Формула для корней и теорема Виета | Квадратный трёхчлен #1 | Ботай со мной
HTML-код
- Опубликовано: 27 мар 2018
- Квадратный трёхчлен. Часть I
Формула для корней квадратного уравнения и теорема Виета
Онлайн-курсы с Борисом Трушиным:
9 класс. Подготовка к ОГЭ по математике: foxford.ru/courses/603/landin...
10 класс. Подготовка к ЕГЭ по математике: foxford.ru/courses/599/landin...
11 класс. Подготовка к ЕГЭ по математике: foxford.ru/courses/596/landin...
Квадратный трёхчлен. Формула для корней квадратного уравнения и теорема Виета
Найденные "опечатки":
14:21 Должна быть система, а не совокупность
Ну почему я узнал об этом только в 11 классе? Спасибо вам, Борис, за подробное объяснение
@@I_Deft_I так это не сложно, кубические уравненич сложнее(формула Кардано)
@@user-qw6sh8dn5z я сказал, что это сложно?
@@I_Deft_I по логике если, то да, так как узнать- значит иметь какие то трудности
@@user-qw6sh8dn5z ты вообще читаешь, что пишешь? Я имел ввиду то, что учителя нам никогда не рассказывали откуда взялся дискриминант, а просто заставляли учить формулу. Лишь полгода назад я узнал, откуда он взялся и это не вызвало никаких трудностей у меня. А ты - просто придрался со своим кубическим уравнением
Люблю математику! Наконец сейчас, в 37 лет узнал откуда появился дискриминант и теорема Виета)
Разве нельзя так же объяснить ребятам и в 8 классе? Зачем пичкать нас формулами, которые не запомнятся половине класса, если можно подать материал, в полной мере демонстрируя строгость, логичность и грациозность математики? Это может занять на 10-15 минут больше, но, мне кажется, в будущем это обернется часами сэкономленного времени.
Спасибо Вам, Борис, за то, что закрываете дыры нашей грамотности!!!!
Это не просто вытянуть среднему восьмикласснику + надо понимать, что некоторым матан совсем не даётся( и от учителя это уже не зависит), а ОГЭ все сдавать
Матана в ОГЭ нет, да и в ЕГЭ его мизерное количество
Илья Завсегдатаев какой же ты нудный
@@ChrisGrand11 Какая же ты заурядная!
Это есть в любом учебнике за 8 класс. Вы его читать пробовали?
Такому учителю матеши я бы был рад.Который не просто кидает формулы в голову , а поясняет ,что из чего исходит , и как это всё работает.Спасибо , любопытность удовлетворил.
ааа... вон оно чаво. В 43 года только и узнал, откуда берутся эти волшебные формулы
Я учусь в 11 классе, хорошо знаю школьную программу по математике, но только сейчас задумался о том, откуда взялась квадратичная формула XD.
Жиза)
@@user-fe6xr3bl8r кто-то просто учебник открывал в школе только чтоб домашку сделать, а на теорию в учебнике тупой школоте насрать.
@@kosiak10851 У большенства нормальных людей в 7ом классе другие интересы. Малая часть детей сядет разбираться в формулах, вместо того, чтобы играть в футбол, общаться с друзьями, сидеть в инете и тд. Это абсрлютно нормально, ведь в их возрасте мир кажется интересне и хочется его исследывать, вместо того, чтобы смотреть в скучнуу книгу
@@KuPruM_ сидеть в инетике и играть в футбол это исследование мира? интересно
@@dextert_qwer1660лол. Это большее исследование мира, чем вычитывание и перерисовывание бесполезных закорючек из учебника математики:)
Только повзрослев, в полной мере начал восхищаться красотой этой великой науки - математики
потому что учителей в школе не слушал ты.
Блииин, это так легко, а нам говорили, что мы не поймем и только в университете нам расскажут о дискриминанте. Чо за бред.
Благо есть Ваш канал.)
Лол. Очень лёгкая тема
что, сцуко, характерно, в университете тоже не сказали
@@user-nj9rq4ff3h наверно вуз гуманитарный, посчитали что не нужно
Спасибо, Борис, всё больше и больше влюбляюсь в математику
Я учусь в 7 классе и изучаю математику более углубленно, чем мои одноклассники. На уроках алгебры мне невероятно скучно из-за того, что нужно решать всё по формулам, которые нам дают и не объясняют(Формулы квадраты и куба суммы и разности мы выводили сами простым перемножением скобок. Формулы суммы квадратов или кубов нам давали так: в начале урока учитель писал на доске произведение двух скобок, мы раскрывали их и получали нужную формулу). Геометрическое значение этих формул на показывали вскользь, листая учебник. Теперь стало немного интереснее, т.к. мы начали проходить функции, но в седьмом классе нам рассказывают только про линейные функции(ещё не начали, но скоро будут), вроде бы даже про гиперболу нет материала в учебнике.
