!! 엄청 유익한 영상이었어요ㅎ
인정할 수 없다. 1+1은 귀요미임이 확실하다.
귀요미가 뭐냐 창문이다
@@kmj200409 ㅁㅊ ㅋㅋㅋ
3....
@@유댕욱 뜨
11아니어씀?
전과자 보고 들어왔으면 개추
궁금했는데, 정말 잘 알았습니다. 역시 수학 재밌네요. 바아~~로 구독, 광고도 넘기지 않고 다 본 얼마 되지 않는 영상~!
선생님 기다렸어요!! ㅎㅎ
이상하게 들릴 수도 있겠으나, 증명 과정에서 갑작스레 코끝이 찡하더라고요. 수학을 보면서 눈시울이 붉어지는 경험을 해주셔서 감사합니다. 감동했습니다.
혹시 비표준해석학 관련영상도 만들어주실수있나요ㅜㅜ 수를 수열에 대응시켜서 연산과 대소관계를 정의하고 그 정의에따라 무한소나 한없이큰수들을 구현할수있다고 하던데 너무궁금하네요
메모- 공리는 약속이므로 허용 가능한 선에서 변형될 수 있다.
수학은 서로의 합의와 약속으로 상대적인 진리를 탐구하는 학문
a=b 라고 둡시다.
그럼 a²=ab 이므로
a²-b²=ab-b² 가 될 수 있습니다.
a=b이므로 a²-b²=ab-b²은 (a+b)(a-b)=b(a-b)가 되고
여기서 (a-b)를 약분할 수 있으므로 약분하면
a+b=b가 됩니다.
그런데 a=b 였으므로 b+b=b, 혹은 a+a=a 가 될 수 있고 2b=b, 2a=a, 따라서 2=1이 됩니다.
*따라서 1+1은 2가 아닌 1입니다.*
---------------------
(웅장한 노래)
(a-b)를 약분할 수 없어요..나누는 수가 0이 되면 안되니까요
@@중성마녀마카오-g4s 정답입니다!
1+1=2의 수학적 정의는 잘 모르지만
1+1=2 인 이유는 사람과 사람이 서로 사랑하면 마음의 온도가 배가 되어서 그런거 아닐까요?♥
문과!?!
섹스
예전 고등학교때 ToK 라는 수업이있었는데, 거기서 수학문제중에 "What is 1? (일이란 무엇인가?)"라는 질문이 있던게 생각나네요. 혹시 이것에 대해 다루어주실수있나요? 짤막한 영상이 되겠지만요
영상에서 그거도 잘 설명해줌
5:07참조
공리계에 따라서 다르겠지만 페아노 공리계에서는 1이 무정의 용어로 받아들여지고 실수계를 정의할 때는 1은 곱셈의 항등원이라는 의미가 붙습니다. 그정도로 이해하시면 충분합니다.
와 IB 디플로마 따기 엄청 어렵지 않나요?
우와 저도 ToK들엇어요 ㅋㅋ
예비군 끝나고 댓글답니다. 페아노 공리계라는 것은 알았지만, 1+1=2 라는 것은 덧셈이라는 연산의 정의로 도출되는 것이라 공리인 것으로 알았는데, 사실 정리였다는 것을 알았네요.
유익한 영상 감사합니다!
0.99999999999...... =1 이라는 걸 이해못하는 분들이 많다고 합니다. 이거 다뤄주시면 조회수 폭발할 듯.
등호 성립하지 않습니다
등호라는건 완벽히 동일할때만 성립 가능합니다
엄밀하게 [ lim(n-1-) n = 1 ] 이걸 헷갈리신거 같은데 리미트란 무한히 가까워지는 수 라는 거여서
0.99999999...=0.999999999.... 입니다
위의 식에서 lim를 붙이면 1로 성립 가능합니다
보통 중학 교과서에서는 작성자분처럼 직관적으로 이해하라고 해서 약간의 오개념이 있는거 같습니다
@@castleshin6734 ... 이것도 lim로 정의하지않나요?
순환소수 점찍어서 나타내는 거는 lim로 정의하는데
@@castleshin6734 리미트와는 조금 다른것이 아닌가요 엡실론 델타논리에 의하면 0.99999...과 1사이의 어떤 수가 있어야 극한값을 판별할텐데 0.9999...와 1사이에는 어떠한 실수도 존재하지 않는것으로 압니다
0.99999... 에 이미lim 가 들어있는겁니다
0.999999...= 1 이 맞습니다 양변이 완벽하게 동일하기 때문이죠
1/9 = 0.111...
