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伝説のの良問１００amzn.to/39SqYow
ルートが付いてるときはiになることを考慮して指数部が4の倍数、ルートが付いてないなら-1になることも考慮して指数部が2の倍数になる場合も確認しないといけない。初見で気がつくのは難しいよなあ。
limxˣ(x→+0)だけを考えれば0⁰=1になりそうだけど、0⁰は基数や指数の数をどう0に近づけるかによって様々な値が得られる。{e^(-1/x)}ᵃˣの+0の極限はe⁻ᵃとなるので、0⁰を任意の数値に持っていける。だから0⁰は不定（定義できない）っていう考えもありますね。
答え3つ出して満足してしまいました😇
初手で対数を取ろうと考えれば、真数条件から(n^2-9n+19) > 0 が全ての自然数において成り立つのか考える必要性が生じることと、負の場合 (⇔ n = 4または5のとき)は(与式)は成立しないかどうか具体的に値を入れて確かめて示すべきだと思いますので、個人的には良い問題だと思います。
0:31 「ここから今から倫理です」でいきなりアリストテレスを読み出したかとおもいました。僕の好きな本は「素数に憑かれた者たち」です。
本日共通テスト模試があるので、勘太郎さんの動画で学んだ事を活かして頑張ります。
2000年代に先生が紹介された安田さんの本を読んで、そのコラムの問題に面食らったのを思い出しました。2020年代に入っても時々読んでいます。
nが自然数限定なのは不思議な条件正の実数でも良い気がするし実数だけの方が問題として面白い気がする
備忘録70G"【 通常は実数の範囲 】 (両辺)＞0 より平方して、与式 ⇔ ( n²－9n＋19)^( n²＋5n－14 )＝ 1 ⇔ (底)＝ n²－9n＋19＝ 1, または (指数)＝ n²＋5n－14＝ 0 ⇔ ( n－3 )( n－6 )＝ 0, ( n＋7 )( n－2 )＝ 0 n∈自然数 より、n＝ 3, 6, 2 ■ 【 複素数の範囲 】 n²－9n＋19＜0 のとき、√( n²－9n＋19 ) ＝ √(－n²＋9n－19 ) i このとき、 与式の 両辺の絶対値をとって (－n²＋9n－19 )＝ 1 ⇔ ( n－4 )( n－5 )＝ 0 が必要である。n＝4 のとき、i^22＝－1 となって適さない。n＝5 のとき、i^36＝ 1 となって適する。以上より、n＝ 3, 6, 2, 5 ■
問題によっては√-1=iとするみたいなことが書いてあるし、普段は実数の世界に生きているわけだから咄嗟に虚数を考えるのは経験しないと難しいかもしれませんね。
おはようございます。貫太郎さんの動画のおかげで、交通事故を回避できました。隠れた条件を如何にあぶり出すかが、数学の面白さですね。明日もよろしくお願いします。
本日もありがとうございました。安田先生の本からでしたか。。大学への数学を３０年以上前に夢中になったのを思い出しました。明日も楽しみにしております。
√の中身が1でも-1でも因数分解できるようになっているので、やはり出題者は複素数まで意図してるんだろうなぁと思いました。入試問題として良問が悪問かは私にはなんとも言えませんが、面白かったです。ありがとうございました。
そっか、虚数単位ℹ︎は4乗してようやく1になるのかぁそこ間違えて二乗で計算してた笑
0^0について。べき乗を、実世界の何らかのモデルで表せる範囲で定義すると、x^1 = x, x^n = x^(n-1) * x です。この定義が逆方向にも成り立つことにして、つまり x^1 = x^0 * x として、x≠0 のときのみ x^0 = 1 と確定し、x=0 のときは不定とするのがスマートです。x^x の極限値は1ですが、それは、△^○の△と○が同じだからで、2者が異なってても共に0に向かうのなら0^0と認めるべきだと思います。そうなると、△と○の決め方で△^○の極限値は様々な値になるので、0^0は不定だと思います。
今日は暗算で解けました。……ってドヤろうと思ったら、最後のそれが抜けてました。悔しい！
一時停止違反ぐらいの事故。
それで差がつくのが入試だし、そういう問題を作るのが出題者の力量ではないかと！（いくら「性格が悪い」と言われようが！）
学習院の問題は知りませんでしたが，タイトルが「いわくつき」なので，虚数のケースを考えるのかな？という感じしました。ルートの中身が負となるケースについては，ルートの中身
おはようございます。"√の中身を虚数にまで広げて考えるかどうか？" というところで、大学（経済学部＝文系です。）時代に、三角関数の逆関数にまつわる証明問題で、「この関数を微分すると常にゼロになるので、定数関数だから、…。」と "ドヤ顔" で説明していたら、「そもそも、この関数は連続なのですか？」と突っ込まれ、言葉に窮したことを思い出しました。
