Maturità 2024 - Equazioni e funzioni - QUESITO 4
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- Опубликовано: 30 сен 2024
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Forse non mi sono soffermato abbastanza sul fatto che non ci siano soluzioni esterne all’intervallo (0,1).
Lo spiego alla fine del metodo 1, quando dimostro che è monotona crescente su tutto R, quindi non ci possono essere due valori di x che hanno lo stesso f(x).
Io avrei risolto il limite per x che tende a piu e meno infinito, scoprendo che sono rispettivamente +inf e -inf. Dopodiche' calcolando la derivata e annullandola si ottiene che il punto 0 e' un punto critico e con la seconda si scopre che e' un flesso e cosi' via...
Cambia poco, però c'è un errore di segno nel primo metodo. Sarebbe f(1)=1+1-cos(1). Comunque è facile vedere che la somma è positiva anche senza calcolatrice
Hai ragione
Io ho fatto in un altro modo abbastanza simile al primo: la funzione è polinomiale, quindi il suo dominio è tutto R ed è continua in tutto R. Con il teorema del confronto ho calcolato i limiti per x->±∞, e ho dimostrato che la funzione tende a -∞ e +∞ quando x tende a rispettivamente a -∞ e +∞. Poi ho studiato la derivata pima 3x²+1+sinx. Essa è sempre maggiore di 0, poiché il seno è compreso tra -1 e 1 e 3x² +1 è una parabola con vertice in (0;1) e concavità verso l'alto, quindi 3x²+1>-sinx è vera per ogni x appartenente ad R. Dato che f(x) è definita e continua in tutto R, tende a ±∞ quando x tende a ±∞, ed è sempre crescente, allora interseca l'asse della x una e una sola volta. Calcolando f(0) ottengo y=-1, ed essendo un valore negativo vuol dire che f(x) non ha ancora intersecato l'asse delle x, quindi dovrà intersecarlo necessariamente in una x positiva.
Esattamente lo stesso metodo che ho utilizzato io. L'unica cosa diversa è la fine, in cui ho scelto un intervallo 0;Pi/2, per dimostrare che lo zero è proprio lì.
Ma la derivata di x³ + x non è 3x² + 1 e quindi una parabola?🤔
Certo
Ma il ciao bestie 😢
non si puo usare il metodo di cartesio?
Ma il primo metodo dimostra l' unicità dello zero solo nell' intervallo 0/1. E se ci sono altri zeri al di fuori di esso?
Non sarebbe monotona crescente
Per x>1 è sempre x^3+x>1. Quindi sarà x^3+x>cosx e non ci possono essere altri zeri per x>1
Forse non mi sono soffermato abbastanza sul fatto che non ci siano soluzioni esterne all’intervallo (0,1).
Lo spiego alla fine del metodo 1, quando dimostro che è monotona crescente su tutto R, quindi non ci possono essere due valori di x che hanno lo stesso f(x).
La strategia di risoluzione illustrata nel primo metodo si dipana secondo due passaggi logici, entrambi essenziali:
- prima dimostra che esiste almeno una soluzione positiva dell'equazione (nel caso specifico, il professore lo fa utilizzando il Teorema degli Zeri applicato all'intervallo [0,1], ma un'altra possibilità sarebbe stata quella di calcolare f(0) e osservare che, essendo infinito il limite di f(x) per x che tende a +infinito, per il Teorema della Permanenza del Segno esiste sicuramente a > 0 tale che f(a) > 0 e applicare poi il Teorema degli Zeri all'intervallo [0,a] senza neppure conoscere il valore di a, giusto per poter evitare di indovinare un valore in cui f(x) è positiva)
- successivamente dimostra che la funzione f(x) = x^3 + x - cos(x) è una funzione crescente e quindi iniettiva. Essendo iniettiva non possono esistere due diversi valori di x a cui corrisponde lo stesso identico valore di f(x) e quindi lo zero è unico
bel esercizio , io l ho fatto col metodo 2 ma il metodo uno è più profondo!
Grazie PROF 👍
Salve Prof, io ho scelto questo quesito e ho scritto esattamente questo: tralasciando -cos(x) che è una funzione periodica, x^3+x è una funzione strettamente crescente e ho analizzato la funzione nell’intervallo tra 0 e π dimostrando che la funzione intersecava solo una volta l’asse x
Però dovevi specificarlo che era strettamente crescente, altrimenti potrebbe avere altre soluzioni all’infuori dell’intervallo che hai studiato.
