Без синусов алгебраически даже получил удовольствие от решения. Так как СК биссектриса, то выразил ВС через х, В1С тоже х. И х/1 то же, что и (х+з)/корень3. То есть з=(корень3-1)х. А там теорема косинусов, квадратичные уравнения, корни. В общем, долго, но круто. )
@ВикторВиктор-в7я в каком месте?😂 Ну, может, не пояснил, что использавалось свойтво биссектрисы делить сторону, на которую она опущена, пропорционально боковым сторонам. В данном случае эта пропорциональность учитывается коэффициентом x, который все равно сокращается.
Смотрим на рисунок в конце (чтобы буквы я мог назвать) и решаем устно - проводим КМ перпенд ВС и КН перпенд АС. КМ=КН треуг. КМВ с углами 30 и 60, находим КМ, из треуг АКН находим угол. Вот и все.
Можно сделать дополнительное построение, отложить на основании отрезки АК, равный 1 и отрезок КР, равный √3, потом соединить К и Р, с вершиной В, получим треугольник КВР, с углами ВКР=45°, КВР=60° и ВРК=75°, угол АВК=15°, угол РВС=45° скрадываем углы АВК+КВР+РВС, получаем 15°+60°+45°=120°. Остаток основания будет равен, 3+√3-1-√3=2.
1. На отрезке АС выберем точку М, такую, что МС=ВС. Тогда тр-ки KBC и KMC равны (по двум сторонам и углу между ними) и KM=KB=1; а угол KMC=120 гр. 2. Тогда, по теореме синусов для тр-ка AKM: sqrt(3)/sin60=1/sin@; откуда @=30 гр.
Не заморачивая голову решениями, только взглянув на чертёж, ответ мгновенный: a=30°. Треугольник равнобедренный с основанием, равным 3+√3. Возражения не принимаются!
@@WhiteDMaxwell Что тебе доказать? Бог есть? А ты его видел? На поле скосили пшеницу, ты суслика видишь? А он там есть! Смотри Казакова, потом сравни его результат с моим, я ничего тебе не обязан доказывать, я лишь констатирую факт! Опровергли!
@@МладшийЛейтенант-в8и Согласен, доказывать надо. Четвёртый признак равенства треугольников сомнительный для данной схемы, да и пятиклашка вряд ли знает. Тогда опустить высоту из точки О (пересечение биссектрисы со стороной) на сторону нового треугольника, полученного после отображения. Получим высоту, равную √3\2 (по теореме Пифагора), гипотенуза тогда √3 и искомый угол 30°. И треугольник со сторонами 1, √3, углом 60° получается прямоугольный. Я бы записал это свойство в учебники, как следствие.
В 87-88м годах мы в школе доказывали все три теоремы, по моему в 8м классе. А в 11 3ю теорему доказывали через минимум функции, как пример. Поэтому и использовал, как всем известное.
@@second3160 Переходим в векторную геометрию. Определяем катет как (по моему) разницу векторов. Его определяем как функцию длины от угла и ищем ее минимум. В результате окажется, что минимальная длина вектора при угле Пи-пополам, то есть треугольник прямоугольный. Это план решения. Я его делал...34 года назад!!! Вам наверное меньше лет! Вы думаете я помню все решение???
Как вариант, решаем записываем длину катета в сферических координатах и опять же минимизируем функцию. Но это уже 1й курс института, а не школа. В 8м классе хороший учитель загоняет три десятка теоремок на треугольники 30-60-90 и 45-45-90 с их сторонами и школьники на всю жизнь запоминают значения синусов косинусов и тангенсов углов 30,45,60
Люди, да что с Вами?! Свойство биссектриссы - делит стороны пропорционально отрезкам третьей стороны. ВС=х, АС = х*корень-из-3. Потом теорема синусов, и сразу же sinA=0.5. A=30
Из теоремы синусов можно сделать общий вывод : если в треугольнике отношение стороны напротив угла к стороне прилежащей углу равно синусу этого угла то угол напротив этой прилежащей стороны прямой !
Сэр, куда вы поехали, два перпендикуляра из одной точки не построить на прямую линию? Получится абракадабра! А вот из точки пересечения медианы из прямого угла на гипотенузу, можно построить описанную окружность. Это какая теорема доказывает? Зря вы не разрешение проводить перпендикулярны, а их можно было провести в этом треугольнике целую кучу, равную, хотя бы двум, один из вершины В, второй в точку пересечения биссектрисы правого угла с левой стороной треугольника. То же самое, можно сделать с правой стороной треугольника, отложить сверху от В к С, отрезок 1, и соединить эту точку с углом А, получим скрещивающиеся биссектрисы под углом в 150°. С описанной окружностью получится красиво и точно, только циркуль нужен хороший!
