Uma demonstração ENCANTADORA para 1²+2²+3²+...+n² = n(n+1)(2n+1)/6
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- Опубликовано: 16 сен 2021
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Existe uma expressão que representa a soma dos primeiros "n" quadrados de números inteiros e consecutivos começando pelo quadrado do 1. Ela nos permite afirmar que 1²+2²+3²+...+n² é igual a n(n+1)(2n+1)/6. Mas você saberia demonstrar essa expressão? No vídeo de hoje, eu trago até você uma forma absolutamente encantadora e quase milagrosa de você mostrar de onde vem a expressão da soma de uma sucessão de quadrados. Você vai precisar de quase 20 minutos, mas eu garanto que vai valer a pena!
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Entusiasta-chefe: @professorgustavoreis
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Gostou da aula?! Como me agradecer: INSCRIÇÃO 🎯 → SININHO 🛎 → JOINHA 👍 → Muito obrigado! 😃🙏
Vc tem grande capacidade verbal, precisão de linguagem, clareza e objetividade. Ferramentas fundamentais a um grande professor.
Perfeito! Nunca tinha visto essa fórmula, mas, como sempre, é muito melhor ver a demonstração do que simplesmente aceitar sem questionar
Muito obrigado! 😃🙏
Incrível! Como sempre professor, parabéns pela aula e pelo excelente conteúdo! Conheço a demonstração dessa fórmula usando a expansão do binômio de newton, que permite estender o raciocínio e calcular a soma de qualquer potência "n" dos naturais. É bastante elegante também!
Boa! Muito obrigado pelas palavras gentis! 😃👍
Esse professor é extremamente incrível. Parabéns!!!!!!! Sucesso e vida longa.
Eu não tenho palavras.
Belíssima resolução, belíssima escrita, belíssima fórmula, .....👏👏👏👏👏
Muito obrigado pela gentileza! 😃
O Professor Gustavo Reis 👑 é simplesmente incrível!!! 💎💎💎💎 Belíssima explicação!!! 👏🏼👏🏼👏🏼
Muito obrigado pela gentileza! 😃🙏
Que demonstração fenomenal, parabéns professor! É por essa e outras que a matemática é a ciência mais bela de todas...
Espetacular, Professor! Parabéns e muito obrigado!
Eu que agradeço! 😃🙏
Como é bom assistir uma aula tão elegante quanto essa equação. Parabéns, professor!
Maravilhosa demonstração, muito elegante. Fiz de outra forma bem mais complicada. Gostaria de compartilhar, mas é um pouco longo e portanto só vou dar o encaminhamento quem quiser é só seguir os passos e encontrará a solução. A ideia basica e seguir a mesma linha de raciocínio do Gauss com relação a soma da PA, a ideia é somar os pares dos extremos e ir indo em direção ao meio e perceber se encontra-se alguma lógica se somarmos 1ˆ2 + nˆ2, depois somarmos 2ˆ2 + (n-1)ˆ2 e depois 3ˆ2 + (n-2)ˆ2 e assim por diante obteremos para 1ˆ2 + nˆ2 deixaremos assim para 2ˆ2 + (n-1)ˆ2 trabalhando podemos chegar em nˆ2 + 1ˆ2 - 2n + 4 para o 3ˆ2 + (n - 2)ˆ2 trabalhando temos nˆ2 + 1 - 4n + 12 para os demais termos obtemos nˆ2 + 1 - 6n + 24 os seguinte nˆ2 + 1 - 8n + 40 e assim por diante. Somando tudo isso de forma inteligente obtemos (n/2)(nˆ2 + 1) - n(0 + 2 + 4 + 6 + 8 + ....) + 0 + 4 + 12 + 24 + 40 + ....
o n(0 + 2 + 4 + 6 + 8 + ....) é uma PA, só cuidado com o número de termos que é (n/2) a dificuldade está no 0 + 4 + 12 + 24 + 40 + .... mas se colocar o 4 em evidencia aparece a soma dos números triangulares 1 + 3 + 6 + 10 + .....
a coma dos números triangulares tem a formula n(n +1)(n + 2)/6, cuidado aqui que o número de termos será ((n/2) - 1). como eu falei é um pouco longo é só substituir e se chega no mesmo resultado.
