Так вроде была сегодня такая же. По долькам. ВД -- ось симметрии и высоты из К на стороны равны. КМД -- одна долька, АКД -- две, АВК -- четыре ( из подобия АВК и КДМ с лин кэфф =2, т к АВ:МД= 2:1).АВД=2+4=6 долек. Квадрат = 12 долек. Одна долька = 12, а две =24 Ответ:24 ,Можно еще укоротить. АМД =(12*6)/2=36, а АКД=2/3 от АМД = 24
Можно рассмотреть третье решение. Введём систему координат с центром в точке А. Ось Х направлена вправо, Y - вверх. Составим уравнение прямой, содержащей отрезок АМ: y=0,5x. Затем составим уравнение прямой, содержащей отрезок BD: y=12-x. Приравняв эти два уравнения друг к другу и затем решив получившееся равенство, найдём абсциссу точки К: х=8. Подставив это значение в любое из уравнений выше, получим ординату точки К: у=4, каковая является по совместительству высотой треугольника АКД. Соотвественно, площадь этого треугольника 0,5*4*12=24.
Легче найти площадь треугольника ABK и треугольника BSD и вычесть их с квадрата получим площадь AKD. Треугольник АВК подобен треугонику DKM, при накрес лежащих углов, коэффициент подбие равен 2, так как АВ больша DM в два раза. Значит и высота относится как 1:2. Т.е. KH будет равна 2/3*12=8 Площадь треугоники ABК=(КН*АВ)/2=(8*12)/2=48 Площадб BDC равна (12*12)/2=72 Площадь квадрата равна 12*12=144 Площадь AKD=144-72-48=24
Я решил геометрически, устно, используя только правило нахождения площади треугольника через половину произведения основания на высоту: 1. Sамд=36 поскольку составляет 1/4 от площади квадрата АВСД, который равен 12*12=144 (1/4*144=36); 2. Sдкм=1/2*Sакд поскольку их высоты равны (точка К лежит на диагонали ВД, являющейся биссектрисой угла АДС), а отношение оснований равно 1 к 2; 3. Теперь на основании того, что Sдкм=1/2*Sакд и Sдкм+Sакд=Sамд, а Sамд=36 находим что Sакд=2/3*Sамд следовательно Sакд=2/3*36=24 ✅
По двум подобным треугольникам выясняем, что синяя диагональ квадрата делится на 2 отрезка как 1/2, т.е. малая её часть составляет 1/3 от всей диагонали. Соответственно, т.к. у половины квадрата и у искомого треугольника общая высота, то искомый треугольник в 3 раза меньше, чем половина квадрата. 1. 144÷2=72 2. 72÷3=24 Ответ:24.
Просто, соеденить т. А, с серединой ВС. Получаем треугольник ABD, разделенный, на три равновеликих треугольника(основания и высоты, равные) >ABD=144/2=72.>искомый треугольник 72/3=24.
Спидран по задачам, поехали. Пусть площадь ВКА =S1, BCMK = S2, MKD = S3. S трапеции ABCM = 108 = S1 + S2, S BCD = 72 = S2 + S3. Значит, 36 + S3 = S1. Теперь проведем высоты из точки К КН на сторону MD и KH1 на сторону АВ. Теперь надо выразить H1 через H с помощью площадей треугольников с этими высотами и получаем 6 + 0,5H = H1. Затем, высоты параллельны сторонам квадрата, значит 6 + 0.5Н + Н = 12. Решаем, Н = 4. Тогда площадь КМD = 6*4/2 = 12, S тр-ка АМD равна 6*12/2=36, 36-12=24 - искомая площадь АКD.
Площадь АМД составляет четверть от площади квадрата. Так что остаётся только выяснить соотношение площадей АДК и ДМК, которое легко выводится из подобия АКВ и ДМК. Как только мы находим коэффициент подобия 2, то сразу видно, сто АК вдвое больше, чем КМ, а значит и площади относятся, как 2:1, т.е. площадь АКД составляет 2/3 от площади АМД. Вот и всё решение...