@@あいうえお-g4w8o さん「そもそも微分可能なのですか？」という質問だったかも…。いずれにせよ、私が式の "上っ面" だけをみてテクニックに走るような態度でいたので、「問題の本質を考えなければいけないよ。」と、仰りたかったのでしょう。経済学部とはいえ、"近代経済学の（西の）牙城" を標榜するような大学だったからこそ、「数学を単なる "道具" と考えているようではダメだ。」というメッセージだったのかも知れませんね。
安田先生の主張のとおり、複素数の範囲についてコメントしてしまうと、ほとんどの人が解けるのではと感じます。また、何でもかんでもルートの中は正としてしまうのもいかがなものかとも。 あえて選んだのか、それとも論争を知らず出題したのかは少しだけ興味あります…
ルートの中身が負の可能性に気づいていたが事故に遭いました
０^0は多分lim(x->0)x^x が収束すれば定義できるように思います。1に収束してほしいですが、収束することを示すほどの力はありません。たくみさんとのコラボでご教授いただきたいです。
f(x)=x^x(x>0)自然対数を取ってln(f(x))=x・ln(x)t=1/xとおくと、x→+0⇔t→+∞でx・ln(x)=1/t・ln(1/t)=-ln(t)/t→-0(t→+∞)つまりln(f(x))=x・ln(x)→0(x→+0)指数関数や対数関数の連続性より、fn(x)=exp(ln(f(x)))→exp(0)=1(x→+0)よって、x^x→1(x→+0)
@@smbspoon-me-baby さん ご教授ありがとうございます。現役の方でしょうか。中年になると方針は見えても解にたどりつけないもどかしさがあります。勉強になりました。
@@hasebetoshiaki9338 さん42歳無職(ガチ)です。笑学生時代に心をやられて数学を一回捨てましたが、やっぱり好きなんで戻ってきました。
ありゃ それは見落とすねこういうひっかけ好き好き
医学部にしては簡単だと思ったらこういう落とし穴がありましたか。人為ミスによる医療過誤を防ぐため、とことん注意を怠らない学生を取りたいという大学の意図でしょうか？
むしろ虚数の発見みたいに新しい治療法を見いだせみたいな意図もありなん
面白い問題でした。
よし、これで全部だろ、と意気揚々と再生ボタンをクリック。途中、愛が出てきた所でハタと気付いた、しまった、偶数乗じゃなくて４乗じゃん。う～む、チェックが甘くて残念。昨日の問題、図形なら簡単だけれど、計算すると超メンドイ・・正しい計算結果が出るまで４、５回計算しなおし。もっと良い計算方法無いのかとまだ思案中。
複素平面で回転させるのなら、極座標形式にしてexp(iθ)を掛け算すれば比較的簡単にできると思います。
@@tetsuro6733 貴方の式を見たのですが、(z-z₀)の引き算をどう計算するのか判らなくなりました。
@@遥未來 さんへ省略せずに書くとこんな感じでしょうか？z＝exp(i・13π/12)w＝exp(i・17π/12)(z－z0)・exp(i・π/6)＝w－z0としてz0・(1－exp(i・π/6))＝w－z・exp(i・π/6)＝exp(i・17π/12)－exp(i・13π/12)・exp(i・π/6)＝exp(i・17π/12)－exp(i・15π/12)＝exp(i・15π/12)・(exp(i・π/6)－1)となるので両辺を 1－exp(i・π/6) で割ってz0＝－exp(i・15π/12)＝－exp(i・5π/4)＝exp(i・π/4)
@@tetsuro6733 なるほど、うまいこと変形できるものだ。ありがとうございました。
√の中身がマイナスのことは想定してませんでした。なかなか奥が深いですね。貫太郎さんは√の中身を-1だけ計算してますが、例えば(cos60°＋i･sin60°)^6=1のような感じの複素数にならないことって証明できるのでしょうか？nが自然数だから虚数になる場合は実数部分が出てこないってことでしょうか？
nが自然数で且つ、√中身は整数係数なので、√の中身は整数にしかならない、ということでは。
それに加えて√の中身が1限定指数部分が0限定なのも気になるそれ以外の組み合わせで1にならない論証は不要なの？
@@写楽保介-y8e 実数だけで考えていいのであれば、それは証明可能です。この後の記載を便利にするために、√の部分をx、乗数部分をyとします。x>1のとき、f(y)=x^yのグラフはf(0)=1かつ単調増加、逆に0
y=x^xのグラフの0極限が1であるから0^0=1が有力？って聞いたことがあります！
