Valeu, Cristiano. Eu sempre tento resolver e depois assisto à sua resolucão que é sempre um show de bola. Resolvi usando a lei dos senos e considerando que 105 = 60 + 45 e 75 = 120 - 45, cheguei ao mesmo resultado. Abraço.
Extraordinária a questão professor ... belíssima didática e explicação ... eu sempre fico pensando como o Senhor tem essas "sacadas" com construções auxiliares na hora de resolver a questão ...
professor eu comento sempre, e dou like tbm, mas não compartilho não pq conheço , infelizmente pouca gente que curte matemática, mas recomendo a amigos que curtem. tmj. continua postando aí que tá show demais, curto todos os vídeos, acho massa demais pq não sei a solução ,mas quando vejo a solução dá aquela epifania gostosa rsrsrs tmj
Muito bom! A partir do resultado encontrado no vídeo, interessante concluir que os pontos D, P e B são colineares, ou seja, o ponto P pertence à diagonal DB do quadrado.
*Sugestão:* sempre nas figuras colocar os vértices ou pontos de interseções, pois facilita a gente a construir matemática com outras soluções! Agradeço! *_Solução:_* No triângulo de lados √3, √2 e o ângulo de 75°, temos que o ângulo oposto ao lado de √2 é 45°, por se tratar da diagonal de um quadrado, consequentemente, o ângulo oposto de √3 é 60°. Seja y o lado do quadrado. Assim, pela lei dos cossenos, temos: (√3)² = (√2)² + y² - 2y√2 cos 60° 3 = 2 + y² - y√2 → y² - y√2 - 1 =0, com y >0. Daí, y = (√2 ± [(√2)² + 4)½])/2 y = (√2 ± √6)/2 y = (√2 + √6)/2 y = √2(1 + √3)/2. Como a medida (x+√3) é a medida da diagonal do quadrado, logo: x + √3 = y√2 x + √3 = √2 (√2(1 + √3)/2 x + √3 = 2(1 + √3)/2 x + √3 = 1 + √3. Portanto, *x = 1.*
Comecei a fazer por álgebra e geometria como de costume. Devido a minha fraqueza em traçados auxiliares. E usando lei de cossenos no triângulo de lados raiz(3); raiz (2) e l. Achei l=raiz(8-raiz(3)) Vai ser osso continuar, vou dar um parada pois estou passando mal. E vislumbrei uma rotação nesse triângulo de 90o no sentido trigonométrico gerando um quadrilátero cíclico, em que uma das diagonais gera um triângulo retângulo isósceles o que bom pois 75=45+30 e são dois ângulos notáveis. Amanhã tentarei fazer desses dois modos e ainda estou pensando se dará liga fazer um arco capaz de 75o usando o lado vertical direito como corda e fugindo para G.A. mas vou deixar para amanhã. Estou bem combalido. Mas já foi o like!