Треугольни ABK и DMK подобны с коэффициентом 2, значит их высоты относятся как 1:2 и равны, соответственно 8 и 4. Значит площадь треугольника DMK = 4*6/2=12. Площадь треугольника AMD=12*6/2=36. Площадь треугольника AKD=36-12=24
тоже подобие,но без доп достроений можно( почти),да и подобием одним обойтись вполне возможно. S ABD состовляет 1/2 от квадрата = 72. Пускай площадь AKD - x. Тогда S akb будет 72-х. BKA и DKM подобны. Их k=2. Знаем,что площади подобных фигур относяться как k^2,тогда S kmd = (72-x)/4. Проведем BM, тогда S abm = 1/2S abcd. Поскольку AMD и BMC треугольники равны, то и площади их так же одинаковы => S amd = 1/4S abcd = 144/4=. S amd = x+(72-x)/4= (72+3x)/4. = 36. После решение уравнения получаем заветные 24 кв. единиц
Ну, на самом деле надо понять, в каком отношении красный отрезок делит синий (диагональ квадрата). Задача устроена так, что достаточно просто задать этот вопрос, и ответы начинают сыпаться сами собой. К желтому треугольнику прилегают сторонами два подобных треугольника, отношение сторон которых 2:1 Значит, оба отрезка, и синий, и красный, делятся точкой пересечения в этом отношении. То есть красный отрезок делит "левую нижнюю" половину квадрата на два треугольника с таким же отношением площадей. То есть, площадь желтого треугольника это треть половины площади квадрата. ? = 12*12/6 = 24; и не надо ничего рисовать и считать - все есть на рисунке.
Мое решение в лоб (уровень 9 классов): CD = AB = 12, MD = CD/2 = 6 (M - середина CD) Поскольку угол D в треугольнике AMD прямой, то можно использовать теорему Пифагора: AM = √(AD^2+MD^2) = √180 = 6√5. DK - биссектриса угла D (BD как диагональ квадрата является и биссектрисой угла, из которого выходит, а точка K принадлежит прямой BD по условию), потому по свойству биссектрисы: AD/AK = DM/MK; 12/AK = 6/MK => AK = 2MK. Так как AK + MK = 6√5, то АК = 4√5 (МК = 2√5). Также найдем синус угла КАD как MD/MA = 6/(6√5) = 1/√5. Итак, площадь искомого треугольника AKD равна (по формуле полу произведения смежных сторон и синуса угла между ними) 1/2 * sin KAD * AO * AD = 1/2 * 1/√5 * 4√5 *12 = 2 * 12 = 24. Не претендую на изящность или скорость, это - простое решение простого девятиклассника (который, правда, огэ сдал на 30 баллов), которое я не обнаружил у других комментаторов.
Решение: используя координатный метод. Запишем уравнение красной линии, проходящей через точки (0;0) и (12;6): у=х/2 Запишем уравнение синей линии, проходящей через точки (0;12) и (12;0): у=12-х Найдем координаты их точки пересечения: х/2=12-х 3х/2=12 х=8 у=х/2=4 Мы можем найти площадь S треугольника с координатами вершин (8;4), (0;0) и (12;0), используя формулу Герона или Гаусса: С = 24 Ответ: 24
Рассмотрим два треугольника АВК и МКД. Они подобны. Тогда КД/ВК = МД/АВ или 1/2 То есть ДК в 3 раза меньше БД. В нашем искомый треугольник АКД предположим что КД основание. И у ABD треугольника основание BD. И та же высота проведенная из точки А на сторону BD. Высоты одинаковые, а основание в 3 раза меньше, тогда и площать в 3 раза меньше чем площадь ABD, то есть 12*12/2 и ещё /3 = 24
Так вроде была сегодня такая же.
По долькам. ВД -- ось симметрии и высоты из К на стороны равны. КМД -- одна долька, АКД -- две, АВК -- четыре ( из подобия АВК и КДМ с лин кэфф =2, т к АВ:МД= 2:1).АВД=2+4=6 долек. Квадрат = 12 долек. Одна долька = 12, а две =24
Ответ:24
,Можно еще укоротить. АМД =(12*6)/2=36, а АКД=2/3 от АМД = 24
Там другая. Я ж не Байден, кое-что помню.
Можно рассмотреть третье решение. Введём систему координат с центром в точке А. Ось Х направлена вправо, Y - вверх. Составим уравнение прямой, содержащей отрезок АМ: y=0,5x. Затем составим уравнение прямой, содержащей отрезок BD: y=12-x. Приравняв эти два уравнения друг к другу и затем решив получившееся равенство, найдём абсциссу точки К: х=8. Подставив это значение в любое из уравнений выше, получим ординату точки К: у=4, каковая является по совместительству высотой треугольника АКД. Соотвественно, площадь этого треугольника 0,5*4*12=24.
ОТЛИЧНО!
Легче найти площадь треугольника ABK и треугольника BSD и вычесть их с квадрата получим площадь AKD.
Треугольник АВК подобен треугонику DKM, при накрес лежащих углов, коэффициент подбие равен 2, так как АВ больша DM в два раза. Значит и высота относится как 1:2. Т.е. KH будет равна 2/3*12=8
Площадь треугоники ABК=(КН*АВ)/2=(8*12)/2=48
Площадб BDC равна (12*12)/2=72
Площадь квадрата равна 12*12=144
Площадь AKD=144-72-48=24
Благодарю. Я тоже медианами решил.