Если хочется что-то поинтереснее школьной программы, то можно это посмотреть -- foxford.ru/courses/612/landing?ref=p308_yt
Или даже уже эти:
foxford.ru/courses/609/landing?ref=p308_yt
foxford.ru/courses/610/landing?ref=p308_yt
Борис Трушин большое спасибо!
@@trushinbv Тоже спасибо!
Не зазнавайся .
@@user-wp9lk8gw6y как жизнь, как успехи в математике?)
Смотря ваши видео, понимаю, насколько мне повезло с учителем математики в школе, ибо нам не давали ни дискриминант, ни Виета с воздуха, всегда все выводили.
Спасибо большое, Борис, за ваш труд.
Начал с видео "Основная теорема арифметики" - показалось что чувак шарит здорово. После этого видео понял что смотреть стоит вообще все.
Даааааааааа, вот, именно то что я хочу видеть, замечательно
Круто! Не один препод не объяснит эту тему так как вы. Спасибо за помощь!
Случайно ткнул на видос, когда искал школьную тему которую я пропустил сегодня. Мозг взорван🤯
мне43, весна ., сижу в кабине фуры, на выгрузке, подольск, джентельмены по соседству оживленно обсуждают прошедший мимо пышный бюст(весеннее обострение), я конкретно настроен на обсуждении трехчленов...
...а вообще пересматриваю многие видео БВ переодически, и вроде как все понятно, но следующий раз замечаю(понимаю) что то новенькое.
...а вообще все началось с доказательства осн. теоремы арифметики, от БВ, это просто наслаждение: слушать, думать,понимать.
Огромное спасибо! Все предельно ясно. Давно хотел в этом разобраться.
Шикарное видео. Единственное, где объяснили с какого это перепугу появилась теорема Виета
Борис, вам респект!)
Обожаю Ваши объяснения!
Круто! Спасибо! Самое толковое объяснение.
Борис, спасибо за Ваш труд. Очень познавательно.
Огромное спасибо!)
Давно задаюсь этим вопросом. Спасибо)
Наконец-то кто-то мне объяснил откуда это все берется! Раньше было вообще ничего не понятно. Спасибо!
Просто удивительно, сколько жизней спасено уже и могли бы быть спасёнными благодаря таким урокам и чудесному Трушину!
Спасибо вам большое!
За 15 минут объяснили то, откуда взялись все формулы, да еще как объяснили! Спасибо вам за ваши ролики, это великолепно.
Вот просто не могу не сказать спасибо вам, если бы не вы, то никто другой! ЛАЙК!
спасибо за то, что вы делаете! это так просто, так важно, и так мало кому объясняется. вы - замечательный учитель.
Спасибо большое за урок. Очень полезный
спасибо огромное!
Понятно, спасибо мужик! В 40 лет узнал, что такое есть и зачем оно нужно 💪
До новых встреч 👍
Большое спасибо Вам!!!!!!!! Теперь разобрался))
Я в 8 классе, дошли до формулы корней квадратного уравнения. На уроке просто написали на доске формулу, рассказали как применять и всë. Я хочу идти в мехмат, поэтому приходится разбираться в темах глубже, спасибо вам огромное за ваши видео🙏
Прекрасное объяснение
Прекрасное видео!
Огромное спасибо! Тоже отлично помню, как учитель в школе сказал: "в институте вам разжуют, откуда взялись эти формулы". И вот я думаю, неужели было сложно объяснить сразу столь легкие преобразования? Тогда бы и вопросов впоследствии было намного меньше!
Гениально
Спасибо, все понятно, отличный урок, мне в школе такое не объяснили
Спасибо! Помогаете понимать, а не запоминать.
Наконец-то мне это объяснили
спасибо
Сегодня мне открылись тайны Вселенной :)
(и учителей седьмых классов)
Интересное и полезное видео для тех, кому нужно ПОНЯТЬ математику
гениально
Никогда не задумывался...
Хоть заново всю школьную программу проходи, а ведь ЕГЭ на носу
Недавно ещё задавался вопросом как производная выводится. Про это хоть и говорят, но используют редко
Прикольно получилось
А теперь задался вопросом как выводится это и в рекомендациях попалось ваше видео
Спасибо огромное
Буду продолжать вас смотреть, невзирая ни на что
Уверен, что начну понимать математику так, как это нужно было делать ещё очень давно
Спасибо
все что Вы написали есть в учебнике. спасибо за объяснение
Genial!
