【ん？】無理数の円周率が円周÷直径という分数であるパラドックス【ゆっくり数学解説】
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- Опубликовано: 14 май 2021
- #パラドックス#ゆっくり解説#数学ネタ#円周率#π＃無理数#円周率求め方#円周率とは#超越数#方程式の解予想外
円周率3.14…とは何なのか、中学数学の知識でも理解できるよう解説しています。
円周率は永遠に続くため、この世の全ての数字の羅列を包含していると言われます。
123456789という連番や、111111どころか、あなたの電話番号も大統領の口座暗号も、円周率の何桁目かに必ず存在すると言われています。
つまり私たちは円周率の全てを知ることはできないが、円周率は全てを知っているのです。
まさに神秘の数と言えるでしょう。
参考資料：
atarimae.biz/archives/2013#2
音楽：MusMus様他
すみません、0:41から4:00までゴオオオという謎の音が入ってしまっています。
お手数おかけしますが、イヤフォンを外していただくとかなりマシになるかと思います。
この度は申し訳ございませんでした。またコメント欄で指摘くださった方々はありがとうございます。
良かった…耳おかしくなったんだと思った…w
洞窟音ェ…
BGMが2重になってるので、音のウネリが発生してるんですかね。
そして音も正弦波で表す訳でやはり無理数
数学の矛盾で思い出したパラドックス。
1/3+1/6+1/2=1
0.33333…+0.1666…+0.5=0.99999…
0.9999…=1ってなってるけど、なんかこれ納得がいかないので、解説していただけたら嬉しいです。
分数で表せないものってないのでは…
分母1にすれば無理やり作れる気がする
いいサムネイル。わからない人は見るし、分かってる人は「は？なに言ってんだ？」って思いながら、確認したくなる
それな、まんまと釣られた
そういう意図があったんかー
こりゃ一本取られたぜよ
一人で｢何言ってんだこいつ｣って
イライラしてたわ
これがRUclipsrに必要な力かもしれません
はめられた
うんうん、おすすめから釣られたんだけど普通に面白かったw
今では円周率の桁数はどれだけ性能の高い計算機を持っているかのマウントを取るためのものとなっているという・・・
なんなら数学においては中学以上でπ以外見たことない気がする（幾何的問題で）
@@jiramas 確か建築に使うんだったら3.14で十分なんだっけ？
@@user-fe4yk7ln8k 宇宙行くのも20桁ありゃ十分って聞いた気がする
生活での応用だったら精度高めの方がいいですもんね
多分不要なんだろうけどゲーム作ってるから円周率使うしdoubleの有効桁数が15だからそこまではいつも使ってる
定義を曖昧に覚えているとそんな誤解を生み出す
9:40
『円周と直径の両方が整数になる円は存在しない』ではなく、正しくは『円周と直径の両方が有理数になる円は存在しない』ですね。深く考えたこともないテーマだったので、すごく勉強になりました。
整数と有理数が同値、、、、？
@yosuke utiyama なわけ
両方が有理数で表せるなら整数倍すれば両方が整数になるし、
両方が整数で表せるなら0でない整数で割れば両方が有理数になるから同値ですね
@汚い数式
詳しい説明ありがとうございました。
『①円周と直径の両方が有理数になる円は存在しない』⇔『②円周と直径が整数比となる円は存在しない』⇔『③円周と直径の両方が整数となる円は存在しない』
ということですよね。
言いたいことは分かるのですが、命題③はやはり、円周と直径の少なくともどちらかが整数でない場合（整数以外の有理数の場合）の存在について触れられていないので、厳密には①と③は同値ではないと思います。真ではあると思うのですが…。
（間違っていたらごめんなさい。）
@@user-xs3pj9ez3l