指数部分が、(n^2+5n-14)/2=(n-2)(n-3)/2 +5(n-2)、即ち整数になるというのが本問の肝だと思われる。これにより、整数^整数となり、安全に解くことができる。仮に、指数部分が奇数/2の形だったら、実数範囲に絞らないと解けない（十分性を満たさない）形になっていた。と思う…
複素数範囲ならば、√1=1or -1、√-1= i or -i にする必要があると思うんだが、間違ってるだろうか？
それとも、√xとx^1/2は違うものと見なすのか？
これ、当時の学習院大の受験生（今はたぶん准教授くらいでしょうか）が敢えて出題したのではないか、と勘ぐってしまいます。おっしゃるように、医者たる者、研究や診療・診察に当たっては先入観を持たずにあらゆる可能性を考慮せよという趣旨で。ところで0^0の話ですが、0^0=lim[x→0]x^xと考えればそれは1なので、0^0=1が判りやすい（素直な？）定義だと思います。が、しかし、もうちょっと幅を広げて考えると、0^0=lim[x→0,y→0]x^yと考えることもできて、xとyは独立に動き得る(!)ので、必ずしも1とは限りません。と言う訳で、「どのように定義するか」ということであって、「どれが正解か」ということではないのでしょう。（とは言っても、私は0^0=1派です）
おはようございます。問題を解く際の場合分けが、とても難しかったです。勉強になりました。 貫太郎先生ありがとうございました。
いや〜虚数はやらしすぎやろw
何にも書いてないなら全て考えても間違いじゃないもんな良問というよりは教訓だな
これ思ったわ普通にルートの中身正で考えちゃった。明日受かってると良いな
条件出しは合ってたのに単純な計算ミスでn=5を飛ばしてしまった...
虚数iに関する問題なら、注釈に「ただしiはi^2＝ー１となる虚数単位」と断りを入れるのが普通、という主張なんでしょうかねにしてもこの問題、どのみち問題としての面白みには欠けますよね・・・
安田亨先生ですか、貫太郎さん、毎年出てる「大学入試良問集」「大学入試問題解答集」などを購入して、動画のネタ探してそう
(1)まず、指数から、(n+7)(nー2)=0、n=2がでます。(2)次に、√の中身が、n^2ー9n+19=1、(nー3)(nー6)=0、この方程式から、n=3、6の2根がでます。(3)また、√の中身が、n^2ー9n +19=ー1のときも、考えられます。このときは、√(ー1)=i(虚数単位)、ここで、余談ですが、iには、色々、面白い計算が出来ます。i^i=(e^(iπ/2)^(i)=e ^(-π/2)>0となり、実数となります。方程式の話 に戻りますが、(3)の条件の両辺を2乗すると、(n-3)(n-6)(n-4)(n-5)=0、これより、n=3,4,5,6がでますが、この解の中で、√の中身が-1になり、指数が4の倍数のとき、1になりますから、条件にかなうのは、n=5となります。以上のことから、(1)、(2)、(3)、よりn=2、3、5、6が解になります。
0乗は、乗法単位元である「1」に「何も掛けない」から1なのではないですか？だから0の0乗は1でいいのではないかと。（でも除法との整合性がとれないか…）
出題者の出した解答で√内が実数迄か虚数も含むか判りますね
うーん同値変形でいくなら(√x)ʸ=1オイラーの定理からe^(2πni)=1より(√x)ʸ=e^(2πni)対数とってx≠1の時、y=4πni/(logx)}又はx=1書き直すとx≧0の時x=1かyは整数なのでn=0つまりy=0しかない。次にx
問題見た感じではn=3、4、5、6かなでも4は違うかオマケでn=2も指数がゼロになるのでこれも答え
今日は珍しく出来た！と思ったらルートの中が虚数もありというのがすっぽ抜けww医大の問題にしては超絶やさしいち思っていたがww50年前の現役時代に解けていただろうか？
見掛け倒しのような気がします。ルートの中が１になるが、指数の肩が０になるしかこの方程式は満たしません。前者を満たすnはなく、後者を満たすnは存在して、それが解と思います。その解でルートの中が正であることを示すの忘れなけれいいように思います。簡単すぎて、落とし穴がありそうな気がしますので、これから動画を見ます。
複素数もありというのは、落とし穴にしても意地悪。nは自然数といっている時点で、自然数問題と解しるのが自然と思います。
0^0は0^n/0^n(≠0) =0/0で解なしと思っております
0/0って解なしなんですか？
@@メロン-f4x ゼロ除数と同じですね。未定義なので「解なし」と表現しました
これは良問かもしれない
そもそも高校の教科書に√-1=iって書いてありますっけ？2乗して-1になる数のうちの1つをiと定義するのであって√は正負の概念が入ってきそうでこわい...
