Chapter 3 行列と一次変換 | 線形代数のエッセンス
HTML-код
- Опубликовано: 6 сен 2024
- この動画は3Blue1Brownの動画を東京大学の学生有志団体が翻訳・再編集し公式ライセンスのもと公開しているものです。
チャンネル登録と高評価をよろしくお願いいたします。
翻訳補足
Linear Transformationは一次変換とも線形変換とも呼ばれます。「変換がlinearである」とは「変換が線形である」という意味で（実はここでも「変換が一次である」と言えるのですが）、このような場合より自然な表現である「線形」を採用し、一方でLinear Transformationはより馴染み深い「一次変換」と訳しました。「線形写像」のように、Linearを「線形」とした「線形変換」という語も存在します。
Chapter 4 → • Chapter 4 行列の積と変換の合成 |...
Chapter 2 → • Chapter 2 線形結合, Span, ...
日本語版Twitter
/ 3b1bjp
元チャンネル（英語）
/ 3blue1brown
元動画（英語）
• Linear transformations...
----------------------------------------
英語版翻訳元チャンネルの支援
/ 3blue1brown
アニメーションはmanimで作られています
github.com/3b1...
英語版公式ソーシャルメディア
Webサイト: www.3blue1brow...
Twitter: / 3blue1brown
Facebook: / 3blue1brown
Reddit: / 3blue1brown
----------------------------------------
Music by Vincent Rubinetti
Download the music on Bandcamp:
vincerubinetti...
Stream the music on Spotify:
open.spotify.c...
やばっ、線形代数とCGと動画の相性が良すぎる。人間の頭の中を直接見てるみたいだ。文字の説明だと、教育者の頭の中のイメージ→一次元の文字列＋補助画像→学習者の頭の中のイメージ の二段階の変換が必要なのに、この動画だと教育者の頭の中のイメージをそのまま見てるみたいな感覚になる。 凄すぎる。
ビジュアルにするとこんなに分かりやすいのかって、
このチャンネルで痛感する
行列の掛け算が一瞬で理解出来してしまった強すぎる
数検を受けるために行列を覚えたけど、当時はその行列が何を意味してるのか分からなかった。
ただ、今この動画で一次変換がどういったものか、単位行列はなぜ 1,0,0,1 なのかがしっかりとそれらのイメージが理解できた気がしてものすごくスッキリする。
このコメントを見つけたことが値千金になるかも。
『単位行列は1として使う。』としか見てなかったです。
初期のグリッド線から変化しないという意味なんですね。
ありがとうございます！
@@kkksss9786やばすご
今回の内容を大学1年のときから知っておきたかった
単位行列をかけても元の行列が変わらない理由が視覚的に理解できた
先に一次変換から話してそこから行列の定義に話を繋げるのは視覚化も相まってとても自然で分かりやすく丁寧
目からウロコすぎる……
行列がベクトルの集まりだという事がｽｯと頭に入ってきて気持ちよかった。解説書より断然わかりやすいし面白い。
進学先決まって線形代数ちょっと始めてみようかな
ってタイミングで神すぎる
解説のぽいんと「なぜ「変換」というか」についてあらかじめ
説明してくださってるところが最高に良いです。
けっこうそういうところの違和感がつまづきになると思うので。
今まで知ってる講師の中で一番最高です
線形代数のイメージをこの動画でパッと掴めて嬉しい半面、こういう動画やイメージなしで1次変換とかを考えてた昔の人はすげぇなぁって思った
意味を教えてくれるのが本当に面白い
数C勉強してから10年…行列の良さが全く分からず、ベクトルも嫌いなままだった
でも今日行列もベクトルも好きになれました！！
基底ベクトルの考え、めっちゃ分かりやすい
ああ、全てが懐かしい。
ビジュアライゼーションされた形だと本当に見てて楽しいですねえ。
日本語に訳していただいて本当にありがとうございます。私はやはり海外のアプローチって好きです。
