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p≠qであることの確認もしました。p = qと仮定すると，与式に代入して3 * p^2 = n^2ここで，右辺は平方数なので，素因数分解すると必ず各指数が偶数になるのに対して左辺は素因数分解すると3の指数が1または3となり矛盾。これを踏まえて，あとは動画と同じように解きました。
ＫＴさんのコメントはいつもいい味出してます😃
@@coscos3060 さんありがとうございます😄
＜別解＞：最初に与式を p(p+q)=(n-q)(n+q)と変形したため、動画よりもやや面倒になってしまいました…。（さらにp,qに大小関係を与えることで解決。）~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~以下の議論において「p,qは素数、nは正整数」であることを前提とし、いちいち断らない。 与式： p^2 + pq + q^2 = n^2 …①。1°）p=q のとき：①は不成立。なぜならば、 ①かつp=q ⇒ 3p^2=n^2 ⇒ 「左右各辺に含まれる素因数３の個数」の偶奇が異なる ⇒ 素因数分解の一意性に矛盾。2°）p>q>0のとき： ①⇒ p^2 + pq = n^2 - q^2 ⇒ p(p+q) = (n-q)(n+q) ⇒ ∃k∈ℕ： (n-q, n+q) ∈ {(kp, (p+q)/k), ((p+q)/k, kp)}。ところが、 (i) k∈ℕ かつ (n-q, n+q) = (kp, (p+q)/k) ⇒ k≧１ かつ n=kp+q かつ k(n+q)=p+q ⇒ k≧１ かつ k(kp+2q)=p+q ⇒ 0 = (k^2-1)p+(2k-1)q > 0*p + 1*q >0 で矛盾。 (ii) k∈ℕ かつ (n-q, n+q) = ((p+q)/k, kp) ⇔ k∈ℕ かつ k(n-q) = p+q かつ n= kp - q ⇔ k∈ℕ かつ k(kp-2q) = p+q かつ n = kp - q ⇔ k∈ℕ かつ (k^2-1)p = (2k+1)q…★ かつ n = kp - q ⇔ k=2 かつ 3p=5q かつ n = 2p - q （∵／k∈ℕのもとでは、p>q>0かつ★ ⇒ 0
式を変形すると、(p+q+n)(p+q-n)=pq ですから、p＋q>nとなる素数と自然数の組みを選別すると、(p、q、n)=(3、5、7)、(5、3、7)の2組が、該当します。
週末にしては、私のライフスタイル的に早い時間ではありますが（といっても、皆様よりは遅いですが…。）、動画視聴ならびに答案のPDFアップを済ませました。note.com/pc3taro/n/nb0a3155d1175p≦q としても一般性を失わないとして議論を進めることが出来れば、因数の割り振りで困ることはないように思います。
式の形が余弦定理に似てるから753の三角形を思い出す
おはようございます。貫太郎先生のお蔭で毎日数学を学び、頭の老化防止のお蔭もあり、資格試験に合格しました。 また、今までたくさんの励ましのお言葉を頂き、感謝申し上げます。
おめでとうございます！！
おめでとうございます。
おめでとうございます㊗️
私宛に貫太郎先生をはじめとして、たくさんの方々から有難いメッセージを頂き、感謝申し上げます。とても嬉しいです。 お蔭様で第２種電気工事士技能試験に合格しました。数学の知識も、大変役立ちました。ありがとうございました。 私は現在も数学の学び直しと次の資格取得に向けて、細々と楽しみながら勉強しています。 皆様のますますのご活躍とご健勝を、切に祈っています。
@@中村吉郎 さんおめでとうございます🎊
整数問題苦手な私ですが、この問題については貫太郎先生とまったく同じ解法でした。最初、頭のなかで mod p で考えたりしていましたが、これでは埒が開かんと紙に書いたら一発でした。やはり思考を見える化することは大事ですね。本日も勉強になりました。ありがとうございました。
別解p,q＜n＜p+qより、0