2/9 = 0.222...
...
9/9 = 0.999... = 1
증명 끝~
안녕하세요
저는 수학을좋아하는 고등학교2학년인데 제수준에서맞는 주제의수학영상만 골라보고있습니다.
이번주제가 너무흥미로워서 그런데
이번기말고사끝나고 수학시간에 발표하는시간이있거든요.
영상중에 나온 공식이나 하신말씀들좀 인용하고싶은데 가능할까요 ?
@@누누-r1z 재생목록 무엇?
결론적으로 보면 1+1=2란 수학적 명제는 그렇게 정하기로 했기 때문에 그렇게 된 게 맞긴 하지만 더 자세한 사정을 들여다볼 수 있는 좋은 영상임.
혹시 삼체문제의 일반해가 존재하지 않음에 대한 증명의 강의 부탁드릴수 있을까요?
5차 이상의 근의공식이 존재하지 않는것과 관련이 있지 않을까 싶어 정확한 증명을 찾아봤는데 일반 인터넷 검색으로 나오는 한글로 된 자료중에는 증명과정을 찾기가 힘드네요 ㅠㅠ 학술적 자료를 접하기가 쉽지 않은지라 이렇게 요청드립니다.
초,중,고,대학교 까지..수학문제를 나름 증명하며, 같은 답도 다른 방식으로 증명하려 애를 쓰면서 수학에 재미를 붙였었는데..매번 1+1은 왜 2가 되었는지 굉장히 궁금했었습니다. 수학에 무정의용어가 있는줄 몰랐네요..아니면 배워놓고 잊고살아왔는지도 모르겠지만..여튼 굉장히 유익한 설명이었고 감사합니다. 초중고 교육과정에 매 학습 초기에 간단하게라도 이런 수학적 primitive 설명이 들어가면 좋을 것 같아요. 수학의 근원을 체득할 수 있게 말이죠..
고등학생이 되도라도 보통 공리주의를 이해하기 어렵습니다..
러셀하고 화이트헤드 책 이야기 하려고 했는데 뒤에서 하네요. 그 증명까지 멀고도 험난한 증명들을 해나가기 때문에 거기까지 무려 361 페이지가 소요되었기 때문에 증명 자체는 1 페이지였지만, 그런 소문이 퍼진 것 같아요. 수학적 엄밀성을 집합론으로 만족시키려는 시도가 그렇게 힘들고 길었던 것 같습니다. 저도 막연히 증명 자체가 엄청 길었다고 알고 있었는데 덕분에 새롭게 제대로 알게 되었네요. Thanks.
좋은 강의입니다. 이상엽선생님 응원합니다.
와...이때까지 저 질문에 답을 1+1=2 >
라고 생각했는데 1번을 페아노 공리계 2번을 덧셈의 정의로 설명하는거였네요... 좋은 지식 얻어갑니다😄
중학교 때부터 궁금한 내용이었는데 감사합니다 ㅎㅎ
최근 과학채널을 열심히 보다보니, 왠지 관련이 있다고 생각되는 수학이 뜨네요. 듣기에 불편하지 않은 목소리로 재밌는 수학이야기 잘 들었습니다.
그런데 듣다가 좀 '저건 왜 저렇게 사용하지?'하는 부분이 있어서 질문 드리는데요,
[페아노 공리계 2번
모든 자연수 n은 그 다음 수 n'을 갖는다는
n' = n+1 이라는 말과 같은가?]
라는 의문이 들어서요. 가장 기본적인 약속이니까 '+'라는 개념을 우선 배제하고 다음 수를 n'이라고 쓴 것이라 이해하면 되는건가요?
이거 내가 일반선택으로 수교과 수업 기하학 개론 들었을때 배웟던거랑 비슷하네... 우리가 당연하게 생각했던, 평행, 직각, 보각 이런걸 모두 증명했던거 같음....
안녕하세요 이상엽선생님. 선생님 덕분에 오랫동안 담아둔 수학에 대한 흥미를 불태우고 있는 28살 직장인입니다. 어릴적 초등학교에서는 연산을 배우기 시작할때 더하기를 여러번하면 곱하기가 된다라고 간단히 배웟었고 고등학교에서는 소위 “계산만 빨리하자”라는 식으로 연산을 다뤘습니다. 하지만 곰곰히 생각해보면 단순히 계산만을 하는 것이 연산의 의미라고 느껴지지않습니다. 무언가 더 복잡하고 중요한 의미가 숨어있을거라고 생각됩니다. 이상엽 선생님께서는 수학에서 “연산”이 어떤 의미이며 단순연산이 아닌 심도깊은 탐구를 통해 우리가 연산에서 알아야하는 것은 무엇이 있을까요?
