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受験生はこれを見ずに二日目に集中してください！今年はやることもあり，残念ながら速報動画はこれでおしまいです．また落ち着いたら今年の問題解説します．ひとまずこの面白い問題が解説できてよかった．
前半の解法は受験生にとって本当の意味で現実的で素晴らしいです。受験生はきっとこんなふうな解答を待っているのだと思います。
古賀さんの力技は珍しい
包除原理の説明上手すぎ！！！さすがです！
こういう問題を試験会場で粘るのは得策じゃないと思うけど、後からじっくり解くのはめっちゃ楽しい
この人高学歴が隠し切れてなくて好き
これは良問ですね。一橋の数学は質の高いイメージがあります
本番、問題ざっと見て、「やべえ、今年難化ぽくね？」って思って、大問1やってみたら、ちょうどこの動画と同じく731個まで絞れて、7とその他の素数でやりました。
問題文呼んだあとの古賀はんテンション上がっててすこ
ゴリ押しですが、2,3,5で731個が合成数であることを言って、さらに7、11、13、17、19、23、29の7つの素数から2つ選んで掛け合わせた数は2、3、5の倍数でない1000以下の7C2=21個の合成数であることから合計731＋21=752個の合成数があることより、素数は250以下だとしました。
理想的な解法ですね
重複許してもいいから、6個でも言えますね。
全く同じやり方でやりました
@@championsjp2108 11以上の数を3つ掛け合わせたら1000以上になるんじゃない
@@MrRassion そうでした（削除済）。
個数定理の説明くそわかりやすいやん
7の倍数の合成数の書き出しの際、7*素数でなくても、7*49とか7*77とかも数えられますね。
これ本番で解いてきたけど、2、3、5、7の倍数全て数え上げたw計算ミスしてないといいな明日もがんばります！
これ、最後の場面で√(1000)≒31.6 以下の素数試験本場だと1000＞900＝30^2から「30以下」の方がいいかで5より大きいのを列挙して、7、11、13、17、19、23、29この7つの数字から重複を許して2つ選び、その2数を掛け合わせてできる合成数の種類が28個あることを使えば…うん、行けそうな気がする。7の倍数列挙するのとどっちが早いかかなぁ
2Bまでしかやってない言語学専攻のド文系卒の28歳ですが最近数学が超面白いです。
Bが8に見える
スキアラバ
@@橋本拓真-y2k .
オイラー関数を知ってたら苦戦せずに解けたかも知れませんね。しかし1050を見つける作業が厳しいので決して楽はさせまいという一橋の意思を感じました。
オイラー使うなら証明しないといけないので、現実的ではないですね
これ一瞬で捨てた。試験中のメンタルにこういうのが出たらヒヤッとしますよ。
最初にルジャンドルの定理思いついた
京大工学部合格しました！このチャンネルのお陰で本番も数学で高得点を出せませた！本当にありがとうございました！
嘘ついてて草
@@奈良県立医 落ちてるやついて草
It's awesome. I am a math teacher from Taiwan and I like your video.
正の字のやつわかりやす！感動した
6で割った余で分類して、素数になりうる余が1と5の時に注目したあと、それが5の倍数や7の倍数になるものを除いていくと必要性から絞って250個以下が示せました！（回りくどい）
書き出す所、自分なら7~29の7つの素数で7C2＝21で済ますと思います。オイラー関数の解法は素晴らしいです😊
8:09 ベン図顔みたいで可愛い
難しい知識は必要としないけど、2、3、5の倍数を数えるだけでは足りなくて困ったり、2、3、5自身を除外するのを忘れたり、色んなところでつまづきポイントがあって、それなりに論証力が試される良問ですね。
334個以下まで分かったけど明らかに6n±1でやる方法よりこの動画のやり方のほうが効率が良かった...❤️
な阪関無
(mod6) 1(mod6) -1(mod6) は私の大好きなところです0(mod6) 2(mod6) 3(mod6) 4(mod6) では 2,3 以外に素数は存在していませんこれで 2,3の倍数は除外できる 即ち 素数は 1(mod6) and 5(mod6) にしか 存在していない
2.3.5の3つと6k+1、6k+5(k≧1)だけが素数になりうる。1000以下の時6k+1は166個6k+5は165個この時点で334個が素数の可能性がある。この中で6k+1が5の倍数になるものが(中略)33個6k+5が5の倍数になるものが(中略)33個(中略部分の式でこの二つに被りがないことは示せる)6k+1が7の倍数になるものが素数の7を除き(中略)23個23個のうち5の倍数になるものが(中略)4個この時点で334-33-33-23+4=249となりこの時点で250個以下であることが示される
π(1000)＝1000/ln1000＝145 絶対使う時ないだろうなと思いながら暗記したこの式初めて使えた。嬉しいw