Observação: Para quem não conhece a formula dos números triangulares é só ir no triangulo de Pascal e observar os números da 2 coluna (lembre-se no triangulo a contagem de linhas e colunas começa em 0) lá estão os números triangulares e a soma de qualquer coluna do triangulo de Pascal aparece na coluna seguinte na linha de baixo. Como disse fica dificil explicar detalhes é um pouco longo, mas para quem quiser tentar estão ai as diretrizes.
Obrigado
👋🏾👋🏾👍🏾👍🏾👏🏾👏🏾👏🏾 Que Deus continue abençoando-vos por tão edificante aula, cujo brilhantismo extrapola a exponenciação na abordagem das belezas da matemática!🙏🏾🙏🏾🙏🏾 Jacareí-SP
Muito obrigado pela excelente aula professor!
Eu que agradeço! 😃
muito perfeito professor! excelente trabalho! que Deus te multiplique coisas boas.
Muito obrigado pela gentileza! 😃
Professor, você é magistral! 👏👏👏👏👏
Ótima dedução Professor!
Muito obrigado! 😃🙏 Aproveitando, seja bem-vindo como membro do canal! 🤘🎸🔥
Pensei que usaria indução matemática para demonstrar, bela e mirabolante essa resolução.
Que demonstração GENIAL, mestre!!!
Simplesmente demais!
Muito honrado pelo prestígio! 😃 #VAMO
Apoiando SEMPRE. Muito bom!
muito bom professor parabéns
Excelente. Clara demonstração. Didática dez! Parabéns!
Prezado professor Gustavo. Eu li diversos comentários e concordo com a maioria delas
Realmente a sua apresentação da dedução da fórmula foi excelente, clara e elegante ( como em todas as outras que assisti em seus vídeos ). Entretanto, acho que algumas pessoas estão confundindo a dedução da fórmula com a demonstração de que ela é verdadeira para todo número natural não nulo. Refiro-me ao princípio da indução finita. Parabéns pelo seu trabalho da divulgação da😊 Matemática. Abraço.
muito , mas muito interessante ....gostei da demonstração
Bem passo a passo professor.
excelente, professor! obrigado!
Gostei dessa demonstração. Eu demonstro essa fórmula usando o desenvolvimento (n+1)³.
Excelente explicação professor.
Muito boa a sua explicação... Parabéns professor...
Fantástico. Muito legal!!
Linda demonstração!
Excelente.
Meus parabéns.
Mestre..vc é foda.Parabens
Esses corredores que o senhor nos apresentou, foi só uma maneira de isolar a soma dos quadrados?
Isso, ou ainda uma forma de visualizar uma maneira eficiente de agrupar os termos da soma! 👍
Parabéns!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Parabéns pelo maravilhoso trabalho 👏
Muito obrigado! 😃🙏
Muito bom! 👏🏻👏🏻👏🏻
Muito obrigado! 😃🙏
Belíssima demonstração, professor.
Muito obrigado! 😃🙏
adoro demonstrações. Parabéns, top!!!
Muito bom!
didática nota máxima.
muito boa demonstração, bem criativa :)
Muito obrigado! 😃🙏
SHOW!!!!!
excelenteee
Espetacular, raciocínio fulminante kkk , fantástico top demais
Didática perfeita
Esse cara é foda
Ajudou bastantes principalmente agora que estava vendo limite da soma de sucessões e caiu esse exercício vlu 🙂
Show!
😃🙏
Parabéns.
😃🙏
Excelente
Parabéns, professor! Muito bom! A pergunta: não seria possível fazer pelo PIF? Princípio da indução finita?
Obg meu mestre sinta-se abraçado
Professor, excelente demonstração! Sempre vejo essa demonstração por indução, mas tem muito menos brilho!
Muito obrigado pelo prestígio! 😃🙏
Linda demonstração! Foi vc quem bolou essa técnica?
fabulosa demonstração
perfeito
a demonstração por indução é belissima mas amei essa também.
Brilhante!!!