汚い数式さんが書いていることと被っているので、もしかしたら余計なお節介かもしれませんが……
整数ならば有理数なので①⇒③は明らかだと思います。
なので③⇒①について示します。
背理法で示します。
③が成り立つと仮定します。
①が成り立たないと仮定します。
①が成り立たないので、直径R、半径Lの円CでR、Lが有理数となるものが存在します。
定め方からL、Rは正の有理数なので、L/Rも正の有理数です。
よって、ある正の整数m、nによってL/R=n/mと表せます。
そこで、円Cをm/R倍に相似拡大したものを円C'とすれば、直径はm、円周はn となります。
よって、直径と円周が整数であるような円C'が構成できました。
これは③が成り立つことに矛盾します。
したがって、背理法より①が成り立ちます。
よって③⇒①が成り立ちます。
なので、①と③は同値になります。
有理数は整数/整数で表すことができる数であるからね
既約分数分の既約分数だけど
@@user-ur2qg1uh7q 数学の専門でもなんでもないので違いとかよくわからんけど、既約分数/既約分数は整数/整数になりますよね。
揚げ足を取っていいなら整数/0でない整数
@@Mn_Sr__alloy 表すことができると言っているから問題ないと思いますが……
@@user-ok1np4wl6g
確かに問題はないです
より親切に言うなら
少なくとも有理数は整数/整数の形に表すことが出来る、ですかね。
｢整数/整数の形に表すことができるなら有理数である｣という逆が成り立っていないままなのが少々気持ちに引っ掛かっただけです
2:39 高校の数学の先生が「ゼロの発見っていうのは数学の歴史においてとんでもない大発見だったんですよ！」って目をｷﾗｯｷﾗさせながら熱弁してたのを思い出しましたｗ
0より先にマイナスが登場してたのが驚き
0って、存在しないものを表してるから考え方難しいんだろうなとか思ったり
「0」を定義してなくても何も無いという状況はあったと思います
それを数学に導入するのが難しかったんでしょうかね
当たり前過ぎて逆に気づかなかったやつ
ほら、スマホとかサイフとかって持って出かけることが当たり前だと思いすぎて、逆に確認を怠って忘れたりするじゃん？それとだいたい一緒（多分全然違う）
@@ren-getsu
核心突いてる(多分突いてない)
円周率を求めるってとこで思い出したけど、もし地球外に生命体がいたら円周率を聞くだけどその星の文明レベルがわかるって話まじおもろいw
達観した異星人「それ楽しい？」
ど→で？
円周率覚えてたらもしタイムスリップしても無双できるって話すき
円周率聞く→違うじゃんw→うちはn進数(n:2以上の10でない自然数)なんすよ…
まぁ違う星でも10進数採用してそうだけど
異星人「え？そんな廃れた概念を使ってるの君達…（困惑）」
もあり得るんだよね…
この動画では幾何学的に図形で円周率の近似値を求めていますが、最近は解析学の結果を用いたガウス＝ルジャンドルのアルゴリズムやチュドノフスキーのアルゴリズムというものを用いて近似値を求めるそうです。
円周か直径は必ず無理数になる。
マイナスがゼロの発見より7世紀も昔な事が衝撃過ぎるんだが
ゼロの概念なしに負を理解できるって凄すぎるだろ
発見当時の人に借金みたいな借り貸しの概念があれば、ゼロよりもマイナス（及びマイナス数）の定義が先になされるのは想像できなくもない。
サムネだけの疑問の解消なら
π = xπ/x (xを直径とする)
で事足りるけど、細かいとこ教えてくれるから自分で諸々考える情報を与えてくれるいい動画
完全文系なので【円周率＝無理数】と理屈抜きで覚えてましたが、改めて分かりやすく説明していただくと面白いですね！
6:59 こっからのバックの寸劇が狂おしいほどツボ
π というのは、０，１，e, i と同じく基本的な数の一つであって、人類がその存在に最初に気が付いたのが偶々 円周/直径 という形態であっただけで、本当は、「円XX」と呼ぶのは不適切な存在なのだろう。