1から1000の整数について考える。3の倍数は333個(そのうち偶数166個)、5の倍数は200個(そのうち偶数100個)、7の倍数は142個(そのうち偶数71個)3×5、3×7、5×7の倍数はそれぞれ66個、47個、28個(そのうち偶数は、それぞれ33個、23個、14個）3×5×7の倍数は9個(そのうち偶数は4個）3または5または7の倍数は333+200+142-(66+47+28)+9＝543個そのうち偶数は166+100+71-(33+23+14)+4＝271個以上から2または3または5または7の倍数は500+543-271＝772個このうち2,3,5,7を除く768(=772-4)個以上は、素数ではない。よって、素数は1000-768＝232個以下である。
数学は参考書等一切やらずに古賀さんとアキトさんの動画を毎日2本見るということを繰り返していたら一橋本番4完半出来ました！1つ計算ミスをしてしまいましたが論証のミスはないと思います。毎回質のいい動画をあげてくれてありがとうございます！
天才で草
7の倍数出すときに素数に自信がなかったら、11の倍数数えていってもいいかもしれないですね。
7x53くらいから自信がなくなって11の倍数を書き始めたわい
もしくは、ある程度まで素数を羅列(７✕29まで来たとか)できたら、そこまでに登場した素数の組み合わせを考えてもいいかも。仮に7✕29まで羅列したら、11,13,17,19,23,27,29という30以下の素数が既に登場しているわけで、その中から2個選択し乗算(11✕13など)するという形で再登場してもらいましょう。それらの積は27✕29でも30✕30、つまり900よりも小さいので1000以下ですから、あとはその個数を「組み合わせのC」を使って21個と求めれば、実はこの部分だけでノルマ達成だったと。
素数定理の証明手順を真似すれば解けそう［1000(1/2)(2/3)(4/5)(6/7)］= ［8000/35］= 2282,3,5,7と互いに素な1000以下の数は228個これに2,3,5,7の4個を足して1000以下で素数になり得るのは多くても高々234個
なんか母数によって１個ズレるっぽいので、２２８個って書くの怖いんですよね
正解
最後7の倍数から7の偶数倍数引いて 717の奇数倍のうち3の倍数が 71÷3＝237の奇数倍のうち5の倍数が 71÷5=147の奇数倍のうち3と5で被る15の倍数が71÷15=4 でこの分を戻す(71-23-14+4)=38 ここから素数7の1分引いて37これで731と足せば届きます。数えるより楽かもです
と、思ったんだけど、奇数の中から3の倍数、5の倍数、15の倍数探す時に数字のスタートがズレるから、正確に個数を出す場合3n−1=715n−2=7115n−7=71と出さなければいけないことに気づいたので、素数の掛け算数えた方が早いかもですね…泣
答案が綺麗🤩
まず、1000以下の自然数で素数である可能性があるもの（以下、素数候補と呼ぶ）2 , 3 , 6k - 5 ( 1 は素数ではないのでk は 2 から167 までの整数 )で表せる166個6k + 5 （ k は 0 から165 までの整数）の166個この時点で334個うち、5の倍数になるもの（5 自身は除く）が30k - 5 （ k は 1 から 33 までの整数）30k + 5 （ k は 1 から33までの整数）の合計66個つまり、この時点での素数候補は 334 から 66 を引いて 268 個以下、素数候補から外れるもの 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 の２乗（６個）上記の６素数のうち、異なる２個をとってかけた数（15個）これで250個より少なくなりました。(^_^)
1) 1000までの数を (mod6) に分けると 0,2,3,4 には2,3以外は素数ではない 1(mod6), 5(mod6) は 333 であり 1と5は除外して 331 が素数の可能性がある2) 1)から 5と7の倍数を求める為に 331÷5=66 331÷7=47 3) 1),2) から 331-66-47=218 ∴ 1000以下の数の中に 素数は250 以下である 素数大好き爺の 迷走回答
2)' -331÷(5*7)=-9 331÷5-1=65 331÷7-1=46 3) ' 331+9-65-46=229 に訂正します
このように考えてみました。11～1000までの990個の自然数の中から，素数である可能性のある数の個数を絞っていく。まず，一の位が1,3,7,9であるものの個数は，990*(4/10)=99*4(個)この中で，11,21,31のように一の位が同じで10ずつの差がある3個の数に着目すると，このうちの1個が3の倍数であるから，素数の候補は99*4*(2/3)=33*8=264(個)264個のうち，7*(7以上の素数)で表される合成数は，7,11,13,…,97,101,…139の31個であるが，97まで考えれば22個として十分である。これで候補は264-22=242(個)あとは，1桁の素数の4個を加えて242+4=246(個)よって，1000以下の素数は250個以下である。ちなみに，7と同様にして11*(11以上の素数),13*(13以上の素数),…の個数(最後は31*31)を数えると63個，7^2*(7以上の素数)が5個，11^2*7の1個を加えて69個。この方法で，264-31-69+4=168(個)が正確に出せました。
