9 dimostrazioni del teorema di Pitagora ruclips.net/video/Ux-TpF3dLgw/видео.html La dimostrazione di Einstein del teorema di Pitagora ruclips.net/video/Y4t3aJp28Es/видео.html Teorema di Carnot - Macchina di Carnot ruclips.net/video/QNbWsV-EtdU/видео.html Somma vettoriale col teorema di Carnot ruclips.net/video/wyde22W-diE/видео.html Differenza di vettori - metodo rapido ruclips.net/video/zALASF_d1T4/видео.html Prodotto scalare ruclips.net/video/qZxxU0CrNKY/видео.html Somma vettoriale col teorema di Carnot ruclips.net/video/wyde22W-diE/видео.html
Video sempre interessanti e spiegati con una semplicità che è rara da trovare in questi ambiti. Chi lo fa generalmente è perché ha buona padronanza della materia. Complimenti.
Questo teorema appare nel libro Miftah al Hisab (Chiave dell'aritmetica) dell'astronomo e matematico persiano Jamshid al-Kashi, pubblicato nel 1428. Conoscevo questo teorema con il nome teorema di Al Kashi e non teorema di Carnot.
Grazie, non lo sapevo, conosco poco al Kashi. So che ha dato dei contributi significativi all'astronomia e alla matematica. Ad esempio ha trovato con metodi innovativi un’accurata approssimazione di Pi greco. Non sapevo che avesse dimostrato il teorema di Carnot tre secoli prima dello stesso Carnot. Grazie per l’informazione, approfondirò.
Qualche volta, nell'applicarlo in qualche situazione, mi sorgeva il dubbio di ricordarmi bene l'enunciato, soprattutto nel segno e nel fattore 2 del termine col coseno. Ma ripercorrendo a mente o in un angolino la terza dimostrazione, riuscivo a superare la difficoltà
Bellissima la dimostrazione con il teorema delle corde, non la conoscevo. La terza, con calcolo vettoriale, mi lascia un sospetto di circolarità tra definizione di prodotto scalare, definizione di angolo tra vettori e teorema di Pitagora. Se lei lo ha messo evidentemente il lio sospetto non è fondato. Rifletterò
Hai intuito bene, a livello profondo le due dimostrazioni sono strettamente collegate, perché entrambe sono basate sul teorema di Pitagora. Infatti in uno spazio vettoriale euclideo il modulo di un vettore è definito attraverso il teorema di Pitagora. Il formalismo utilizzato nelle tue dimostrazioni è però molto diverso.
Video davvero bello e interessante. Io tra i tre metodi preferisco il secondo dato che il terzo fa uso delle nozioni di vettore e di prodotto scalare che, per uno studente, possono sembrare più insidiose.
Le dimostrazioni 1 e 3 sono semanticamente uguali, quello che cambia è il contesto ossia il formalismo in cui la dimostrazione viene fatta. Nello spazio vettoriale viene definito il prodotto scalare tra vettori e norma di un vettore in modo che ci sia corrsipondenza tra la distanza di due punti e il teorema di Pitagora e in questo caso si parla proprio di spazio vettoriale Euclideo. Il dilemma tra definizione e dimostrazione a seconda di cosa si pone per definizione e cosa si vuole poi dimostrare lo hai già fatto vedere in altre occasioni. Trovo corretto dare voto 10 alla dimostrazione fatta nello spazio vettoriale Euclideo in quanto è un formalismo più potente perché le formule sono unificate e quindi non serve analizzzare i vari casi. In altre parole lo spazio vettoriale Euclideo è uno strumento matematico che permette di eseguire dimostrazioni in modo più agevole rispetto alla geometria eucliedea classica.