数学IIの教科書にて、虚数の導入部で「aを正の数とするとき、\sqrt{-a}=\sqrt{a}i と規約する。」旨の記載はありますね。
ほんとですね！学びの機会をありがとうございます！i^2=√(-1)×√(-1)=√(-1)×(-1)=√1=1こんな風に表記するとルートの計算法則が成り立たないので負が入るルートだと気をつけなきゃって思いました。
歴史は繰り返す。受験のときに出来なかった出題者が、その時の事を根に持ってつくったのかも？。カッコ内が負になる場合を見落としそうですね。
"根"に持って か。面白い
(n²-9n+19)^((n²+5n-14)/2)と変形してみたらなんとなく納得がいきますね。
ただいま午前3時20分頃。ひと月前だとこの時間帯に机に向かっていると、相当暖房を強めにしないと寒くと勉強どころではありませんでしたが立春を過ぎると弱めの暖房でも十分。季節が進んでいくのを感じます。「いわくつき」とあったのでルートの中が −1 になる場合も検討しましたが、「いわくつき」が無かったら√の中身は1しか検討しなかったかも知れません。伝説の良問100 は持っているので該当ページを読んでみると、結構未練タラタラ感がしますね。著者の安田 亨 さんは結構受験界では有名？なんで、屈服しなかった大学側も出題者の意地なのでしょうか？個人的には √ の中が −1 も検討するのが健全な姿勢で、「交通事故」云々は言い訳に感じましたが。「交通事故」みたいな物って、恋に落ちる以外はそんなに無いはず？本日も勉強になりました。ありがとうございました。
普通にこの問題ミスってたけど正規合格してた！
おめでとうございます。
@@kantaro1966 ありがとうございます。いつもお世話になっております。これからもよろしくお願いします。
今年の第1問もお願いします。
懐かしい本。というか、なぜ私の本には学習院の問題が載っていないのか・・できればページ数、教えていただきたいです☺
159ページです
コラム☺お手数おかけしました。ありがとうございます
本日、慶應義塾志木高校の入試日ですので今年の入試問題の幾つかを近いうちに解いて頂きたいです
週末のため、遅くなりましたが、動画視聴ならびに答案のPDFアップを済ませました。note.com/pc3taro/n/na17b2612f665「根号内が 1 に等しいとき」「指数が0 に等しい かつ 根号内が 0 以外の整数であるとき」「根号内が −1 に等しい かつ 指数が 4 の倍数であるとき」という3つの場合が考えられますが、第3の場合を見落としやすいですね。ちなみに類題は他者が以前動画にアップされていましたが、その方はRUclipsアカウント（紐つけられたTwitterアカウントも。）を消してしまいましたね…。
イカンイカン、n＝2を抜かしちゃってる❗何やってんの（笑）？赤字の学習院の問題の方の字が薄くてよく分からんなぁ。
この問題は見かけはともかく、良問だと思います。場合分けの繊細さが求められる、医師としての素質を求める問題と言えば、ちょっと褒めすぎでしょうけど・・・。さらに言うなら、この程度の問題であれば、京大などに出しても差はつかないが昭和大学だからこそ差がつくという・・・、あ！これって差別発言になります？それなら撤回して削除します・・・。(ｵﾏｴﾊ ﾓﾘ ﾖｼﾛｳ ｶ!）
ありとあらゆる可能性を考慮せよ、というのであれば、かつてマイクロソフト社の入社試験で出されたこんな問題も入試で許されてしまいますね。。。grapee.jp/179410
安田亨先生の書き方が好きです。ちなみに私は事故りました。
0の正の実数乗は0だけど0の負の実数乗は0とは言えないのでは？
そうですね。ご指摘ありがとうございます。
おはようございます。
うわー、最後の間違えたーーー
√の中身＝1は！？
動画をご覧下さい。
=2にするとどうにもならないですね。
あ～～～5抜けた～～虚数憎し
伝説のの良問１００amzn.to/39SqYow
ルートが付いてるときはiになることを考慮して指数部が4の倍数、ルートが付いてないなら-1になることも考慮して指数部が2の倍数になる場合も確認しないといけない。初見で気がつくのは難しいよなあ。
limxˣ(x→+0)だけを考えれば0⁰=1になりそうだけど、
0⁰は基数や指数の数をどう0に近づけるかによって様々な値が得られる。
{e^(-1/x)}ᵃˣの+0の極限はe⁻ᵃとなるので、0⁰を任意の数値に持っていける。
だから0⁰は不定（定義できない）っていう考えもありますね。
答え3つ出して満足してしまいました😇