8:06今まで説明されたことの無い説明でこんな説明の仕方あるんやなぁって思った。多分テキストだと、A∧Bの部分とかを色で塗られた部分で視覚的にって感じやけど単純に正の字の説明の方が頭で共通部分想像せんでいいから分かりやすい。まぁ、この公式ならどんな説明でも分かるけど。
∧(ウェッジ)ではなく∩(キャップ)ですね。ウェッジは論理式で使う別の記号です。キャップとウェッジをほとんど同じ意味で使うことができる場合がありますが、ハイレベルかつレアケースですね(P≠NP予想の関連分野など)。
えー、∧ってキャップって打てないからその代用だと思ってた。また別の数学記号なんですね。初めて知りました。ありがとうございます。
動画を見てて「そう言われれば、四つ以上の集合があるときベン図はどうなるんだろ？」とか調べてたら、「楕円なら描ける」とか「包除原理というものがある」とか面白いことを知れました。
あれ、2,3,5で750個以上になって終わったのに計算ミスってたのか……うおおお一橋やばいいい
概算出すの大事ですね
√1000以下で7以上の素数を挙げて、nC2計算するのがミス少なくて早いかなと思った。オイラー関数の部分で出てきた、『（より広い範囲で）厳しい条件で評価する』のって数学のセンスを感じて見てるだけでも気持ちいい。
7:10 ベン図のさらっと解説で、はっとした
どうも、2,3,5,7,を素数として除くのを忘れてた受験生です。
「2,3,5の倍数で足りるかな…なんか足りない気がする…この手はダメか…？」と考えたところで動画再生した。7の倍数を小さいほうから数えていくだけで足りない分を賄えたのか！「諦めたら試験終了だよ」と言われた気がした。
自分の解き方です。980以下の素数は多くともいくつあるか考える。980以下の2,3,5,7のいずれも約数に持たない自然数の数は980*1/2*2/3*4/5*6/7=224個。2,3,5,7は約数に2,3,5,7を持つけど素数だから+4して、この228個が素数となりえる数の集合。つまり1000以下の自然数で素数である可能性のある数は248個。これで合ってますか？
論理的に正しいから合ってますね！
遥か昔、中学受験のときに1から105までで3でも5でも7でも割り切れない整数は、3.5.7が互いに素であることを利用して105×2/3×4/5×6/7=48個って言うのを思い出して、解けました。
わかった！数えればいいのか！
天才現る
がんば！
返信ありがとうございます、受験終わったら数えます!
0:47
実際問題3桁までなら素数覚えている人いそうだよね。
自分と全く同じ考え方😆7の倍数の個数求めるために計算量増やすよりはあと10数個なら列挙してしまう方が速いですよね。
4つ以上のベン図が必要になったからちょっと調べてみたら訳分からんくなった:(
7.11.13.17.23.29をそれぞれ二つ用意して、異なる二数を選ぶようにすればいけますよね。
teacher thank u so much
２のフルイ：499 個脱落３のフルイ：166 個脱落５のフルイ：66 個脱落７のフルイ：30 個脱落→ 試合終了です。
2.3.5でやって合成数足りなくて解答用紙全消ししちゃった自分を殴りたい😇😇😇😇😇😇あと20個くらい7の倍数数えてれば😭
部分点はすこしはつくよ
全消ししちゃったらつかないのかな？消し跡を復元して点数くれたりしないよね。
包除原理の記述は全消しちゃったんですけど他の方法の記述で336個以下であることはまでは示せたので何点かは欲しいです😭😭😭😭
@@ma-jan-doufu あーあ、落ちたね
@@ぽぽ-t2j8r 酷すぎる😂😂😂
じつはそんなに難しくないけど、本番にできないんすよねえ
オイラー関数って、マスターオブ整数とかにも載ってるんですけど、受験で説明なしに用いていい感じですか？
一様収束と各点収束の動画あげていただきたいです。お願いします！
7*11 と 7*13 が登場した時点で 11*13 を排除した方が効率が良いですね。7*11, 7*13, 11*13, 7*17, 11*17, 13*17, 7*23, 11*23, 13*23, 17*23...
なるほど～。2x3x5^2x7のオイラー関数は思いつきませんでした。2x3x5x7=210のオイラー関数をつかい、840=210x4までの2,3,5,7と互いに素の数をかぞえ、840以上は2,3,5と互いに素の数を地道に数えるという方法は思いついたのですが。
元気ですか？ 今が正念場。落ち着いて考えて、更なる飛躍をされることを祈念しています。
良問だぁ
三流私立大学文系の考えた計算式1/2x2/3x4/5x6/7x1000
基準となる数(たとえば5)と、その数以上で消されていない数(この場合は2と3の倍数以外)との積が消せる数ということを利用しても解けそうですね。
最初6で割ったで考えたが足りなさ過ぎて30の倍数で考えました1000以下で素数になる可能性あるのは30m±1、±7、±11、±13(mは1~33、＋11と13はmは32ま)よってその個数は33×8-2=262まだ足りないので動画のように7の倍数を数えて250以下になるまで消去しました
間違えた、このやり方では7の倍数が30m±1、±7、±11、±13以外にある場合あるからダメでした変なこと書いてごめんなさい
