Peripheriewinkelsatz: Alle Peripheriewinkel über demselben Bogen eines Kreises sind gleich groß; und zwar halb so groß wie der zugehörige Zentriwinkel.
Vielen Dank für die Herleitung! Eigentlich bin ich ja kein Freund, immer Pseudo-Anwendungen zu Matheaufgaben anzugeben. Hier jedoch gibt es tatsächlich eine schöne (und sinnvolle) Anwendung: Man sieht von seinem Standpunkt aus 2 Kirchtürme, Leuchttürme, ..., deren Position aus einer Karte bekannt sind. Der Horizontalwinkel zwischen beiden ist \gamma. Gesucht ist dann die Standlinie, auf der man sich befindet. Die Standlinie ist in diesem Fall ein Kreisbogen.
Behauptung: Der Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel) eines Kreisbogens ist doppelt so groß wie einer der zugehörigen Umfangswinkel (Peripheriewinkel). Beweis: ω sei der Mittelpunktswinkel und γ der zugehörige Umfangswinkel. Ich bezeichne die 3 Eckpunkte mit A, B und C, unten links beginnend im mathematisch positiven Drehsinn, also links herum. Ich verbinde A mit B, B mit und C mit M. Die inneren 3 Dreiecke, Dreieck ABM, Dreieck BCM und Dreieck AMC sind alle gleichschenklig, weil AM = BM = CM = r = dem Radius des Kreises sind. Dann gilt wegen der Gleichschenklichkeit der inneren 3 Dreiecke: γ = ∢MCB+∢BCM = (180°-∢AMC)/2+(180°-∢BMC)/2 = (180°-∢AMC+180°-∢BMC)/2 = (360°-∢AMC-∢BMC)/2 = ∢AMB/2 = ω/2 Das kann ich mit jedem Umfangswinkel γ bezüglich dem Mittelpunktswinkel ω ausführen. Deshalb gilt: Alle Umfangswinkel beziehungsweise Peripheriewinkel eines Kreisbogens sind gleich und halb so groß wie der zugehörige Mittelpunktswinkel beziehungsweise Zentriwinkel. q.e.d.
@@GetMatheFit Freu mich schon auf die Pentagone, Polygone (Plurigone, Multigone, Oligone) und 'ne Honigmelone. Mathe kennt viele Winkelzüge! Wahrheit oder Lüge?
Super erklärt, Gerald! Ich konnte sogar der Herleitung folgen. Vielen Dank! Erheitert hat mich die Definition. Besonders die Formulierung „Winkel über dem Bogen eines Kreises“. Wohl zur Abgrenzung vom „Winkel unter dem Bogen eines Quadrats. 😵💫 An die Terminologie in der Geometrie muss ich mich erst gewöhnen. 😆
Zusatzfrage: Welchen besonderen Satz erhält man, wenn der Zentriwinkel 180 Grad beträgt? Tipp: Der Peripheriewinkel ist ja dann 180:2 = 90 Grad LG Gerald
@@eckhardfriauf Naja, ich wohne ja im Mittelland und das sei flach. Stimmt aber nur an wenigen Orten: Rheintal (zwischen Chur und Bodensee), Linth-Ebene, Seeland, unteres Rhonetal, Magadino-Ebene. Das war's dann aber auch schon in etwa.
Da dreht sich der Peripheriewinkelsatz einfach nur um. Sagen wir z.B. Omega ist gleich der Zentriwinkel unterhalb und Omega' ist gleich der Zentriwinkel oberhalb Es gilt also Omega + Omega' = 360 Grad Peripheriewinkel zu Omega wäre Gamma, also Omega:2=Gamma Peripheriewinkel zu Omega' wäre Gamma', also Omega':2=Gamma' Jetzt braucht man nur mehr einsetzen: Omega + Omega' = 360 2 Gamma + 2 Gamma' = 360 2 (Gamma + Gamma') = 360 Gamma + Gamma' = 180 LG Gerald
Die beiden Peripheriewinkel ergänzen sich also zu 180°, die beiden Zentriwinkel zu 360°. Klar, eigentlich logisch, dieser Zusammenhang. Das Verhältnis 2:1 gilt also, wenn der Zentriwinkel und der Peripheriewinkel in die gleiche Richtung orientiert sind.
Danke, besser 2-fach Dank (2γ = ω), Gerald. Peripheriewinkel ins Zentrum (den Mittelpunkt) des Videos gesetzt (3:03 von 6:06). Volltreffer. Einen schönen, nicht zu zentriwinkligen Tag.
Vielen Dank für die Herleitung!
Eigentlich bin ich ja kein Freund, immer Pseudo-Anwendungen zu Matheaufgaben anzugeben. Hier jedoch gibt es tatsächlich eine schöne (und sinnvolle) Anwendung:
Man sieht von seinem Standpunkt aus 2 Kirchtürme, Leuchttürme, ..., deren Position aus einer Karte bekannt sind. Der Horizontalwinkel zwischen beiden ist \gamma. Gesucht ist dann die Standlinie, auf der man sich befindet. Die Standlinie ist in diesem Fall ein Kreisbogen.
Gerne.
LG Gerald
Behauptung: Der Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel) eines Kreisbogens ist doppelt so groß wie einer der zugehörigen Umfangswinkel (Peripheriewinkel).
