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n^2+n+1=(n+3)(n-2) +7=(n+2)(n-1) +3=(n+1)•n +1(n+3)~(n-1)は連続5個の整数であり、その中に必ず5の倍数が存在する。よってn^2+n+1は5の倍数でないことが示された。
あるいは、n^2＜5^m＜(n+1)^2より、mは奇数。∴n^2+n+1≡ -1 mod3n^2+n+2=(n+2)(n-1)+4=(n+1)n +2より、n^2+n+2は3の倍数でない。よって題意は示された。
判別式でやることもできるな…
そもそも左辺が５の倍数になりえないんだから、右辺が余計な気がする問題。左辺 ＝ n(n+1)+1 = (n+2)(n-1)+3 = (n+3)(n-2)+7 ってやった時点で、n-2~n+2のどれかは5の倍数だから左辺はmod5で1,2,3のどれかだと分かる。
普通に平方完成して平方内の分母を払うように整数を掛けることと同じですね。
合同式を4倍する場面を見たとき「≡0でない物が4倍したせいで≡0になる可能性は？ 4倍した物が≡0でも元が≡0だと言い切れるのか？」と戸惑いました。4倍するのなら合同式にする前にして、4 n^2 + 4n + 4 = 4*5^m にして (2n+1)^2 + 3 = 4*5^m してから合同式を使った方が紛れが少ないのではないか？と思います。(2n+1)^2 + 3 を5で割って余りが出るとわかった時点で等号不成立と断定していいことが一目瞭然だからです(4の倍数か否かに関係なく、等号不成立であることが一目瞭然)。もし、5で割り切れるとなってしまうと、等号成立か否かが4の倍数かに依存して面倒なことになりますが、4倍した場合は、幸い、5で割って余りが出てくれるから、等号不成立を示せばいいだけなので4の倍数かは関係なく簡単です。因みに、100倍した物が5で割り切れるけど、元の式は5で割り切れない、という状況が、丁度、(10n+5)^2 + 75 は5で割り切れるけど、4で割り切れないことから、等号不成立だと判明する状況なのです。なお、なぜ4で割り切れるのか見るのかというと、5^m の100倍が 4*5^(m+2) だからです。
両辺にn+1を掛けたらn^3+1が5の倍数であることがわかり、また両辺にn-1を掛けたらn^3-1も５の倍数であることがわかるので、(n^3+1)-(n^3-1)=2も５の倍数ということになるから矛盾という示し方もあると思う
5^mどころか、5mとなる自然数mもないということかと思いますが、そういう問題だとModが見え透いてますね。
n=5k＋0～4に場合分けすれば楽勝か
このやり方は知りませんでした👏問題自体はn≡0～4代入で解きました
この問題は n^2+n+1 が 5の倍数にならないことを示すのがポイントだったわけですが、mod 5 でやるなら平方完成は(nが自然数、もっと広く整数ということから)n^2+n+1 ≡ n^2+n+1-5n = n^2-4n+1 = (n-2)^2-3 ≡ (n-2)^2+2 ≡ 2,3,1 またはn^2+n+1 ≡ n^2+n+1+5n = n^2+6n+1 = (n+3)^2-8 ≡ (n+3)^2+2 ≡ 2,3,1 でもいいですね。
こういう整数問題はプログラミングとも親和性が高いですね。旧センター試験のBASICや最近話題のPythonとかも扱って欲しいです。貫太郎愛用のホワイトボードとは相性は悪そうですが。
n=5k,5k+/-1,5k+/-2とおき、それぞれのケースで左辺の5を法にする合同式を検討。すべてのケースで0にならず、5の倍数という必要条件を満たさない。
すごー！！
それは知らなかったｗじゃぁ、二次方程式の解の公式の導出もこれでやったらどうなるのだろう？任意の式ax^2+bx+c=0に2^2*a^2を掛ければ…4a^2x^2+4a^2bx+4a^2c=0になって…かえってややこしいか（爆）
