✓ Теорема Безу. Рациональные нули многочленов | Ботай со мной
HTML-код
- Опубликовано: 3 июн 2024
- Как решать уравнения высших степеней:
00:00 Введение
01:01 Деление многочленов
09:50 Теорема Безу
12:53 Метод угадывания корней
16:28 Рациональные нули многочленов
21:59 Решение уравнения 245x³ - 63x² - 24x + 4 = 0
В этом учебном году я веду три курса:
✔ «Подготовка к ЕГЭ по профильной математике с 0 до 70 баллов (10-11 класс)»: trushinbv.ru/ege70
Подойдёт и десятиклассникам, которые хотят уже за год до ЕГЭ стабильно решать на 70+, и одиннадцатиклассникам, которые почти ничего не знают, но хотят за год выйти на приличные баллы. На курсе освоим как всю тестовую часть, так и многие задачи из сложной части ЕГЭ.
✔ «Подготовка к ЕГЭ по профильной математике с 60 до 100 баллов (11 класс)»: trushinbv.ru/ege100
Для тех, кто уже знает математику на базовом уровне, и хочет за год освоить её на 90+. Там, в основном, будем учиться решать задания из сложной части ЕГЭ, но залезем немного и в некоторые содержательные задания из тестовой части.
(Если у одиннадцатиклассника есть достаточная мотивация, можно параллельно учиться сразу на двух этих курсах - trushinbv.ru/egepack - их программы согласованы между собой)
✔ «Подготовка к перечневым олимпиадам по математике (10-11 класс)»: trushinbv.ru/olymp
В первую очередь этот курс для одиннадцатиклассников, которые освоили стандартную школьную программу хотя бы на «четыре», и хотят за полгода подготовиться к олимпиадам типа Физтех, Ломоносов, ОММО и ПВГ, чтобы попробовать зацепиться за диплом хотя бы в одной из них.
Кроме того, доступны мои прошлогодние курсы в записи:
✔ «Подготовка к ОГЭ»: trushinbv.ru/oge9
Это запись большого годового курса, который я провел пару лет назад. В этом году у меня не будет новых курсов для 9 класса.
✔ Мини-курсы по отдельным заданиям ЕГЭ:
- Теория вероятности с нуля и до ЕГЭ (Задания 2 и 10): trushinbv.ru/egeTV
- Уравнения и неравенства (Задания 12 и 14): trushinbv.ru/egeAL
- Стереометрия (Задание 13): trushinbv.ru/egeST
- Экономические задачи (Задание 15): trushinbv.ru/egeEC
- Планиметрия (Задание 16): trushinbv.ru/egePL
- Задачи с параметром (Задание 17): trushinbv.ru/egePR
- Теория чисел (Задание 18): trushinbv.ru/egeTC
✔ Мини-курсы по перечневым олимпиадам:
- Олимпиада Физтех: trushinbv.ru/fizteh
- Олимпиада ОММО: trushinbv.ru/ommo
- Олимпиада Ломоносов и ПВГ: trushinbv.ru/lomonosov
Другие курсы Фоксфорда: trushinbv.ru/courses
Репетиторы Фоксфорда: trushinbv.ru/coach
Магазин мерча: trushinbv.ru/shop
Книжка от Трушина: trushinbv.ru/book
Как поддержать канал:
Регулярная помощь (Boosty): boosty.to/trushinbv
Регулярная помощь (RUclips): / @trushinbv
Регулярная помощь (Patreon): / trushinbv
Разовая помощь (Ю-money, бывшие Яндекс.Деньги): yoomoney.ru/to/410011017613074
Разовая помощь (PayPal): paypal.me/boristrushin
Разовая помощь (Donation Alerts): www.donationalerts.com/r/bori...
Личный сайт: TrushinBV.ru
вКонтакте: ege_trushin
Facebook: / trushinbv
TikTok: / trushinbv
Twitter: / trushinbv
Instagram: / trushinbv
Telegram: t.me/trushinbv
RUclips: / trushinbv
![Oscar Maydon x Junior H - Volver Al Futuro [Official Video]](http://i.ytimg.com/vi/sa52xabMSB8/mqdefault.jpg)
Господи, как же я обожаю эти вставки в начале)
Борис, низкий поклон вам за ваше творчество
Низкий поклон от ребят с олимпиадного курса,Борис Викторович.Как всегда на высоте :)
Спасибо! В учебнике написано на инопланетном. Учитель не объяснил нормально .А тут все ясно и понятно. Получается в интернете учиться гораздо выгоднее , чем сидеть на уроке...