Отлично.
Я решил геометрически, устно, используя только правило нахождения площади треугольника через половину произведения основания на высоту:
1. Sамд=36
поскольку составляет 1/4 от площади квадрата АВСД, который равен 12*12=144 (1/4*144=36);
2. Sдкм=1/2*Sакд
поскольку их высоты равны (точка К лежит на диагонали ВД, являющейся биссектрисой угла АДС), а отношение оснований равно 1 к 2;
3. Теперь на основании того, что Sдкм=1/2*Sакд и Sдкм+Sакд=Sамд, а Sамд=36 находим что Sакд=2/3*Sамд следовательно Sакд=2/3*36=24 ✅
Супер!
По двум подобным треугольникам выясняем, что синяя диагональ квадрата делится на 2 отрезка как 1/2, т.е. малая её часть составляет 1/3 от всей диагонали. Соответственно, т.к. у половины квадрата и у искомого треугольника общая высота, то искомый треугольник в 3 раза меньше, чем половина квадрата.
1. 144÷2=72
2. 72÷3=24
Ответ:24.
Отлично.
Просто, соеденить т. А, с серединой ВС. Получаем треугольник ABD, разделенный, на три равновеликих треугольника(основания и высоты, равные) >ABD=144/2=72.>искомый треугольник 72/3=24.
Спасибо.
Спидран по задачам, поехали. Пусть площадь ВКА =S1, BCMK = S2, MKD = S3. S трапеции ABCM = 108 = S1 + S2, S BCD = 72 = S2 + S3. Значит, 36 + S3 = S1. Теперь проведем высоты из точки К КН на сторону MD и KH1 на сторону АВ. Теперь надо выразить H1 через H с помощью площадей треугольников с этими высотами и получаем 6 + 0,5H = H1. Затем, высоты параллельны сторонам квадрата, значит 6 + 0.5Н + Н = 12. Решаем, Н = 4. Тогда площадь КМD = 6*4/2 = 12, S тр-ка АМD равна 6*12/2=36, 36-12=24 - искомая площадь АКD.
Отлично.
КД биссектрисса. Отсюда отношение 1:2. Дальше по накатанному.)
Спасибо.
Площадь АМД составляет четверть от площади квадрата. Так что остаётся только выяснить соотношение площадей АДК и ДМК, которое легко выводится из подобия АКВ и ДМК. Как только мы находим коэффициент подобия 2, то сразу видно, сто АК вдвое больше, чем КМ, а значит и площади относятся, как 2:1, т.е. площадь АКД составляет 2/3 от площади АМД. Вот и всё решение...
Супер!
У меня 3-ий способ. Пусть площадь жёлтого треуг Sж, и пусть площадь треуг ДКМ - Sм, тогда площадь подобного ему треуг АВК - 4 Sм. По условию Sкв = 12². Запишем 2 очевидных р-ва: Sж + 4•Sм = 1/2 • 12² и Sж + Sм = 1/4 • 12², отнимет из 1-го р-ва 2-ое, получим: 3 • Sм = 1/4 • 12², Sм = 12. Найдём Sж, например, из 2-го ур-ия: Sж = 1/4 • 12² - 12 = 12(3 - 1) = 24. Sж = 24. Без дополнительных построений.
Отлично.
Большой-большой привет на новом канале!
🌱🌲☘️😀🔥😅🌲☘️🌳🌳
Треугольни ABK и DMK подобны с коэффициентом 2, значит их высоты относятся как 1:2 и равны, соответственно 8 и 4. Значит площадь треугольника DMK = 4*6/2=12. Площадь треугольника AMD=12*6/2=36. Площадь треугольника AKD=36-12=24
Супер!
тоже подобие,но без доп достроений можно( почти),да и подобием одним обойтись вполне возможно. S ABD состовляет 1/2 от квадрата = 72. Пускай площадь AKD - x. Тогда S akb будет 72-х. BKA и DKM подобны. Их k=2. Знаем,что площади подобных фигур относяться как k^2,тогда S kmd = (72-x)/4. Проведем BM, тогда S abm = 1/2S abcd. Поскольку AMD и BMC треугольники равны, то и площади их так же одинаковы => S amd = 1/4S abcd = 144/4=. S amd = x+(72-x)/4= (72+3x)/4. = 36. После решение уравнения получаем заветные 24 кв. единиц
Да, это классное решение.