英語を母国語として世界中のなかで選りすぐられた分かりやすいあらゆる学問を勉強できるって本当に羨ましいです。私はアメリカに住んでいて英語は外国語としては使っていますし、マスターもアメリカで取りました。でも、結局こうして母国語に変換しないと伝わらないものが沢山あるんですよね。こういう動画がもっと増えるといいなと思います。
最近、ⅠAⅡBでもこう使えると知りました
点(x,y)=(cosθ-sinθ,cosθ+sinθ)の0≤θ≤πでの軌跡を求めよ
という問題は、ベクトル(1,1)の180°回転として捉えられるという
いや〜まじで待ってました！
高校の先生が、二次関数のグラフを回転させるときに行列を使うと言っていて気になってたので嬉しい
高校生1年生なのにめちゃ分かる解説ありがとうございます！
声好き、映像好き、音楽好き、このチャンネル大好き
行列の列を「基底ベクトルの行き先」と解釈できるのがすごい
なんか、すごくすごい
追記
書いたのが夜中だったもんで変なこと書いちゃったけど、いずれにせよ線形変換が行列の形で書けるのは扱いやすくて良いですね
一人でアンビリーバボーとか言ってた奴よりはマシですよw
ほんとにすごいですよね！
行列の計算方法などを軽く習ったのだけれども、行列がなんなのかという理解ができないままモヤモヤしていましたを
それがとてもスッキリしました。
10年近く前の大学の授業すっかり忘れてたけど開始5分で直感的理解を取り戻せた
線形「従属」の実感がほしくてこの動画にたどり着きましたが、二つのベクトルに、属する平面が従属するところで脳汁出ました。いつも気持ちいい動画をありがとうございます
この動画はまさにmake scenceって感じでしたありがとう御座います
いやこれは素晴らしい動画だと思います。よく作ってくれました。そこら辺のポンコツな大学教授よりも分かりやすいし本質的。線形代数シリーズもっと充実させて欲しい。
2枚の格子線を書いてようやく可視化できるのか、基底ベクトルの行先さえわかれば全部のベクトルの移動先もわかると。関数みたいにグラフで書けないからすごく難しく感じるけど、２枚の格子線さえ書けば視覚的に理解しやすくなって何をしているのかわかる。大学一年の時の線形代数ってこんなことしてたんか。。。
一次変換の図形的な考え方ってないのかなって思ってた！すごい！
高校生の時に数学Cで聞きたかった話や
教員はとりあえずそういうもんだとしか教えてくれなかったな…
勉強のために見始めたこと忘れて、普通に見入ってしまった。
もしかしてこのチャンネルのアイコンって日本verだから本家のアイコンのまわりに日本の象徴の赤と白があるのかな？
気づくのもすごいしこのアレンジを思いつくのもすごい
他の国にもこういう翻訳チャンネルあるのかな？
日本、韓国、ロシア、スペイン、よくわからない言語などいっぱいありますよ。
あるんだ
2年生の今これを見て、いかに1年生の頃の自分が何も考えずに線形代数をやっていたか思い知らされた。
もっと早く知ってれば良かったとは思うけど、今知れて本当に良かったです。
このシリーズ好き
これが線形代数の受講期間内に"見える"と途端に線形代数がガチ楽単になるwww
って同級生の数学うま男が言ってました。私の線形代数学は無事落単になりました。
この話好き
再履がんばって👍
@@BombMillton ありがとうございます。今年無事、二度目の履修で単位を得ることが出来ました。
一次変換が、なんで行列の掛け算で良いのか、理解できました。確かに、行列の中身は、基底ベクトルが並んでますね。
リクエストです！是非、ディープラーニングシリーズを翻訳していただきたいです！よろしくお願いします！！
この動画素晴らしすぎて、まじで声出た。ありがとう。
すげぇ分かりやすい！
これ、授業で流してほしかった…
ようやく理解できました。
Y軸θを回転する行列、自分が計算と：
cosθ 0 sinθ
0 1 0
-sinθ 0 cosθ
グーグルで調べで、これは正解だ。
次行列を書くとき、ネットで調べないも書ける。
三次元空間だと3*3行列になるのか...?
すごい！だから単位行列が
[1,0]
[0,1]
になるんだ！
単位行列とベクトルの積は基底ベクトルのスカラー倍になって、結果的に元のベクトルと一致するんだ！
アフィン変換で指定する行列のパラメーターってこういうことだったのか。
２行２列を基底ベクトルｉとｊの行き先として考える💮
5:23～を先に見てから、3:47～を見た方が分かりやすいです。
文系だったから数Ⅲ途中を中途半端にしかやらなくて、理解度イマイチだったので助かります
すご。これ早く知りたかった。
確かに線形変換の定義を述べないでビジュアルだけで説明するのは若干誤魔化しがある気がしないでもない
（最後の補足へのコメント）
一年前に見たかった...