初手で対数を取ろうと考えれば、真数条件から(n^2-9n+19) > 0 が全ての自然数において成り立つのか考える
必要性が生じることと、負の場合 (⇔ n = 4または5のとき)は(与式)は成立しないかどうか具体的に値を入れて
確かめて示すべきだと思いますので、個人的には良い問題だと思います。
0:31 「ここから今から倫理です」でいきなりアリストテレスを読み出したかとおもいました。
僕の好きな本は「素数に憑かれた者たち」です。
本日共通テスト模試があるので、勘太郎さんの動画で学んだ事を活かして頑張ります。
2000年代に先生が紹介された安田さんの本を読んで、そのコラムの問題に面食らったのを思い出しました。
2020年代に入っても時々読んでいます。
nが自然数限定なのは不思議な条件
正の実数でも良い気がするし実数だけの方が問題として面白い気がする
備忘録70G"【 通常は実数の範囲 】 (両辺)＞0 より平方して、
与式 ⇔ ( n²－9n＋19)^( n²＋5n－14 )＝ 1
⇔ (底)＝ n²－9n＋19＝ 1, または (指数)＝ n²＋5n－14＝ 0
⇔ ( n－3 )( n－6 )＝ 0, ( n＋7 )( n－2 )＝ 0 n∈自然数 より、n＝ 3, 6, 2 ■
【 複素数の範囲 】 n²－9n＋19＜0 のとき、√( n²－9n＋19 ) ＝ √(－n²＋9n－19 ) i
このとき、 与式の 両辺の絶対値をとって
(－n²＋9n－19 )＝ 1 ⇔ ( n－4 )( n－5 )＝ 0 が必要である。
n＝4 のとき、i^22＝－1 となって適さない。n＝5 のとき、i^36＝ 1 となって適する。
以上より、n＝ 3, 6, 2, 5 ■
問題によっては√-1=iとするみたいなことが書いて
あるし、普段は実数の世界に生きているわけだから
咄嗟に虚数を考えるのは経験しないと難しいかも
しれませんね。
おはようございます。貫太郎さんの動画のおかげで、交通事故を回避できました。隠れた条件を如何にあぶり出すかが、数学の面白さですね。明日もよろしくお願いします。
本日もありがとうございました。安田先生の本からでしたか。。大学への数学を３０年以上前に夢中になったのを思い出しました。
明日も楽しみにしております。
√の中身が1でも-1でも因数分解できるようになっているので、やはり出題者は複素数まで意図してるんだろうなぁと思いました。入試問題として良問が悪問かは私にはなんとも言えませんが、面白かったです。ありがとうございました。
そっか、虚数単位ℹ︎は4乗してようやく
1になるのかぁそこ間違えて二乗で計算してた笑
0^0について。べき乗を、実世界の何らかのモデルで表せる範囲で定義すると、x^1 = x, x^n = x^(n-1) * x です。
この定義が逆方向にも成り立つことにして、つまり x^1 = x^0 * x として、
x≠0 のときのみ x^0 = 1 と確定し、x=0 のときは不定とするのがスマートです。
x^x の極限値は1ですが、それは、△^○の△と○が同じだからで、2者が異なってても共に0に向かうのなら0^0と
認めるべきだと思います。そうなると、△と○の決め方で△^○の極限値は様々な値になるので、0^0は不定だと思います。
今日は暗算で解けました。
……ってドヤろうと思ったら、最後のそれが抜けてました。悔しい！
一時停止違反ぐらいの事故。
それで差がつくのが入試だし、そういう問題を作るのが出題者の力量ではないかと！
（いくら「性格が悪い」と言われようが！）
学習院の問題は知りませんでしたが，タイトルが「いわくつき」なので，虚数のケースを考えるのかな？という感じしました。
ルートの中身が負となるケースについては，ルートの中身
おはようございます。
"√の中身を虚数にまで広げて考えるかどうか？" というところで、大学（経済学部＝文系です。）時代に、三角関数の逆関数にまつわる証明問題で、「この関数を微分すると常にゼロになるので、定数関数だから、…。」と "ドヤ顔" で説明していたら、「そもそも、この関数は連続なのですか？」と突っ込まれ、言葉に窮したことを思い出しました。
@@あいうえお-g4w8o さん
「そもそも微分可能なのですか？」という質問だったかも…。
いずれにせよ、私が式の "上っ面" だけをみてテクニックに走るような態度でいたので、「問題の本質を考えなければいけないよ。」と、仰りたかったのでしょう。