久々の午前中コメント。といいつつ昼も近いですが。出題については mod 5 で処理。この程度であればすべての場合を列挙しても大して手間にはなりませんでした。平方完成については、1次の項が奇数だとちょっと思いつきにくいですね。今回の秘技は貫太郎流奥義としてしっかりマスターしたいところです。本日も勉強になりました。ありがとうございました。
昨日の合同式の問題解いたから、これも合同式と思った解いたら簡単でした。 でも昨日の問題解かなかったら合同式を思いつかず、私は無理だったかもしれませんね。
平方完成のいいこと聞いちゃった
新たな時短引き出し
nの2次方程式と見て、判別式Dが4·5ᵐ-3≡2 (mod.5) だから平方数ではないが、最初に見えてしまった
おはようございます。与式を100倍して平方完成し任意のnに対して≡0(mod5)とやるとアウトですね。mod5の5と4倍の4が互いに素という条件が必要でしょう。
すみません、100倍したら成り立たたない理由をもう少し詳しく教えていただけないでしょうか(図々しくてすみません)
@@salvage749 さま本編の解法は左辺4倍で4n^2+4n+4=(2n+1)^2+3整数を5で割った余りは0,±1.±2しかないので整数の自乗を5で割った余りは0と±1しかありません。これに3を足しても3,2,4(=-1)となるのでmod5が0になることはないので4n^2+4n+4は5で割り切れないとなって元のn^2+n+1も5で割り切れない、となり題意が成立するのですが、左辺100倍すると100n^2+100n+100=(10n+5)^2+75となって平方完成してもnに何を入れてもmod5では0、じゃあ元のn^2+n+1はnに関係なく5で割り切れる・・・かと言うとそうではない。なんか変?という話になります。
@@watch-sum だから5と4が互いに素なのが必要なんですか？
5^m(mは自然数)の一の位が確実に5になるから、{(5^m)-1} の一の位は確実に4(n^2)+n = n(n+1) = (5^m)-1で隣り合う2つの自然数の積の一の位が4になるものが無ければ証明できそうだと思いました1×2、2×3、3×4、…、10×11、11×12いずれも一の位が4になることがなかったのですが、これでは証明できてないのかな…？ただmodは盲点だったので= 5mだったら俺解けなかったかも…
mod5がすぐにうかびました。平方完成の手法は強力ですね。
ほほーいい問題ですね5mとしてもいいけどそうするとmodを使うのがバレバレなので問題としての難易度が全然変わるんですね…
「mod 5」だと、方針はすぐ立ちました。ただし、平方完成までには考えが至らず、地道に分類して解きました。時短テクニックはまだまだあるんですね！。
貫太郎流解の公式
平方完成って頂点求める時しか使わないイメージだったから、平方数にしたい時に使えるとは思ってなかった！
問題よりもタイトルの方が気になっちゃったよ（笑）。
この発想はなかったなぁ。勉強させていただきました！！これ知ってればラクになること多そう。かく言う自分は全てのパターンを確認して面白みがなかったので工夫したいものです…
modを使えば平方完成も簡単にできるのか便利すぎんか
この問題だと「普通に n に 0, ±1, ±2 を 代入して1, 2 ± 1, 5 ± 2 になるからアウト」とやっても差が出ないなもっと複雑な式でmodの値が大きかったら、平方完成で差が出るかも
nの関数とみて判別式が平方数になるのが必要条件を使いましたが、あってますか？？
nは自然数なんで、グラフ書いても連続してないです
@@1-4-7s でも、必要条件にはなりませんか？？
間違えました十分条件です
余り関係の整数問題初めて解けた
今日の問題は比較的簡単に解けたのですがサムネにある平方完成（ヒント？）の使いところがわかりませんでした
MOD 0〜4をいちいち代入せずに計算手数も手間も省ける
左辺をn(n+1)+1と変形して連続した整数を掛けて１の位が4になることがないことを示すのはどうでしょう？(左辺の1の位が5になりえないことを示す)