Se invece strettamente crescente anche iniettiva e quindi non può avere due valori distinti per cui la funzione valga zero
@@ValerioPattaro certo, ho specificato che si tratta di una funzione strettamente crescente anche grazie al supporto dello studio del segno della derivata prima
una domanda a tutti i maturandi, avete trovato difficile la prova? Apparte l'ansia che ha influenzato anche me, un opinione a freddo
Gli esercizi non erano difficili… SE SOLO non fossero in una seconda prova di matematica che da sempre si concentra su argomenti di 5ª. Quindi tutti si sono preparati su limiti, derivate, integrali e teoremi, sicuramente non su geometria in questo modo. Inoltre gli ultimi due punti del problema 1 erano abbastanza difficili rispetto agli altri problemi in cui solitamente ce n’è solo 1 di difficile
@@FunkyPhilMusic la vera differenza era che il punto difficile era il terzo e non il 4, perché il punto d era un esercizio di difficoltà medio alta per uno che gli integrali li ha fatti bene
Perché quando calcola f(1)=1+ 1+cos(1)? Non dovrebbe essere f(1)=1+1-cos(1)? Perché il coseno cambia segno?
Si tratta di un refuso, è -cos(1).
Però è ininfluente
Nel primo metodo non si dovrebbe sottrarre il cos(1)? È comunque una funzione pari.
Sì, hai ragione si tratta di un refuso. Comunque è ininfluente per la risoluzione del problema
Certo! Avevo immaginato fosse un refuso, rimane una quantità piccolissima rispetto a 2.
Prof, ho fatto questo problema nella brutta copia correttamente... E poi, non ricordo perché, non l'ho messo nella bella copia... Grazie cervello
Magari perché ne hai fatti altri quattro altrettanto giusti.
per chi non lo sapesse, andavano svolti quattro quesiti su otto
@@ValerioPattaro Ero al corrente, 1 problema e 4 quesiti. Ma effettivamente, quello era facilissimo.
Prof. Io ho seguito il II metodo. Non capisco il I...il dominio della funzione è solo 0-1 ???? Perchè solo 0-1?
Il dominio è R.
0-1 è l’intervallo in cui applico il teorema degli zeri.
@@ValerioPattaro uno zero non poteva trovarsi altrove?
Cosa accade da 1 a +infinito?
Funzione crescente...😂
Forse non mi sono soffermato abbastanza sul fatto che non ci siano soluzioni esterne all’intervallo (0,1).
Lo spiego alla fine del metodo 1, quando dimostro che è monotona crescente su tutto R, quindi non ci possono essere due valori di x che hanno lo stesso f(x).
Preferisco il primo metodo, non è difficile ed è rigoroso. Il secondo metodo mi piace molto, ma potrebbe mettere in difficoltà lo studente poco pratico con ingrafici.
l’ho svolto col secondo metodo, più intuitivo, anche se il primo ugualmente valido.
Il primo è valido?!? Non capisco perchè basta far riferimento al solo intervallo 0-1...cosa accade da 1 a + infinito? Anche io l'ho fatto con il II "MODO".
@@giovannideluca6133 da 1 a + infinfinito essente strettamente crescente la funzione non ha altre soluzioni
@michelesaviano3689 la funzione è sempre crescente
@@ValerioPattaro si intendevo che dopo quell’intervallo non interseca più, espresso male.
In effetti nel video ho dato per scontato che dopo x=1 non ci fossero soluzioni perché x^3 +x diventa maggiore di 2, ma avrei dovuto specificarlo meglio
Bravo, complimenti per la spiegazione precisa, dettagliata e contemporaneamente molto efficace per entrambi i metodi ... Complimenti veramente... Bravo!!! 👍👍👍👍🤗
E qual e' la soluzione?
Gentile professore, se le va, potrebbe caricare lo svolgimento del quesito 7. Probabilmente mi sbaglio ma non ricordo in passato di quesiti relativi alla matematica dell'astronomia.
era un quesito sull’ellisse, perché dalle leggi di Keplero è noto che l’orbita è ellittica e il sole si trova in uno dei fuochi.
Conoscevi l’asse maggiore e la distanza focale, dovevi calcolare l’asse minore. Per farlo c’è una formula che deriva direttamente dal teorema di Pitagora.
@@ValerioPattaro Grazie.
L'ho caricato
@@ValerioPattaro Grazie professore. Lei è di una gentilezza e di una chiarezza espositiva unica. Gli studenti che hanno la fortuna di avere lei come insegnante sono veramente fortunati. Un cordiale saluto.