複素数解析を勉強するとそれを実感する。
まあ、経験則に基づく発見としては妥当なラインだとは思いますけどね。早晩、円周/直径に着目する哲学者は現れたことでしょう。
惜しむらくは、円周/半径=2πを円周率として採用しなかったことでしょうかねえ。
まあ、オイラーの等式が更に美しくなるという、ただそれだけのことですが。
そう思います。バーゼル問題を知った時、円周率の本質が円ではなく何か別のものにあるのではないかと思いました。
よく幾何と解析行き来してるよね
@@higashinaebo18 バーゼル問題も三角関数に帰着させて解けるし、sin cos は円運動の正射影な訳だから元を辿れば円になりますけどね。あと円周率=2πは円の面積が汚くなっちゃうよな、、
@@9cmParabellum むしろ今のままの方が美しいと思う。円周率=2π=Πとするとオイラーの等式はe^iΠ=1 円周率=πとすればe^ iπ +1=0 この式は自然対数の底e、虚数単位 i、円周率π、積の単位元1、和の単位元0 で構成される。こっちの方が美しくない？
直径が整数だったとしても、円周が無理数なら円周率は無理数になるし、普通だと思ってました。
最近よく見るのでチャンネル登録しました！
まああれですね。「『√2』は『√2/1』と分数で表せるから有理数じゃん！」といっているようなものですね。
本当の円は概念上にしか存在しない…まさにプラトンのイデア論💦
それだと、真の円はどこかに存在していて、私たちにはそれが理解できないだけという話になる。
真の円って何？
真の円というのはπ＝3.141592…が成り立つときで、どんなに拡大して細かく測っても凹凸が永遠に見られない円のことです。しかし、実際にそんな円を書くことは絶対にできません。単位は無限に細かくすることが出来ますから。そんな円は実際に存在しないから無理数になるんです。
@@ugoku_zZ どこにも真円を見ることはできない(描画することはできない)が概念として我々は知っている、という意味ではイデアとは違いますね確かに。真円は動画にもあるように無限多角形に近似されることから、極限的にしか図形的アプローチができないので、実存になりえないところだと私も思います。
概念には普遍性がある
知識の話となると正論ぶちかましたい人間湧いてくるけど、別に主の言いたい事は十分伝わるし良くね
円周率は身近な物なのに、非常に奥が深いですね…
身近...？
@@user-in8vw4ie3l
数学・物理・化学・工学系に行けば多分分かる………
@@user-in8vw4ie3l
巻き寿司の海苔（笑）
@@ytanaka257 ドラえもんの鼻
これをもうちょっと早く知ってたら数学の先生にドヤ顔で質問できたのに……
この動画と全く同じこと中学の頃に質問したら先生に
なら√1だって分数で表せば √1/1だろ？ って返されたなぁ…
@@user-Syeriasuru √1は元々有理数やんwww
破茶滅茶だなw
@@trill5708 流石に草
フェルマーの最終定理よりも時間がかかったとは…
私は円周率について真に驚くべき証明を発見したが、ここに記すには余白が狭すぎる。
@@user-ux8cz3tt7q 円周率書こうとしたんやろなぁ…
入試のやつやめ
@@user-ux8cz3tt7q 余白どころかこの世の紙全てでも無理や
夜しか寝れないのは健康体で笑ったわ。
個数を除いた量や長さで言えば有理数の方が珍しいような気がする。
有理数と無理数の集合の濃度が違う、っちゅうことやな。
モノを測る時点で有理数に丸め、それを計算に用いちゃうから、無理数より有理数の方が便宜的に都合が良いので身近なモノだと感じてしまうのかもしれない・・・。
音のデジタル化を学んだ時に「実は距離や重さにおいても、私たちは音のサンプリングの様に丸め処理をやっているんだろうな」と思ったなぁ。
そもそも自然界に存在するアナログな数値を有理数か無理数か判別するのは不可能だ。