あるいは、(p+q-k)^2=p^2+pq+q^2より、(p-2k)(q-2k)=3k^2(p-2k)と(q-2k)のいずれかは必ずkの約数をもち、p,qのいずれかがその約数で割り切れてしまう。ゆえにk=1, (p-2)(q-2)=3
対称式に気が付いたのでp≧qと仮定してp,qを求めて、p,qを入れ替えたものを忘れないように気をつけました
p+q=n+1、pq=2n+1を導いて解と係数の関係使って二次方程式立てて判別式が平方数になるというスーパー遠回りをしてやっと解けたゾ。。。
基本に忠実に、掛け算の形に持っていく事が大事ですね
この手の問題の典型パターン 二つの平方の形を作って因数分解して分析する
備忘録70G"【 ☆対称性活用→ p＋q＝a, pq＝b とおく。p, q ∈素数 】与式 ⇔ a² －b＝ n² ⇔ ( a＋n )( a－n )＝ b よって、( p＋q ＋n )( p＋q －n )＝ pq ･･･① p＋q ＋n >p , p＋q ＋n >q だから、 ①より p＋q ＋n＝ pq ･･･②, p＋q －n＝ 1 ･･･③ ②＋③より、pq －2･( p＋q )＋1＝0 ⇔ ( p－2 )( q－2 )＝ 3 ∴ ( p－2, q－2 )＝ ( 1, 3 ), ( 3, 1 ) ( p, q )＝ ( 3, 5 ), ( 5, 3) ■
素直にやれば出来る問題ですね。
うん、良かった。今日の問題は出かける前に解けました。が、５日前のアルゼンチンの数学五輪の問題はまだ解けていません・・・
できました。毎日の受講の甲斐がありましたあと1年で受験じゃ
おはようございます。2回の因数分解がすべてですね。左辺がn^2だから、p、ｑは無限にありそうなんだけど、1組しかない。明日もよろしくお願いします。
素数ブルートフォースアタックでいけそうな気もしますが、７以上を否定する手間を考えると素直に因数分解した方がいいですね。(ABC予想的な感想)
おはようございます。問題をみて、答えは浮かんだのですが、"それしかない" ことが示せませんでした。オーソドックスに因数分解すればよかったのですね。（それにしても、こんなにまで天候に左右されるとは、…。頭が重い。）
おはようございます。今年から、一年間お世話になります。。
はじめまして、受験勉強大変でしょうが、頑張ってください。拙いですが、毎日答案をPDFにして外部サイトにアップしていますので、必要があれば、私の元々のコメントを参照してください。そこにURLを貼ってあります。数学に関していうならば、鈴木先生の毎朝投稿の動画は素晴らしいのですが、ある意味「1日1問」を確実にこなす、いわばご自身の志望校や実力に合った問題集や参考書等を日々こなすためのウォーミングアップのようなものだと考えた方が良いと思います（鈴木先生の動画のようなRUclips動画のみに受験数学で頼るのは危険だということです）。
貫太郎さんは大学受験対策の為ににという意図は全く持っておられません 昨年の日本大学の複素数問題の動画投稿を視聴してみてくださいただ難関大学の入試問題には奥深い数学の世界をクエストしていく楽しさを豊富に含んでいるので結果としてオーソドックスな手法ではなく、貫太郎さん独自の解法で丁寧に解説され、受験生のみならず、多くの老若男女の視聴者を楽しませてくれるのも人気の一因かとも思います。あと個人的には毎回欠かさずＰＤＦを提供してくれるpc3taroさんの別解には随分助かりました。 また、ここのコメントは、数学に長けた方々の別解の宝庫でもあります。今後、受験勉強のウォーミングアップの１つとして貫太郎さんの動画を視聴し続けてください。
1年間といわず、志望校に合格しても見続けてくださいな。
最後のあたりは、n(条件の弱い文字:自然数)を消去してp.q(条件の強い文字:素数)を残す作業を行っています。これくらいならフィーリングでスラスラとやってしまいますが、この考え方は非常に重要です。特に整数分野の連立方程式では各々の文字について、素数や自然数、非負整数など条件が与えられることが多いので有用です。
整数ならギリ、分かるかなぁ。さらっと、最後、プラスに変えるところがさすが(^^)今日もありがとうございました。
ヨシッ❗ところで、nは出さなくてもいいんですか？
