Le radici si possono trovare. Noto che i coefficienti sono potenze di 2 per cui riscrivo l'equazione come: 2^0x^4 + 2^1x^3+2^2x^2+2^3x+2^4=0; divido tutto per 2^4 e diventa [(x/2)^4+(x/2)^3+(x/2)^2+(x/2)+1]=0; aggiungo (non c'era) la soluzione x=2; (x/2 - 1)[.....]=0 cioè (x/2)^5 - 1 = 0 da cui (x/2)^5 = 1; da questa elevando al cubo abbiamo la soluzione del problema (x=2^15) ma noi vogliamo le radici. Per averle usiamo Eulero per 1; (x/2)^5 = e^i(2 k pi) con pi=p greco; estraggo la radice 5a (x/2) = e^i[(2 k pi)/5]. mettendo per K i valori da 1 a 5 troviamo tutti i valori di x/2 e quindi di x tra cui la x=2 (per k=5) che abbiamo introdotto forzatamente. Le altre sono tutte immaginarie e le sole da considerare perchè la 5a non ne faceva parte (x=2 non è soluzione)
Attenzione l'equazione ammette solo soluzioni complesse. Qua l'esercizio ci chiede soltanto quanto vale x^15, partendo dal polinomio di 4°grado, non di trovare tutti i valori di x che la verificano
Per la regola di Cartesio, non essendoci variazioni del segno, l'equazione non ammette soluzioni positive, che, quindi, dobbiamo scartare. La soluzione che ho trovato, anche se per tentativi, dovrebbe essere -32768, visto che -2, sostituito ad x, annulla l'equazione iniziale.
Occhio x=-2 non è soluzione dell'equazione. Attenzione l'equazione ammette solo soluzioni complesse. Qua l'esercizio ci chiede soltanto quanto vale x^15, partendo dal polinomio di 4°grado, non di trovare tutti i valori di x che la verificano.
guardando il video ho capito tutto ma non credo ci sarei mai arrivato, sbaglio o bisogna andare a tentativi finché non trovi la 'falla'? Più che altro il mio dubbio è che non ci sia una regola vera e propria e di conseguenza l'unica strada è come detto pocanzi andare a tentativi, che sinceramente per una persona che non tocca questi argomenti da molti anni, mi sembra un po' strano, anche se probabilmente sbaglio.
In genere si cerca di trasformare l'equazione in una di grado che sia in sottomultiplo del monomio che bisogna trovare e poi da li si procede come in questo esercizio. Questa è la via maestra. Poi ci sono delle eccezioni al ragionamento che pubblicherò appena possibile nei prox video. Ciao, a presto🙂
Le radici si possono trovare. Noto che i coefficienti sono potenze di 2 per cui riscrivo l'equazione come:
2^0x^4 + 2^1x^3+2^2x^2+2^3x+2^4=0; divido tutto per 2^4 e diventa
[(x/2)^4+(x/2)^3+(x/2)^2+(x/2)+1]=0;
aggiungo (non c'era) la soluzione x=2; (x/2 - 1)[.....]=0 cioè (x/2)^5 - 1 = 0 da cui
(x/2)^5 = 1;
da questa elevando al cubo abbiamo la soluzione del problema (x=2^15) ma noi vogliamo le radici. Per averle usiamo Eulero per 1;
(x/2)^5 = e^i(2 k pi) con pi=p greco;
estraggo la radice 5a
(x/2) = e^i[(2 k pi)/5].
mettendo per K i valori da 1 a 5 troviamo tutti i valori di x/2 e quindi di x tra cui la x=2 (per k=5) che abbiamo introdotto forzatamente. Le altre sono tutte immaginarie e le sole da considerare perchè la 5a non ne faceva parte (x=2 non è soluzione)
Come la soluzione finale sembra suggerire x=2 come soluzione mentre 2 non è soluzione dell'equazione iniziale?
Attenzione l'equazione ammette solo soluzioni complesse. Qua l'esercizio ci chiede soltanto quanto vale x^15, partendo dal polinomio di 4°grado, non di trovare tutti i valori di x che la verificano
Per la regola di Cartesio, non essendoci variazioni del segno, l'equazione non ammette soluzioni positive, che, quindi, dobbiamo scartare. La soluzione che ho trovato, anche se per tentativi, dovrebbe essere -32768, visto che -2, sostituito ad x, annulla l'equazione iniziale.
Occhio x=-2 non è soluzione dell'equazione. Attenzione l'equazione ammette solo soluzioni complesse. Qua l'esercizio ci chiede soltanto quanto vale x^15, partendo dal polinomio di 4°grado, non di trovare tutti i valori di x che la verificano.
@@fotimath Hai ragione, Giannantonio. Il valore -2 non è soluzione perché non rende un'identità l'equazione..
guardando il video ho capito tutto ma non credo ci sarei mai arrivato, sbaglio o bisogna andare a tentativi finché non trovi la 'falla'? Più che altro il mio dubbio è che non ci sia una regola vera e propria e di conseguenza l'unica strada è come detto pocanzi andare a tentativi, che sinceramente per una persona che non tocca questi argomenti da molti anni, mi sembra un po' strano, anche se probabilmente sbaglio.
In genere si cerca di trasformare l'equazione in una di grado che sia in sottomultiplo del monomio che bisogna trovare e poi da li si procede come in questo esercizio. Questa è la via maestra. Poi ci sono delle eccezioni al ragionamento che pubblicherò appena possibile nei prox video. Ciao, a presto🙂
@@fotimath molto utile, grazie ✌️