定規でちょうど1cmの線を書いたつもりでも、どうしても多少の長い短いは出る。
つまり、無理数は理論の上でしか存在しない。
@@user-xo8ye7wq4z 自然界にも円運動や楕円運動が存在することを考えれば実在すると言っても良いんじゃない？
@@user-xo8ye7wq4z
>定規でちょうど1cmの線を書いたつもりでも、どうしても多少の長い短いは出る。
>つまり、無理数は理論の上でしか存在しない。
これ、「距離の計測においては有理数も理論の上でしか存在しない」と言っているのと同じじゃないかな？
0:13のむりっすぅで声出して笑っちゃったのが情けない、、
πの三角関数による定義が好きです
まじで思ってたことが主題でびっくりした笑
本題の説明よりも、最後の警句に胸が詰まった。。。。
レスバで負けた相手を死刑にするスタイル
ひろゆき王の即位後10年で国の学者がほぼ全滅したらしいよ
ガリレオの時代でも変わらないスタイル
0:33
ただの健康な人で草
大人になると、確かに習った事は覚えていても、細かいとことか思い出せないんですよね。。。。
こういう動画を見ると、一生勉強って感じがして、楽しいですね♪
『いや、遅えよ』の画に笑いました。
このタイプの証明はかなり大変ですよね。
分数表示はできませんが、級数表示はできますね
π/4=1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11・・・
美しい・・・あんなごちゃごちゃしてたものが、こんなに単純な規則性を持っていたなんてねぇ
マーダヴァ·グレゴリー·ライプニッツの公式だね(*｀ω´)b
ちなみにこの無限級数は収束がものすごく遅いことで有名。
無限級数ってｷﾓﾁｴｴよね
100項計算しても2桁くらいの精度なんだっけ
収束が遅すぎてPythonで実行時間1秒以内縛りすれば3.14159までしか取り出せませんよと
真円は書けない、、、
なんだか感動しました。
面白かった！
完璧な図形は人間の頭の中にしか存在しないってなんか良いな…
ポップなBGMの後ろで別のBGMが流れてる
ちょっと不協和音
霊夢、今日円周率を習ったというのに√を知っているだと！
夜しか寝れないなんて、霊夢さん可哀想
昼夜逆転されてる方ですかね？
@@Rauschiff 寝れてるから昼夜逆転してても可哀想という結果にはならないだろ
@@user-tb3uh8zj9z 確かにそうだったわwwwつまりこのコメ主は昼寝ができないことを可哀想と言っているのか…
コメ主のび太説
最近習った、はさみうちの原理(極限)と似てるのが出てきて1人で興奮した
こういう雑学はものすごく好きです！数学がんばろ
「イプシロンーデルタ論法」を数学の先生に訊いてみよう。
鼻息荒く延々と続くマシンガントークを聴けるぞｗ
円周率の求め方といえばモンテカルロ法！
円周率の無理性はtanの連分数展開を用いて証明する方法が1番綺麗だと思う
呼んだ？
@@tan-yc7yj 君いくつ？
そうなると8:13と違って有理数の極限が無理数になることがある例のひとつですね
BGM大きくて聴き取りにくい。
こないだ数学の授業の時疑問に思って先生に伝わんなかったやつや、、一応調べてわかったけど、くっっそわかりやすくてありがてぇ
イヤホンで聴いてるとBGMで精神が不安定になるるるるるr
定義に返ることの大切さがわかった。
BGMがもう少し小さいと有り難いです。
ごめんなさい。
TheFatRatのUnity…！いいですよね！自分も好きです
ちょうど中3で円周率について同じこと考えてたからたすかる
何言ってんのと思いながら動画開いてみたけど、普通に数学史とかに触れれる面白い動画だったのでありがとうございました
ちょうどチコちゃんで叱られるでやってたなあ。
どうにも数字を普段から使ってるせいでみんな忘れかけてるけど「数字はそもそも仮定の上に成り立っているものであって概念でしかない」んだよなぁ
そんなのむりっすう