5になることがないではないですか？？
@@salvage749 5だと１足して左辺の和の１の位が6になりえないことになってしまうのでは？
@@herohero867 あ、一足して4かと思ってました…すみません
5^n-1の下一桁は常に4、連続自然数の積の下一桁が4にならないことを示すには10通りの計算式を示す必要がある。4×5^n-3の下一桁を使えば5通りの計算式で済む
タイトルが難易度を下げてる。左辺が5の倍数にならないんだろうな、という方針で合ってた
きょうは朝から所用のため、いつもよりかなり早い時間ではありますが、動画視聴ならびに答案のPDFアップを済ませました。note.com/pc3taro/n/n7ca98ee31734両辺を4倍した後に左辺を平方完成すれば、項が3項ではなく2項しかないですから、左辺が5の倍数とはならないことを示すのは容易ですね。
おはようございます。平方完成の裏技も伝授してもらい、感謝します。
解答内で特に断りなく合同式って使っていいんですかね？
単純に(n+1/2)^2=5^m+3/4と変形してこれを満たす自然数が存在しないでは弱い？平方完成て言われなければ谷山志村予想からアプローチするところでした(すっとぼ)
普段、古典詰将棋はどこで入手していますか？
おはようござます。modで瞬殺です。明日の問題は平方完成に係る問題かな？明日もよろしくお願いします。
おはようございます☀
似た問題昔投稿してた気するンゴ
おはようございます。この手法については、古賀真輝さんも、”今週の定理・公式＃１（２次方程式の解の公式）” で紹介されていましたね。 👉 ruclips.net/video/2cDkAKYI0n4/видео.html
自然数は出はなく整数ならば0,0が存在？
グラフをが(0,1)以外で交わらないではダメ？
なるほど。
なんて便利な平方完成！∑(ﾟДﾟ)その裏技、学生時代に知りたかったw
おはようございます。
自然数問題もういいよｗ飽きたよｗｗｗ
n^2+n+1
=(n+3)(n-2) +7
=(n+2)(n-1) +3
=(n+1)•n +1
(n+3)~(n-1)は連続5個の整数であり、その中に必ず5の倍数が存在する。よってn^2+n+1は5の倍数でないことが示された。
あるいは、n^2＜5^m＜(n+1)^2より、mは奇数。
∴n^2+n+1≡ -1 mod3
n^2+n+2
=(n+2)(n-1)+4
=(n+1)n +2
より、n^2+n+2は3の倍数でない。よって題意は示された。
判別式でやることもできるな…
そもそも左辺が５の倍数になりえないんだから、右辺が余計な気がする問題。
左辺 ＝ n(n+1)+1 = (n+2)(n-1)+3 = (n+3)(n-2)+7 ってやった時点で、n-2~n+2のどれかは5の倍数だから左辺はmod5で1,2,3のどれかだと分かる。
普通に平方完成して平方内の分母を払うように整数を掛けることと同じですね。
合同式を4倍する場面を見たとき
「≡0でない物が4倍したせいで≡0になる可能性は？ 4倍した物が≡0でも元が≡0だと言い切れるのか？」と戸惑いました。
4倍するのなら合同式にする前にして、4 n^2 + 4n + 4 = 4*5^m にして (2n+1)^2 + 3 = 4*5^m してから合同式を使った方が
紛れが少ないのではないか？と思います。(2n+1)^2 + 3 を5で割って余りが出るとわかった時点で等号不成立と断定していい
ことが一目瞭然だからです(4の倍数か否かに関係なく、等号不成立であることが一目瞭然)。
もし、5で割り切れるとなってしまうと、等号成立か否かが4の倍数かに依存して面倒なことになりますが、
4倍した場合は、幸い、5で割って余りが出てくれるから、等号不成立を示せばいいだけなので4の倍数かは関係なく簡単です。
因みに、100倍した物が5で割り切れるけど、元の式は5で割り切れない、という状況が、丁度、
(10n+5)^2 + 75 は5で割り切れるけど、4で割り切れないことから、等号不成立だと判明する状況なのです。