経済学部とはいえ、"近代経済学の（西の）牙城" を標榜するような大学だったからこそ、「数学を単なる "道具" と考えているようではダメだ。」というメッセージだったのかも知れませんね。
安田先生の主張のとおり、複素数の範囲についてコメントしてしまうと、
ほとんどの人が解けるのではと感じます。
また、何でもかんでもルートの中は正としてしまうのもいかがなものかとも。
あえて選んだのか、それとも論争を知らず出題したのかは少しだけ興味あります…
ルートの中身が負の可能性に気づいていたが事故に遭いました
０^0は多分lim(x->0)x^x が収束すれば定義できるように思います。1に収束してほしいですが、収束することを示すほどの力はありません。たくみさんとのコラボでご教授いただきたいです。
f(x)=x^x(x>0)
自然対数を取ってln(f(x))=x・ln(x)
t=1/xとおくと、x→+0⇔t→+∞で
x・ln(x)=1/t・ln(1/t)
=-ln(t)/t→-0(t→+∞)
つまりln(f(x))=x・ln(x)→0(x→+0)
指数関数や対数関数の連続性より、
fn(x)=exp(ln(f(x)))→exp(0)=1(x→+0)
よって、x^x→1(x→+0)
@@smbspoon-me-baby さん ご教授ありがとうございます。現役の方でしょうか。中年になると方針は見えても解にたどりつけないもどかしさがあります。勉強になりました。
@@hasebetoshiaki9338 さん
42歳無職(ガチ)です。笑
学生時代に心をやられて数学を一回捨てましたが、やっぱり好きなんで戻ってきました。
ありゃ それは見落とすね
こういうひっかけ好き好き
医学部にしては簡単だと思ったらこういう落とし穴がありましたか。人為ミスによる医療過誤を防ぐため、とことん注意を怠らない学生を取りたいという大学の意図でしょうか？
むしろ虚数の発見みたいに新しい治療法を見いだせみたいな意図もありなん
面白い問題でした。
よし、これで全部だろ、と意気揚々と再生ボタンをクリック。
途中、愛が出てきた所でハタと気付いた、しまった、偶数乗じゃなくて４乗じゃん。
う～む、チェックが甘くて残念。
昨日の問題、図形なら簡単だけれど、計算すると超メンドイ・・正しい計算結果が
出るまで４、５回計算しなおし。もっと良い計算方法無いのかとまだ思案中。
複素平面で回転させるのなら、極座標形式にしてexp(iθ)を掛け算すれば
比較的簡単にできると思います。
@@tetsuro6733 貴方の式を見たのですが、(z-z₀)の引き算をどう計算するのか判らなくなりました。
@@遥未來 さんへ
省略せずに書くとこんな感じでしょうか？
z＝exp(i・13π/12)
w＝exp(i・17π/12)
(z－z0)・exp(i・π/6)＝w－z0
として
z0・(1－exp(i・π/6))＝w－z・exp(i・π/6)
＝exp(i・17π/12)－exp(i・13π/12)・exp(i・π/6)
＝exp(i・17π/12)－exp(i・15π/12)
＝exp(i・15π/12)・(exp(i・π/6)－1)
となるので両辺を 1－exp(i・π/6) で割って
z0＝－exp(i・15π/12)＝－exp(i・5π/4)＝exp(i・π/4)
@@tetsuro6733 なるほど、うまいこと変形できるものだ。ありがとうございました。
√の中身がマイナスのことは想定してませんでした。なかなか奥が深いですね。
貫太郎さんは√の中身を-1だけ計算してますが、例えば(cos60°＋i･sin60°)^6=1のような感じの複素数にならないことって証明できるのでしょうか？nが自然数だから虚数になる場合は実数部分が出てこないってことでしょうか？
nが自然数で且つ、√中身は整数係数なので、√の中身は整数にしかならない、ということでは。
それに加えて√の中身が1限定
指数部分が0限定なのも気になる
それ以外の組み合わせで1にならない論証は不要なの？
@@写楽保介-y8e
実数だけで考えていいのであれば、それは証明可能です。この後の記載を便利にするために、√の部分をx、乗数部分をyとします。
x>1のとき、f(y)=x^yのグラフはf(0)=1かつ単調増加、逆に0
y=x^xのグラフの0極限が1であるから0^0=1が有力？って聞いたことがあります！
指数部分が、(n^2+5n-14)/2=(n-2)(n-3)/2 +5(n-2)、即ち整数になるというのが本問の肝だと思われる。
これにより、整数^整数となり、安全に解くことができる。