Теперь мотивации ботать у всех должно прибавиться
Не поможет
А мы, физики, ещё умеем в размерности. Это тоже помогает. Вот последнее уравнение: 245x^3-63x^2-24x+4=0. Переписываем так: 5*7^2*x^3-9*7^1*x^2-24*7^0*x+4=0. Домножаем всё на 7 и перенормируем переменную: y=7*x. Уравнение для новой переменной 5y^3-9y^2-24y+28=0. Решение очевидно: y=1. Вот так вот! Математик против физика - всё равно, что плотник супротив столяра!
А может более корректно подводник против космонавта?
Я - физик теоретик
Мне, от, всех достаётся....(дальше навзрыд)
@@user-vc5nj9zd6i 👍😂.
@@user-vc5nj9zd6i Тебе ещё и от филологов за пунктуацию заслуженно достанется. Остаются только верные друзья: веревка и мыло.
У кубического уравнения три корня должно быть.
Как же вы вовремя!)) У меня только сегодня лекция на 1 курсе на эту тему была, искал контент, который поможет разобраться и тут вы прямо в точку всё, как всегда очень просто и понятно! Спасибо!!!)))
какие же у вас классные видео! это опрелеленно один из лучших каналов, которые я знаю
Кого нужно принести в жертву Трушину, чтобы он продолжил матан?
Вероятника Пифагоруса Децималдора 3.1415-ого, по крайней мере, только этот персонаж у меня ассоциируется с математикой.
Продолжу в ближайшее время )
Пока большой перегруз из-за начала учебного года и всего остального (
Парочку математических каналов, которые не правы в интернете...
Безу :)
Себя и свой просмотр. Каждому
Спасибо Вам Борис. С большим уважением и интересом смотрю каждое видео. Люблю геометрию, знаю, что Вы не большой фанат геометрии, но как было бы круто увидеть цикл роликов про векторные методы решения стереометрических задач: матрицу скалярных произведений, расстояния между точками в неортонормированном базисе, расстояние между прямыми в пространстве векторным методом. А ещё я начинаю мечтать о такой же доске, сейчас крашу специальной краской стену для работы с мелом, при занятий математикой с моими детьми
Как Вы вовремя уехали. Случайно попала на Ваш канал и с тех пор часто смотрю, хотя уже школу давным-давно закончила.
Борис, спасибо. Никогда не понимал, деления многочлена на многочлен уголком. Благодаря Вам - все понял
Просто гениальное видео, спасибо!
Спасибо вам огромное! Вы мне очень помогли! Счастья вам, успехов, радости! Всего самого наилучшего
Спасибо большое. На прошлой неделе проходили,и препод не так хорошо,наглядно как вы обьяснил. А сейчас кажется чем-то совсем легким
Смотрела сотни видеоуроков, но поняла только после вашего объяснения. Спасибо вам, очень просто и понятно
Шикарное объяснение! Спасибо Вам большое!
Блин, как круто, я уже давно закончила институт, но наконец-то кто-то нормально и интересно все это объясняет! Залипла на канале)))) не знаю, правда зачем, наверное, понять что не очень понимала раньше))))
Могла бы, поставила бы 100 лайков! Обожаю математику с Борисом!
Спасибо, что делаете видео в 4к
Существует ещё один распространённый и очень простой метод деления полинома на полином, о котором в ролике не рассказали. Он называется _правилом_ или _методом Руффини,_ его особенно любят в Италии. Мне собственно про этот простой способ мои итальянские студенты и рассказали (я к своему стыду тогда его не знал, хотя учился в СПбГУ).
*P.S. В интернете по запросу la regola di Ruffini этот метод легко находится.*
@Nikita _007 Правило Руффини - это про деление полинома степени _n_ на полином степени 1 вида _x-a_
_P.S. Этот метод является частным случаем того, что иногда называют схемой Горнера, или методом Руффини-Горнера, но насколько мне известно Руффини его открыл раньше Горнера. Просто его в ролике тоже можно было бы упомянуть._
Мне кажется, что в этом нет большого смысла. Это как если бы вы научились делить в столбик на любое натуральное число, а потом вам говорят, что есть отдельный метод как делить на однозначные числа
Большое спасибо вам, Борис
Потрясающе!!!
Когда корни рациональные и их много, то не подставляю. А сразу пробую делить на соотвествующий многочлен (если 1/5, то на 5х-1). Также в кубических если много делителей, то можно с помощью производной исследовать функцию этого многочлена и понять , между какими числами функция обнуляется и количество корней
Супер! Понемногу, всё вспоминаю :)
Борис, не останавливайтесь на достигнутом )
Спасибо за объяснение!!!!
Начало шикарно!