Я в 8 классе. Только начал проходить теорему Виета появилось куча вопросов о дискриминанте и формулах
спасибо, БВ.
где ж вы раньше были когда я учился в школе)
я умею применять теорему Виета, но по-школьному. а в школе нам объясняли поверхностно. т. е. теорема применялась только к приведённому квадратному трёхчлену и нам показали лишь основные выводы:
х²±bx±c=0
x' + x'' = -b
x' * x"= c
так вот, к чему я все это пишу. хочу выразить благодарность за столь понятное объяснение, было действительно интересно 💘
В видео про рационализацию вы говорили, что дожив до 11 класса, ученик должен это вывести сам. Вопрос, как до этого допереть самому? Как это прочувствовать? Это же не просто преобразования, а последовательность действий. Кстати, во многих других видео авторы просто выводят эту формулу даже не объяснив почему выделяют полный квадрат, у вас же в начале видео даётся объяснение почему так.
12:04. Теорема Виета
Спасибки, теперь я вумная
Ваще огонь, мне 41)
Борис, расскажите про прыжки Виета, применительно к задаче 6 IMO. Особенно геометрическая интерпретация
этой техники
Да, я даже думал про это, но пока руки не дошли аккуратно все продумать
@@trushinbv Можно ли решить уравнение пятой степени с помощью теоремы Виета? Ответьте пожалуйста.
@@genius9431, хоть 55
@@genius9431 а кубические уравнения формулой Кардано?
@@user-qw6sh8dn5z Я не знаю. Пока не дошел до этого.)
Если в квадратном уравнении a≠0,то будет ли считаться ошибкой если бы вы не вынесли а, а просто сократили на а
Т.к. (b+-√D)(-b+-√D)=-b^2+D=-4ac, то (-b+-√D)=-4ac/(b+-√D), и тогда корни представимы решением с радикалом в знаменателе. При этом в одном из корней допустимо a=0, что приводит к решению линейного уравнения из формулы решения квадратного.
Лайк за теорему Виета! Ато всё привык через дискриминант решать
👍
легче домножить на 4а:
ax^2+bx+c=0 | *4a
4a^2x^2+4axb+4ac=0
(2ax)^2 + 2*2axb+b^2-b^2+4ac=0
(2ax+b)^2=b^2-4ac
и т.д. :)
Очень интересно. Вы заметили, что у вас то что вы скобках (2ax+b)- это производная функции ax^2+bx+c. ?
Почему квадрат производной равен дискриминанту??
@@user-eg1wd4ps1i Вы сейчас сломали мне мозг. Теперь сам буду мучаться в попытках понять почему так.
4:28
Получилось приведение квадратного двучлена к виду a(x-x1)(x-x2)
Смотря видео Трушина, думаю, что в школе и вовсе не учусь.
Борис, здравствуйте, простите за глупый вопрос, когда D > 0 вы находите два решения X при которых функция равна нулю, а затем вычитаете эти же X из самих себя a(x-x1)(x-x2)=0 и преобразуете выражение просто перемножив скобки, я правильно понимаю? если правильно, то я так понимаю это сделано для того чтобы найти отношения между a,b,c от этих X которые были найдены для этой функции? И если это так как я вам описал, то я никак не могу прочувствовать связь, как Франсуа Виет понял что вычитания X из самих себя даст ему эти отношения между X и abc? Благодарен заранее за ответ.
Это пздц я уже и ЕГЭ сдать успел,но только сейчас понял,что теорема виета работает для всех квадратных уравнений, а не только для тех у которых а=1(как нам говорили в школе)
Я тебе открою секрет, она и не только для квадратных уравнений работает
Как сдал?
@@wyacheslawbogdanyonok5147 А с уравнением пятой степени она может сработать?
@@genius9431 да, но в разы сложнее будет
@@wyacheslawbogdanyonok5147 Я пытаюсь найти образец, не получается. Очень хочу понять принцип теоремы.
Мне было это прозрачно, но я ещё проще объяснял формулы корней. Очевидно что между корнями -b+-sqrtD/2a лежит точка перегиба x0=-b/2a. Откуда она берется можно доказать с помощью производной.
y=ax^2+bx+c; y'=2ax+b, приравняв второе к нулю получим 2ax=-b и x=-b/2a. Точка перегиба доказана.