210m±1、±7、.....、±103(余りは2、3、5、7で割れない数、mは1~4または5）なら多少大変だけど何とかなりそう（7の倍数数えるかわりに105までの余りを分類する）
(mod30)の考え方は素晴らしい 1 5 7 11 13 17 19 23 25 29 29 25 23 18 17 13 11 13 5 11(mod6)+5(mod6)=0(mod6) これ等の延長に2,3以外の素数は並んでいる
めっちゃわかりやすい⚪⚪であることを示せ言われたらだいたい背理法とかが頭の中よぎるけど無理だなってなって1分くらい頭止まった
問題とは直接関係ないけど、ガウス記号の使い方を初めて知りました！
エラトステネスの篩…
φ7*11*13＝720 から2以外の偶数引いて723-499＝224？でよいのでは？
この解答は・・・出題者にも想定外かも？1001の素因数分解を知ってないとまず思いつかないような？
この効率は数学の才能をとても感じる
オイラー関数て入試で使っていいのか？
1～100だと2とか5とか素数になるから例外として1～100で素数が25個は自明だとして201から100区切りで考えました。素数になるのは1の位が1,3,7,9しか有り得ないので201～300、301～400、401～500など全ての区間で素数はそれぞれ最大40個まで絞れる。後は3の倍数と7の倍数だけ考えたら楽
例えば100n＋1～100(n＋1)で1の位が1のものが10個、この中に3の倍数が最低でも3個1の位が3でも3の倍数は最低でも3個。つまり100区間に1の位が1か3か7か9のいずれかである3の倍数は最低12個1の位が1か3か7か9の7の倍数が最低でも5個ある。21の倍数は最大で3個あるので各100区切りに2の倍数でも3の倍数でも5の倍数でも7の倍数でもないのは40-12-5＋3＝26個。こっから2パターンあるけど11の倍数で消してくと計算もっと楽
一般的に二次試験の中間点って方針合ってても計算ミスしてたら全部パーになるんですか？
受験生で、一昨日受けてきました偶数消して3、5、7の倍数でやったのですがまるもらえますかね…；；
最後7の倍数だけに限らず途中から11の倍数とかに移行すれば知ってる素数少なくても良さそう
私も1と5までの素数の倍数で1000-732=268個まで削ってから頭が真っ白に。そこからの手作業は思い浮かばなかったです。
別解です、ネタバレにもなるので詳細にします。全部書き出せばすぐ終わります。
10以上の素数の1の位は1379の何れかなので、□□1 (□□は1〜99)の形の3と7の倍数の数を数えてみました。□□1で試して4倍すると、だいたいの結論が見えるので安心して答案を書けるのが利点かもしれません
サムネみて2分くらいで方針できた！！
ワイ｢1000以下の素数の数は168個｣
素数ガチ勢草
開成中学の受験とかにありそうですね。
流石になさそうだろ
でも開成受けるような子なら解けそうなのは確かだな
小学生でもわかるコラッツ予想を解説してください。お願いします
Φ1000=400から、9の倍数と21の倍数引いたらできた。
なぜ1050を用いたのですか？
Mやまはこれ解けたのかな
整の字を間違えてないですか？
30以下の2,3,5＆合成数の数がいくつか210以下の2,3,57＆合成数の数がいくつかをエラトステネスの篩を拡張して考えると簡単に解けたりする
本番では7×73
さすがにいらない
1桁×2桁が3桁以上にならないのは自明
今年は全体的な難易度どうだったの？教えてー！
オイラー関数は高校の範囲でないので入試で書いたらどうなるのですか？❌ですか？
一橋OBですが大変申し訳ない。文系ゆえオイラー関数とかガウス記号とかは受験期には習ってないのです笑
ガウス記号はやってないっけ？
OB(卒業生とは言ってない)
@@sage_goes1504 ごめん。普通に卒業生。
ガウス記号今どんな参考書にも大体載っていますよ！
@@てる-m8h そうなんですか…時代変わったんだなぁ。。私が在学していたのはほぼ20年前なので。。失礼しました。
100以下の素数の個数が25個であることを求め、101から1000の900個の整数のうちの合成数の個数調べた方が分かりやすいかも（まだ考察途中です）
数学Aの特徴:時にゴリ押しの列挙も必要。
初っ端これは怖いわ
Mやまでも完答できそうな問題だな
10個以下でも無理だろMやまは
@@初でイク それは流石に草
Mやまは書き出す
@@POWER-rj9vb 僕も流石に書き出すぐらいはしてくれると思ってます。全部書き出したら多分満点もらえると思います。
全部書き上げた答案の採点はどうするのか
文系の数学の第一問でこんな問題出してくるのって出題者はひねくれものだなこれは解けなくても合格出来ると思うけど
大きい素数出したくないので自分は (7, 11, 13, 17, 19, 23)から重複ゆるして2つ掛けて21通り足しました。
100までの素数の個数(=25)を数えて、その後区間を100個ずつ区切った時に、その区間には25個以外しか素数がないのは明らかであり、しかも25×10=250であるから、1000以内には素数が250個以下しか存在しない。で示せたことにならんかなぁ‥
「明らかであり」のところで減点されるだろうなぁ