Спасибо, освежил в памяти.
А сын сказал. "Мне бы такого преподавателя в школе!".
как говорится _вы учитель от бога! удачи здоровья благополучия! а ещё нет войне !
Благодарю от души) и да , привет от ребят с олимпиадного курса
Спасибо, очень интересно.
Борис, вы просто святой человек. Сначала вы мне помогли познать МатАнализ, а теперь объясняете Линейную алгебру. Лучший математик без сомнений. Спасибо вам, что спасаете души блудных студентов!🎉
Многочлены вроде в школе проходят
@@thedotareview9748 я тоже так думал
Спасибо ! Полезно иногда голову напрячь по математике , даже если экзамены не грозят
Шикарный ролик
Очередной раз спасаешь меня😅
Омг, спасибо вам огромное!!!
Ну, ещё бывает так, что нужно понять про какой-нибудь многочлен, скажем, степени не меньшей, чем 3-я степень, что такой многочлен не имеет рациональных корней (ну, или, если он приведённый, то следовательно, что он не имеет целых корней). Тогда такой метод перебора всех возможных рациональных корней тоже хорошо работает.
Супер! Преподаватель напомнил мне нашего из 30 фмш
Просто пушка. Мега хорош
Введение это отдельное исскуство Бориса))
Борис, вы рассказывали про интеграл. А про двойной интеграл не рассказали. А интересно же :)
Плюс в физике используется.
Супер, спасибо. Где вы были на моём первом курсе?)
Класс!
Невероятная и мощная логика❤Проще не куда😮
Борис ты супер!!! :):):)
Thanks!
Спасибо!
Круто!
Самая красивая теорема математики!
Спасибо за видос
Кстатиии) Теорема Безу проходится в 10 классе (В Казахстане) . Она идёт вместе со схемой Горнера и делением уголком
У нас в классах с углубленным изучением математики это проходят в 7 классе. А проходят ли в остальных, не знаю
@@trushinbv Крутоооо
@@trushinbv в 10 проходим
@@artyuskoff9547 и мы
Из Казахстана. У нас было в 10м математическом
А нам в школе это рассказывали. Правда без док-в теорем, просто как факт - если есть рац корни ищем среди таких вот конструкций
18:58 - Борис изо всех сил, пытается защитить слагаемое! Математик борец!
Здорово.
В Беларуси в прошлом году, да наверняка и сейчас, деление многочленов, теорему Безу, схему Горнера и т.д. изучают в основах высшей алгебры на первых курсах ВУЗов. Не знаю на счет лицеев, но в школах этого точно нет.
В этом году программу обновили и деление многочленов, комбинаторику добавили в школьный курс для 10 классов
Есть в профильных классах!
Борис, доброго дня. Мне математика симпотична и по сей день, но так сложилось что некому её было мне объяснить толково. Просмотрев несколько ваших "альмонахов" на тему математики, у меня возникла просьба, подскажите пожалуйста книжку по математике где всё изложено простым языком и понятными задачками.
очень жизненное вступление)))
Как раз сейчас проходим данную тему) 11 класс
Прошли ещё в 8 классе физмата)
@@papiterka4125 прашол ищо в 1 классе в эсэсэсэр
Ого совпало, учусь в 10м классе. Сегодня была лекция по комплексные
числа. Теорема безу. Горнер. Основная теорема алгебры.
Я тоже перешла в 10 класс. У нас Безу проходят в середине года, комплексные числа раньше были в конце, в этом году вообще убрали (хотя сама учусь в физмат лицее). Грустно это всё
@@user-ni6qb2to7u Вчера на лекции рассказали формулу Кардано)
Шеф, а можно ли как-то по уравнению высокой степени заранее понять, что там есть рациональные корни? Допустим, существуют же квадратные двучлены с сопряженными иррациональными корнями. Если такой двучлен домножить на двучлен без действительных корней и на другой двучлен без действительных корней, то получим многочлен 6й степени, у которого сколь угодно большие и целые коэффиценты, но все его корни иррациональные либо комплексные. Как решающему это понять и остановиться?
Борис, а получается, что если нкжнно решить уравнение высокой степени, но нет рациональных корней, а только иррациональные и комплексные, то это вообще возможно решить? Или на это уйдут годы?
Матрицы!
Матрицы!!
Матрицы!!!
Вынос мозга нужен не всем ))))
Огромное спасибо за видео. Может немного глупый вопрос, а почему мы вообще не думаем про то, что если мы делим на условные (x-1) мы можем делить на 0 ?