Теперь найдем ординату точки перегиба, подставив это значение вместо x; y0= a(-b/2a)^2+b(-b/2a)+c.
y0=b^2/4a-b^2/2a+c. Приводим к общему знаменателю: y0=b^2/4a-2b^2/4a+4ac/4a = (-b^2+4ac)/4a. Это ордината точки перегиба, а глубина провисания будет с обратным знаком: h= (b^2-4ac)/4a. Поскольку парабола y=ax^2+bx+c это парабола y=ax^2, смещенная на x0 вправо и на h вниз, то корни буду и отстоять от точки перегиба на sqrt(h/a). Тогда sqrt((b^2-4ac)/4a^2)= sqrt((b^2-4ac)/2a. Отсюда x1=(-b+sqrt(b^2-4ac))/2a.
Формула доказана.
Сомневаюсь, что производную проходят во всех школах в 8 классе. А ведь данное видео и нацелено на такую аудиторию :)
P.S. Чем больше знаний - тем легче доказывать ;)
@@KOPOJLb_King там же только точка перегиба производная, скажите 8 классу без производной... Ещё кубическое уравнение наверно можно через симметрию доказать.
Сильно проще... Это уже смахивает на начала анализа
Вау...
Меня, наоборот, в 8 классе интересовало, что и откуда берется, а к 11 я уже просто устала от школы (не от математики или каких-либо предметов, от моральной и физической составляющей школы)
Мне кажется что при выводе формулы проще не возится с дробями а умножит обе части на 4а и прибавить и вычесть b^2, выделяем полный квадрат и всё лишнее направо с противоположным знаком, и получаем (2ax+b)^2=b^2-4ac, откуда получаем формулу
Да. Но потом хочется те же преобразования использовать для изображения графика параболы
@@trushinbv Кстати, как вам идея после того как вся эта жесть что происходит закончится, сделать видео о необходимости и достаточности? Что это вообще такое, как понять где писать следствие а где равносильность и тп? Для меня это важно, но в школе об этом, к сожалению, не так часто говорят
@@Stas-bl4ud ага!
Борис, приветсвую! имеет ли смысл после записи выражений для Х1 и Х2 прибегать к перемножению двучленов и приравниванию коэфф. при одинаковых степенях переменной чтобы показать Т.В.? ведь она напрямую следует из сложения/умножения этих выражений.
Обьясни подробней пожалуйста
Ну если хотите перемножаться эти сложные выражения - давайте. Почему бы и нет?
Просто в видео решили это сделать проще, но это не значит, что есть только один способ.
6:50 а почему b^2-4ac, если перед дробью стоит плюс?
Насколько я понял так как перед этим выражением стоит минус при раскрытие скобок должен получится как раз плюс
Ха, до 10 класса. Я только сейчас все понял. А мне 52 и я вроде не глупый и да а повседневной жизни я пользуюсь квадратным уравнением.
Жесть. Я в школе щелкал это как корешки :) 38 лет, почти 20 лет не видел этих формул. Все забыл. Спасибо автору канала. Очень круто.
Когда нашли формулы для корней х1 и х2 почему когда вносим знак минус в дробь знак у второго слогаемого не поменялся? Я уже 2 дня туплю на этом месте(
Почему в самом конце объединение x1 и x2? Разве мы не можем подобрать такие x1 и x2, что их произведение даёт c/a, но в сумме x1 и x2 не дают -b/a значит, если мы берём объединение, то x1 и x2 будут результатом этого объединения, но при этом не будут корнями исходного квадратного трёхчлена. Может я где-нибудь ошибся в своих рассуждениях, сел после учебного года с Вами пересматривать интересные видео))
Это глупая описка (
Что значит обьядинение?
Обьясни подробней пожалуйста,я что-то не понял
Такое ощущение как будто доказали существование параллельной вселенной за 15 минут
Скобка, объединяющая уравнения (х1+х2=-b/a) (x1x2=c/a) вроде должна быть {, вместо [
qwerty
Да, об этом написано в закреплённом комментарии
я бы и всю жизнь не знал откуда это берётся)))
Добрый день! Подскажите, пожалуйста, почему у нас получается (b^2 - 4ac) / 4a^2 - почему именно минус 4ac, а не плюс?