3:48 それ以外は全部そこから導けるんでね←主人公にちょっとした秘密を教える行商人のおっちゃん
線形・一次、基底、変換…こんな簡単な事だったのか…
なるほど、スーファミの回転・拡大縮小はこれをしとんのやな
単位行列って単位ベクトルの組み合わせなのか。だからベクトルは変化しないのか。おもしろ。
高校時代にどれだけ参考書読んでも染み付かなかった行列が一瞬で理解できました 数学って‥おもしれ
これって僕ら今の高校生が複素数平面を使って回転を考えてるのと同じでしょうか
昔の高校生は行列、一次変換を習っていたらしいですね。
行列を用いて回転を表すことと、複素数平面上で回転を考えることは同じことですが、行列を使えばベクトルにそのまま適用できるのでとても便利だったでしょうね。
今の高校生は、回転変換をする時には一度複素数平面に置き換えることを記述しなければなりません。
両者での回転が同じであるというのは、行列による角度θの回転変換が
cosθ, -sinθ
sinθ, cosθ
であり(全体の括弧は省略しました)、これとベクトル(a,b)の積を計算して、複素数平面でa+biに(cos+isinθ)を掛け算することで得られる複素数の実軸成分と虚軸成分を見比べることでわかると思います。
上の方がおっしゃっていることを少し一般化すると、複素数 a + ibとx + iyをかけることは、次の正方行列を（縦）ベクトル[x, y]にかけることに対応します。
[a -b]
[b a]
もっというと、↑の形の行列全体を考えると、それは複素数の全体と、四則演算の構造について一致します。（体同型）
そういう意味では、二次正方行列の方が広いです。
例えば「回転」や「拡大」はどちらでも扱えますが、この動画で出てきた「剪断」は行列でしか扱えません。
対応する行列が↑の形をしていないからですね。
@@user-uq4xx1yx6v そうですね。せん断は行列の偉業です。
既にコメントがある通り、2次元平面の世界であれば複素数の演算は行列と1対1で対応します。しかし3次元になると複素数では扱えない一方、行列ならば成分さえ増やせば100次元でも1000次元でも全く同じように扱えるのが大きな違いですかね。
虚数単位を増やした四元数なら3次元空間を扱えるけど、それでも4次元超空間まで。さらに拡張した八元数や十六元数は数としての性質を失い始めて、掛け算すらまともにできなくなります。。。
く、去年見たかった…
5:21 ここ大笑いした
基底ベクトルの意味がわからんくてiとjが任意の何かかと思って見てたらわからなかったけど、見直したら意味がわかりました
5:38の→のあとのx、yは前の［x、y］と無関係ですよね？
→の前のx,yと後のx,yはそれぞれ同じものだと思います。
→の前の[x,y]はxi+yjというベクトルを表していて任意のベクトルとしてみてると思います。
→の後のx[1,-2]+y[3,0]は,iを入れると[1,-2]を出しjを入れると[3,0]を出すような一次変換にxi+yjを入れたときに出てくるものであると思います。
4:22 での-1,2がここでのx,yにあたるものだと思います。
うぽつ
続きを。。。早く。。。お願いします
んーーー
わからん。。
わかるまで見よ。。
これは、「変換」を「基底ベクトルの変更」のように捉えてる？
ベクトル [-1,2] は、基底ベクトルが ([0,1] [1,0])の世界と基底ベクトルが([1,-2] [3,0])の世界では同じ座標を指す。
基底ベクトルが([1,-2] [3,0])の位置を基底ベクトルが ([0,1] [1,0])の位置で表現する手段が「変換行列」ということを言ってる？ そんな思考方法って何か役に立つのかな？変換する側とされる側が入れ替わったようだ。。。
へぇ！
6:05 すっごいどうでもいいですけど land なんですね
ベクトルの着地先ってことですね。
なんとなく分かるけど何言ってるのかわからん
これいつ習うの？
今のゆとり過程ではどうなっているか知らんが、ゆとり以前は高校2年生から。
大学の１年生になると、数学らしく定義から証明していく。
理系でも学科によっては一生やらない可能性もある。行列計算のやり方ぐらいはどこも教えてると思うけど。
ネタ晴らしになってしまうけど。中学で「連立方程式」を習っているはず。その「中学数学の連立方程式」を”行列”で解く「裏ワザ」があるんだ。そこまで見れば、この動画も 授業や入試で少しは役立つ（笑）（ただし、いつでも使えるワザじゃないし、泥沼にはまることもあるけどね。）
建築の構造計算とか、天気予報の計算とか、流体の計算とかをコンピューターでやっているのをテレビとかで見たことあるかもしれないけど、実はあれは、連立一次方程式を解いているだけ。
ただ、二元じゃなくて何千元何万元もあるのが難しいだけ。そんな問題も行列の仕組みを使うと、コンピューターでシステマチックに解ける。