べき乗和の公式と「6」② - 明日話したくなる「数」のお話 #19 【ベルヌーイ数】

[@study_math]

べき乗の三角形
1(1)
1(1) 1(2)
1(1) 3(2) 2(3)
1(1) 7(2) 12(3) 6(4)
1(1) 15(2) 50(3) 60(4) 24(5)
1(1) 31(2) 180(3) 390(4) 360(5) 120(6)
作成方法
①先頭は1(1)
②次の段は上の段の左右の数を括弧内の数を掛けてから足す。
　括弧内の数は左から順に1,2,3...とする。
上からn+1段目がn乗の和。
例えば4乗の和の公式は、
1*ₙC₁+15*ₙC₂+50ₙC₃+60ₙC₄+24ₙC₅
なぜn乗和の公式を計算できるのか、理屈を説明してください。m(_ _)m

[@お利口さん]

ありがとうございます！

[@illumina6057]

1ヶ月くらい前に(k+1)^(n+1)-k^(n+1)で求めるやつで手計算でk^5まではやったけど背景(?)にあったんですね
もちろん求めたとこまでは公式として頭に入ってます
今はΣk^kが気になってるのですが求められるのでしょうか
求めた時に出るであろうk+1次式ってなんぞやって感じです

[@illumina6057]

訂正
背景にこんな話があったんですね

[@9cmParabellum]

奇数乗和はn(n+1)が少なくとも
偶数乗和はn(n+1)(2n+1)が少なくとも分子の因数に出てきることを
事前に認めるのであれば
手計算でも比較的簡便に高次のべき乗和を漸化式的に求めることができます。
これは平成最後の数検準1級の出題で気付かされたことです。
例えば4乗和が知りたい場合
k(k+1)(2k+1)を5次式にします。
{k(k+1)}^2 (2k+1)が最も自然な発想でしょう。
次に階段構造を作るために番号を1つずらして引きます。
{k(k+1)}^2 (2k+1) -{(k-1)k}^2 (2k-1) = 10k^4 +2k^2
あとはk=1〜nまで両辺を足し合わせます。
10Σk^4 +2Σk^2 = {n(n+1)}^2 (2n+1)
この方法の優れた点は、偶数乗和を求める際に奇数乗和を
奇数乗和を求める際に偶数乗和を代入する必要がない点です。
実直に(k+1)^5 -k^5を計算すると
Σk^0〜Σk^3まで異なる累乗和を4種類も代入する必要がありますが
{k(k+1)}^2 (2k+1) -{(k-1)k}^2 (2k-1)であれば
代入する必要があるのはたったのΣk^2のみ。
これは省力化の極みと言って差し支えないでしょう。
代入しなきゃいけない値が確実に半分以下になるので
より高次乗和になればなるほど、時短に繋がるはずです。

[@72hf83]

質量保存の法則をmgで割って得られる「ベルヌーイの定理」のベルヌーイとは同一人物ですか?