Деление в данном случае это просто условное обозначение на самом мы деле мы должны представить вида
A(x)=B(x)×Q(x) +R(x), где A(x)- называют делимся, B(x)- делителем, Q(x)-не полным частным, R(x)- остатком
Благодарю. Читайте антропософию Р.Штайнера например Н205, "Философия свободы" и все прояснится, а то жизнь протечет мимо.
Здравствуйте! Посоветуйте пожалуйста учебники по вышмату!
Когда он многочлен на многочлен В СТОЛБИК делить начал, у меня была только одна реакция: А ЧО ТАК МОЖНО БЫЛО ЧТОЛИ?
Привет. Я ваш постоянный подписчик. Хотя давно уже не школьник.
Объясните почему последнее слагаемое "a0 * q^n" при нахождении корней должно делится на P.
Как это помогает уравнению? Слова "Обязано делится на P" не помогли.
Заранее спасибо и особенное спасибо за деление многочленов и Теорему Безу :) Давно забытая мной тема.
Если A+B=0, и A делится на p, то B=-A тоже делится на р
@@trushinbv Спасибо. Интересно что такая простая идея не сразу дошла.
Угадать корни "легко": произведение a_n*(-x_1) ...(-x_i)...(-x_n) = - a_0
А ещё мы по ЧМО учили прикольные теоремы о том, в каком диапазоне следует искать корни многочлена.
Кто нибудь подскажите для чего это все изучать, я просто поступил в вуз и у меня сомнения, что это как то поможет мне заработать денег
Зарабатывают те у кого капитал есть. Остальные продают свою рабочую силу. И чем образованнее и способнее к обучению эта рабочая сила , тем она как правило дороже. Остальное - дело случая. Вот как-то так )
👍👍👍
👏👏👏👏👏
Первый лайк от меня 😅
А можно ли решать уравнения высоких степеней, у которых корни не рациональные?
В самом общем виде - нет. Там только численные метода работают, которые находят корни с любой заданной точностью
Трушину просто необходимо учить других преподавателей тому, как надо преподавать ученикам сложное просто.
👏👏👏
Уважаемый Борис, не совсем понял док-во т. Безу. Мы подставляем вместо x число а, и тогда действительно r=P(a)
Но с чего мы решили, что это будет выполняться для ЛЮБЫХ х, а не только для х=а?
Мы получили, что остаток r=P(a), в этом и состоит теорема, нам без разницы на Х. Ну а вообще там же получается Т(х) * 0 + r, и какой бы мы Х не взяли первое слагаемое всегда будет нулем
А я проверил эту теорему на классическом уравнении где корни целые, например, x2+6x+8=0 ; Находим корни классическим способом(дискрименант/виета) = -2 и -4. Согласно теореме Безу: x = p/q, где p делитель 8 и q делитель 1. Делители для p = +-1;+-2;+-4;+-8. Делители для q = +-1. Перебором видим, что здесь как раз и есть наши корни -2/1 и -4/1 = -2 и -4. То есть эта формула вообще работает для всех уравнений? Можно решить любое уравнение и если оно высших степеней то просто каждый раз раскладывая многочлен на множители и опять находим один из корней по теореме Безу?
Только если корни рациональные
Борис: 63*4 это (в уме подибрает ближайшее круглое, 63=60+3, умножить на 4) равно 240+12.
Я: 63 это 64 - 1, 63*4 = 256-4. Программирование искажает понятие круглого числа 😅
Ждём схему Горнера. Был в шоке, когда будучи уже в 11 классе, взял у брата учебник 10 класса и обнаружил, что Безу и Горнера оставили на обочине...
Остаётся только понять, зачем оно школьнику надо 🤷🏻♂️ тут хочется сказать об обычном школьнике, а не тех, кто занимается олимпиадами или из математического класса.
Школьник должен хорошо квадратные уравнения решать всех видов, это да, а решать полиномиальных уравнения высших степеней - такое себе развлечение.
@@canis_mjr ну в ЕГЭшке по профилю может пригодится, но, скорее всего, не пригодится, однако шанс получить уравнение высших степеней есть в 14(неравенство) или 17(параметр) номере, но крайне маленький
@@canis_mjr разве это есть у обычных классов? У нас это есть только у физмата и химбио, гуманитарии эти темы пропускают
@@user-zs8wh7nk8v так в том то и дело, что не надо это. Поиск же корней среди делителей свободного члена есть следствие раскрытия скобок.
Здравствуйте. Можете посоветовать классику по аналитической геометрии ( классика по типу Зорича)
Борис Викторович подскажите пожалуйста где доску купили ?
Мебельный магазин "Office 1"
@@trushinbv Благодарю за ответ)
проблема безу в том, что полно уравнений с иррациональными корнями.