なお、なぜ4で割り切れるのか見るのかというと、5^m の100倍が 4*5^(m+2) だからです。
両辺にn+1を掛けたらn^3+1が5の倍数であることがわかり、また両辺にn-1を掛けたらn^3-1も５の倍数であることがわかるので、(n^3+1)-(n^3-1)=2も５の倍数ということになるから矛盾という示し方もあると思う
5^mどころか、5mとなる自然数mもないということかと思いますが、そういう問題だとModが見え透いてますね。
n=5k＋0～4に場合分けすれば楽勝か
このやり方は知りませんでした👏
問題自体はn≡0～4代入で解きました
この問題は n^2+n+1 が 5の倍数にならないことを示すのがポイントだったわけですが、
mod 5 でやるなら平方完成は(nが自然数、もっと広く整数ということから)
n^2+n+1 ≡ n^2+n+1-5n = n^2-4n+1 = (n-2)^2-3 ≡ (n-2)^2+2 ≡ 2,3,1
または
n^2+n+1 ≡ n^2+n+1+5n = n^2+6n+1 = (n+3)^2-8 ≡ (n+3)^2+2 ≡ 2,3,1
でもいいですね。
こういう整数問題はプログラミングとも親和性が高いですね。旧センター試験のBASICや最近話題のPythonとかも扱って欲しいです。貫太郎愛用のホワイトボードとは相性は悪そうですが。
n=5k,5k+/-1,5k+/-2とおき、それぞれのケースで左辺の5を法にする合同式を検討。すべてのケースで0にならず、5の倍数という必要条件を満たさない。
すごー！！
それは知らなかったｗ
じゃぁ、二次方程式の解の公式の導出もこれでやったらどうなるのだろう？
任意の式ax^2+bx+c=0に2^2*a^2を掛ければ…
4a^2x^2+4a^2bx+4a^2c=0になって…
かえってややこしいか（爆）
久々の午前中コメント。といいつつ昼も近いですが。
出題については mod 5 で処理。この程度であればすべての場合を列挙しても大して手間にはなりませんでした。
平方完成については、1次の項が奇数だとちょっと思いつきにくいですね。
今回の秘技は貫太郎流奥義としてしっかりマスターしたいところです。
本日も勉強になりました。ありがとうございました。
昨日の合同式の問題解いたから、これも合同式と思った解いたら簡単でした。
でも昨日の問題解かなかったら合同式を思いつかず、私は無理だったかもしれませんね。
平方完成のいいこと聞いちゃった
新たな時短引き出し
nの2次方程式と見て、判別式Dが
4·5ᵐ-3≡2 (mod.5) だから平方数ではない
が、最初に見えてしまった
おはようございます。
与式を100倍して平方完成し任意のnに対して≡0(mod5)とやるとアウトですね。
mod5の5と4倍の4が互いに素という条件が必要でしょう。
すみません、100倍したら成り立たたない理由をもう少し詳しく教えていただけないでしょうか(図々しくてすみません)
@@salvage749 さま
本編の解法は左辺4倍で4n^2+4n+4=(2n+1)^2+3
整数を5で割った余りは0,±1.±2しかないので
整数の自乗を5で割った余りは0と±1しかありません。これに3を足しても3,2,4(=-1)となるので
mod5が0になることはないので4n^2+4n+4は5で割り切れないとなって
元のn^2+n+1も5で割り切れない、となり題意が成立するのですが、
左辺100倍すると
100n^2+100n+100=(10n+5)^2+75となって平方完成してもnに何を入れてもmod5では0、
じゃあ元のn^2+n+1はnに関係なく5で割り切れる・・・かと言うとそうではない。なんか変?という話になります。
@@watch-sum だから5と4が互いに素なのが必要なんですか？
5^m(mは自然数)の一の位が確実に5になるから、{(5^m)-1} の一の位は確実に4
(n^2)+n = n(n+1) = (5^m)-1で