Construção auxiliar muito interessante em fazer transposição de triângulos, formando triângulos congruentes. Já vi alguns videos seus assim. O seu desenho não deixa claro que os pontos B, P e D são colineares. Só vim descobrir no final. Como sempre minha resolução é um pouco mais complicada que a sua. Com o ângulo de 75, apliquei a lei dos cossenos no triângulo PBC para encontrar o lado do quadrado. O ângulo de 75 é fácil de montar a partir do triângulo 90, 30 e 60. Procurei no seu canal e encontrei esse video ruclips.net/video/9qk8hhWSNiE/видео.html que você fala sobre a tan(15). Utilizei esse mesmo raciocínio, porém ao final é necessário fazer uso da fórmula do radical duplo para encontrar a hipotenusa do triângulo retângulo com ângulos de 90, 75 e 15. Vou tentar explicar. Imagina um triângulo retângulo PQR, sendo o ângulo PQR=90, e o ângulo QRP=30. Prolongamos o segmento QR até o ponto S de tal forma que PR=RS. Como o ângulo QRP=30, então temos um triângulo PRS que é isósceles com o ângulo RSP=15. Sendo assim, o ângulo QPS=75 e QSP=15 e PQS=90. Dessa forma, temos outro triângulo retângulo maior PQS. Denominando PR=2a, RS=2a. Os segmentos QR=araiz3 e PQ=a pois são opostos aos ângulo s de 60 e 30 respectivamente no triângulo retângulo PQR. Com teorema de Pitagoras em PQS e manipulando fórmula do radical duplo, chegamos a conclusão que a hipotenusa PA=(raiz6-raiz2)/4. De posse do lado do quadrado BC={(raiz3)+1)}/raiz2, apliquei outra vez a lei dos cossenos no triângulo PBC para encontrar o ângulo PBC=45. Dessa forma o segmento BD é a diagonal do quadrado. O triângulo BCD é retângulo e isósceles. Como temos o lado BC, a diagonal BD=(BC)xraiz2. Então BD=(raiz3)+1. Portanto PD=x=1
Fiz assim: Usando a lei dos cossenos no triângulo com lados sqrt(3) e sqrt(2), sendo "a" o lado do quadrado, teremos: a^2 = 3+2-2.sqrt(6).cos(75) Como 75=30+45, usando a fórmula do cosseno da soma encontramos cos(75)=[sqrt(6)-sqrt(2)]/4, Substituindo e fazendo as contas, a^2 = 2 + sqrt(3) Simplificando o radical duplo, a = [sqrt(2)+sqrt(6)]/2 Usando agora a lei dos senos no mesmo triângulo, sendo alfa o ângulo oposto ao lado sqrt(3), teremos sen(alfa)/sqrt(3) = sen(75)/a sen(alfa)=sqrt(3).sen(75)/a (i) Pela fórmula do seno da soma, achamos sen(75)=[sqrt(6)+sqrt(2)]/4 Substituindo todos os valores em (i) e fazendo as contas, teremos: sen(alfa)=2.sqrt(3)/4=sqrt(3)/2 => alfa=60° Então, no triângulo inferior, o ângulo oposto ao lado x será de 30 graus. Usando nele a lei dos cossenos, x^2=2+a^2-2.a.sqrt(2).cos(30) Fazendo as contas, x^2=4-3=1 => x=1 😎
Agora assisti o vídeo, realmente a sacada de redesenhar o triângulo sobrepondo o lado do quadrado economiza MUITA conta em relação ao modo que eu fiz 😉
Sejam: l medida do lado do quadrado; A o vértice superior esquerdo e B, C e D os demais vértices do quadrado no sentido anti-horário; Q o ponto destacado no interior do quadrado; w a medida do ângulo QDC; Q' a imagem do ponto Q ao se efetuar uma rotação de 90o, no sentido trigonométrico, em relação ao ponto C do triângulo DQC; Triângulo DQC e lei dos cossenos: l^2=2+3-2*raiz(6)*(raiz(6)-raiz(2))/4 ==> l^2= 2+raiz(3) ==> l= r(aiz(6)+raiz(2))/2 (i) Triângulo DQC e (i) e lei dos senos ==> raiz(2)/sen(w)= r(aiz(6)+raiz(2))/2/ r(aiz(6)+raiz(2))/4 ==> sen(w)=raiz(2)/2 ==> ==> w=45o pois w é agudo e por conseguinte b, Q e D são colineares. Triângulo BCQ, medida de BQC é 105o, Medida QBC é 45o e medida de QCB é 30o. Usando lei dos senos: raiz(2)/raiz(2)/2=x/1/2 ==> x=1 Pela rotação do triângulo: Triângulo QQ'C é retângulo e isósceles, logo medida de QQ'=2. Medida de BQ'C=75o-45o=30o (ii) Triângulo QBQ' e lei dos cossenos: x^2= 3+4-2*2raiz(3)*raiz(3)/2==> x^2=1 ==> x=1. Depois vejo se posto a solução por arco capaz e G.A. Um abraço para o gaiteiro.