По-моему, "вариант от противного" вполне можно назвать обратной теоремой: треугольник с углом в 30 градусов, в котором одна прилежащая сторона в 2 раза больше противолежащей, всегда прямоугольный. Чем не теорема, если вариант доказывается и он единственный.
![[#2024MAMA] ROSÉ (로제), Bruno Mars - APT. | Mnet 241122 방송](http://i.ytimg.com/vi/dgGqD28J6aQ/mqdefault.jpg)
ССЫЛКА НА РОЛИК: ruclips.net/video/wWneK1PDVlA/видео.htmlsi=RFmzK7c040OXYaEs
Без синусов алгебраически даже получил удовольствие от решения. Так как СК биссектриса, то выразил ВС через х, В1С тоже х. И х/1 то же, что и (х+з)/корень3. То есть з=(корень3-1)х. А там теорема косинусов, квадратичные уравнения, корни. В общем, долго, но круто. )
Ну что ж, применим вчерашнюю подсказку.) Теорема синусов: √3x/sin120°=x/sinα, sinα=1/2, α=30°.
Бред написали
@ВикторВиктор-в7я в каком месте?😂 Ну, может, не пояснил, что использавалось свойтво биссектрисы делить сторону, на которую она опущена, пропорционально боковым сторонам. В данном случае эта пропорциональность учитывается коэффициентом x, который все равно сокращается.
Смотрим на рисунок в конце (чтобы буквы я мог назвать) и решаем устно - проводим КМ перпенд ВС и КН перпенд АС. КМ=КН треуг. КМВ с углами 30 и 60, находим КМ, из треуг АКН находим угол. Вот и все.
Это отличное решение! Пока лучшее из всех. Спасибо.
КВ = а,
Я поступил просто - поставил В1 так, чтобы В1С была равна ВС. Тогда сразу КВ1=1 (равные треугольники). А потом просто теорема синусов.
А чо не сразу теоремой синусов?
А что если свойство биссектрисы применить и теорему синусов на треугольнике без построений?
Можно сделать дополнительное построение, отложить на основании отрезки АК, равный 1 и отрезок КР, равный √3, потом соединить К и Р, с вершиной В, получим треугольник КВР, с углами ВКР=45°, КВР=60° и ВРК=75°, угол АВК=15°, угол РВС=45° скрадываем углы АВК+КВР+РВС, получаем 15°+60°+45°=120°. Остаток основания будет равен, 3+√3-1-√3=2.
👍
sinA/sin120° = 1/√3
2 sin A = 1
sin A = 1/2
A = 30°
1. На отрезке АС выберем точку М, такую, что МС=ВС. Тогда тр-ки KBC и KMC равны (по двум сторонам и углу между ними) и KM=KB=1; а угол KMC=120 гр.
2. Тогда, по теореме синусов для тр-ка AKM: sqrt(3)/sin60=1/sin@; откуда @=30 гр.
Просто "повернув" тр-к КВС вокруг бссектрисы получим тр-к КВ1С. Тогда угол КВ1А равен 60 как смежный с КВ1С и далее по теореме синусов все очевидно
Не заморачивая голову решениями, только взглянув на чертёж, ответ мгновенный:
a=30°. Треугольник равнобедренный с основанием, равным 3+√3. Возражения не принимаются!
Докажи.
@@WhiteDMaxwell Что тебе доказать? Бог есть? А ты его видел? На поле скосили пшеницу, ты суслика видишь? А он там есть! Смотри Казакова, потом сравни его результат с моим, я ничего тебе не обязан доказывать, я лишь констатирую факт! Опровергли!
Если угол розовый, то он 30 градусов!😊
Складываем по биссектрисе - угол 180-120=60 и стороны 1/✓3... Ответ 30
Треугольник со сторонами 1, √3, и углом 60°, почему он прямоугольный?
По теореме синусов?
Так задачка-то для 5го класса.
Также решил. Отображаем треугольник АКС на стороне КС, ответ мгновенный.
@@МладшийЛейтенант-в8и
Проведём высоту. ✓2/2 она же катет треугольника слева с гипотенузой ✓2. По любому 30 ;)
ЗЫ я страшный лейтенант запаса :)
Адам Каземирович, ты не прав. Доказательство должно присутствовать на бумаге.
