Nel minuto 8:33 per calcolare p(3) sostituisci al posto di a 3 mentre dopo quando devo calcolare p(n3) sostituisci n3 al posto della x. Il sostituire il 3 al posto della a e non al posto della x c'entra con il grado e quindi puoi applicare il teorema del resto?
Ciao, ho sostituito 3 al posto della a perché 3 è il valore che conosco, n^3 è il valore che devo trovare. In sostanza, con il primo passaggio ho scritto il polinomio in un modo che mi assicuri la prima condizione, cioè che P(3)=5, mentre con il secondo gli ho detto “quando x vale n^3 il polinomio deve valere 15”. Fare il contrario, cioè scrivere il polinomio come P(x)=(x-n^3)Q(x)+P(n^3) e poi sostituire 3 al posto della x non è sbagliato, va benissimo! Mi sembra un po’ meno intuitivo, però se per te è più ovvio è perfetto ;)
@@bassigiuseppegrazie mille per la risposta, tutto chiaro. Comunque se posso proporre un esercizio da portare magari in un prossimo video sui polinomi potrebbe essere interessante questo dai giochi di Archimede 2016. Dati dei numeri interi n e k, con 1 ≤ k ≤ n, definiamo un polinomio, di grado n − 1, nel modo seguente: p(x) = (x + 1)(x + 2)...(x + n) (x + k) . Ad esempio, se fosse n = 5 e k = 2, si avrebbe p(x) = (x + 1)(x + 3)(x + 4)(x + 5). Supponiamo che, per una certa scelta di n e k, il coefficiente di x n−2 nel polinomio p(x) sia uguale a 67. Qual `e, in tal caso, il valore di n? (A) 68 (B) 10 (C) 12 (D) 11 (E) 69
Ciao! In realtà dovresti verificarlo trovando un polinomio che soddisfi la condizione, ma non è difficile, basta prendere q(x)=2 costantemente e hai già risolto. Quindi P(x)=2(x-3)+5=2x-1 effettivamente è un polinomio tale che P(3)=5 e p(8)=15
@@bassigiuseppe quindi, se ho capito bene, basta verificare dopo aver trovato i possibili risultati di n che il q(n³) sia uguale a 10/(n³-3), con q(x) polinomio arbitrario, che deve però anche far risultare veri i p(x) già dati dal problema? Quindi se ad esempio quel q(2³)=2 mi avesse fatto trovare p(2³)≠15, 8 non era una soluzione accettabile?
Se P(2³)≠15 non sarebbe stata accettabile come soluzione. In realtà, però, per come abbiamo risolto il problema, è sufficiente avere un n e un q tali che q(n³)=10/(n³-3) e q(x) a a coefficienti interi, e, soddisfatta questa condizione, siamo già sicuri che P(3)=5, p(n³)=15 e p(x) è a coefficienti interi. Chiaramente 10/(n³-3) implica n=1 o n=2. A quel punto basta trovare un q(x) a coefficienti interi tale che q(1)=-5 e un altro tale che q(8)=2. A quel punto posso stare tranquillo che se esiste q esisterà anche p
Nel minuto 8:33 per calcolare p(3) sostituisci al posto di a 3 mentre dopo quando devo calcolare p(n3) sostituisci n3 al posto della x. Il sostituire il 3 al posto della a e non al posto della x c'entra con il grado e quindi puoi applicare il teorema del resto?
Ciao, ho sostituito 3 al posto della a perché 3 è il valore che conosco, n^3 è il valore che devo trovare. In sostanza, con il primo passaggio ho scritto il polinomio in un modo che mi assicuri la prima condizione, cioè che P(3)=5, mentre con il secondo gli ho detto “quando x vale n^3 il polinomio deve valere 15”. Fare il contrario, cioè scrivere il polinomio come P(x)=(x-n^3)Q(x)+P(n^3) e poi sostituire 3 al posto della x non è sbagliato, va benissimo! Mi sembra un po’ meno intuitivo, però se per te è più ovvio è perfetto ;)
@@bassigiuseppegrazie mille per la risposta, tutto chiaro. Comunque se posso proporre un esercizio da portare magari in un prossimo video sui polinomi potrebbe essere interessante questo dai giochi di Archimede 2016. Dati dei numeri interi n e k, con 1 ≤ k ≤ n, definiamo un polinomio, di grado
n − 1, nel modo seguente:
p(x) = (x + 1)(x + 2)...(x + n)
(x + k)
.
Ad esempio, se fosse n = 5 e k = 2, si avrebbe p(x) = (x + 1)(x + 3)(x + 4)(x + 5).
Supponiamo che, per una certa scelta di n e k, il coefficiente di x
n−2 nel polinomio
p(x) sia uguale a 67. Qual `e, in tal caso, il valore di n?
(A) 68 (B) 10 (C) 12 (D) 11 (E) 69
Molto bello l'esercizio
Grazie mille!
Una domanda, come mai nella parte finale dell'esercizio non è necessario anche verificare che quando n3=8, q(n3)=2?
Ciao! In realtà dovresti verificarlo trovando un polinomio che soddisfi la condizione, ma non è difficile, basta prendere q(x)=2 costantemente e hai già risolto. Quindi P(x)=2(x-3)+5=2x-1 effettivamente è un polinomio tale che P(3)=5 e p(8)=15
@@bassigiuseppe quindi, se ho capito bene, basta verificare dopo aver trovato i possibili risultati di n che il q(n³) sia uguale a 10/(n³-3), con q(x) polinomio arbitrario, che deve però anche far risultare veri i p(x) già dati dal problema?
Quindi se ad esempio quel q(2³)=2 mi avesse fatto trovare p(2³)≠15, 8 non era una soluzione accettabile?
Se P(2³)≠15 non sarebbe stata accettabile come soluzione. In realtà, però, per come abbiamo risolto il problema, è sufficiente avere un n e un q tali che q(n³)=10/(n³-3) e q(x) a a coefficienti interi, e, soddisfatta questa condizione, siamo già sicuri che P(3)=5, p(n³)=15 e p(x) è a coefficienti interi.
Chiaramente 10/(n³-3) implica n=1 o n=2. A quel punto basta trovare un q(x) a coefficienti interi tale che q(1)=-5 e un altro tale che q(8)=2. A quel punto posso stare tranquillo che se esiste q esisterà anche p
@@bassigiuseppe capito grazie