Non mi riferivo un video specifico ma a una playlist. Se apri questa playlist trovi una serie di video che trattano in modo completo la goniometria. Non servono particolari prerequisiti perché se vai in ordine si parte dalle basi. Nella seconda parte della playlist trovi anche esponenziali, logaritmi e numeri complessi. ruclips.net/p/PLM3M-5ytwzzP19YqC2PROSAj9dsWdB6JV
Esiste anche una 4 dimostrazione basata sulle coordinate polari e le formule di addizione in goniometria. Ad ogni modo, faccio notare che la terza dimostrazione, in verità, può essere problematica, perché si basa sul concetto di prodotto scalare, e dimostrare che la formula del prodotto scalare standard, ossia a1b1+a2b2+a3b3, sia prorpio uguale ad abcos(gamma), spesso richiede prorpio il teorema di carnot (o qualche dimostrazione alternativa che al momento non mi viene in mente). Se non si trova una dimostrazione alternativa, la tua terza dimostrazione risulterebbe fallace
Hai già mostrato sul video dedicato alle 9 dimostrazioni del teorema di Pitagora come si può usare il teorema di Tolomeo per dimostrare il teorema di Pitagora. Un procedimento simile può essere usato anche per dimostrare il teorema di Carnot. Consideriamo dunque il triangolo ABC di lati a, b, c, opposti agli angoli A, B, C e il suo cerchio circoscritto di diametro d, consideriamo il quadrilatero ADBC ottenuto individuando sulla circonfernza il punto D diametralmente opposto a C, indichiamo con a' e b' i lati AD e BD, mentre a e b sono i lati AC e BC e le diagonali sono AB che è c e CD che è il diametro d, si ha dal teorema di tolomeo cd = ab'+ba'. CAD e CBD sono rettangoli e dunque a' = radq(d^2-a^2) e b' = radq(d^2-b^2) per cui cd=aradq(d^2-b^2)+bradq(d^2-a^2) dividendo prima per d e quadrando ambi i membri si ha c^2=a^2(1-(b/d)^2)+b^2(1-(a/d)^2)+2abradq[(1-(b/d)^2)(1-(a/d)^2)]= a^2+b^2-2a^2b^2/d^2+2abradq[(1-(b/d)^2)(1-(a/d)^2)]= a^2+b^2-2ab{(a/d)(b/d)-radq[(1-(b/d)^2)(1-(a/d)^2)]} e osservando che a/d e b/d sono i coseni degli angoli P=ACD (=90-B) e Q=BCD (=90-A) in cui la diagonale CD divide l'angolo in C, si ha c^2=a^2+b^2-2ab{cosPcosQ-senQsenP} ma poiché la somma degli angoli Pe Q è pari all'angolo C, dalle formule di somma del coseno si ha il risultato finale c^2=a^2+b^2-2abcosC.
Bella sia la dimostrazione con metodo vettoriale che è sicuramente la più elegante, e bella anche quella con il metodo delle corde, quesr'ultima non la conoscevo. Fornisco un'ulteriore dimostrazione, nel corso della quale userò i seguenti simboli e le seguenti relazioni: a, b, c i tre lati; A, B, C i tre angoli opposti ad a,b, c; p=(a+b+c)/2 semiperimetro; r raggio del cerchi inscritto; p-c è il segmento di tangenza dal vertice C al cerchio inscritto che vale r/tan(C/2), in quanto il raggio nel punto di tangenza, il segmento di tangenza da un vertice e la congiungente dell'incentro con il vertice formano un triangolo rettangolo e l'angolo opposto al raggio è metà dell'angolo al vertice considerato dal momento che l'incentro sta sul punto d'incontro delle bisettrici; S area del triangolo che è pari a pr; il prodotta ab è pari a 2S/senC. Consideriamo l'espressione (a^2+b^2-c^2)/2ab +1 = [(a+b)^2-c^2]/2ab = (a+b+c)(a+b-c)/2ab = 2p2(p-c)/2ab = 2pr/abtan(C/2) = 2SsenC/2Stan(C/2) = senC/tan(C/2). usando per tan(C/2) le formule di bisezione si ha: tan(C/2) = radq((1-cosC)/(1+cosC)) = radq((1-(cosC)^2)/(1+cosC)^2) = senC/(1+cosC) e si arriva a (a^2+b^2-c^2)/2ab+1 = 1+cosC da cui (a^2+b^2-c^2)/2ab = cosC e quindi c^2 = a^2+b^2-2abcosC.
domanda magari assurda da ingnorante in materia, ma calcolo e spazio vettoriale non sono una evoluzione della geometria euclidea quindi non e' che la somma di vettori si dimostra con il teorema di Carnot e non viceversa? Scusa se la domanda e' stupida
Non è una domanda stupida. La somma di vettori può essere calcolata con il metodo “punta coda”, cioè unendo la punta di un vettore alla coda del vettore successivo. Ad esempio lo spostamento è un vettore. Se devi sommare due spostamenti fai proprio così. Allo stesso modo la differenza si può calcolare come illustrato nel video. In entrambi i casi non viene utilizzato il teorema di Carnot ma una semplice costruzione geometrica. Detto questo, una volta che si è dimostrato il teorema di Carnot, esso può essere utilizzato per calcolare la somma di due vettori per via algebrica.