혹시 고민해보신적 있으시다면 언제라도 말씀부탁드립니다 ^^
설명 개 깔끔 개 명확. 글고 쩌는 메세지. 매번 감탄하기도 질린다 진심.ㅋ
나만 수학 존나 멋잇냐
ㄹㅇ 뇌섹남
원래그럼
ㅋㅋㅋ
윰 윰 연속체 가설
@@taehyeonlee6141 ???: 아 힐베르트 아시는구나~
항상 수학 선생님들은 어쩐지 외모가 준수하면서 성격은 은근히 수더분하면서 순수한 면이 있었다... 이 분도 그러네 ㅎㅎ 뼈와 영혼이 모두 문과 그 자체인 나는 이과 인간들을 동경하는 마음이 있다. 나와 다른 존재는 아름다워..
히히 재밌게 봤습니다 영상 많이 올려주세요!!!!!
재미있어요!!~
중2인데 이해하기 쉬운 이런 내용으로 영상 많이 찍어주세요!
재미있게 잘~ 봤습니다~ 대중화를 위해서 노력 하시는 부분이 인상적이네요^^
로지컬이 이 영상을 싫어합니다
처음 마주하면 마치 껍데기 같은 형식적 구성들이 매력없어 보이지만, 실제로는 논리를 구성하기 위한 지지대 역할을 하는 점에서 더없이 중요하다는 걸 알수가 있죠
선생님...페아노공리계에서 1과 1의 계승자 사이에 순서 또는 크기가 정의 되어 있는지요? 만일 그렇지 않다면 7:10 부터 7:12 사이에 언급하신 명제는 적어도 페아노 공리계에서는 아직 참인지 알 수 없는 것 아닌지 궁금합니다. 다만 1이 자연수 집합의 유일한 시작 점, 숫자라는 의미로 충분하지 않은가 싶습니다.
어느 아마추어의 질문입니다.
확실히 그 부분에서는 순서관계가 존재 여부가 모호합니다. 그러나 이후 덧셈의 정의에서 자연스럽게 순서관계가 부여된다고 볼 수 있을 것 같습니다.
오래된 영상이지만 질문이 생겨 써봅니다.
이전에 본 다른 영상에서는, 어떤 자연수의 다음 수를 어떻게 정의할 것인지에 대해 여러 선택지가 있었다고 봤던 것 같습니다.(무슨 영상이었는지 발견하게 되면 링크도 붙이겠습니다) 이에 대해서도 설명 한번 해주실수 있을까요?
1+1이 2인 이유: 1이라는 사람들이있고 3이라는 사람이 있어서 그사이인 2를 선택한거임
그러면 임의의 자연수 a에 대하여 a+1=a' 임을 같은 방법으로 보일 수 있을 것 같은데 제 추측이 맞을까요?
@@kejsjdmm 어떻게 가능한가요...?
@@user-bn6vm8tf1j a+1=a+0`=(a+0)`=a`
사실 덧셈의 정의로부터 당연히 나오는 결과인거죠.
@@142smdopp 근데 0은 자연수 아니잖아요
@@김원준-t4y 영상 10분 40초부터 보세요.
항상 재밌게 보고있습니다!!! 감사합니다!!
헐... 소름..
수학은 자연적인 현상을 설명하는 것이며, 현대 과학에서도 확률과 통계를 통해
슈되링거의 고양이를 통해 양자 영역등 현대 과학이 발전했다고 생각합니다.
왜냐하면 사람들이 1+1=2는 약속이며 누구나 인정하니까 과학/자연/공학적 설명도 수학이라는 도구를 통해 다 설명을 할 수 있는거라고 생각했구요.
1+1=2를 이렇게 납득 시켜주시니 정말 고맙습니다 ^^
현재 하고있는 분석에 들어맞는 공리를 채택해서 도구로 쓸 뿐이고
현실을 설명하는건 그 도구를 쓰고있는 학문이죠
혹시 여유 되시면 삼각함수 연산이랑 항등식 증명 영상도 올려주실 수 있으신가요?? 고통 받고있습니다ㅠㅠ
9:16 1.+를정의하기위한말에왜 또 +가 들어있나요?.. n+m’=(n+m)’ 인데 (n+m)이 뭔지는 +를 정의하기위한거니깐 모르는거아닌가요?..