そうですね。「明らかであり」の所を作問者は如何にして論述してくるのかを見てると思うので、そこを流してしまうと大幅減点になると思います。
@@羚羊-s3r ですよねぇ。感覚的に明らかなことって逆にふわっとしていて示しにくい…
ごり押しで小学生でも解ける。ただし解答用紙が狭すぎてそれを書くことができないかも。
僕はオイラー関数を用いて解きました
この人が本気で大喜利したらどうなるんやろ
![Masaki Koga [数学解説]](http://yt3.ggpht.com/iS7yH2FXiUzPK9lxif6LZbtrxwlWeUWrpKuQc76MyOq_5YG7C5y9jPoZiw4Od2nmFYjSLRf9PTM=s48-c-k-c0x00ffffff-no-rj)
![Felix "Unfair" | [Stray Kids : SKZ-PLAYER]](http://i.ytimg.com/vi/Oswujxm2Ag0/mqdefault.jpg)
受験生はこれを見ずに二日目に集中してください！
今年はやることもあり，残念ながら速報動画はこれでおしまいです．また落ち着いたら今年の問題解説します．ひとまずこの面白い問題が解説できてよかった．
前半の解法は受験生にとって本当の意味で現実的で素晴らしいです。受験生はきっとこんなふうな解答を待っているのだと思います。
古賀さんの力技は珍しい
包除原理の説明上手すぎ！！！
さすがです！
こういう問題を試験会場で粘るのは得策じゃないと思うけど、後からじっくり解くのはめっちゃ楽しい
この人高学歴が隠し切れてなくて好き
これは良問ですね。一橋の数学は質の高いイメージがあります
本番、問題ざっと見て、「やべえ、今年難化ぽくね？」って思って、大問1やってみたら、ちょうどこの動画と同じく731個まで絞れて、7とその他の素数でやりました。
問題文呼んだあとの古賀はんテンション上がっててすこ
ゴリ押しですが、2,3,5で731個が合成数であることを言って、さらに7、11、13、17、19、23、29の7つの素数から2つ選んで掛け合わせた数は2、3、5の倍数でない1000以下の7C2=21個の合成数であることから合計731＋21=752個の合成数があることより、素数は250以下だとしました。
理想的な解法ですね
重複許してもいいから、6個でも言えますね。
全く同じやり方でやりました
@@championsjp2108 11以上の数を3つ掛け合わせたら1000以上になるんじゃない
@@MrRassion そうでした（削除済）。
個数定理の説明くそわかりやすいやん
7の倍数の合成数の書き出しの際、7*素数でなくても、7*49とか7*77とかも数えられますね。
これ本番で解いてきたけど、2、3、5、7の倍数全て数え上げたw
計算ミスしてないといいな
明日もがんばります！
これ、最後の場面で√(1000)≒31.6 以下の素数
試験本場だと1000＞900＝30^2から「30以下」の方がいいか
で5より大きいのを列挙して、
7、11、13、17、19、23、29
この7つの数字から重複を許して2つ選び、その2数を掛け合わせてできる合成数の種類が28個あることを使えば…
うん、行けそうな気がする。7の倍数列挙するのとどっちが早いかかなぁ
2Bまでしかやってない言語学専攻のド文系卒の28歳ですが最近数学が超面白いです。
Bが8に見える
スキアラバ
@@橋本拓真-y2k .
オイラー関数を知ってたら苦戦せずに解けたかも知れませんね。
しかし1050を見つける作業が厳しいので決して楽はさせまいという一橋の意思を感じました。
オイラー使うなら証明しないといけないので、現実的ではないですね
これ一瞬で捨てた。試験中のメンタルにこういうのが出たらヒヤッとしますよ。
最初にルジャンドルの定理思いついた
京大工学部合格しました！
このチャンネルのお陰で本番も数学で高得点を出せませた！本当にありがとうございました！
嘘ついてて草
@@奈良県立医 落ちてるやついて草
It's awesome. I am a math teacher from Taiwan and I like your video.
正の字のやつわかりやす！感動した
6で割った余で分類して、素数になりうる余が1と5の時に注目したあと、それが5の倍数や7の倍数になるものを除いていくと必要性から絞って250個以下が示せました！（回りくどい）
書き出す所、自分なら7~29の7つの素数で7C2＝21で済ますと思います。
オイラー関数の解法は素晴らしいです😊
8:09 ベン図顔みたいで可愛い
難しい知識は必要としないけど、2、3、5の倍数を数えるだけでは足りなくて困ったり、2、3、5自身を除外するのを忘れたり、色んなところでつまづきポイントがあって、それなりに論証力が試される良問ですね。
334個以下まで分かったけど明らかに6n±1でやる方法よりこの動画のやり方のほうが効率が良かった...❤️
な阪関無
(mod6) 1(mod6) -1(mod6) は私の大好きなところです
0(mod6) 2(mod6) 3(mod6) 4(mod6) では 2,3 以外に素数は存在していません
これで 2,3の倍数は除外できる 即ち 素数は 1(mod6) and 5(mod6) にしか 存在していない