Ну, на самом деле надо понять, в каком отношении красный отрезок делит синий (диагональ квадрата). Задача устроена так, что достаточно просто задать этот вопрос, и ответы начинают сыпаться сами собой. К желтому треугольнику прилегают сторонами два подобных треугольника, отношение сторон которых 2:1 Значит, оба отрезка, и синий, и красный, делятся точкой пересечения в этом отношении. То есть красный отрезок делит "левую нижнюю" половину квадрата на два треугольника с таким же отношением площадей. То есть, площадь желтого треугольника это треть половины площади квадрата. ? = 12*12/6 = 24; и не надо ничего рисовать и считать - все есть на рисунке.
Отлично.
Мое решение в лоб (уровень 9 классов):
CD = AB = 12, MD = CD/2 = 6 (M - середина CD)
Поскольку угол D в треугольнике AMD прямой, то можно использовать теорему Пифагора: AM = √(AD^2+MD^2) = √180 = 6√5.
DK - биссектриса угла D (BD как диагональ квадрата является и биссектрисой угла, из которого выходит, а точка K принадлежит прямой BD по условию), потому по свойству биссектрисы: AD/AK = DM/MK; 12/AK = 6/MK => AK = 2MK. Так как AK + MK = 6√5, то АК = 4√5 (МК = 2√5).
Также найдем синус угла КАD как MD/MA = 6/(6√5) = 1/√5.
Итак, площадь искомого треугольника AKD равна (по формуле полу произведения смежных сторон и синуса угла между ними) 1/2 * sin KAD * AO * AD = 1/2 * 1/√5 * 4√5 *12 = 2 * 12 = 24.
Не претендую на изящность или скорость, это - простое решение простого девятиклассника (который, правда, огэ сдал на 30 баллов), которое я не обнаружил у других комментаторов.
Случайно в конце вместо АК написал АО, но суть не меняется
Отлично.
Решение:
используя координатный метод.
Запишем уравнение красной линии, проходящей через точки (0;0) и (12;6):
у=х/2
Запишем уравнение синей линии, проходящей через точки (0;12) и (12;0):
у=12-х
Найдем координаты их точки пересечения:
х/2=12-х
3х/2=12
х=8
у=х/2=4
Мы можем найти площадь S треугольника с координатами вершин (8;4), (0;0) и (12;0), используя формулу Герона или Гаусса:
С = 24
Ответ: 24
Рассмотрим два треугольника АВК и МКД.
Они подобны.
Тогда КД/ВК = МД/АВ или 1/2
То есть ДК в 3 раза меньше БД.
В нашем искомый треугольник АКД предположим что КД основание. И у ABD треугольника основание BD.
И та же высота проведенная из точки А на сторону BD.
Высоты одинаковые, а основание в 3 раза меньше, тогда и площать в 3 раза меньше чем площадь ABD, то есть 12*12/2 и ещё /3 = 24
ОТлично!
Когда легко вычисляются координаты точек - аналитическая геометрия в помощь!
A = [0; 0]; D = [12; 0]; M = [12; 6];
AM: y = 0.5x; BD = 12 - x;
0.5x(K) = 12 - x(K); 1.5x(K) = 12; x(K) = 8; y(K) = 4; K = [8; 4];
Имеем: AD = 12; AK = sqrt(64 + 16) = 4*sqrt(5); sin(MAD) = 1/sqrt(5);
S(AKD) = 0.5*12*4*sqrt(5)/sqrt(5) = 24. (!!)
Отлично.
Разбор домашек интересует на всех каналах.
Отлично. Будем разбирать
Я бы продолжил АМ до пересечения с ВС в точке N и рассмотрел бы треугольники АКD и ВКN
Да,, можно так.
Картин вариант предпочтительней, так как почти устный.
Спаасибо
Катино решение проще и привлекательнее.
Согласен. Мне оно тоже нравится
Розовыми буквами Вы не правильно указали первый треугольник второй подобной пары.Извините.
Бывает.
Через т.К проведем отрезок А1Д1 паралельный АД. Треугольники АВК и МКД подобны МД/АВ=1/2 коэффициент подобия => А1К : Д1К=2 : 1, А1К= 8, Д1К=4, т.К равноудалена от отрезков АД и СД поскольку ВД бисектриса угла АДС=>
КН=КД1=4,
S(АКД)= 12×4/2=24
супер!
Первый лайк не глядя)))) Спасибо огромное!
И вам спасибо. Но лучше посмотреть. Это лкассическая ключевая задача на разбиение и площади.
Очень долго, АДМ равен 36.
КМД зеркалим через КД и видим
КМД ровно половина АКД,
следовательно 36/3 и уножить на 2= 24
Не мастер ошибся, а акела промахнулся😭😭😭😭😭
Бывает
на 4,23 наверное АКВ, а не АКД
Возможно оговорился, спасибо.