2.그리고 이정의는 페아노가 자신의 공리를 이용해서 정의를내린건가요?
그렇다면 왜하필 (n+m)’ 으로되었는지궁금합니다. (n+m+m)’ 일수도있고..
1. 저렇게 정의하는 것이 맞습니다. 덧셈을 모르니까 n+m' = (n+m)'을 알 수 없다가 아닌, 위 식 자체가 덧셈에 대한 설명서라고 보시면 될 것 같습니다. 즉 "덧셈은 n+m' = (n+m)'처럼 작동한다"라고 보시면 될 것 같습니다.
2. (n+m+m)'과 같은 정의가 공리계와 무모순적이라면, 이렇게 정의해도 상관없습니다. 다만 그렇게 정의된 공간은 더 이상 자연수라고 부를 수 없겠죠. 또 다른 수의 체계가 될 것입니다. 실제로 (n+m+m)'처럼 정의하면 2+2=5가 됩니다.
선생님 조금이상한게있는대
0+1=1 증명할때도
분명 1은 0보다큰 가장 작은 자연수라고 했죠?
그러면 개수로 따지면 아무것도 없는것보다 가장작은 개수? 라고 표현을해도 되겠네여
분명 아무것도 없는것보다 가장작은개수를 1이라고 하는대
0+1=1이라는소리를 말로 표현하면
아무것도없다+아무것도없는것보다큰 가장작은개수=아무것도없는것보다 큰 가장작은 개수가 된다라는거랑똑같은대
그럼 여기서 페아노 공리계를 성립시키면 0다음숫자는 0보다 1이 큰 숫자라고 하지않나요?
0개에서 1개가 더 많아진숫자가 1이다 라는건 살짝 모순이 있는게 아무것도 없는것보다 큰 가장작은 자연수가 한개인대 어떻게 한개가 아무것도 없는것보다 1개 더많은거라고 단정지울수있는건가요?
영상속 공리계는 0을 정의하지 않아서 애초에 논리진행이 안되지 않나요?
페아노 공리를 말만 듣다가 이렇게 써먹는 것을 보는건 처음이네요 이제 저도 어디서 1+1=2라는걸 자신있게 말할수 있을거 같습니다ㅎㅎ 공리 얘기가 나와서 말인데요 저는 수교과를 졸업하여 학부생 당시 비유클리드 기하로 쌍곡 기하를 다뤄본 경험이 있습니다만 그 외의 비유클리드 기하는 잘 접하지 못했습니다. 이에 대한 영상 제작 혹시 가능할까요?
설명이 깔끔하고 정확해서 너무좋네요....!
9:00 에 말씀하신 +의 정의는 닫혀있는개념과는 별개인가요? 2번에 해당하는게 닫혀잇는개념같아서요.. 다르다면 혹시 차이를 알수있을까요?
제가 이해를 잘 못해서 그럴수도 있는데요1의 다음수가 1'인거는 알겠거든요 근데 왜 1'이 2인거죠?마찬가지로 페아노 공리계의 변형에서 0의 다음수가 0'인거는 알겠는데 왜 0'이 1인거죠??처음에 자연수 배열은 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,... 이런식으로 나아간다고 약속된 건가요?그렇다면 이 순서로 자연수가 배열된다고 하는거는 하나의 공리가 아닌가요? 아니면 모든 수학적 세상에서 적용되는 진리인가요? 제가 질문하면서도 잘 모르겠어요ㅠㅠ
그것이 약속이니까... 음!
1', 1'', 1''', ......
매번 이런식으로 쓰기 번거로우니까 각각 2, 3, 4, ...... 같이 기존에 쓰던 기호로 수를 표현한 게 아닌가 싶네요
하나의 약속입니다. 매번 1진법 표현으로 적으면 힘드니까 10진법으로 바꾼 거에요 😊
페아노 공리계 실화냐.. ㅠㅠㅠㅠㅠ
정수론 개객기
자연수 n의 다음수는 n' 이다.
n+0' = (n+0)' [덧셈정의]
(n+0)' = n' [n+0이 n과 같으므로]
n+0' = n'
자연수n과 0의다음수인 1을 더하면 n의 다음수(n')가 나온다.