2.3.5の3つと6k+1、6k+5(k≧1)だけが素数になりうる。
1000以下の時6k+1は166個
6k+5は165個
この時点で334個が素数の可能性がある。
この中で6k+1が5の倍数になるものが(中略)33個
6k+5が5の倍数になるものが(中略)33個
(中略部分の式でこの二つに被りがないことは示せる)
6k+1が7の倍数になるものが素数の7を除き(中略)23個
23個のうち5の倍数になるものが(中略)4個
この時点で334-33-33-23+4=249となりこの時点で250個以下であることが示される
π(1000)＝1000/ln1000＝145 絶対使う時ないだろうなと思いながら暗記したこの式初めて使えた。嬉しいw
1から1000の整数について考える。
3の倍数は333個(そのうち偶数166個)、5の倍数は200個(そのうち偶数100個)、7の倍数は142個(そのうち偶数71個)
3×5、3×7、5×7の倍数はそれぞれ66個、47個、28個(そのうち偶数は、それぞれ33個、23個、14個）
3×5×7の倍数は9個(そのうち偶数は4個）
3または5または7の倍数は333+200+142-(66+47+28)+9＝543個
そのうち偶数は166+100+71-(33+23+14)+4＝271個
以上から2または3または5または7の倍数は500+543-271＝772個
このうち2,3,5,7を除く768(=772-4)個以上は、素数ではない。よって、素数は1000-768＝232個以下である。
数学は参考書等一切やらずに古賀さんとアキトさんの動画を毎日2本見るということを繰り返していたら一橋本番4完半出来ました！
1つ計算ミスをしてしまいましたが論証のミスはないと思います。
毎回質のいい動画をあげてくれてありがとうございます！
天才で草
7の倍数出すときに素数に自信がなかったら、11の倍数数えていってもいいかもしれないですね。
7x53くらいから自信がなくなって11の倍数を書き始めたわい
もしくは、ある程度まで素数を羅列(７✕29まで来たとか)できたら、そこまでに登場した素数の組み合わせを考えてもいいかも。
仮に7✕29まで羅列したら、
11,13,17,19,23,27,29という30以下の素数が既に登場しているわけで、その中から2個選択し乗算(11✕13など)するという形で再登場してもらいましょう。
それらの積は27✕29でも30✕30、つまり900よりも小さいので1000以下ですから、あとはその個数を「組み合わせのC」を使って21個と求めれば、実はこの部分だけでノルマ達成だったと。
素数定理の証明手順を真似すれば解けそう
［1000(1/2)(2/3)(4/5)(6/7)］= ［8000/35］= 228
2,3,5,7と互いに素な1000以下の数は228個これに2,3,5,7の4個を足して
1000以下で素数になり得るのは多くても高々234個
なんか母数によって１個ズレるっぽいので、２２８個って書くの怖いんですよね
正解
最後
7の倍数から7の偶数倍数引いて 71
7の奇数倍のうち3の倍数が 71÷3＝23
7の奇数倍のうち5の倍数が 71÷5=14
7の奇数倍のうち3と5で被る15の倍数が
71÷15=4 でこの分を戻す
(71-23-14+4)=38
ここから素数7の1分引いて37
これで731と足せば届きます。
数えるより楽かもです
と、思ったんだけど、奇数の中から3の倍数、5の倍数、15の倍数探す時に
数字のスタートがズレるから、正確に個数を出す場合
3n−1=71
5n−2=71
15n−7=71
と出さなければいけないことに気づいたので、素数の掛け算数えた方が早いかもですね…泣
答案が綺麗🤩
まず、1000以下の自然数で素数である可能性があるもの（以下、素数候補と呼ぶ）
2 , 3 ,
6k - 5 ( 1 は素数ではないのでk は 2 から167 までの整数 )で表せる166個
6k + 5 （ k は 0 から165 までの整数）の166個
この時点で334個
うち、5の倍数になるもの（5 自身は除く）が
30k - 5 （ k は 1 から 33 までの整数）
30k + 5 （ k は 1 から33までの整数）
の合計66個
つまり、この時点での素数候補は 334 から 66 を引いて 268 個
以下、素数候補から外れるもの
7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 の２乗（６個）
上記の６素数のうち、異なる２個をとってかけた数（15個）
これで250個より少なくなりました。(^_^)
1) 1000までの数を (mod6) に分けると 0,2,3,4 には2,3以外は素数ではない
1(mod6), 5(mod6) は 333 であり 1と5は除外して 331 が素数の可能性がある
2) 1)から 5と7の倍数を求める為に 331÷5=66 331÷7=47
3) 1),2) から 331-66-47=218 ∴ 1000以下の数の中に 素数は250 以下である
素数大好き爺の 迷走回答
2)' -331÷(5*7)=-9 331÷5-1=65 331÷7-1=46 3) ' 331+9-65-46=229 に訂正します