問題文がきちんと書かれていない（何を求めるのかを明示していない）のは気になりますが、通常は正の整数の組(p,q,n)を求めよ、となるでしょうから、n=7 まで求める必要はありますね（pとqを入れ替えた組もOKであることも忘れないようにする必要があります）。
@@PC三太郎 ご返信ありがとうございます。恐らく、貫太郎さんの自作問題だと思うので、結局の所、出題者の貫太郎さん次第（笑）ですが、フツー何も書いてないとnまで求めたくなりますね。
貫太郎さんのことだから、p,qの求め方に面白みが感じられるけどnはすぐに求められるから興味が飛んだんじゃ．．？
合同式、pの方程式とみてというアプローチを試したけれど上手くいかず。解なしなのかと疑いました。結局動画のようにp,q両方の顔を立てたやり方で解けました。もっとペアあると思いきやひとつしかないという。
全く同じでした
p,qの大小関係定めたら比較的楽やった
もう、これは平方完成してくだい、ってもんでしょう（笑）まぁ、n^2ってのはどんな数？ってのを一回整理してみた方がより理解しやすいかも知れないね。もっと言っちゃうと平方数からpqを引いたらどうなるかとも言えるし。頭の体操として面白かったです。
すごい
p＋q－nが正ってどこでわかるんですか？頭弱くてすいません
pqが自然数でp＋q＋nが正だからです、、
p+q+n>0,pq>0よりp+q-n>0（積の形にしたときの式から） 正×（）=正なら（）内も正ですよね
pq>0かつp+q+n>0だから、p+q－nも正っていうだけですよ。
@@vacuumcarexpo pq＞0なんですか？素数って負もあるって習いましたが
@@9時-t9x 横から失礼します。素数は「2以上の」1と自分自身だけを正の約数に持つ数、が定義だったかと。
pq=の形に持ち込めば終了。
nを求めずに去ってしまった
最大角が120度の三角形の変の長さに関して成り立つ式ですね
最後にnがたしかに自然数の値を持つことを示さなくてOKですか？
おはようございます。
面白かった！たまには、スーツ姿で、登場して下さい！
できた
対称性を考えるのか
p≠qであることの確認もしました。
p = qと仮定すると，与式に代入して
3 * p^2 = n^2
ここで，右辺は平方数なので，素因数分解すると必ず各指数が偶数になるのに対して
左辺は素因数分解すると3の指数が1または3となり矛盾。
これを踏まえて，あとは動画と同じように解きました。
ＫＴさんのコメントはいつもいい味出してます😃
@@coscos3060 さん
ありがとうございます😄
＜別解＞：最初に与式を
p(p+q)=(n-q)(n+q)
と変形したため、動画よりもやや面倒になってしまいました…。
（さらにp,qに大小関係を与えることで解決。）
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
以下の議論において「p,qは素数、nは正整数」であることを前提とし、いちいち断らない。
与式： p^2 + pq + q^2 = n^2 …①
。
1°）p=q のとき：①は不成立。なぜならば、
①かつp=q ⇒ 3p^2=n^2 ⇒ 「左右各辺に含まれる素因数３の個数」の偶奇が異なる ⇒ 素因数分解の一意性に矛盾。
2°）p>q>0のとき：
①⇒ p^2 + pq = n^2 - q^2
⇒ p(p+q) = (n-q)(n+q)
⇒ ∃k∈ℕ： (n-q, n+q) ∈ {(kp, (p+q)/k), ((p+q)/k, kp)}。
ところが、
(i) k∈ℕ かつ (n-q, n+q) = (kp, (p+q)/k)
⇒ k≧１ かつ n=kp+q かつ k(n+q)=p+q
⇒ k≧１ かつ k(kp+2q)=p+q
⇒ 0 = (k^2-1)p+(2k-1)q > 0*p + 1*q >0 で矛盾。
(ii) k∈ℕ かつ (n-q, n+q) = ((p+q)/k, kp)
⇔ k∈ℕ かつ k(n-q) = p+q かつ n= kp - q
⇔ k∈ℕ かつ k(kp-2q) = p+q かつ n = kp - q
⇔ k∈ℕ かつ (k^2-1)p = (2k+1)q…★ かつ n = kp - q
