이차부등식의 연산과 인수분해, 치환, 이차함수의 그래프를 이용하면 중학교 수준의 수학으로도 충분히 증명 가능합니다. 제일 먼저 a/b = (a+2b)/(a+b)라 가정할 경우 a = √2b인데, 이는 a와 b가 양의 정수라는 문제의 조건과 모순이므로 이를 만족하는 순서쌍 (a,b)는 존재하지 않습니다. 따라서 a/b ≠ (a+2b)/(a+b)입니다. 이때 일반성을 잃지 않고 a/b < (a+2b)/(a+b)라 가정했을 때 양변에 b(a+b)를 곱하면 a²+ab < ab+2b²이 됩니다. 이때 양변에서 ab를 빼주면 a² < 2b²에서 a/b < √2임을 유도할 수 있고, 양변에 a²+3ab+2b²을 더해주면 2a²+4ab+2b² 0이므로 t의 범위는 0 < t < √2임을 알 수 있습니다. 여기서 y = f(t)의 그래프를 그리면 해당 범위에서 f(t) < 0이므로 (①번 식) > (②번 식)입니다. 이때 (①번 식)은 √2(ab+b²)과 a²+ab의 차이, (②번 식)은 ab+2b²과 √2(ab+b²)의 차이를 의미하며 이는 각각 a/b와 √2, √2와 (a+2b)/(a+b)의 차이에 비례하므로 (a+2b)/(a+b)가 √2와 더 가까움을 알 수 있습니다.
a1 = 1, b1 = 1 (1-√2)^n = a_n - b_n√2 를 만족하는양의 정수열 a_n, b_n 을 생각하면 a_n+1 = a_n + 2b_n, b_n+1 = a_n + b_n I (a_n+1 / b_n+1) - √2 / < I (a_n / b_n) - √2 I 임을 보일 수 있으므로 a/b 보다 a+2b/a+b 가 √2 에 더 가까운 수 * lim an/bn = √2 이다
이 문제를 풀어 윤석열이가 서울법대에 합격했다는 이야기다. 과외가 흔치 않던 시절 윤을 비롯한 몇몇 특권층들은 사교육을 통해 일본 입시 문제와 유사했던 서울대 본고사 문제를 돌파할 수 있었다. 정보가 흔치 않던 시절 입시전문 최고의 강사들로 부터 직접 과외수업을 받은 당시의 부유층 자녀들이 명문대에 들어가는 것은 요즘보다 더 용이했다고 봐도 된다.
![[취미는 과학/확장판] 16화 특수상대성이론, 이번에는 이해할까? (feat. 김범준 교수)](http://i.ytimg.com/vi/PCM4DLADLz8/mqdefault.jpg)
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와 사잇값정리 상상도 못함 엄밀하게 따지면 실함수는 아니라 정확한 사잇값정리는 아니겠지만 그 꼴을 차용한다는 생각 자체가 미쳤네요
오 재밌다. '사이에 있다'와 '어디에 더 가깝다'를 부등식으로 표현하는게 핵심이군요
오늘도 흥미로운 주제 감사합니다. 소리가 좀 찢어져서 들리네요.
찢?
@꿀팁정보엄
@ 네?
이런건 결국 연산을 잘하는 것 보다 성질과 개념을 잘알고있어야 겠네요
헉헉 재밌다
19한양논 오전 벡터 증명문제의 아이디어와 같네요 ,,오래된 문제도 돌고도는군요
우측이 더 가깝다는 것은 바로 추측해서 맞추었지만 저렇게 계산하는 것은 나는 못하네
저런건 교과서에안나오고 쪽집게과외한자만풀수있는문제다
a가 무한이고 b가 1일 때
a/b는 무한이고 (a+2b)/(a+b)는 1
a가 1이고 b가 무한일 때
a/b는 0이고 (a+2b)/(a+b)는 2
극한 쓰면 바로 풀리는데요
A,b양의 정수아닌가요
양의 정수라했더니 뭔 무한이에요..
두 번째 질문을 푸는데는 좋은 방법인데,
아무것도 증명하지는 않는 것 같은데요.