このように考えてみました。
11～1000までの990個の自然数の中から，素数である可能性のある数の個数を絞っていく。
まず，一の位が1,3,7,9であるものの個数は，990*(4/10)=99*4(個)
この中で，11,21,31のように一の位が同じで10ずつの差がある3個の数に着目すると，このうちの1個が3の倍数であるから，素数の候補は99*4*(2/3)=33*8=264(個)
264個のうち，7*(7以上の素数)で表される合成数は，7,11,13,…,97,101,…139の31個であるが，97まで考えれば22個として十分である。これで候補は264-22=242(個)
あとは，1桁の素数の4個を加えて242+4=246(個)
よって，1000以下の素数は250個以下である。
ちなみに，7と同様にして11*(11以上の素数),13*(13以上の素数),…の個数(最後は31*31)を数えると63個，7^2*(7以上の素数)が5個，11^2*7の1個を加えて69個。
この方法で，264-31-69+4=168(個)が正確に出せました。
8:06
今まで説明されたことの無い説明でこんな説明の仕方あるんやなぁって思った。多分テキストだと、A∧Bの部分とかを色で塗られた部分で視覚的にって感じやけど単純に正の字の説明の方が頭で共通部分想像せんでいいから分かりやすい。
まぁ、この公式ならどんな説明でも分かるけど。
∧(ウェッジ)ではなく∩(キャップ)ですね。ウェッジは論理式で使う別の記号です。
キャップとウェッジをほとんど同じ意味で使うことができる場合がありますが、ハイレベルかつレアケースですね(P≠NP予想の関連分野など)。
えー、∧ってキャップって打てないからその代用だと思ってた。また別の数学記号なんですね。初めて知りました。ありがとうございます。
動画を見てて「そう言われれば、四つ以上の集合があるときベン図はどうなるんだろ？」とか調べてたら、「楕円なら描ける」とか「包除原理というものがある」とか面白いことを知れました。
あれ、2,3,5で750個以上になって終わったのに計算ミスってたのか……うおおお一橋やばいいい
概算出すの大事ですね
√1000以下で7以上の素数を挙げて、nC2計算するのがミス少なくて早いかなと思った。
オイラー関数の部分で出てきた、『（より広い範囲で）厳しい条件で評価する』のって数学のセンスを感じて見てるだけでも気持ちいい。
7:10 ベン図のさらっと解説で、はっとした
どうも、2,3,5,7,を素数として除くのを忘れてた受験生です。
「2,3,5の倍数で足りるかな…なんか足りない気がする…この手はダメか…？」
と考えたところで動画再生した。7の倍数を小さいほうから数えていくだけで足りない分を賄えたのか！
「諦めたら試験終了だよ」と言われた気がした。
自分の解き方です。
980以下の素数は多くともいくつあるか考える。
980以下の2,3,5,7のいずれも約数に持たない自然数の数は
980*1/2*2/3*4/5*6/7=224個。
2,3,5,7は約数に2,3,5,7を持つけど素数だから+4して、この228個が素数となりえる数の集合。
つまり1000以下の自然数で素数である可能性のある数は248個。
これで合ってますか？
論理的に正しいから合ってますね！
遥か昔、中学受験のときに
1から105までで3でも5でも7でも割り切れない整数は、3.5.7が互いに素であることを利用して
105×2/3×4/5×6/7=48個
って言うのを思い出して、解けました。
わかった！数えればいいのか！
天才現る
がんば！
返信ありがとうございます、受験終わったら数えます!
0:47
実際問題3桁までなら素数覚えている人いそうだよね。
自分と全く同じ考え方😆
7の倍数の個数求めるために計算量増やすよりはあと10数個なら列挙してしまう方が速いですよね。
4つ以上のベン図が必要になったからちょっと調べてみたら訳分からんくなった:(
7.11.13.17.23.29をそれぞれ二つ用意して、異なる二数を選ぶようにすればいけますよね。
teacher thank u so much
２のフルイ：499 個脱落
３のフルイ：166 個脱落
５のフルイ：66 個脱落
７のフルイ：30 個脱落
→ 試合終了です。
2.3.5でやって合成数足りなくて解答用紙全消ししちゃった自分を殴りたい😇😇😇😇😇😇あと20個くらい7の倍数数えてれば😭
部分点はすこしはつくよ
全消ししちゃったらつかないのかな？消し跡を復元して点数くれたりしないよね。
包除原理の記述は全消しちゃったんですけど他の方法の記述で336個以下であることはまでは示せたので何点かは欲しいです😭😭😭😭
@@ma-jan-doufu あーあ、落ちたね
@@ぽぽ-t2j8r 酷すぎる😂😂😂
じつはそんなに難しくないけど、本番にできないんすよねえ
オイラー関数って、マスターオブ整数とかにも載ってるんですけど、受験で説明なしに用いていい感じですか？
一様収束と各点収束の動画あげていただきたいです。お願いします！
7*11 と 7*13 が登場した時点で 11*13 を排除した方が効率が良いですね。
7*11, 7*13, 11*13, 7*17, 11*17, 13*17, 7*23, 11*23, 13*23, 17*23...
