Нахождение неопределенного интеграла + много теории | ШАД Яндекса
HTML-код
- Опубликовано: 18 окт 2024
- Сегодня решаем прекрасный интеграл одного из вариантов прошедшего давно экзамена В Школу Анализа Данных Яндекса
#математика
#интеграл
#решениезадач
#вышмат
#математическийанализ
#матан
#теорияпоматану
#задача
#ШАД
#ШАДЯндекса
Уважаемые зрители, если вдруг кто не понял, почему ролик получился аж на 12 минут, учитывая, что нахождение данного интеграла можно было завершить после того, как он был приведен к табличному виду: ролик растянут специально, дабы вместить побольше полезной теории, а также демонстрации вычислений интегралов, встречающихся в учебных заведениях
Почему в видео дорогие, а в комментарии уважаемые зрители?
@@Шизмат Потому что с уважением отношусь к зрителям:)
Можете объяснить, почему мы имеем право заменить t, пробегающий все значения от 1 до +∞, на косинус, ограниченный -1 и 1?
@@doge8796 Вы знаете, я пытался разобраться в этом вопросе
В том числе понять, почему же при такой замене (казалось бы, некорректной)
Получается правильный ответ
Возможно, если рассматривать интеграл (от t) как «независимый» (то бишь, без учета того, что t - замена) то менять на косинус вполне законно
Быть может, здесь где то теория из комплексного анализа взяла свое
@@andreyan19 понял, спасибо за ответ
Да, растянули Вы простейший для 1 курса "высокий логарифм".
а мне кажется, что проще вчего этот табличный интеграл доказывать через разложение в дроби:
1/(x^2-1) = 1/2(x-1) - 1/2(x+1)
каждое слагаемое интегрируется очень легко, получается 1/2 * ln((x-1)/(x+1))
Благодарю за комментарий!
Солидарен с Вами, Конечно, есть более простые методы решения этого интеграла
Однако, в данном ролике, стараюсь, можно сказать, специально растягивать решение, чтобы как можно больше полезной теории дать студентам и всем желающим)
Не очень понял, как вы в конце поменяли слагаемые местами в подлогарифмическом выражении. Там по идее в знаменателе знак должен был также поменяться (если мы домножаем и делим на -1), получилось бы:
Ln((√1+e^x - 1)/(-√1+e^x - 1))
Ну или я что-то путаю)
Благодарю за вопрос!
На самом деле, это не опечатка и не случайность
Смотрите, в логарифме слева от знака равенства стоял знак модуля, а дальше убрал его и поменял местами слагаемые в числителе
Так было сделано потому, что
√(е^х+1) больше 1 всегда
Следовательно, под модулем было отрицательное выражение
Значит, раскрывая знак модуля, мы поставили большее слагаемое первым, а единицу - вторым:)
отлично
Класс 👍
правомерно ли t менять на cos y ?
Это Вы очень круто подметили!
Изучу вопрос - дам обратную связь. В ином же случае - удалю ролик или выпущу видео с опровержением
Благодарю за хороший вопрос!
К чему мне удалось прийти:
Итак, давайте скажем, что мы находим просто int [1/(t^2-1)]dt при условии, что t>1
Найдем первообразную с помощью, условно, метода неопределенных коэффициентов (это законно при t>1)
И получаем в итоге: 1/2*ln [(t-1)/(t+1)] + C (то бишь, знак модуля убираем и меняем слагаемые в числителе местами, так как 1-t1)
Однако, есть момент: если бы мы решали совсем без условий на t, то могли бы сделать замену t=cos y и решать так, как сделал я в данном видео, получив
1/2*ln (|1-t|/|1+t|) + C
И нас попросили бы после получения ответа записать ответ при t>1, то получили бы тот же самый ответ, что и после решения первым методом Неопр. Коэф.
Итак, мой ответ таков:
Замена t=cos y при изначальном условии t>1 является НЕВЕРНОЙ
Но если нас попросят записать ответ при t>1 уже в отдельности от задачи (например, следующим шагом), то всё верно
Извиняюсь за столь длинное изложение мыслей)
Если вдруг где то наложал - дайте знать
@@andreyan19 а если объявить y комплексным числом?
@@viktor-hl5dj Мне кажется, это будет не очень
Однажды наткнулся на такой момент интересный: написал тригонометрическую форму комплексного числа через синус и косинус, вот: е^(ix) = cos x + i sin x
Рассмотрел справа выражение, как скалярное произведение векторов {cos x, sin x} и {1,i}
Посчитал скалярное произведение формулой, где участвует косинус (через абсолютные величины векторов)
И получается, что е^(ix) = 0
Но это же, конечно, неверно. Я ведь считал СП словно нахожусь в поле R
Хотя, ради справедливости, однажды решал int (sqrt (1+x^2)) dx, сделав замену х на комплексное число и пришел почти к правильному ответу (там в арифметике были ошибки)
Всё таки, множество КЧ в некоторых операциях прям отличатся от R
@@andreyan19 не очень понятно откуда там 0 получился, ||{1 , i}||^2 = 2 != 0
просто переход в комплексную область это то что может оправдать такую замену t и сделать ее корректной, а потом при обратной замене происходит как бы выход из этой комплексной зоны
2:15 Что это было??? Интегрирование сначала через синус, потом через синус половинного угла, потом через тангенс, в итоге опять через логарифм.
Это что, чтобы постебаться?
Интеграл от 1/(1-х²) ващето говоря табличный. Но при необходимости можно показать как он выводится при помощи *гиперболического* тангенса используя тождествa
1- th² x = 1/ch² x
d (th x) = 1/ch² x dx
Интеграл от 1/(1-х²) равен
arth x = ½ln((1+x)/(1-x))
Ну или на худой конец 1/(1-х²) можно разложить на простые дроби:
1/(1-х²) = ½(1/(1+х)+1/(1-х))
И затем проинтегрировать с тем же результатом.
Благодарю Вас за оставленный комментарий!
Да, интеграл этот действительно табличный, о чем я и сказал в видео (только нужно знак минус вынести за знак интеграла, чтобы получился в точности табличный)
Насчет того, почему так много непонятных действий, нахождений прочих интегралов: ведь в начале ролика говорю, что научу находить интегралы, которые могут попасться студентам. И в названии это также отразил (фразой «много теории»)
То есть, впридачу к решениям разных интегралов, даю ещё теорию (например, как с преобразованием tg ([arccos(x)]/2) )
Прикольна :)
Это школьный интеграл.
Чего тут аж а 12минут рссуждать!?
Расходимся нас обманули. ))
Благодарю за комментарий!
Данный видеоролик специально был растянут таким образом, чтобы, в дополнение к изначальному интегралу дать дополнительную теорию и показать примеры решений других интегралов, которые могут встретиться, к примеру, на первом курсе университета
Ведь я сам на 2:03 сказал, что интеграл легко приводится к табличному:)
@@andreyan19 В общем данный ролик будет полезен, для поступающих в ВУЗы или студентов первого курса, второго семестра.
Запомните, автор, интеграл нужно не решить, а ВЗЯТЬ!
Благодарю за конструктив!
Вношу поправки 🤝
А у кого можно взять интеграл. Его где-то бесплатно раздают😂😂😂?
@@ivan_577 обращайтесь к экзаменационным сессиям:)
Иногда там их столько, что унести не сможете!