@@МладшийЛейтенант-в8и Согласен, доказывать надо. Четвёртый признак равенства треугольников сомнительный для данной схемы, да и пятиклашка вряд ли знает. Тогда опустить высоту из точки О (пересечение биссектрисы со стороной) на сторону нового треугольника, полученного после отображения. Получим высоту, равную √3\2 (по теореме Пифагора), гипотенуза тогда √3 и искомый угол 30°. И треугольник со сторонами 1, √3, углом 60° получается прямоугольный. Я бы записал это свойство в учебники, как следствие.
В 87-88м годах мы в школе доказывали все три теоремы, по моему в 8м классе. А в 11 3ю теорему доказывали через минимум функции, как пример. Поэтому и использовал, как всем известное.
Пруфы в студию.
@@second3160 Деточка, по русски или по украински пожалуйста. Я ваш детский жаргон не понимаю.
@@B.Anthony
... 3ю теорему через минимум функции ...
докажите.
Дюже цикаво.
@@second3160 Переходим в векторную геометрию. Определяем катет как (по моему) разницу векторов. Его определяем как функцию длины от угла и ищем ее минимум. В результате окажется, что минимальная длина вектора при угле Пи-пополам, то есть треугольник прямоугольный. Это план решения. Я его делал...34 года назад!!! Вам наверное меньше лет! Вы думаете я помню все решение???
Как вариант, решаем записываем длину катета в сферических координатах и опять же минимизируем функцию. Но это уже 1й курс института, а не школа. В 8м классе хороший учитель загоняет три десятка теоремок на треугольники 30-60-90 и 45-45-90 с их сторонами и школьники на всю жизнь запоминают значения синусов косинусов и тангенсов углов 30,45,60
Люди, да что с Вами?! Свойство биссектриссы - делит стороны пропорционально отрезкам третьей стороны. ВС=х, АС = х*корень-из-3. Потом теорема синусов, и сразу же sinA=0.5. A=30
Из теоремы синусов можно сделать общий вывод : если в треугольнике отношение стороны напротив угла к стороне прилежащей углу равно синусу этого угла то угол напротив этой прилежащей стороны прямой !
/
А из теоремы косинусов:
если с²-а²-в²=0,
то cosC=0
и угол С прямой.
/
Можно и опустить перпендикуляры из точки К на АС и ВС ( продолжение ) , решение становится очевидным.
Спассибо. Согласен. Это хороший способ. Выше подробней описали.
//
2*Зелёный, Розовый, Чёрный.
sinЗ/√3=sinР/Ч;
sin120°/Ч=sinЗ/1;
Ч*sinЗ=sin120°;
sinР=(Ч*sinЗ)/√3;
sinР=sin120°/√3=½;
Розовый=30°
//
Задачка для 5го класса?
Без тригонометрии и т.синусов?
Как тут применить теорему синусов
@ВикторВиктор-в7я
Это вопрос?
Или восклицание?
sinA=sin120°*(BC/AC)=
=(√3/2)*(1/2)=½;
A=30°
@@МладшийЛейтенант-в8и вопрос
Ну ты мудрец конечно. Теорема косинусов в помощь.
Попробуйте. Мы ее применяли в прошлой задаче, в этой квадратное не очень, хотя решаемое.
Зачем чертить, если из свойств биссектрисы и теоремы синусов сразу ответ.
Сразу икаого ответа вы не получите. Напишите, если это не так.
х/sin a = x√3/sin 120@@GeometriaValeriyKazakov
Сэр, куда вы поехали, два перпендикуляра из одной точки не построить на прямую линию? Получится абракадабра! А вот из точки пересечения медианы из прямого угла на гипотенузу, можно построить описанную окружность. Это какая теорема доказывает? Зря вы не разрешение проводить перпендикулярны, а их можно было провести в этом треугольнике целую кучу, равную, хотя бы двум, один из вершины В, второй в точку пересечения биссектрисы правого угла с левой стороной треугольника. То же самое, можно сделать с правой стороной треугольника, отложить сверху от В к С, отрезок 1, и соединить эту точку с углом А, получим скрещивающиеся биссектрисы под углом в 150°. С описанной окружностью получится красиво и точно, только циркуль нужен хороший!
Не горячитесь, Константин. Все у нас верно. Вы что-то не так поняли, думаю, стоит посмотреть 2-й раз.
По-моему, "вариант от противного" вполне можно назвать обратной теоремой: треугольник с углом в 30 градусов, в котором одна прилежащая сторона в 2 раза больше противолежащей, всегда прямоугольный. Чем не теорема, если вариант доказывается и он единственный.
9 и 37 это не три секунды 😮
Вы победили!