なるほど～。2x3x5^2x7のオイラー関数は思いつきませんでした。2x3x5x7=210のオイラー関数をつかい、840=210x4までの2,3,5,7と互いに素の数をかぞえ、840以上は2,3,5と互いに素の数を地道に数えるという方法は思いついたのですが。
元気ですか？ 今が正念場。落ち着いて考えて、更なる飛躍をされることを祈念しています。
良問だぁ
三流私立大学文系の考えた計算式
1/2x2/3x4/5x6/7x1000
基準となる数(たとえば5)と、その数以上で消されていない数(この場合は2と3の倍数以外)との積が消せる数ということを利用しても解けそうですね。
最初6で割ったで考えたが足りなさ過ぎて30の倍数で考えました
1000以下で素数になる可能性あるのは30m±1、±7、±11、±13(mは1~33、＋11と13はmは32ま)
よってその個数は33×8-2=262
まだ足りないので動画のように7の倍数を数えて250以下になるまで消去しました
間違えた、このやり方では7の倍数が30m±1、±7、±11、±13以外にある場合あるからダメでした
変なこと書いてごめんなさい
210m±1、±7、.....、±103(余りは2、3、5、7で割れない数、mは1~4または5）なら多少大変だけど何とかなりそう
（7の倍数数えるかわりに105までの余りを分類する）
(mod30)の考え方は素晴らしい
1 5 7 11 13 17 19 23 25 29
29 25 23 18 17 13 11 13 5 1
1(mod6)+5(mod6)=0(mod6) これ等の延長に2,3以外の素数は並んでいる
めっちゃわかりやすい
⚪⚪であることを示せ言われたらだいたい背理法とかが頭の中よぎるけど無理だなってなって1分くらい頭止まった
問題とは直接関係ないけど、ガウス記号の使い方を初めて知りました！
エラトステネスの篩…
φ7*11*13＝720 から2以外の偶数引いて723-499＝224？でよいのでは？
この解答は・・・出題者にも想定外かも？1001の素因数分解を知ってないとまず思いつかないような？
この効率は数学の才能をとても感じる
オイラー関数て入試で使っていいのか？
1～100だと2とか5とか素数になるから例外として1～100で素数が25個は自明だとして201から100区切りで考えました。素数になるのは1の位が1,3,7,9しか有り得ないので
201～300、301～400、401～500など全ての区間で素数はそれぞれ最大40個まで絞れる。後は3の倍数と7の倍数だけ考えたら楽
例えば100n＋1～100(n＋1)で1の位が1のものが10個、この中に3の倍数が最低でも3個
1の位が3でも3の倍数は最低でも3個。つまり100区間に1の位が1か3か7か9のいずれかである3の倍数は最低12個
1の位が1か3か7か9の7の倍数が最低でも5個ある。
21の倍数は最大で3個あるので
各100区切りに2の倍数でも3の倍数でも5の倍数でも7の倍数でもないのは40-12-5＋3＝26個。こっから2パターンあるけど11の倍数で消してくと計算もっと楽
一般的に二次試験の中間点って方針合ってても計算ミスしてたら全部パーになるんですか？
受験生で、一昨日受けてきました
偶数消して3、5、7の倍数でやったのですがまるもらえますかね…；；
最後7の倍数だけに限らず途中から11の倍数とかに移行すれば知ってる素数少なくても良さそう
私も1と5までの素数の倍数で1000-732=268個まで削ってから頭が真っ白に。そこからの手作業は思い浮かばなかったです。
別解です、ネタバレにもなるので詳細にします。
全部書き出せばすぐ終わります。
10以上の素数の1の位は1379の何れかなので、□□1 (□□は1〜99)の形の3と7の倍数の数を数えてみました。□□1で試して4倍すると、だいたいの結論が見えるので安心して答案を書けるのが利点かもしれません
サムネみて2分くらいで方針できた！！
ワイ｢1000以下の素数の数は168個｣
素数ガチ勢草
開成中学の受験とかにありそうですね。
流石になさそうだろ
でも開成受けるような子なら解けそうなのは確かだな
小学生でもわかるコラッツ予想を解説してください。お願いします
Φ1000=400から、9の倍数と21の倍数引いたらできた。
なぜ1050を用いたのですか？
Mやまはこれ解けたのかな
整の字を間違えてないですか？
30以下の2,3,5＆合成数の数がいくつか
210以下の2,3,57＆合成数の数がいくつか
をエラトステネスの篩を拡張して考えると簡単に解けたりする
本番では7×73
さすがにいらない
1桁×2桁が3桁以上にならないのは自明
今年は全体的な難易度どうだったの？教えてー！
オイラー関数は高校の範囲でないので
入試で書いたらどうなるのですか？
❌ですか？
一橋OBですが大変申し訳ない。文系ゆえオイラー関数とかガウス記号とかは受験期には習ってないのです笑
ガウス記号はやってないっけ？
OB(卒業生とは言ってない)
@@sage_goes1504
ごめん。普通に卒業生。
ガウス記号今どんな参考書にも大体載っていますよ！
@@てる-m8h
そうなんですか…
時代変わったんだなぁ。。
私が在学していたのはほぼ20年前なので。。失礼しました。
100以下の素数の個数が25個であることを求め、101から1000の900個の整数のうちの合成数の個数調べた方が分かりやすいかも
（まだ考察途中です）
数学Aの特徴:時にゴリ押しの列挙も必要。
初っ端これは怖いわ
Mやまでも完答できそうな問題だな
10個以下でも無理だろMやまは
@@初でイク それは流石に草
Mやまは書き出す
@@POWER-rj9vb 僕も流石に書き出すぐらいはしてくれると思ってます。全部書き出したら多分満点もらえると思います。
全部書き上げた答案の採点はどうするのか
文系の数学の第一問でこんな問題出してくるのって
出題者はひねくれものだな
これは解けなくても合格出来ると思うけど
大きい素数出したくないので自分は (7, 11, 13, 17, 19, 23)から重複ゆるして2つ掛けて21通り足しました。
100までの素数の個数(=25)を数えて、その後区間を100個ずつ区切った時に、その区間には25個以外しか素数がないのは明らかであり、しかも25×10=250であるから、1000以内には素数が250個以下しか存在しない。で示せたことにならんかなぁ‥
「明らかであり」のところで減点されるだろうなぁ
そうですね。「明らかであり」の所を作問者は如何にして論述してくるのかを見てると思うので、そこを流してしまうと大幅減点になると思います。
@@羚羊-s3r ですよねぇ。感覚的に明らかなことって逆にふわっとしていて示しにくい…
ごり押しで小学生でも解ける。ただし解答用紙が狭すぎてそれを書くことができないかも。
僕はオイラー関数を用いて解きました
この人が本気で大喜利したらどうなるんやろ