すき
若干BGMが大きく感じました
ナイスです
皆既日食の理屈はわかる でも見かけ上とはいえ、太陽と月の大きさがピッタリ一致って
あまりにも偶然過ぎない？ 故意に神がそういうことしたんじゃ？良かったら
是非 解説してください
ネタ帳突っ込んどきます！
@@9wari.zatugaku さん ありがとうございます。
金環日食があるのでいつも見かけの大きさが一致するわけではないですね
でも少なくともぴったりになる時があるのはすげぇ
月は宇宙人が地球を監視するために作ったんだよね？ ね？
おもしろかった
円周率πを通じてのみ、円周も直径も算出できるもの。
つまり、片方を自然数にすると、もう片方は無理数になるという関係なんだよね。
まあ、これは円周率を無理数と定義してるから辿り着く結論になるわけだけど。
１つ訂正させていただくと自然数でなくても有理数で大丈夫ですね
定義しているわけではない
有理数と仮定すると矛盾するから無理数であると発見された
@@ABS_keireiguma
言われてみればそりゃそうだ。
じゃあ、「我々はその発見を知っているから簡単に辿り着ける」とした方が良いな。
これ3年くらい前から気になって9時から7時まで寝た
睡眠中タイムリープニキ
今日のnhkで放送されたチコちゃんのネタこっからインスピレーションを受けたのか
有理数と無理数は有比数と無比数という名前にした方が分かりやすいと個人的に思ってる。無理数=無限に続くという認識よりかは整数比で表せないって考え方の方が歴史的にも直感的も合致しているように思える。
うちの数学の先生も全く同じこと言ってました！
僕もそう思います
自分が読んだ本でも同じこと書いてたな
BGMの音量が大きすぎて説明が聞き取りにくいです。
おじいちゃん？
昔、中学受験か高校入試か
古代エジプト人が円周率を3.16の近似値として、色々計算させてる穴埋め連投式の文章問題を見て、凄いなぁ〜と思った事があったな。
何か魅力的な数字なんだよな。
中学生時代に、全ての数の単位をπの倍数にすると世界は加速的に進歩するんじゃないかと妄想して楽しんでた。
もしくは10進法を12進法に変更したら、円周率の概念も変わるかもって色々計算して遊んでたなぁ〜
コナン君「真実はいつも一つ!!!」
ソクラテス「πの第無限位の数はなんですか?
わからないので教えて下さい。」
コナン君「。。。」
ソクラテス(((無知の知キタコレ!!)))
みんな「😐」
真実はいつもひとつ(知っているとは言っていない)
@@user-vs3zl8if3y
いつも一つではないよねっていうのがソクラテスの言い分なのですが。。ｗ
(無限は果てしなく続くのでその値は一意に定まりません)
クソレスだけど、「分からない」という真実(事実)が1つあるよね
@@user-jt6nn6by5o なるほど。。!?
昼寝できるって幸せなんだなー
（1/1^2）+(1/2^2)＋(1/3^2)+(1/4^2)＋…＝6/π^2
円周率の問題じゃないのに答えにπが出て来るのって神秘的だよね
内容はいいんだけどBGM大きすぎて聞きにくいな
流し聞きしてたけど全然入ってこない😫
互いに素である整数があーだこーだなはず
「無理数が分数で表せない」というのは、分母分子とも整数で表せないということだよ。「分母分子に文字や言葉を使っても表せない」という意味ではない。
ん？いやだって・・・って脳内で説明出来てたらやはりそういう話だった件ｗ
しょうじひゃっかっけいとかいう強技
個人事になりますが、こちらの動画がきっかけで
4:01 以降にて使われているBGMが好きになりました♫
>> ruclips.net/video/f3GgphZP8WY/видео.html
まるでマインスイーパのように「少しずつ」未知なる小数を開拓していく作業、
さぞ根性・忍耐力・研究者気質が試されるんだろうな。学問は、時として「闘い」になる…。
なんかSCP-1137 完全な球体を思い出した。
真円は存在しないのか...