그 사이의 수많은 경우를 다 대입 해 본게 아니니까, 반례가 있을지 알 수 없습니다.
A=100,B=101
전자 = 1.01
후자 = 약 3/2
답:후자
재밌는 문제네요 감사합니다
와...진짜 신기하고 잼있네요...크...우리 딸도 이런 재미를 좀 느끼면 좋겠다
4:27 sqrt는 루트라는 거 같은데 유리수가 아니기 때문에 둘 다 양수라는 게 무슨 뜻인지 알려주실 분 계신가요!
그냥 y=x, y=1+1/(x+1) 그래프 비교하면 간단함.
a/b=x 로 정리하고 푸는 방법이죠?
지리네요
고등학생때 이거 2를 3으로 바꿔서 시험에 나와서 전교생 다 틀림
항상 옳은 선택
썸네일만 봤는데
뭔가 수렴 위한 초기조건 구하고싶어짐
마지막부분에서 f(p)=1+1/p로 나타내면 수열 a_n의 극한값은 sqrt2를 연분수로 나타낸 꼴이네요
루트 n (n은 자연수)를 근사하는 펠 방정식과 연관성이 있어보이네요
재미있는 문제입니다. 분자 2b가 아니라 3b면 root(3)에 수렴하게 되는지 확인해 보고 싶어지네요.
79년도 본고사면 서울대 79학번이 본 시험인가요? 아니면 80학번이 본 시험인가요?
서울대 79학번이 본 수학시험은 아닌 것으로 보입니다. 80학번이 본 시험으로 추측됩니다.
재미ㅆ당
재밌네요
재밌네
특정 학교에 한해서 본고사가 있었으면 좋겠네요.
획일화된 교육이 아니라 창의력이 필요한 교육을 이끌기 위해서는 본고사 외에는 없다고 생각하는 문제라고 생각 되네요.
저런 문제주고 이삼일 시간주면 수학적 사고력 검증에 도움될 수 있겠네요.
@@ik964
그것도 그런데, 저 문제를 지금 고3에게 내 주면 몇 명이나 풀 수 있을까요. 예전에는 풀 수 있도록 공부해서 들어갔을텐데 말이지요. 분명 지금 고3 중에도 있을 겁니다. 하지만 획일된 교육에 그 재능을 잃어버리고 있을 겁니다.
@ 몇가지 힌트를 주면 되지 않을까요. 이 문제 같은 경우 곱이 음수라던가 분수가 1보다 작은지 큰지를 본다던가 하는.
이거 유리함수 쓰면 더 간단히 됩니다.
쉽죠?ㅋㅋ
이차부등식의 연산과 인수분해, 치환, 이차함수의 그래프를 이용하면 중학교 수준의 수학으로도 충분히 증명 가능합니다.
제일 먼저 a/b = (a+2b)/(a+b)라 가정할 경우 a = √2b인데, 이는 a와 b가 양의 정수라는 문제의 조건과 모순이므로 이를 만족하는 순서쌍 (a,b)는 존재하지 않습니다.
따라서 a/b ≠ (a+2b)/(a+b)입니다.
이때 일반성을 잃지 않고 a/b < (a+2b)/(a+b)라 가정했을 때 양변에 b(a+b)를 곱하면 a²+ab < ab+2b²이 됩니다.
이때 양변에서 ab를 빼주면 a² < 2b²에서 a/b < √2임을 유도할 수 있고, 양변에 a²+3ab+2b²을 더해주면 2a²+4ab+2b² 0이므로 t의 범위는 0 < t < √2임을 알 수 있습니다.
여기서 y = f(t)의 그래프를 그리면 해당 범위에서 f(t) < 0이므로 (①번 식) > (②번 식)입니다.