그런데 이야기가 완성이 되려면 '2는 1의 다음수 이다' 라는 정의가 필요하지 않나요?
만약 마찬가지 방법으로 99+1=100이다 를 증명하기 위해서도. 99의 다음수는 100이다. 라는 말이 필요할것 같은데 이부분은 어떻게 해결할 수 있나요?
2는 1의 다음수라는 정의가 필요합니다. 9까지는 이러한 정의가 필요합니다. 그러나 그 이후부터는 10진법 표기법을 정의하여 99의 다음수가 100임을 추가적인 정의 없이 서술할 수 있습니다.
@@oortcloud3 알려주셔서 감사합니다
하하 나는 이것을 어쩌다가 다 보게되었는가.. 이해할수없지만 다보게되는 마법이였다
이과의 저주
영상 잘 봤습니다.
잘 몰라서 그러는데..
영상중에 n+m'=(n+m)'라는 부분이 1+1=2 증명에 크게 작용하는거 같은데
그부분에 대한 증명은 없고 +의에 정이라는 부분으로 그냥 넘어가데
원래 + 의 정이에 저런 내용이 들어가는건지
아니면 따로 증명이 있는데 생략된 부분인지 궁굼합니다..
정리는 엄밀한 증명으로써 검증된 사실이고
정의는 필요에 따라 공리계와 무모순적으로 약속한 사실입니다.
따라서 정의에 대한 별도의 증명은 없는게 맞습니다 😊
귀엽다 잘생겼다 수학은재밌다 정말 최고의선배..
선생님! 그러면 1+1은 0을 자연수라고 정의하는 공리계에서만 증명 가능한거 아닌가요!? 제가 이해 못한 부분이 있다면 댓글 부탁드립니다!
플라톤 선분의 비유 Dianoia 조사하다가 여기서 도움 얻고 가네요. 감사합니다.^^
영상 항상 잘 보고 있어요 !!
신기하네요! 자연수 집합은 이렇게 정의하는군요 근데 이렇게 했을 때 개별 자연수는 어떻게 정의하는지 궁금하네요. 예를 들어 자연수 100은 0의 100번째 다음 수라고 하면 이미 정의하는 부분 '100번째'에서 100의 정의를 사용하는데 이러면 순환논증의 오류 아닌가요?
0의 다음 다음 다음 다음 다음... 이런식으로 반복하면 100이 정의 되지 않을까요? 선생님께서 다음을 100번 말하기엔 힘드니 그냥 100번 째라고 말씀하신 것 같아요
순환논증은 아닙니다. 100의 정의는 쉽게 말해 "다음 연산 기호"를 유한번 사용하여 정의 가능 하기에 순환논증은 아니네요. 다만 직관적인 이해가 안갈 수 있는 수체계이긴 합니다. 그래서 사람들이 자연수의 집합이 제일 단순한 무한집합이면서도 크고 작은 오해가 매우 많죠.
와 진짜 진짜 이런거 처음 보네요ㅎㅎ
와 진짜 구독하고갑니다
이해에서 오는 지적쾌락, 수학적 진리는 그 구성과 과정이기에 모든 앎들의 원소들을 구성하는 우리의 앎의 능력자체가 가장 순수한것. 그렇다고 해서 수 자체가 진리인것은 아니다.
멋진 선생님!!!
아..... 이 내용을 메스메틱스 1권 쳅터 2에 담으신 거구나..... 그 책 내용을 설명해주니까 이해가 되네....
영상 보기 전에 예상 한번 하겠습니다.
선생님은 분명 1+1=2의 반례인 '1+1=귀요미'가 모순임을 밝히는 귀류법으로 증명하셨을 것입니다!
네 1'=귀요미라면 1+1=귀요미라는 상대적 수학을 알려주셨어요.ㅋ
공리계는 웹툰에서 세계관같아요!
마법이 통하는 세계 라던가, …
(제가 제일 좋아하는 세계관은 쿠베라 세계관 입니다, 가장 좋아한 인류는 쿠베라에 나오는 고대인류 이고요)
그리고 설정오류는 세게관 내의 모순 이라고 생각합니다. 그래서 현실과 다른 세계관은 용납되도 설정오류는 용납할 수 없어요 ㅇㅅㅇ;
1+1=1이라 써서 오늘 시험 10점 날렸는데 이렇게 증명으로 극딜까지 박으셔야 겠습니까?