Muito obrigado! 😃🙏
Provei por indução de boa e mais fácil, mas sou seu fã professor e admiro os seus videos, grande professor
A dedução da fórmula foi feita com muita clareza e elegância. Mas é preciso demonstrar que a fórmula é verdadeira para qualquer número natural não nulo. Para isso é preciso recorrer ao princípio da indusão finita.
2024-Mai-08 18:50h Uma demonstração espetacular. O caminho seguido é completamente diferente do que seria expectavel.
DEMONSTRAÇÃO REALMENTE ENCANTADORA ! ! !
Acesso ao conhecimento é outra coisa
Brilhante...
Muito obrigado! 😃🙏
Brabo!
Muito obrigado! 😃🙏
Por indução sai mais rapido!!! Mas, foi uma belíssima demonstração. Parabéns!!!
preciso resolver ela por indução 😭
@@Jose-j2oseManda um e-mail. Vou te mandar um rascunho e vc tenta entender.
@@arsilvapa eu acabei de conseguir com ajuda do canal "o resolvedor" . mas muito obg mesmo, professor 😀
Blz!
Em nenhum lugar da demonstração é dito que f1(n) é igual a f2(n) e sim que f2(n) é igual a f3(n).
f1(n) é a soma das linhas da tabela montada com n linhas da progressão aritmética de 1 a n, utilizada na demonstração.
Tem algo errado.
Olá professor, e todos aqui presentes.
Eu adorei sua explicação e já assisti inúmeros vídeos seus, sempre top. No entanto, desta vez eu não consegui mastigar essa equação e resolvi fazer uns cálculos simples, substituindo n por um número inteiro. Na teoria as duas equações devem apresentar um resultado idêntico, para se equivalem em ambos os lados ou se subtrai uma de outra resta zero, o que não aconteceu no meus calculos.
Favor verificar, espero que eu esteja errado, se não o vídeo vai gerar uma desinformação popular por motivo da quantidade das pessoas que segue e confia no senhor e não confere a informação.
Segue meu cálculo:
Equação: ((1+n)/2)*(n*n)=(n(n+1)*(2n+1))/6;
Dado seguintes definições:
f1(n) = ((1+n)/2)*(n*n);
f2(n) = (n(n+1)*(2n+1))/6;
f3(n)=(1*1)+(2*2)+(3*3)+...+(n*n)
n = 7;
f3(7) = 140; O valor esperado.
f1(7)=((1+7)/2)(7*7)=196;
f1(7)=196;
f2(7)=(7*(7+1)*((2*7)+1))/6=140;
f2(7)=140;
f1(7) != f2(7);
Por tanto as duas equações não são iguais, favor fazer os cálculos e me corrija se eu estiver errado;
Aproveitei pra fazer mais alguns calculus, no caso de n=0 e n=1 as duas equações são iguais e produzem resultado iqual 0 e 1 respectivamente.
Aproveitei também pra consolidar o meu comentário para quem quiser conferir, criando um algoritmo em javascript que pode ser executado no console do seu navegador copiando e colando-o após clicar na tecla F12 do seu computador e vai te mostrar os resultado dos testes de quando n = 0 a 7 e pode modificar ele, segue script, (se vc não entende de programação não copie código da internet sem entender o que está fazendo):
Início do código
function f1(n) {
return ((1+n)/2)*(n*n);
}
function f2(n) {
return (n*(n+1)*((2*n)+1))/6;
}
function f3(n) { // (1*1)+(2*2)+(3*3)+...+(n*n)
let valor = 0;
for(let i = 1; i
Em nenhum lugar da demonstração é dito que f1(n) é igual a f2(n) e sim que f2(n) é igual à f3(n).
f1(n) é a soma das linhas da tabela montada com n linhas iguais da progressão aritmética de 1 a n, utilizada na demonstração.
Legal.
Questão interessante mas difícil
Professor, c tá com 666k inscritos, sinistro.
Professor, o que aconteceu com o áudio?
Que eu saiba, nada! 🤔
Sinistro
BOM RABALHO
Ui
Perfeito, mas sua voz não ficou legal não. Pareceu meio robotizado. Mas obrigado pelo conteúdo e demonstração diferenciada.
Descobrimos que o Professor Gustavo é um Androide
Excelente explicação professor.