地球含めて惑星も真円でないですからね。無重力で成形されても作れない形状って何？って感じですが。
どんな物体も何かしら細かい粒子の集合体なので、その最小単位粒子が真円（真球）じゃ無い限り現実には存在しない形ですね
まあ、それが真円ならそれはそれで完全な三角形や四角形は存在しないってことになるんですけども
@@user-kq9pn1fy6e 別に重力は形を成形できる力じゃないが…
重力で形を制御できるなら銀河はあんな多様な形をしてない
@@nExxxdj 銀河や惑星系や惑星系の形成に重力は大きく寄与している。もちろん重力以外の要素もあるけど。
でも太陽系の形成論なんかは熱学と重力に関係する力学だけでかなり現実に近いモデルが出来る
ちなみに、最小単位が真球だったとしても、それを証明することはできない。
数学では点も線も面積を持たないっていう話を思い出した
つまり、数学は理論上、理想的な条件が全て揃った中で求めるもの
やはり時間をもてあました識者の遊びから生まれた発見なだけある
面白すぎる！
BGMが大きいのでもう少し小さくしてほしい、
面白い！多角形と円が無理数友達というのはとてもしっくり来ました！
ただ、そうすると多角形と円は超越数友達でもあるのでしょうか。
うまく説明できませんが、それはなんか変な気がしてしまいます。
夜眠れないのかと思ったら
寝れてて、んふぁっ、って変な声出た笑
なんで人間は自分たちでこんなにめんどくさい不確定なものを作ったんやろ
音楽かっこよすぎて話入ってこない
有理数や無理数の厳密な定義は集合論や実数論に基づく難しくもので、実数が有限小数または無限小数で表示できることはむしろ定理なんだな
数と数字は違う(概念と文字は違う)から区別してほしかった
これ！高1の時にめっちゃ不思議に思ってたやつ！
円はアナログなのを、デジタルで図ろうとするから正しく測れなくて矛盾が生じちゃうって事ですかね？
昔、「有理数は分数で表せる数！」って先生が言ってたから、「じゃあπはπ/1だから無理数ですね！」って言ったら「整数÷整数な」って言い返されてからそれで覚えるようにしてる。
瞬時にそこをついたお前はすごい
有理数じゃなくて？
あ、そうそう、有理数です！
誤字ってる…
1 で割っても割り切れないんですけどね
霊夢が最後に思想的(？)というか考え事しててその通りだと思ってしまったw
宇宙の重力による空間のゆがみとか考慮したら、有理数のみで構成される円が存在したりせんかな？
歪んだ空間に沿った平面に描く時点で深淵とは言えないのかもしれんけど。
有理数の定義で「a,b∈整数のときa/bと表すことができる」のa,b∈整数のところが大事だよね（b≠0）
その形の場合、「b≠0」の定義も必要やで。
@@mazeofknowledge1528 そうですね、忘れてました。ご指摘ありがとうございます。
永遠に求められない円は後にイデアの円と呼ばれるようになるんですねえ…
きれいな円書こうとしたら鉛筆の芯無くなるの草
数学弱者的な視点だけど、PCで長さが10cmの自在に変形出来る線でも正円は描けないってこと？
画像の表示は○×○マスみたいになっているので無理ですね。画質が荒い画像拡大すると明らかにでこぼこしてますよね？画質良くしてもマスが細かくなっているだけなので拡大すれば同じようにでこぼこした円になります
てことはたとえば3センチのヒモで円を作ったら、その直径は無理数になるってこと？？
5:32 正多角形で挟んでる時点で√の無理数生まれてるんだなぁ
世の中には正131072角形を使って円周率の近似値を求めた人もいるからね。
それパッと見完全に円だろうなw
2^17すね
正2のn乗多角形の周の長さは、ピタゴラスの定理さえ分かってりゃ小学生でも求められなくはないから……
これって正確な円or球体をつくって、分子の数を数えたらダメなのかな？
真円って言葉すらかっこいい
すごくわかりやすい説明で、阿呆の私でも納得できました٩( ᐛ )و
ということは、我々がみたり触れていると思っている円に真円はなくて、限りなく真円に近い円っぽいものを見てみるとということ??
真円に近似な図形ってことかな
0:34
健康じゃねぇか
円の内角の和は幾つになりますか😇
力技至上主義者「電子顕微鏡で見てみようぜ！」
いつか、円周率が割りきれる日は、来るのだろうか？(内容理解してない-W)
ここまで詰まってる問題って、普通に考えて平方根の概念を撤廃する方向に行くかなと思うけど、今の今まで残ってるってことは無理数ってことなんだろうなぁ
？