귀요미
창문
크.... 어렵지도 지루하지도 않은 명컨텐츠!
왤케 섹시해 보이시지 어쒸 뭐 한거 없이 수학을 하셨을 뿐인데 너무 잘생겨 보여 너무 섹시해 뭐에요 진짜
궁금해서 질문드리는데... 시청자중에 중학생이신분 계신가요? 이런 내용이 이해가시는지 궁금합니다.
지나가던 중학생인데 이해 되는거 정상입니다
trivial한 사실들을 존나 엄밀하게 증명하고 넘어가자하는게 해석학임
저렇게 집합론적으로도 증명은 가능하지만
해석학적증명도 충분히 가능 물론 집합론이야말로 수학의 언어이자 문법같은존재이고 ZFC공리계를 기본적인 base로 해석학이라는 학문이 생겨난것도
사실이고 수학이라는 학문은 논리적인생각을 가능하게만들어주는 우리 인류가 발견한 보물임
선생님 수학에 관심이 많고 요즘들어 공리계들에 관심이 많은 학생인데요
사칙연산의 정의에 관해서 영상 찍어주실수 있나요??
와 어쩌다 들어오게 됐는데 진짜 흥미로운데요?
뭔가 시원하게 딱 떨어지는 느낌입니다.
7:34에서 페아노 공리계의 3,4 공리를 이용해서 '자연수는 무수히 많다'라는 증명을 할 수 있다고 설명해주셨는데요, 해당 명제는 공리 2번 만으로도 증명할 수 있지 않나요? 모든 자연수 n은 그 다음 수 n'을 갖으므로 이를 확장해서 생각해보면 n의 그 다음 자연수인 n'은 다시 그 다음 수인 n''을 갖고, 이를 반복하여 생각하면 자연수라는 집합은 무한이다라는 결론을 얻을 수 있는 거 아닌가요?
귀납법이니 증명되겠져
공리3을 안 쓰면 안 될 거 같아요. n'=1인 n이 있으면 유한개의 자연수만으로 공리2를 만족시킬 수 있습니다.
2번 공리까지만 쓰면
1 -> 2 -> 3 -> 1 -> 2 -> 3 -> 1 -> ......
(1, 2, 3을 삼각형마냥 배치)
이렇게 해도 문제가 없게 돼요
다시 들어왔는데 여전히 존경심만 가지고 ᆢ다 못듣고 인사합니다. 몇달 후 다시 도전!^^
비슷한 얘기로 0이 짝수냐 아니냐 라는게 고등 수학과정에서 논쟁이 되곤합니다
경우의수에서 0을 짝수로 보냐 아니냐에 따라 답이 달라지곤 합니다
초등수학에서는 짝수와 홀수와 0이라고 분명하게 구분을 짓는데
중고등 수학에서는 그누구도 이렇다라고 약속해주지 않아서 문제입니다
이런 내용도 한번 다뤄주셨으면 좋겠습니다
이거는 짝수랑 홀수를 머로 정의하냐에 따라서 0이 짝수일수도있고 아닐수도 있음
근데 아무도 정해주지 않는게 문제에요ㅠㅠ
어떤교과서 어떤책에도 정의돼있지 않아요
@@tvtube5081 당연하게 알고있을것이라 생각해서 안 적는거 아닐까요.. 0은 그냥 0일뿐, 어는 집합에도 속해있지 않은..
개인적으로 궁금한게 있는데 + 정의 할때 2번째 조건은 직관적으로는 이해가 가는데 논리적으로도 증명이 가능한가요??
정의를 증명을왜하냐ㅋㅋㅋ 여기 골때리는댓글들 개많네ㅋㅋㅋ
@@fullsoul4619 왜이렇게 공격적이시지. 자기가 알고 있다고 해서 다른 모든 사람이 알고 있는 건 아닙니다. 그렇다면 이 영상또한 굳이 찾아와서 보고 있을 이유가 없겠죠.
n+m' = n+(m의 다음수)
(n+m)' = (n+m)의 다음수
두개 비교해보시면 결국 같음
굳이 저 조건을 단 이유는 1+1이 2로 뿅 하고 튀어나오는게 아니라 (1+0)' 이
1'이돼서 2가됨을 증명하는게 핵심이기 때문입니당!
()' 이 하나의 함수가 되는거죠
@@aselkim7263 아닙니다 ㅠㅠ 제가 무리한 질문을 해서 저런 말이나온거겠죠. 그래도 말한마디 감사합니다.