Можно спросить, а почему если все делятся на p , то и остаточный член обязан делится на p, чтобы было равно нулю. Также про q. Я интуитивно это понимаю, но если захочу объяснить другим, как сказать, чтобы меня поняли
Потому что, если p/q- корень, то обязательно деление на p, а после умножения на q^n, обязательно деление на q?
У тебя A + B = 0. Если А делится на р, то B = -A тоже делится на р
ролик вообще песня
Приветствую, а есть идеи при кубическом уравнении вида ax^3+bx^2+cx+d=0 что делать с корнями квадратного (комплексными и реальными) если искомо все-же3 корня (например делаю функцию в программе которая решит любые коэффициенты и возникли проблемы), но коэффициент a=0 то каким тогда назначать 3й корень, и что при d=0 ведь формула кубического дискриминанта будет рассыпаться и нужен другой подход.
А как стать человеком, выдумывающим многочлены, чтобы остальные потом мучались их решать? Я понимаю, что это секретная профессия и просто так никто о ней не скажет, но.. СПАСИБО!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! :-)
Борис Викторович,
Разве может делится без остатка, если мы выполняем деление с остатком?
При делении с остатком результатом всегда, ведь, будет неполное частное и остаток (пусть, например, равный нулю).
Например, если мы говорим о делимости, как бинарном отношении, то там как повезёт (либо делится, либо нет). Скажем 6 на 3 делится, а 6 на 4 не делится.
Но, если мы говорим об операции деления А на В с остатком, то во-первых такая операция всегда выполнима, а во-вторых её результатом будет:
А = В*q + r, где q - неполное частное, r - остаток (0 ≤ r < В).
Поправьте меня, пожалуйста, если я ошибаюсь.
Просто если остаток равен нулю, то говорят, что остатка нет
@@trushinbv Ну, да. Это понятно. Просто, меня ещё в школе учительница (Глузман Тамила Михайловна) научила, - когда проходили делимость на множестве целых чисел, - что да, говорят: "делится без остатка", но это не совсем грамотно, так говорить , т.к. нужно различать две операции, - есть просто операция "деление", она иногда получается, иногда нет (как повезёт). Если получается, то выходит ровно один результат "частное", если не получается, то не получается (ничего не выходит). Есть другая операция - деление с остатком, такая операция всегда выполнима, и результатом её выполнения является два числа (всегда два), - неполное частное и остаток. Если остаток НОЛЬ, то он часть результата, не надо говорить, что тогда без остатка получилось. Нельзя делить с остатком, чтоб получилось без остатка.
Ну, Тамила Михайловна всегда наводила строгость (возможно, излишнюю). Была педантом. Но, при этом, любимым учителем.. )
Прошу прощения, за столь длинный текст, - я смотрю каждый Ваш ролик, очень благодарен Вам за вашу работу. Больше математики! Спасибо Вам.
Лучше поздно чем никогда
Но лучше не пробовать делить на многочлены сложнее, чем (x-a).
Почему q должны быть натуральными?
Довольно хорошо при решении таких уравнений работает схема Горнера , ее тоже стоило бы показать.
Эквилибристика алгебраическая! Я а экстазе)
Здравствуйте. А вот (x^5+x^4+1=0) по Безу не решается. Исключение?
Что значит "по Безу не решается"? Теорема Безу ничего и не решает. Она говорит только что остаток от деления P(x) на (x - a) равен P(a).
@@trushinbv Ну, я про следствие, что корень это простая дробь, где числитель это делитель свободного члена, а знаменалель делитель коэф при старшем члене. Здесь получает +-1/1, то есть корень должен быть +-1. Но не подходит.Или это из-за того, что 1/1 сократимая дробь? Или я ничего не понял)) Спасибо за ваши видео, Борис. Мне 47, с удовольствием смотрю. И теперь даже участвую.
@@pavelkostrov1617 Теорема о рациональных нулях многочлена говорит, что если у вашего уравнения есть рациональные корни, то это могут быть только +1 и -1. Но они не подходят. Значит, у этого уравнения нет рациональных корней
@@trushinbv теперь понял, спасибо.
15:30 а как же комплексные корни при D
Лайки, подписки, все дела
Как доказать, что степень остатка меньше степени делителя?
если бы я увидела это неделю назад...
Ученик пытался мне это объяснить, но у бориса получилось лучше
Если есть корни то они такие то или обязательно есть корни такого то вида
А почему нельзя просто поделить на икс в какой нибудь степени и результат приравнять к нулю? Зачем обязательно нужно угадывать один из корней?
А как это поможет?
@@trushinbv никак, уже попробовал))