隣り合う2つの自然数の積の一の位が4になるものが無ければ証明できそうだと思いました
1×2、2×3、3×4、…、10×11、11×12
いずれも一の位が4になることがなかったのですが、これでは証明できてないのかな…？
ただmodは盲点だったので
= 5mだったら俺解けなかったかも…
mod5がすぐにうかびました。
平方完成の手法は強力ですね。
ほほーいい問題ですね
5mとしてもいいけどそうするとmodを使うのがバレバレなので問題としての難易度が全然変わるんですね…
「mod 5」だと、方針はすぐ立ちました。ただし、平方完成までには考えが至らず、地道に分類して解きました。時短テクニックはまだまだあるんですね！。
貫太郎流解の公式
平方完成って頂点求める時しか使わないイメージだったから、平方数にしたい時に使えるとは思ってなかった！
問題よりもタイトルの方が気になっちゃったよ（笑）。
この発想はなかったなぁ。勉強させていただきました！！
これ知ってればラクになること多そう。
かく言う自分は全てのパターンを確認して面白みがなかったので工夫したいものです…
modを使えば平方完成も簡単にできるのか便利すぎんか
この問題だと
「普通に n に 0, ±1, ±2 を 代入して
1, 2 ± 1, 5 ± 2 になるからアウト」
とやっても差が出ないな
もっと複雑な式でmodの値が大きかったら、平方完成で差が出るかも
nの関数とみて判別式が平方数になるのが必要条件を使いましたが、あってますか？？
nは自然数なんで、グラフ書いても連続してないです
@@1-4-7s でも、必要条件にはなりませんか？？
間違えました十分条件です
余り関係の整数問題初めて解けた
今日の問題は比較的簡単に解けたのですが
サムネにある平方完成（ヒント？）の使いところがわかりませんでした
MOD 0〜4をいちいち代入せずに
計算手数も手間も省ける
左辺をn(n+1)+1と変形して連続した整数を掛けて１の位が4になることがないことを示すのはどうでしょう？(左辺の1の位が5になりえないことを示す)
5になることがないではないですか？？
@@salvage749 5だと１足して左辺の和の１の位が6になりえないことになってしまうのでは？
@@herohero867 あ、一足して4かと思ってました…すみません
5^n-1の下一桁は常に4、連続自然数の積の下一桁が4にならないことを示すには10通りの計算式を示す必要がある。
4×5^n-3の下一桁を使えば5通りの計算式で済む
タイトルが難易度を下げてる。
左辺が5の倍数にならないんだろうな、という方針で合ってた
きょうは朝から所用のため、いつもよりかなり早い時間ではありますが、動画視聴ならびに答案のPDFアップを済ませました。
note.com/pc3taro/n/n7ca98ee31734
両辺を4倍した後に左辺を平方完成すれば、項が3項ではなく2項しかないですから、左辺が5の倍数とはならないことを示すのは容易ですね。
おはようございます。平方完成の裏技も伝授してもらい、感謝します。
解答内で特に断りなく合同式って使っていいんですかね？
単純に(n+1/2)^2=5^m+3/4と変形してこれを満たす自然数が存在しないでは弱い？
平方完成て言われなければ谷山志村予想からアプローチするところでした(すっとぼ)
普段、古典詰将棋はどこで入手していますか？
おはようござます。modで瞬殺です。明日の問題は平方完成に係る問題かな？明日もよろしくお願いします。
おはようございます☀
似た問題昔投稿してた気するンゴ
おはようございます。
この手法については、古賀真輝さんも、”今週の定理・公式＃１（２次方程式の解の公式）” で紹介されていましたね。 👉 ruclips.net/video/2cDkAKYI0n4/видео.html
自然数は出はなく整数ならば0,0が存在？
グラフをが(0,1)以外で交わらないではダメ？
なるほど。
なんて便利な平方完成！∑(ﾟДﾟ)
その裏技、学生時代に知りたかったw
おはようございます。
自然数問題もういいよｗ
飽きたよｗｗｗ