Lavorando sul teorema di Carnot mi sono imbattuto in questa semplice dimostrazione della formula di Erone, la metto qui, sperando di fare cosa utile, perché ricordo che a scuola me ne venne data una dimostrazione piuttosto articolata. Dal teordma di Carnot a^2+b^2-c^2=2abcosC, sommando a entrambi i membri 2ab si ha (a+b)^2-c^2=2ab(1+cosC) e fattorizzando al primo membro (a+b+c)(a+b-c)=2p2(p-c)=2ab(1+cosC). Sempre dal teorema di Carnot ma cambiando il segno e sempre sommando a entrambi i membri 2ab si ha c^2-(a-b)^2=2ab(1-cosC) e fattorizzando al primo membro (c+a-b)(c-a+b)=2(p-b)2(p-a)=2ab(1-cosC) Moltiplicando membro a membro le due espressioni precedenti si trova 16p(p-a)(p-b)(p-c)=(2ab)^2(1-cosC^2)=(2absenC)^2=16S^2 da cui semplificando il fattore 16 e prendendo la radice a entrambi i membri segue la nota formula di Erone.
Molto bella grazie, non la conoscevo. Più tardi la riguardo con calma e magari potrei farci sopra un video. Nel caso hai piacere che citi il tuo nome come fonte?
@@ValerioPattaroSei autorizzato ad utilizzare liberamente tutto ciò che lascio nei commenti. Dato che ti è piaciuta questa dimostrazione della formula di Erone, magari potrebbe piacerti anche la dimostrazione della formula per l'area dei quadrilateri inscrivibili, S=radq[(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)], curiosamente simile alla formula di Erone e ottenuta sempre mediante il teorema di Carnot. Sia ABCD un quadrilatero inscrivibile in una circonferenza, denotiamo i lati come segue: a=AB, b=BC, c=CD, d=DA. Tracciamo una delle due diagonali, ad esempio BD, il quadrilatero resta diviso in due triangoli e l'area S del quadrilatero sarà la somma delle due areee S = dasenA/2 + bcsenC/2, e poiché nei quadrilateri inscrivibili gli angoli opposti sono supplementari avremo senA=senC, per cui S = (ad+bc)senA/2. adesso possiamo calcolare il cosA che è uguale al -cosC applicando Carnot ai due triangoli ABD e CDB che condividono la diagonale BD per cui a^2+d^2-2adcosA = b^2+c^2-2bccosC = b^2+c^2+2bccosA da cui otteniamo cosA=(a^2+d^2-b^2-c^2)/2(ad+bc). Inseriamo questo valore in S^2 = (ab+cd)^2senA^2/4 = (ad+bc)^2(1-cosA^2)/4 e semplificando il termine (ad+bc)^2 otteniamo S^2 = [4(ad+bc)^2-(a^2+d^2-b^2-c^2)^2]/16. Effettuiamo un primo raccoglimento della differenza dei due quadrati S = [2(ad+bc)-(a^2+d^2-b^2-c^2)] [2(ad+bc)+(a^2+d^2-b^2-c^2)]/16 = [(b+c)^2-(a-d)^2][(a+d)^2-(b-c)^2]/16 effettuiamo un secondo raccoglimento di differenze di quadrati S^2 = (b+c+d-a)(b+c+a-d)(a+d+c-b)(a+d+b-c)/16 = 2(p-a)2(p-b)2(p-c)2(p-d)/16 semplificando e prendendo la radice ad entrambi i membri si trova S=radq[(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)]. Mi sfugge la ragione profonda della somiglianza con la formula di Erone, fascinosi incanti della matematica, è evidente comunque che si tratta di una sua generalizzazione dato che ponendo d=0 il quadrilatero si riduce ad un triangolo, che è sempre inscrivibile e la formula si riduce a quella di Erone.