Bom dia, Cris. Tudo bem? Feliz 2025, amigão. Se somarmos os ângulos de 75° com 45°, não dá 120°? Assim, pra 180°, faltam 60°. Como o outro ângulo é 30°, o 3° é 90°. Não é? Então, o triângulo, pra piorar é o nosso egípcio! 😅😂🤣
![Seungmin "그렇게, 천천히, 우리(As we are)" | [Stray Kids : SKZ-PLAYER]](http://i.ytimg.com/vi/kAzmhLHePqU/mqdefault.jpg)
Você falou que está sozinho! Não está, te faço companhia sempre que vc posta um novo vídeo, é incrível resolvermos estes problemas juntos.
É muito gratificante saber que você acompanha as resoluções!
Sinceramente, man. Vejo poucos prof usando transposição
Dominar a construção de figuras auxiliares é uma arte! Parabéns pela solução!!
Obrigado
Parabéns professor
Obrigado
Valeu, Cristiano. Eu sempre tento resolver e depois assisto à sua resolucão que é sempre um show de bola. Resolvi usando a lei dos senos e considerando que 105 = 60 + 45 e 75 = 120 - 45, cheguei ao mesmo resultado. Abraço.
👍👏 Que legal! 👍👏
Extraordinária a questão professor ... belíssima didática e explicação ... eu sempre fico pensando como o Senhor tem essas "sacadas" com construções auxiliares na hora de resolver a questão ...
Que bom saber que você gostou da resolução!
Linda questão, eu a fiz utilizando lei dos senos, cossenos, radical duplo
Que ótimo!
Mais uma resolução com uma sacada de mestre! Top
Valeu! 😉
Congratulações...excelente explicação..muito grato
Obrigado! 😄
abraço, excelente.
Obrigado! 😊
Sempre um SHOW!
Obrigado
Entendível do começo ao fim! Muito boa a explicação ✍🏼
Que bom que conseguiu entender tudo!
Professor achei outra forma de chegar na resposta, mas gostei bastante desses métodos
Que legal! Compartilhe a sua solução aqui nos comentários !
professor eu comento sempre, e dou like tbm, mas não compartilho não pq conheço , infelizmente pouca gente que curte matemática, mas recomendo a amigos que curtem. tmj. continua postando aí que tá show demais, curto todos os vídeos, acho massa demais pq não sei a solução ,mas quando vejo a solução dá aquela epifania gostosa rsrsrs tmj
Que bom saber que você acompanha os vídeos e que curte matemática! 😊
Parabéns pela explicação!
Obrigado!
Sensacional!!!
Muito obrigado!!!
Que bom que você gostou!
Muito bom!
A partir do resultado encontrado no vídeo, interessante concluir que os pontos D, P e B são colineares, ou seja, o ponto P pertence à diagonal DB do quadrado.
É exatamente isso! 👏👏👏
Bela solução.
Obrigado
Tá sozinho nada, dr., sempre por aqui.
👏👏👏👏👏👏👏👏
*Sugestão:* sempre nas figuras colocar os vértices ou pontos de interseções, pois facilita a gente a construir matemática com outras soluções! Agradeço!
*_Solução:_*
No triângulo de lados √3, √2 e o ângulo de 75°, temos que o ângulo oposto ao lado de √2 é 45°, por se tratar da diagonal de um quadrado, consequentemente, o ângulo oposto de √3 é 60°. Seja y o lado do quadrado. Assim, pela lei dos cossenos, temos:
(√3)² = (√2)² + y² - 2y√2 cos 60°
3 = 2 + y² - y√2 → y² - y√2 - 1 =0, com y >0. Daí,
y = (√2 ± [(√2)² + 4)½])/2
y = (√2 ± √6)/2
y = (√2 + √6)/2
y = √2(1 + √3)/2. Como a medida (x+√3) é a medida da diagonal do quadrado, logo:
x + √3 = y√2
x + √3 = √2 (√2(1 + √3)/2
x + √3 = 2(1 + √3)/2
x + √3 = 1 + √3. Portanto,
*x = 1.*
Obrigado
Muito bom
👏🏼👏🏼👏🏼👏🏼👏🏼🫡
fiz rapidinho por trigonometria, mas geometria plana sendo usada profundamente tipo a do marcel na questao é mt mais elegante
👍👏👍👏
Comecei a fazer por álgebra e geometria como de costume. Devido a minha fraqueza em traçados auxiliares.