@@신종한-n6u 모자란 저에게 시간을 내주시면서 답변을 달아주셔서 감사합니다!!
선생님 궁금한 것이 있습니다
수능 문제를 풀 때,
답지를 보면 이해가 되는데
스스로 풀면 풀 수 없습니다
왜 그렇죠?
미분 개념을 이해하고 외었는데
4점짜리는 풀이가 안 떠오릅니다
그치만 답지를 보면 항상이해가 됩니다
왜죠?
배운 내용이니까 풀이를 읽으면 당연히 이해가 되죠
근데 문제를 풀 때 못 푼다는 건 그 풀이에 대한 분석이 부족한 것 같네요
왜 그런 방식으로 접근하는지, 배운 내용 중 어떤 것이 쓰였는지를 파악하고 문제를 풀 때 그걸 생각해보셔야 할 거 같습니다
또는 개념이 부족해서 응용이 안 되서 그런 것일 수도 있지요
재미있게 보았습니다. 수학이 재미있는 것이라는 걸 널리 알려주시기 바랍니다. 재미있고 신나는 수학세계를 많이 알려주세요~~~~^^
The essence of mathematics lies in its freedom.
-Cantor
수학의 본질은 그 자유로움에 있다.
-칸토어
폐아노 공리계랑 덧셈의 정의 까지 설명하면서 1+1=2를 증명하면 A4용지 한장분량 정도는 나올테니 '1+1=2가 그냥 약속이다. ' 보다는훨씬 기니까 그런 루머들이 생긴거 아닐까요. 저도 어린시절 '대학생이돼서 수학관련과에 가면 1+1=2를 증명하는데 있어서 생각보다 그 증명이 어렵고 길다. ' 정도로 듣고 지금까지 그렇게 알고있었는데 이영상을 보니 루머까진 아니고 어느정도 맞는 이야기였다고 생각되네요.
헐 진짜 이해도 잘되고 쉽네요 언냐 나 머리가 띵해~~~~~
쓰앵님 극한의 기본정리 리미트 각각 더해도 합쳐지는거 그런거 엡실론으로 증명한다 들었는데 이해가 안돼서 도움주실수있나요.?.?.?.?
재미있게 잘 봤습니다.^^ 늘 감사합니다.~
질문하나 해도 될까요?
1+1 = 2 할때 이 등호의 의미랑 0.999999... = 1할때 등호의 의미가 완전히 동일한 것인가요?
극한의 정의로 후자는 equal의 의미가 아니라 목표값이라고 하는 분들도 있고 아니다 완전히 equal이라는 분도 있는 것 같은데 정확히 수학적으로 어느 것이 맞는 말인지요?
0.999...를 어떻게 정의하냐에 따라 조금 관점이 달라질 수는 있으나, 애초에 제시하신 문장자체 (목표값이라는 표현)이 명확하지 않아 엄밀히 이야기를 하는 것 조차 불가능하네요.
무한 소수까지 확장한 10진수 표기법에 기반하여 등비급수로 정의하였다면 완전한 equal입니다
사실 수학에서 모든 기호에 대해 만장일치된 정의가 있는 건 아닙니다.
원칙적으로는 글쓴이가 어떻게 정의하고 사용하는지를 알아야지만 논의가 가능합니다.
0.99999는 1에 대한 좌극한으로 볼 수 있을 것 같은데, 극한의 정의에 따라 두 수는 같습니다. 자세한 것은 엡실론-델타 논법을 검색해보시면 좋을 것 같습니다.
음... 사실 1+1=2 라는 명제를 보고 생각이 든 문제는 과연 수를 어떻게 바라봐야 하는 것일까 였습니다. 일대일 집합으로 수를 바라본다면 동영상의 내용대로 그냥 약속의 측면에서 증명하면 되지만 수 자체가 존재한다고 생각한다면 그 존재 자체를 증명해야 하는거니까 어려운 면이 있지 않을까 생각했습니다. 아무래도 사람들이 이 명제를 어렵게 생각했던 근본적인 이유 자체가 수를 존재 그 자체로 바라보고 있는 사람이 많았기 때문이지 않을까 싶습니다.
수학은 너무 좋아하는과목임 진짜
너무좋아서 미칠정도로 선생님 다음은 해석학
해주시면안될까요? 사랑합니다 센세
0:57 일더하기 일은 귀요미