Pattaro, sono costretto a contattarti cosí La cosa non mi piace , dato che si tratta di una spiegazione che ti chiedo su una sconcertante bannatura subita al mio primo e unico post totalmente neutrale su le tre dimostrazioni di Carnot. Le regole del gruppo sono ok, nulla da dire Ma quale, dove e in che modo ne avrei violata una qualsiasi delle stesse tanto da essere bannato solo per aver chiesto il link delle tre dimostrazioni ? Per il resto, per carità !!! Se questo è il clima , non mi sento adeguato e alla altezza. Chiedo scusa e in punta di piedi tolgo il mio fugace disturbo ! Buon vento , in ogni caso
Capita a tutti che qualche commento viene cancellato e non si capisce il motivo per cui prima di pensare male della persona che ha fatto il video valuta anche che ci sono dei processi di analisi dei commenti in rete che a volte generano una cancellazione automatica.
So che una dimostrazione di questo teorema è contenuta negli Elementi di Euclide, probabilmente legata al teorema della corda e invece di lato per il coseno si parla di proiezione di un lato su un altro. La cerco e se la trovo posto i riferimenti.
9 dimostrazioni del teorema di Pitagora
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La dimostrazione di Einstein del teorema di Pitagora
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Teorema di Carnot - Macchina di Carnot
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Somma vettoriale col teorema di Carnot
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Differenza di vettori - metodo rapido
ruclips.net/video/zALASF_d1T4/видео.html
Prodotto scalare
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Somma vettoriale col teorema di Carnot
ruclips.net/video/wyde22W-diE/видео.html
Video sempre interessanti e spiegati con una semplicità che è rara da trovare in questi ambiti. Chi lo fa generalmente è perché ha buona padronanza della materia. Complimenti.
Ancora una volta complimenti, Professore!!!
Questo teorema appare nel libro Miftah al Hisab (Chiave dell'aritmetica) dell'astronomo e matematico persiano Jamshid al-Kashi, pubblicato nel 1428. Conoscevo questo teorema con il nome teorema di Al Kashi e non teorema di Carnot.
Grazie, non lo sapevo, conosco poco al Kashi.
So che ha dato dei contributi significativi all'astronomia e alla matematica. Ad esempio ha trovato con metodi innovativi un’accurata approssimazione di Pi greco.
Non sapevo che avesse dimostrato il teorema di Carnot tre secoli prima dello stesso Carnot.
Grazie per l’informazione, approfondirò.
Molto interessante, complimenti Prof. Pattaro, spiega in modo molto semplice e chiaro.
Per ricordare tutto farò tesoro del fatto che è una generalizzazione del teorema di Pitagora... Molto bello
esattamente
Bravo Valerio!
La migliore quella con il teorema delle corde.
Qualche volta, nell'applicarlo in qualche situazione, mi sorgeva il dubbio di ricordarmi bene l'enunciato, soprattutto nel segno e nel fattore 2 del termine col coseno.
Ma ripercorrendo a mente o in un angolino la terza dimostrazione, riuscivo a superare la difficoltà
Sei bravissimo. Gli insegnanti
Dovrebbero essere tutti come te
Bellissimo, grazie prof
Bellissima la dimostrazione con il teorema delle corde, non la conoscevo. La terza, con calcolo vettoriale, mi lascia un sospetto di circolarità tra definizione di prodotto scalare, definizione di angolo tra vettori e teorema di Pitagora. Se lei lo ha messo evidentemente il lio sospetto non è fondato. Rifletterò
Hai intuito bene, a livello profondo le due dimostrazioni sono strettamente collegate, perché entrambe sono basate sul teorema di Pitagora.
Infatti in uno spazio vettoriale euclideo il modulo di un vettore è definito attraverso il teorema di Pitagora.
Il formalismo utilizzato nelle tue dimostrazioni è però molto diverso.
Ottimo video, complimenti!❤
Video davvero bello e interessante. Io tra i tre metodi preferisco il secondo dato che il terzo fa uso delle nozioni di vettore e di prodotto scalare che, per uno studente, possono sembrare più insidiose.
interessante la seconda dimostrazione, non la conoscevo. Bene!
il nome di Carnot lo ricordavo in fisica senza sapere che fosse Carnot figlio. Grazie Valerio
Ottimo lavoro!