⇔ k=2 かつ 3p=5q かつ n = 2p - q
（∵／k∈ℕのもとでは、p>q>0かつ★ ⇒ 0
式を変形すると、(p+q+n)(p+q-n)=pq ですから、p＋q>nとなる素数と自然数の組みを選別すると、(p、q、n)=(3、5、7)、(5、3、7)の2組が、該当します。
週末にしては、私のライフスタイル的に早い時間ではありますが（といっても、皆様よりは遅いですが…。）、動画視聴ならびに答案のPDFアップを済ませました。
note.com/pc3taro/n/nb0a3155d1175
p≦q としても一般性を失わないとして議論を進めることが出来れば、因数の割り振りで困ることはないように思います。
式の形が余弦定理に似てるから753の三角形を思い出す
おはようございます。貫太郎先生のお蔭で毎日数学を学び、頭の老化防止のお蔭もあり、資格試験に合格しました。
また、今までたくさんの励ましのお言葉を頂き、感謝申し上げます。
おめでとうございます！！
おめでとうございます。
おめでとうございます㊗️
私宛に貫太郎先生をはじめとして、たくさんの方々から有難いメッセージを頂き、感謝申し上げます。とても嬉しいです。
お蔭様で第２種電気工事士技能試験に合格しました。数学の知識も、大変役立ちました。ありがとうございました。
私は現在も数学の学び直しと次の資格取得に向けて、細々と楽しみながら勉強しています。
皆様のますますのご活躍とご健勝を、切に祈っています。
@@中村吉郎 さん
おめでとうございます🎊
整数問題苦手な私ですが、この問題については貫太郎先生とまったく同じ解法でした。
最初、頭のなかで mod p で考えたりしていましたが、これでは埒が開かんと紙に書いたら一発でした。
やはり思考を見える化することは大事ですね。
本日も勉強になりました。ありがとうございました。
別解
p,q＜n＜p+qより、0
あるいは、(p+q-k)^2=p^2+pq+q^2より、(p-2k)(q-2k)=3k^2
(p-2k)と(q-2k)のいずれかは必ずkの約数をもち、p,qのいずれかがその約数で割り切れてしまう。
ゆえにk=1, (p-2)(q-2)=3
対称式に気が付いたのでp≧qと仮定してp,qを求めて、
p,qを入れ替えたものを忘れないように気をつけました
p+q=n+1、pq=2n+1を導いて解と係数の関係使って二次方程式立てて判別式が平方数になるというスーパー遠回りをしてやっと解けたゾ。。。
基本に忠実に、掛け算の形に持っていく事が大事ですね
この手の問題の典型パターン 二つの平方の形を作って因数分解して分析する
備忘録70G"【 ☆対称性活用→ p＋q＝a, pq＝b とおく。p, q ∈素数 】
与式 ⇔ a² －b＝ n² ⇔ ( a＋n )( a－n )＝ b よって、( p＋q ＋n )( p＋q －n )＝ pq ･･･①
p＋q ＋n >p , p＋q ＋n >q だから、 ①より p＋q ＋n＝ pq ･･･②, p＋q －n＝ 1 ･･･③
②＋③より、pq －2･( p＋q )＋1＝0 ⇔ ( p－2 )( q－2 )＝ 3 ∴ ( p－2, q－2 )＝ ( 1, 3 ), ( 3, 1 )
( p, q )＝ ( 3, 5 ), ( 5, 3) ■
素直にやれば出来る問題ですね。
うん、良かった。今日の問題は出かける前に解けました。
が、５日前のアルゼンチンの数学五輪の問題はまだ解けていません・・・
できました。毎日の受講の甲斐がありました
あと1年で受験じゃ
おはようございます。2回の因数分解がすべてですね。左辺がn^2だから、p、ｑは無限にありそうなんだけど、1組しかない。明日もよろしくお願いします。
素数ブルートフォースアタックでいけそうな気もしますが、７以上を否定する手間を考えると素直に因数分解した方がいいですね。
(ABC予想的な感想)
おはようございます。
問題をみて、答えは浮かんだのですが、"それしかない" ことが示せませんでした。
オーソドックスに因数分解すればよかったのですね。
（それにしても、こんなにまで天候に左右されるとは、…。頭が重い。）
おはようございます。