이때 (①번 식)은 √2(ab+b²)과 a²+ab의 차이, (②번 식)은 ab+2b²과 √2(ab+b²)의 차이를 의미하며 이는 각각 a/b와 √2, √2와 (a+2b)/(a+b)의 차이에 비례하므로 (a+2b)/(a+b)가 √2와 더 가까움을 알 수 있습니다.
a/b = k(유리수, >0)으로 놓고 정리해도 되려나요
ㅔㅔ 그렇게 k1 k2 잡고
셋 다 양수인 걸 이용해서 세개 다 제곱한 후의 대소관계가 제곱하기 전의 대소관계와 같다는 것을 써주면 매우매우 간단하게 풀립니다 ㅋㅋ
제곱 안하는 게 호구죠 그냥
a1 = 1, b1 = 1 (1-√2)^n = a_n - b_n√2 를
만족하는양의 정수열 a_n, b_n 을 생각하면
a_n+1 = a_n + 2b_n, b_n+1 = a_n + b_n
I (a_n+1 / b_n+1) - √2 / < I (a_n / b_n) - √2 I
임을 보일 수 있으므로
a/b 보다 a+2b/a+b 가 √2 에 더 가까운 수
* lim an/bn = √2 이다
수열에 속하지 않는 임의의 자연수 쌍에서도 성립한다는 건 어떻게 증명하나요?
a1=a, b1=b 로 두고
같은 방법으로 an, bn을 정의하면
a2=a+2b/a+b, b2=a+b 이므로
임의의 자연수 쌍에대해서 성립합니다
오~
b=1, a=3 이면 성립 안 하지 않나요?
3과 1.25면 사이에 1.4... 가 있죠
조회수 높네요 ㅎㅎ 이건 양수라는 조건에 의해서 푸는 문제에요. 먼저 a/b=k1, a+2b/a+b=k2 라고 놓으면 모두 양수지요? 그러면 크기를 비교함에 있어 제곱은 관계를 보존합니다. 무슨말이냐구요? 양수 a,b가 있을때 a
유리함수풀이 괜찮은데요 이거
정의역이 양의 정수인데 논술형 시험에서 어떻게 그래프를 그려서 설명하겠다는 건지
a/b를 유리수 p라 하고 sqrt2를 제외한 모든 양의 실수에서 성립하기 때문에 모든 유리수에 대해서도 성립한다고 풀이 가능할 것 같네요.
아 썸넬만 보고 a, b 모두 실수일때 경우 나눠서 언제 가까운지까지 풀었는데 자언수엿네 ㅡㅡ
자꾸 알고리즘 떠서 잠깐 봤는데, 저는 이 강의가 잘못되었다고 생각합니다.
어쩌면 이 문제에서의 가장 핵심인, 사잇값의 뺄셈과 곱셈은 왜 항상 음수인지 설명 없이 풀이를 해버리면, 듣는 학생이나 수학에 관심있는 학생들이 흥미를 잃게 되어버리니깐요
해석학 책에서 set A = {r : r>0 and r^2
그냥 그래프 그리면 자명하게 나오던데 이문제
a=b일때를 기준으로 답을 찾고 a>b일때와 b
스고이
참고로 한마디 하자면 이런건 수학 발견과정에 안쓰입니다. 시간 낭비하지 마세요.
이 문제를 풀어 윤석열이가 서울법대에 합격했다는 이야기다. 과외가 흔치 않던 시절 윤을 비롯한 몇몇 특권층들은 사교육을 통해 일본 입시 문제와 유사했던 서울대 본고사 문제를 돌파할 수 있었다. 정보가 흔치 않던 시절 입시전문 최고의 강사들로 부터 직접 과외수업을 받은 당시의 부유층 자녀들이 명문대에 들어가는 것은 요즘보다 더 용이했다고 봐도 된다.
정치정신병자 하나 있네
와 당시 상황을 너무나 정확히 아시네요!
에초에 윤석열 부친이 연세대 통계학 교수이자 거장이기때문에 수학에 강한 건 당연함
이말이 갑자기 왜 나왔나요?
그래서 뭘 말하고 싶은 거임?
1. A=1 b=1 일때
2. A=1 b=2 일때
3. B=2 A=1 일때
이거 3개만 대입해서 풀면 답나오지않아요?
항상 후자가 더 루트2랑가까운듯?