[ Piccola imperfezione: a circa 3:03 dici "acutangoli" invece di "ottusangoli" ]
Ottima dimostrazione che i giovani di oggi dovrebbero tenere sempre presente
Le dimostrazioni 1 e 3 sono semanticamente uguali, quello che cambia è il contesto ossia il formalismo in cui la dimostrazione viene fatta. Nello spazio vettoriale viene definito il prodotto scalare tra vettori e norma di un vettore in modo che ci sia corrsipondenza tra la distanza di due punti e il teorema di Pitagora e in questo caso si parla proprio di spazio vettoriale Euclideo.
Il dilemma tra definizione e dimostrazione a seconda di cosa si pone per definizione e cosa si vuole poi dimostrare lo hai già fatto vedere in altre occasioni.
Trovo corretto dare voto 10 alla dimostrazione fatta nello spazio vettoriale Euclideo in quanto è un formalismo più potente perché le formule sono unificate e quindi non serve analizzzare i vari casi. In altre parole lo spazio vettoriale Euclideo è uno strumento matematico che permette di eseguire dimostrazioni in modo più agevole rispetto alla geometria eucliedea classica.
Grazie a Cartesio!
Grazie, ottima osservazione.
Scusate ma dove sta l'altro video sulla trigonometria senza prerequisiti?
Non mi riferivo un video specifico ma a una playlist.
Se apri questa playlist trovi una serie di video che trattano in modo completo la goniometria. Non servono particolari prerequisiti perché se vai in ordine si parte dalle basi.
Nella seconda parte della playlist trovi anche esponenziali, logaritmi e numeri complessi.
ruclips.net/p/PLM3M-5ytwzzP19YqC2PROSAj9dsWdB6JV
Grazie!!!
Esiste anche una 4 dimostrazione basata sulle coordinate polari e le formule di addizione in goniometria. Ad ogni modo, faccio notare che la terza dimostrazione, in verità, può essere problematica, perché si basa sul concetto di prodotto scalare, e dimostrare che la formula del prodotto scalare standard, ossia a1b1+a2b2+a3b3, sia prorpio uguale ad abcos(gamma), spesso richiede prorpio il teorema di carnot (o qualche dimostrazione alternativa che al momento non mi viene in mente). Se non si trova una dimostrazione alternativa, la tua terza dimostrazione risulterebbe fallace
trovi la dimostrazione nel mio video sul prodotto scalare
Hai già mostrato sul video dedicato alle 9 dimostrazioni del teorema di Pitagora come si può usare il teorema di Tolomeo per dimostrare il teorema di Pitagora.
Un procedimento simile può essere usato anche per dimostrare il teorema di Carnot.
Consideriamo dunque il triangolo ABC di lati a, b, c, opposti agli angoli A, B, C e il suo cerchio circoscritto di diametro d, consideriamo il quadrilatero ADBC ottenuto individuando sulla circonfernza il punto D diametralmente opposto a C, indichiamo con a' e b' i lati AD e BD, mentre a e b sono i lati AC e BC e le diagonali sono AB che è c e CD che è il diametro d, si ha dal teorema di tolomeo
cd = ab'+ba'.
CAD e CBD sono rettangoli e dunque a' = radq(d^2-a^2) e b' = radq(d^2-b^2) per cui
cd=aradq(d^2-b^2)+bradq(d^2-a^2)
dividendo prima per d e quadrando ambi i membri si ha
c^2=a^2(1-(b/d)^2)+b^2(1-(a/d)^2)+2abradq[(1-(b/d)^2)(1-(a/d)^2)]=
a^2+b^2-2a^2b^2/d^2+2abradq[(1-(b/d)^2)(1-(a/d)^2)]=
a^2+b^2-2ab{(a/d)(b/d)-radq[(1-(b/d)^2)(1-(a/d)^2)]}
e osservando che a/d e b/d sono i coseni degli angoli P=ACD (=90-B) e Q=BCD (=90-A) in cui la diagonale CD divide l'angolo in C, si ha
c^2=a^2+b^2-2ab{cosPcosQ-senQsenP}
ma poiché la somma degli angoli Pe Q è pari all'angolo C, dalle formule di somma del coseno si ha il risultato finale
c^2=a^2+b^2-2abcosC.