今年から、一年間お世話になります。。
はじめまして、受験勉強大変でしょうが、頑張ってください。
拙いですが、毎日答案をPDFにして外部サイトにアップしていますので、必要があれば、私の元々のコメントを参照してください。そこにURLを貼ってあります。
数学に関していうならば、鈴木先生の毎朝投稿の動画は素晴らしいのですが、ある意味「1日1問」を確実にこなす、いわばご自身の志望校や実力に合った問題集や参考書等を日々こなすためのウォーミングアップのようなものだと考えた方が良いと思います（鈴木先生の動画のようなRUclips動画のみに受験数学で頼るのは危険だということです）。
貫太郎さんは大学受験対策の為ににという意図は全く持っておられません 昨年の日本大学の複素数問題の動画投稿を視聴してみてください
ただ難関大学の入試問題には奥深い数学の世界をクエストしていく楽しさを豊富に含んでいるので結果としてオーソドックスな手法ではなく、貫太郎さん独自の解法で丁寧に解説され、受験生のみならず、多くの老若男女の視聴者を楽しませてくれるのも人気の一因かとも思います。あと個人的には毎回欠かさずＰＤＦを提供してくれるpc3taroさんの別解には随分助かりました。 また、ここのコメントは、数学に長けた方々の別解の宝庫でもあります。今後、受験勉強のウォーミングアップの１つとして貫太郎さんの動画を視聴し続けてください。
1年間といわず、志望校に合格しても見続けてくださいな。
最後のあたりは、n(条件の弱い文字:自然数)を消去してp.q(条件の強い文字:素数)を残す作業を行っています。これくらいならフィーリングでスラスラとやってしまいますが、この考え方は非常に重要です。特に整数分野の連立方程式では各々の文字について、素数や自然数、非負整数など条件が与えられることが多いので有用です。
整数ならギリ、分かるかなぁ。
さらっと、最後、プラスに変えるところがさすが(^^)
今日もありがとうございました。
ヨシッ❗
ところで、nは出さなくてもいいんですか？
問題文がきちんと書かれていない（何を求めるのかを明示していない）のは気になりますが、通常は正の整数の組(p,q,n)を求めよ、となるでしょうから、n=7 まで求める必要はありますね（pとqを入れ替えた組もOKであることも忘れないようにする必要があります）。
@@PC三太郎 ご返信ありがとうございます。
恐らく、貫太郎さんの自作問題だと思うので、結局の所、出題者の貫太郎さん次第（笑）ですが、フツー何も書いてないとnまで求めたくなりますね。
貫太郎さんのことだから、p,qの求め方に面白みが感じられるけどnはすぐに求められるから興味が飛んだんじゃ．．？
合同式、pの方程式とみてというアプローチを試したけれど上手くいかず。解なしなのかと疑いました。
結局動画のようにp,q両方の顔を立てたやり方で解けました。
もっとペアあると思いきやひとつしかないという。
全く同じでした
p,qの大小関係定めたら比較的楽やった
もう、これは平方完成してくだい、ってもんでしょう（笑）
まぁ、n^2ってのはどんな数？ってのを一回整理してみた方がより理解しやすいかも知れないね。
もっと言っちゃうと平方数からpqを引いたらどうなるかとも言えるし。
頭の体操として面白かったです。
すごい
p＋q－nが正ってどこでわかるんですか？
頭弱くてすいません
pqが自然数でp＋q＋nが正だからです、、
p+q+n>0,pq>0よりp+q-n>0
（積の形にしたときの式から）
正×（）=正なら（）内も正ですよね
pq>0かつp+q+n>0だから、p+q－nも正っていうだけですよ。
@@vacuumcarexpo pq＞0なんですか？素数って負もあるって習いましたが
@@9時-t9x 横から失礼します。素数は「2以上の」1と自分自身だけを正の約数に持つ数、が定義だったかと。
pq=の形に持ち込めば終了。
nを求めずに去ってしまった
最大角が120度の三角形の変の長さに関して成り立つ式ですね
最後にnがたしかに自然数の値を持つことを示さなくてOKですか？
おはようございます。
面白かった！たまには、スーツ姿で、登場して下さい！
できた
対称性を考えるのか