仮に、指数部分が奇数/2の形だったら、実数範囲に絞らないと解けない（十分性を満たさない）形になっていた。と思う…
複素数範囲ならば、√1=1or -1、√-1= i or -i にする必要があると思うんだが、間違ってるだろうか？
それとも、√xとx^1/2は違うものと見なすのか？
これ、当時の学習院大の受験生（今はたぶん准教授くらいでしょうか）が敢えて出題したのではないか、と勘ぐってしまいます。
おっしゃるように、医者たる者、研究や診療・診察に当たっては先入観を持たずにあらゆる可能性を考慮せよという趣旨で。
ところで0^0の話ですが、0^0=lim[x→0]x^xと考えればそれは1なので、0^0=1が判りやすい（素直な？）定義だと思います。
が、しかし、もうちょっと幅を広げて考えると、0^0=lim[x→0,y→0]x^yと考えることもできて、xとyは独立に動き得る(!)ので、必ずしも1とは限りません。
と言う訳で、「どのように定義するか」ということであって、「どれが正解か」ということではないのでしょう。
（とは言っても、私は0^0=1派です）
おはようございます。問題を解く際の場合分けが、とても難しかったです。勉強になりました。
貫太郎先生ありがとうございました。
いや〜虚数はやらしすぎやろw
何にも書いてないなら全て考えても間違いじゃないもんな
良問というよりは教訓だな
これ思ったわ普通にルートの中身正で考えちゃった。明日受かってると良いな
条件出しは合ってたのに単純な計算ミスでn=5を飛ばしてしまった...
虚数iに関する問題なら、注釈に「ただしiはi^2＝ー１となる虚数単位」と断りを入れるのが普通、という主張なんでしょうかね
にしてもこの問題、どのみち問題としての面白みには欠けますよね・・・
安田亨先生ですか、貫太郎さん、毎年出てる「大学入試良問集」「大学入試問題解答集」などを購入して、動画のネタ探してそう
(1)まず、指数から、(n+7)(nー2)=0、n=2がでます。(2)次に、√の中身が、n^2ー9n+19=1、(nー3)(nー6)=0、この方程式から、n=3、6の2根がでます。(3)また、√の中身が、n^2ー9n +19=ー1のときも、考えられます。このときは、√(ー1)=i(虚数単位)、ここで、余談ですが、iには、色々、面白い計算が出来ます。i^i=(e^(iπ/2)^(i)=e ^(-π/2)>0となり、実数となります。方程式の話 に戻りますが、(3)の条件の両辺を2乗すると、(n-3)(n-6)(n-4)(n-5)=0、これより、n=3,4,5,6がでますが、この解の中で、√の中身が-1になり、指数が4の倍数のとき、1になりますから、条件にかなうのは、n=5となります。以上のことから、(1)、(2)、(3)、よりn=2、3、5、6が解になります。
0乗は、乗法単位元である「1」に「何も掛けない」から1なのではないですか？
だから0の0乗は1でいいのではないかと。（でも除法との整合性がとれないか…）
出題者の出した解答で
√内が実数迄か虚数も含むか
判りますね
うーん
同値変形でいくなら
(√x)ʸ=1
オイラーの定理からe^(2πni)=1より
(√x)ʸ=e^(2πni)対数とって
x≠1の時、y=4πni/(logx)}又はx=1
書き直すとx≧0の時x=1かyは整数なのでn=0つまりy=0しかない。
次にx
問題見た感じではn=3、4、5、6かな
でも4は違うか
オマケでn=2も指数がゼロになるのでこれも答え
今日は珍しく出来た！と思ったらルートの中が虚数もありというのがすっぽ抜けww医大の問題にしては超絶やさしいち思っていたがww50年前の現役時代に解けていただろうか？
見掛け倒しのような気がします。ルートの中が１になるが、指数の肩が０になるしかこの方程式は満たしません。前者を満たすnはなく、後者を満たすnは存在して、それが解と思います。その解でルートの中が正であることを示すの忘れなけれいいように思います。簡単すぎて、落とし穴がありそうな気がしますので、これから動画を見ます。
複素数もありというのは、落とし穴にしても意地悪。nは自然数といっている時点で、自然数問題と解しるのが自然と思います。
0^0は0^n/0^n(≠0) =0/0で解なしと思っております
0/0って解なしなんですか？
@@メロン-f4x ゼロ除数と同じですね。未定義なので「解なし」と表現しました
これは良問かもしれない
そもそも高校の教科書に√-1=iって書いてありますっけ？2乗して-1になる数のうちの1つをiと定義するのであって√は正負の概念が入ってきそうでこわい...