Grazie, molto interessante.
🤔 sei il prodotto è uguale si può dire che sono inversamente proporzionali?
Due grandezze sono inversamente proporzionali se il prodotto è costante.
Non è questo il caso.
Bella sia la dimostrazione con metodo vettoriale che è sicuramente la più elegante, e bella anche quella con il metodo delle corde, quesr'ultima non la conoscevo.
Fornisco un'ulteriore dimostrazione, nel corso della quale userò i seguenti simboli e le seguenti relazioni:
a, b, c i tre lati;
A, B, C i tre angoli opposti ad a,b, c;
p=(a+b+c)/2 semiperimetro;
r raggio del cerchi inscritto;
p-c è il segmento di tangenza dal vertice C al cerchio inscritto che vale r/tan(C/2), in quanto il raggio nel punto di tangenza, il segmento di tangenza da un vertice e la congiungente dell'incentro con il vertice formano un triangolo rettangolo e l'angolo opposto al raggio è metà dell'angolo al vertice considerato dal momento che l'incentro sta sul punto d'incontro delle bisettrici;
S area del triangolo che è pari a pr;
il prodotta ab è pari a 2S/senC.
Consideriamo l'espressione
(a^2+b^2-c^2)/2ab +1 =
[(a+b)^2-c^2]/2ab =
(a+b+c)(a+b-c)/2ab =
2p2(p-c)/2ab =
2pr/abtan(C/2) =
2SsenC/2Stan(C/2) =
senC/tan(C/2).
usando per tan(C/2) le formule di bisezione si ha:
tan(C/2) = radq((1-cosC)/(1+cosC)) = radq((1-(cosC)^2)/(1+cosC)^2) = senC/(1+cosC) e si arriva a
(a^2+b^2-c^2)/2ab+1 = 1+cosC
da cui
(a^2+b^2-c^2)/2ab = cosC
e quindi
c^2 = a^2+b^2-2abcosC.
Lo conoscevo come teorema del coseno.....😊
domanda magari assurda da ingnorante in materia, ma calcolo e spazio vettoriale non sono una evoluzione della geometria euclidea quindi non e' che la somma di vettori si dimostra con il teorema di Carnot e non viceversa? Scusa se la domanda e' stupida
Non è una domanda stupida.
La somma di vettori può essere calcolata con il metodo “punta coda”, cioè unendo la punta di un vettore alla coda del vettore successivo.
Ad esempio lo spostamento è un vettore. Se devi sommare due spostamenti fai proprio così.
Allo stesso modo la differenza si può calcolare come illustrato nel video.
In entrambi i casi non viene utilizzato il teorema di Carnot ma una semplice costruzione geometrica.
Detto questo, una volta che si è dimostrato il teorema di Carnot, esso può essere utilizzato per calcolare la somma di due vettori per via algebrica.
Mia sorella mi ha detto che il teorema di Carnot è una generalizzazione del teorema di Pitagora
Lavorando sul teorema di Carnot mi sono imbattuto in questa semplice dimostrazione della formula di Erone, la metto qui, sperando di fare cosa utile, perché ricordo che a scuola me ne venne data una dimostrazione piuttosto articolata.
Dal teordma di Carnot
a^2+b^2-c^2=2abcosC,
sommando a entrambi i membri 2ab si ha
(a+b)^2-c^2=2ab(1+cosC)
e fattorizzando al primo membro
(a+b+c)(a+b-c)=2p2(p-c)=2ab(1+cosC).
Sempre dal teorema di Carnot ma cambiando il segno e sempre sommando a entrambi i membri 2ab si ha
c^2-(a-b)^2=2ab(1-cosC)
e fattorizzando al primo membro
(c+a-b)(c-a+b)=2(p-b)2(p-a)=2ab(1-cosC)
Moltiplicando membro a membro le due espressioni precedenti si trova
16p(p-a)(p-b)(p-c)=(2ab)^2(1-cosC^2)=(2absenC)^2=16S^2
da cui semplificando il fattore 16 e prendendo la radice a entrambi i membri segue la nota formula di Erone.
Molto bella grazie, non la conoscevo.
Più tardi la riguardo con calma e magari potrei farci sopra un video.
Nel caso hai piacere che citi il tuo nome come fonte?