Beweis:
ω sei der Mittelpunktswinkel und γ der zugehörige Umfangswinkel. Ich bezeichne die 3 Eckpunkte mit A, B und C, unten links beginnend im mathematisch positiven Drehsinn, also links herum. Ich verbinde A mit B, B mit und C mit M. Die inneren 3 Dreiecke, Dreieck ABM, Dreieck BCM und Dreieck AMC sind alle gleichschenklig, weil
AM = BM = CM = r = dem Radius des Kreises sind. Dann gilt wegen der Gleichschenklichkeit der inneren 3 Dreiecke:
γ = ∢MCB+∢BCM = (180°-∢AMC)/2+(180°-∢BMC)/2 = (180°-∢AMC+180°-∢BMC)/2
= (360°-∢AMC-∢BMC)/2 = ∢AMB/2 = ω/2
Das kann ich mit jedem Umfangswinkel γ bezüglich dem Mittelpunktswinkel ω ausführen. Deshalb gilt: Alle Umfangswinkel beziehungsweise Peripheriewinkel eines Kreisbogens sind gleich und halb so groß wie der zugehörige Mittelpunktswinkel beziehungsweise Zentriwinkel. q.e.d.
Das ist ja lustig. Habe gerade eine Aufgabe dazu in Arbeit. Werde mal ein paar Wochen damit abwarten.
LG
Apus
Ich habe mir auch einige Aufgaben zu diesem Thema rausgesucht.
LG Gerald
@@GetMatheFit Freu mich schon auf die Pentagone, Polygone (Plurigone, Multigone, Oligone) und 'ne Honigmelone. Mathe kennt viele Winkelzüge! Wahrheit oder Lüge?
Hallo Gerald,
ganz lieben Dank für deinen Lösungsweg und die Erklärung zum Peripheriewinkelsatz.
LG vom Bodensee ins Nachbarland.
Bitte. Gern gemacht.
LG Gerald
Super erklärt, Gerald! Ich konnte sogar der Herleitung folgen. Vielen Dank!
Erheitert hat mich die Definition. Besonders die Formulierung „Winkel über dem Bogen eines Kreises“. Wohl zur Abgrenzung vom „Winkel unter dem Bogen eines Quadrats. 😵💫 An die Terminologie in der Geometrie muss ich mich erst gewöhnen. 😆
😂 und 🙏 Danke.
Schön, dass du der Herleitung folgen konntest.
Das freut mich sehr.
LG Gerald
Super Video!
Vielen Dank!
Danke fürs Feedback. LG Gerald
SUPER ERKLÄRUNG
SUPER BEWEIS
G E R A L D 💪👍
Danke fürs Feedback.
LG Gerald
Schönes Thema und schön hergeleitet! Kommt mir bekannt vor von Magdas fünfzackigem Stern von vergangener Woche...
Hat Magda auch den Peripheriewinkelsatz erwähnt?
Sie nicht, aber ich bei meiner zweiten Lösungsidee. ;)
@@Waldlaeufer70 cool 😎
Überall Pentagone, Peripheriewinkel, ... was noch? 🙂
Zusatzfrage:
Welchen besonderen Satz erhält man, wenn der Zentriwinkel 180 Grad beträgt?
Tipp: Der Peripheriewinkel ist ja dann 180:2 = 90 Grad
LG Gerald
Schwierige Frage... Das ist ja die reinste Berg- und Thalesfahrt. ;)
@@Waldlaeufer70 😂😂😂
Mein erster Gedanke war gleich: Das ist doch die Verallgemeinerung des Thales.
@@Waldlaeufer70 Für in der Schweiz Lebende Alltag, oder?
@@eckhardfriauf Naja, ich wohne ja im Mittelland und das sei flach. Stimmt aber nur an wenigen Orten: Rheintal (zwischen Chur und Bodensee), Linth-Ebene, Seeland, unteres Rhonetal, Magadino-Ebene. Das war's dann aber auch schon in etwa.
Ist es nicht so, dass sich der Peripheriewinkel über Omega und der unter Omega auf 180° ergänzen?
Stimmt. Für den Peripheriewinkel darf man nur den Kreisbogen oberhalb wählen. Der Kreisbogen unterhalb ist 180 minus Peripheriwinkel.
LG Gerald
Da dreht sich der Peripheriewinkelsatz einfach nur um.
Sagen wir z.B.
Omega ist gleich der Zentriwinkel unterhalb und
Omega' ist gleich der Zentriwinkel oberhalb
Es gilt also Omega + Omega' = 360 Grad
Peripheriewinkel zu Omega wäre Gamma, also Omega:2=Gamma
Peripheriewinkel zu Omega' wäre Gamma', also Omega':2=Gamma'
Jetzt braucht man nur mehr einsetzen:
Omega + Omega' = 360
2 Gamma + 2 Gamma' = 360
2 (Gamma + Gamma') = 360
Gamma + Gamma' = 180
LG Gerald
Schöne Sache! :)
Die beiden Peripheriewinkel ergänzen sich also zu 180°, die beiden Zentriwinkel zu 360°. Klar, eigentlich logisch, dieser Zusammenhang. Das Verhältnis 2:1 gilt also, wenn der Zentriwinkel und der Peripheriewinkel in die gleiche Richtung orientiert sind.
@@Waldlaeufer70 Perfekt zusammengefasst.
Danke, besser 2-fach Dank (2γ = ω), Gerald. Peripheriewinkel ins Zentrum (den Mittelpunkt) des Videos gesetzt (3:03 von 6:06). Volltreffer. Einen schönen, nicht zu zentriwinkligen Tag.
😂😂😂 war natürlich voll beabsichtigt 😉😋