E usando lei de cossenos no triângulo de lados raiz(3); raiz (2) e l. Achei l=raiz(8-raiz(3))
Vai ser osso continuar, vou dar um parada pois estou passando mal. E vislumbrei uma rotação nesse triângulo de 90o no sentido trigonométrico gerando um quadrilátero cíclico, em que uma das diagonais gera um triângulo retângulo isósceles o que bom pois 75=45+30 e são dois ângulos notáveis. Amanhã tentarei fazer desses dois modos e ainda estou pensando se dará liga fazer um arco capaz de 75o usando o lado vertical direito como corda e fugindo para G.A. mas vou deixar para amanhã. Estou bem combalido. Mas já foi o like!
👍👏👍👏
👏
Obrigado
O triango onde foi aplicado a lei dos cossenos é retângulo! Poderia usar seno de 30!
@@drlucasperrone ou Pitagoras (que nada mais é que Lei dos cossenos com x=90 graus).
Ok
👍
Galera sempre na companhia. Sozinho só pensando do seu lado da lente, porque do outro lado da tela estamos aqui!
🤔
Construção auxiliar muito interessante em fazer transposição de triângulos, formando triângulos congruentes. Já vi alguns videos seus assim. O seu desenho não deixa claro que os pontos B, P e D são colineares. Só vim descobrir no final.
Como sempre minha resolução é um pouco mais complicada que a sua. Com o ângulo de 75, apliquei a lei dos cossenos no triângulo PBC para encontrar o lado do quadrado. O ângulo de 75 é fácil de montar a partir do triângulo 90, 30 e 60. Procurei no seu canal e encontrei esse video ruclips.net/video/9qk8hhWSNiE/видео.html que você fala sobre a tan(15). Utilizei esse mesmo raciocínio, porém ao final é necessário fazer uso da fórmula do radical duplo para encontrar a hipotenusa do triângulo retângulo com ângulos de 90, 75 e 15.
Vou tentar explicar. Imagina um triângulo retângulo PQR, sendo o ângulo PQR=90, e o ângulo QRP=30. Prolongamos o segmento QR até o ponto S de tal forma que PR=RS. Como o ângulo QRP=30, então temos um triângulo PRS que é isósceles com o ângulo RSP=15. Sendo assim, o ângulo QPS=75 e QSP=15 e PQS=90. Dessa forma, temos outro triângulo retângulo maior PQS. Denominando PR=2a, RS=2a. Os segmentos QR=araiz3 e PQ=a pois são opostos aos ângulo s de 60 e 30 respectivamente no triângulo retângulo PQR. Com teorema de Pitagoras em PQS e manipulando fórmula do radical duplo, chegamos a conclusão que a hipotenusa PA=(raiz6-raiz2)/4.
De posse do lado do quadrado BC={(raiz3)+1)}/raiz2, apliquei outra vez a lei dos cossenos no triângulo PBC para encontrar o ângulo PBC=45. Dessa forma o segmento BD é a diagonal do quadrado.
O triângulo BCD é retângulo e isósceles. Como temos o lado BC, a diagonal BD=(BC)xraiz2. Então BD=(raiz3)+1. Portanto PD=x=1
👍👏👍👏👍👏👍
No 📐 lado opsto ao ângulo de 30° =1/2 da hipotenusa
Boa
Apoiando SEMPRE. Por que não usar sen30º = x/2? seria mais fácil...