@@ValerioPattaro È un piacere poter contribuire a questo canale. Non servono citazioni, ma grazie di avermelo chiesto. 🤩
Di nulla. In realtà la citazione la facevo volentieri, la mia era una richiesta per l’autorizzazione.
@@ValerioPattaroSei autorizzato ad utilizzare liberamente tutto ciò che lascio nei commenti.
Dato che ti è piaciuta questa dimostrazione della formula di Erone, magari potrebbe piacerti anche la dimostrazione della formula per l'area dei quadrilateri inscrivibili,
S=radq[(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)], curiosamente simile alla formula di Erone e ottenuta sempre mediante il teorema di Carnot.
Sia ABCD un quadrilatero inscrivibile in una circonferenza, denotiamo i lati come segue: a=AB, b=BC, c=CD, d=DA.
Tracciamo una delle due diagonali, ad esempio BD, il quadrilatero resta diviso in due triangoli e l'area S del quadrilatero sarà la somma delle due areee
S = dasenA/2 + bcsenC/2, e poiché nei quadrilateri inscrivibili gli angoli opposti sono supplementari avremo senA=senC, per cui
S = (ad+bc)senA/2.
adesso possiamo calcolare il cosA che è uguale al -cosC applicando Carnot ai due triangoli ABD e CDB che condividono la diagonale BD per cui
a^2+d^2-2adcosA = b^2+c^2-2bccosC = b^2+c^2+2bccosA
da cui otteniamo
cosA=(a^2+d^2-b^2-c^2)/2(ad+bc).
Inseriamo questo valore in S^2 = (ab+cd)^2senA^2/4 = (ad+bc)^2(1-cosA^2)/4 e semplificando il termine (ad+bc)^2 otteniamo
S^2 = [4(ad+bc)^2-(a^2+d^2-b^2-c^2)^2]/16.
Effettuiamo un primo raccoglimento della differenza dei due quadrati
S = [2(ad+bc)-(a^2+d^2-b^2-c^2)] [2(ad+bc)+(a^2+d^2-b^2-c^2)]/16 =
[(b+c)^2-(a-d)^2][(a+d)^2-(b-c)^2]/16
effettuiamo un secondo raccoglimento di differenze di quadrati
S^2 = (b+c+d-a)(b+c+a-d)(a+d+c-b)(a+d+b-c)/16 = 2(p-a)2(p-b)2(p-c)2(p-d)/16
semplificando e prendendo la radice ad entrambi i membri si trova
S=radq[(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)].
Mi sfugge la ragione profonda della somiglianza con la formula di Erone, fascinosi incanti della matematica, è evidente comunque che si tratta di una sua generalizzazione dato che ponendo d=0 il quadrilatero si riduce ad un triangolo, che è sempre inscrivibile e la formula si riduce a quella di Erone.
Fondamentale in Statica.
Pattaro, sono costretto a contattarti cosí
La cosa non mi piace , dato che si tratta di una spiegazione che ti chiedo su una sconcertante bannatura subita al mio primo e unico post totalmente neutrale su le tre dimostrazioni di Carnot.
Le regole del gruppo sono ok, nulla da dire
Ma quale, dove e in che modo ne avrei violata una qualsiasi delle stesse tanto da essere bannato solo per aver chiesto il link delle tre dimostrazioni ?
Per il resto, per carità !!!
Se questo è il clima , non mi sento adeguato e alla altezza.
Chiedo scusa e in punta di piedi tolgo il mio fugace disturbo !
Buon vento , in ogni caso
Mi spiace ma non so di cosa stai parlando. Da dove saresti stato bannato? Da Facebook?
Ho chiesto ai moderatori del gruppo se ne sapevano qualcosa.
Capita a tutti che qualche commento viene cancellato e non si capisce il motivo per cui prima di pensare male della persona che ha fatto il video valuta anche che ci sono dei processi di analisi dei commenti in rete che a volte generano una cancellazione automatica.
So che una dimostrazione di questo teorema è contenuta negli Elementi di Euclide, probabilmente legata al teorema della corda e invece di lato per il coseno si parla di proiezione di un lato su un altro. La cerco e se la trovo posto i riferimenti.
@ugoastro non credo che questo teorema fosse noto ad Euclide