тоже на этом моменте заколебался, может он посчитал неправильно? там если убрать минус из c/a, то получится два минуса перед (b/2a)^2, соответственно это плюс(получается ведь +((b^2-4ac)/4a^2)
@@felixstanford8859
-(b/2a)^2 + (c/a)
-(b^2/4a^2) + (4ac/4a^2) минус относится только к первой дроби
(-(b^2) + 4ac) / 4a^2
- ((b^2) - 4ac) / 4a^2)
Математика для меня всю жизнь была неотличима от тауматургии или ещё каких-то оккультных искусств. Как же всё-таки сложно её доносить грамотно и понятно до школьника или человека. И насколько же это важно.
У меня вопрос: а когда школьник перестал быть человеком?
И школьник человек🤗
На мой взгляд, решая по методам седьмого класса проще так сделать: х^2-6х+5=х^2-х-5х+5
=х(х-1)-5(х-1)=(х-5)(х-1)=0
Да, но для того чтобы сделать первый шаг нужно угадать как разбить число 6 (по сути, это теорема Виета). А выделение полного квадрата - это такой прямолинейный метод )
@@trushinbv Согласен. Это - вообще дело привычки. Приятно, что Вы отвечаете на комментарии даже под видео годовой давности.
Добрый день БВ, у меня к Вам вопрос - почему в 1 случае, когда дискриминант меньше нуля, решений нет? Ведь у нас есть множитель а, который также может быть равен нулю? Или я что-то путаю?
А не может быть равным нулю, по определению квадратичного тричлена. Там же тогда квадрат уничтожается и то перестаёт быть квадратным
@@IlyaRohovets спасибо за разъяснение)
Здравствуйте БВ! Надеюсь вы ответите. Почему b=-(x1+x2)a
А не b=-(x1+x2)ax
Откуда вообще этот Х мог появиться? :)
Сейчас уже, наверное, не очень актуально, но всё-таки напишу: там, где Вы теорему Виета написали (нижние две строчки в самом конце видео), должна же быть система, а не совокупность? Эти условия одновременно выполняются
точно (
это было какое-то какое-то чисто механическое действие было
Нам в 8 классе показывали откуда берутся формулы
А почему для удобства решили "заменить" только b^2-4ac,почему -b/2a не заменили на какое-нибудь "A" тоже?Исторически сложилось так?
Ну, -b/2a иногда x0 обозначают, так как это абсцисса вершины параболы. Но об этом в следующем видео )
Борис Трушин Хм,и не поспоришь 🤔Хорошо! =)
Смотря это видео, я испытал нечто вроде "чувственного наслаждения".
я преисполнился в своем сознании и открыл свой разум Вселенной.
Долгопрудненский гений
Блин, почему нет подобных видео по физике нигде
Могу посоветовать канал Павла Виктора, очень грамотный учитель.
@@smpl22ny96 я с Вами вполне согласна. Классный учитель
8:13 А если а - отрицательное число? Ведь за скобкой стоит а и может получиться отрицательное число
И ещё, пожалуйста объясните, откуда взялась формула a(x-x1)(x-x2). Я понял, что некоторые выражения мы заменили на х1 и х2 но почему именно x-x1, а не х+х1, например?
@Эдуард 1 Спасибо, теперь понял
А зачем вы при выводе общей формулы тащите а? Его же можно сократить, т.к. не равно нулю
Не понял почему в формуле a(x-x1)(x-x2) именно минусы перед корнями.
У тебя а свободный коэф, на него можно умножить, так как это выражение равно 0. А если оно равно 0, то произведение скобок равно 0, значит либо первая скобка 0, либо вторая скобка равна нулю. Х-х1=0, х=х1.
@@smpl22ny96 Привет,наверное не актуально это писать, но можешь объяснить поподробней?
@@framejonson7710 если говорить проще, то есть такая теорема: "Если число X0 является корнем многочлена, то этот многочлен делится на (X-X0)". А уж чтобы понять откуда она берётся, постарайся вникнуть в комментарий выше
@@troitskyvsevolod2194 Спасибо большое,я понял
@@troitskyvsevolod2194 Но можете обьяснить пожалуйста,к чему он там написал 'x-x1=0',"x=x1'
То чувство когда ты в 9,.. а тебе сказали повторить а ты помнишь что Виет когда то жил
6:50 почему "- 4ac"? Сверху же "+ "
А, понял. Я 8 лет неправильно складывал отрицательную дробь с положительной
Чел я тоже на этом моменте застрял и не могу его понять, видимо автор ошибся потому что я смотрю другое выведение и там эту часть переносят для получения такого ответа.
@@user-pd5qs2id4y Автор не ошибся.
-(a-b) = -a+b
Борис, когда вы последний раз ошибались в мат. задаче?)
01:32 мне и в 8м классе стало интересно