Obrigado
Poderia ter desviado o segmento x = V3 um pouco mais, para não confundir com a diagonal.
👍👍
Mestre, uma duvida qual lousa digital vc utilizou na resolucao?
Tablet
Valeu mestre
Disponha!
Fiz assim:
Usando a lei dos cossenos no triângulo com lados sqrt(3) e sqrt(2), sendo "a" o lado do quadrado, teremos:
a^2 = 3+2-2.sqrt(6).cos(75)
Como 75=30+45, usando a fórmula do cosseno da soma encontramos
cos(75)=[sqrt(6)-sqrt(2)]/4,
Substituindo e fazendo as contas,
a^2 = 2 + sqrt(3)
Simplificando o radical duplo,
a = [sqrt(2)+sqrt(6)]/2
Usando agora a lei dos senos no mesmo triângulo, sendo alfa o ângulo oposto ao lado sqrt(3), teremos
sen(alfa)/sqrt(3) = sen(75)/a
sen(alfa)=sqrt(3).sen(75)/a (i)
Pela fórmula do seno da soma, achamos
sen(75)=[sqrt(6)+sqrt(2)]/4
Substituindo todos os valores em (i) e fazendo as contas, teremos:
sen(alfa)=2.sqrt(3)/4=sqrt(3)/2
=> alfa=60°
Então, no triângulo inferior, o ângulo oposto ao lado x será de 30 graus. Usando nele a lei dos cossenos,
x^2=2+a^2-2.a.sqrt(2).cos(30)
Fazendo as contas, x^2=4-3=1
=> x=1 😎
Agora assisti o vídeo, realmente a sacada de redesenhar o triângulo sobrepondo o lado do quadrado economiza MUITA conta em relação ao modo que eu fiz 😉
👏👏
Obrigado
O triângulo PP'D é Retângulo: 2² = V3² + x² => x= 1
👍
Sejam:
l medida do lado do quadrado;
A o vértice superior esquerdo e B, C e D os demais vértices do quadrado no sentido anti-horário;
Q o ponto destacado no interior do quadrado;
w a medida do ângulo QDC;
Q' a imagem do ponto Q ao se efetuar uma rotação de 90o, no sentido trigonométrico, em relação ao ponto C do triângulo DQC;
Triângulo DQC e lei dos cossenos: l^2=2+3-2*raiz(6)*(raiz(6)-raiz(2))/4 ==> l^2= 2+raiz(3) ==> l= r(aiz(6)+raiz(2))/2 (i)
Triângulo DQC e (i) e lei dos senos ==> raiz(2)/sen(w)= r(aiz(6)+raiz(2))/2/ r(aiz(6)+raiz(2))/4 ==> sen(w)=raiz(2)/2 ==>
==> w=45o pois w é agudo e por conseguinte b, Q e D são colineares.
Triângulo BCQ, medida de BQC é 105o, Medida QBC é 45o e medida de QCB é 30o. Usando lei dos senos:
raiz(2)/raiz(2)/2=x/1/2 ==> x=1
Pela rotação do triângulo:
Triângulo QQ'C é retângulo e isósceles, logo medida de QQ'=2. Medida de BQ'C=75o-45o=30o (ii)
Triângulo QBQ' e lei dos cossenos: x^2= 3+4-2*2raiz(3)*raiz(3)/2==> x^2=1 ==> x=1.
Depois vejo se posto a solução por arco capaz e G.A. Um abraço para o gaiteiro.
👏👍👏
Sanc veru mach
🤔
Bom dia, Cris. Tudo bem? Feliz 2025, amigão. Se somarmos os ângulos de 75° com 45°, não dá 120°? Assim, pra 180°, faltam 60°. Como o outro ângulo é 30°, o 3° é 90°. Não é? Então, o triângulo, pra piorar é o nosso egípcio! 😅😂🤣
👍👍👍👍
essa thumb ficou parecendo um mendigo esmolando por conhecimento de matemática kkkkkk
🤣🤣🤣🤣