数学IIの教科書にて、虚数の導入部で「aを正の数とするとき、\sqrt{-a}=\sqrt{a}i と規約する。」旨の記載はありますね。
ほんとですね！学びの機会をありがとうございます！
i^2=√(-1)×√(-1)=√(-1)×(-1)=√1=1
こんな風に表記するとルートの計算法則が成り立たないので負が入るルートだと気をつけなきゃって思いました。
歴史は繰り返す。受験のときに出来なかった出題者が、その時の事を根に持ってつくったのかも？。カッコ内が負になる場合を見落としそうですね。
"根"に持って か。面白い
(n²-9n+19)^((n²+5n-14)/2)と変形してみたら
なんとなく納得がいきますね。
ただいま午前3時20分頃。ひと月前だとこの時間帯に机に向かっていると、相当暖房を強めにしないと寒くと勉強どころではありませんでしたが立春を過ぎると弱めの暖房でも十分。季節が進んでいくのを感じます。
「いわくつき」とあったのでルートの中が −1 になる場合も検討しましたが、「いわくつき」が無かったら√の中身は1しか検討しなかったかも知れません。
伝説の良問100 は持っているので該当ページを読んでみると、結構未練タラタラ感がしますね。
著者の安田 亨 さんは結構受験界では有名？なんで、屈服しなかった大学側も出題者の意地なのでしょうか？
個人的には √ の中が −1 も検討するのが健全な姿勢で、「交通事故」云々は言い訳に感じましたが。
「交通事故」みたいな物って、恋に落ちる以外はそんなに無いはず？
本日も勉強になりました。ありがとうございました。
普通にこの問題ミスってたけど正規合格してた！
おめでとうございます。
@@kantaro1966 ありがとうございます。いつもお世話になっております。これからもよろしくお願いします。
今年の第1問もお願いします。
懐かしい本。
というか、なぜ私の本には学習院の問題が載っていないのか・・
できればページ数、教えていただきたいです☺
159ページです
コラム☺お手数おかけしました。ありがとうございます
本日、慶應義塾志木高校の入試日ですので今年の入試問題の幾つかを近いうちに解いて頂きたいです
週末のため、遅くなりましたが、動画視聴ならびに答案のPDFアップを済ませました。
note.com/pc3taro/n/na17b2612f665
「根号内が 1 に等しいとき」「指数が0 に等しい かつ 根号内が 0 以外の整数であるとき」「根号内が −1 に等しい かつ 指数が 4 の倍数であるとき」という3つの場合が考えられますが、第3の場合を見落としやすいですね。
ちなみに類題は他者が以前動画にアップされていましたが、その方はRUclipsアカウント（紐つけられたTwitterアカウントも。）を消してしまいましたね…。
イカンイカン、n＝2を抜かしちゃってる❗何やってんの（笑）？
赤字の学習院の問題の方の字が薄くてよく分からんなぁ。
この問題は見かけはともかく、良問だと思います。
場合分けの繊細さが求められる、医師としての素質を求める問題と言えば、
ちょっと褒めすぎでしょうけど・・・。
さらに言うなら、この程度の問題であれば、京大などに出しても差はつかないが
昭和大学だからこそ差がつくという・・・、あ！これって差別発言になります？
それなら撤回して削除します・・・。(ｵﾏｴﾊ ﾓﾘ ﾖｼﾛｳ ｶ!）
ありとあらゆる可能性を考慮せよ、というのであれば、かつてマイクロソフト社の入社試験で出されたこんな問題も入試で許されてしまいますね。。。
grapee.jp/179410
安田亨先生の書き方が好きです。
ちなみに私は事故りました。
0の正の実数乗は0だけど0の負の実数乗は0とは言えないのでは？
そうですね。ご指摘ありがとうございます。
おはようございます。
うわー、最後の間違えたーーー
√の中身＝1は！？
動画をご覧下さい。
=2にするとどうにもならないですね。
あ～～～5抜けた～～虚数憎し