Размер видео: 1280 X 720853 X 480640 X 360
Показать панель управления
Автовоспроизведение
Автоповтор
新刊「中学生の知識で数学脳を鍛える！８つのアプローチで論理的思考を養う』amzn.to/2UJxzwq
52*50=(51+1)(51-1)=51^2-1
私もこれで解きました。これだと「51^99 vs 100!どっちがでかい」でもok。
階乗が和と差の積の集まりと考えて、52x50=(51+1)(51-1)=51^2-1^2 < 51^253x49=(51+2)(51-2)=51^2-2^2 < 51^2（中略）100x2=(51+49)(51-49)=51^2-49^2 < 51^2ここまで数字98個、残った２個も1x51 < 51^250ペアの掛け算全て51^2より小さい。よって51^100の方が大きい。あまり応用の利かないやり方ですが、これしか浮かびませんでした・・・
そのやり方でいいんじゃない。51 * 50 = (50.5 + 0.5)(50.5 - 0.5) = 50.5^2 - 0.25 < 50.5^2 < 51^2と中央値の50.5を使った方がよりスムーズだと思うけど
51^2-n(101-n)=n^2-101n+51^2=(n-51)^2+n>0(∵n>0)というふうに考えました。
おはようございます。見事！戻る帰納法は初めて知りました。明日もよろしくお願いします。
ヨシッ❗「あれ」の証明は、前にここで2回に分けてやられてましたが、やっぱり人が証明してるのを見てるだけだと、その場では納得しても自分の頭には中々入らないので、すぐ忘れちゃいますね。やり方、忘れてた❗
1個減らした場合を証明してから使ってもいいのですが、両者に 51^28 を掛けれて51^128 vs 100! 51^28 にした物に 2 のべき乗個の相加相乗平均を使う手もあります。(100! 51^28)^(1/128) ≦ {(1+2+‥+100)+51*28}/128 = (50*101+51*28)/128 ={(50*100+50)+51*28}/128 = {(51*100-100+50)+51*28}/128 = (51*128-50)/128 < 51⇔ 100! 51^28 < 51^128 ⇔ 100! < 51^100。
n個の相加相乗、証明ありがとうございます、ためになるー。
そうかぁ。相加相乗平均を使うんですね。証明の仕方は、勉強になりました。
入試で相加相乗平均って3以上でも成り立つって自明として使っていいんですか？
100! = Π[n=1, 50] n(101 -n)f(x) = x(101 -x) = -x^2 + 101x は上に凸の放物線だから、f'(x) = -2x + 101 = 0 のとき、すなわちx = 101/2のとき最大となる。f(101/2) = (101/2)^2 < (102/2)^2 = 51^2 より100! < f(101/2)^50 < 51^100
上に凸だと思いますが、私も同じ方法で解きましたｂ
haru haru やっべw 修正しました！
所謂双方向帰納法ですね
センターを50.5にした2つの数の和と差の積(a+b)(a-b)=a^2-b^2 を50セット用意すれば行けそうですね。
スタートが1だからシンプルに51センターでみていい気がしますね
直感で左の方が大きそうはわかりました。ログでちまちまかと思いきや、相加・相乗平均を使うのでしたか…導出を含め見直してみます。
2 項の相加平均、相乗平均で解いてしまいました。101 以下の自然数 k に対して、k と 102-k の相和平均を Ak, 相乗平均を Bk とすると、Ak ≧ Bk 。等号が成り立つのは k = 51 のときだけなのでΠ_{k=1}^{101} Ak = Π_{k=1}^{101} 51 = 51^101 > Π_{k=1}^{101} Bk = Π_{k=1}^{101} √k(102-k) = Π_{k=1}^{101} √(k^k) = Π_{k=1}^{101} k = 101!したがって 51^100 = (51^101)/51 > 101!/51 = 100! * (101/51) > 100! .
尺の長さと動画のタイトルから，相加相乗平均使うということが予想付いたので，それで問題自体は解けました。数学的帰納法のやり方を丸暗記ではなく，意味合いと一緒に学ぶ上では，ちょうどいいネタかもしれませんね。
おはようございます。以前買った雑誌「数学セミナー」2009年２月号に不等式の世界という特集に、相加相乗平均のシンプルな証明が載っています。ここでは、補題３ P＞Ｑ p＞q のとき Pp＋Qq ≧ Pq ＋ Qp が成り立つことを使ってｎ＝3の時の証明されていました。ｎな何項の場合も証明できるとのことです。なお、その記事によると、この不等式の証明は７０以上あるとのことです。参考までにここに書いておきます。
楽しく拝見しております。(50+1)^100を2項展開して100!で括って、()の中が1より大きいという手も有りますね♪
ちょっと質問です。6:32 a,b,cは正の任意の数なので、正の数であれば何でもいいと思いますが、dはd=(a+b+c)/3とおいた時点で、正の数ではあっても「任意の」数とは言えないのではないかと思いました。（a,b,cは正の独立変数であるのに対して、dは正の従属変数ですよね？）なのでこの後で出てくる数学的帰納法を使った証明は限定的な証明であり、一般的に成り立つとは限らないのではないかと思ったのですが、いかがでしょうか？
3数の相加相乗平均から2数の相加相乗平均を導いて下さい。そうして導かれた2数の相加相乗の式のa,bに正の数なら何を代入しても成り立ちますよね？
従属な変数dが、例えば4コの相加・相乗平均から3コの相加・相乗平均を求めてるから、a,b,cが独立だから関係がないということでしょうか？大雑把にいえば3コの相加・相乗平均に、4つの定数はいらないから1つは自分で決めてもいいって感じでしょうか
このケースでは4変数の場合の相加相乗の成立を仮定して、3変数の場合の相加相乗の証明を行っているので、生き残る3変数の独立性さえ担保されていれば十分なのです。
100,99,98は51の倍ぐらい。1,2,3は51と比べて大きな比がある。この不均衡さでは51の圧勝ではと予測してゴリ押し。51^100/100! > 51/100*51/99*...*(51^2/59^2)^3*1*..*(51/25)^13*(51/12)^6*(51/6)^3*(51/3)^2*51 > (1/2)^42*(1/2)^4*1^26*2^13*4^6*8^3*16^2*32 = 2 > 1よって 51^100>100!
厳密な証明ではないけれど、あたりをつけるのは私もそれでやりました。他には、Stirlingの公式ln(n!)≒n*ln(n)-nで、ln(51^100) = 100*ln(51) vs ln(100!)≒100*(ln(100) - 1)から「ln(51)とln(100/e)」の比較で51^100の方が大きいよなぁ、と。
15:35でなぜｋをｋ＋１に変えてるんですか
間違えです。すみません。
相加相乗平均といえば双方向帰納法双方向帰納法といえば相加相乗平均という感じがしますね。
今日の問題は簡単だなぁと思ってたら、自分が相加相乗平均が分かってないことに気付かされるとは😂ありがとうございます！！
相加相乗平均というからわかりにくいんであって、相撲平均と言えば「あー、100～230くらいまでの足し算かな？」って直感的にわかるんだ曙
笑った。
とても、相加相乗平均には、思い至りませんでした。必死でメモをとったあと、同郷の方らしいＡ姫みかんさんの解法に感動しました。 ありがとうございました。
100!＝100*50*(50+1)(50-1)*(50+2)(50-2)*……*(50+49)(50-49)で、もうこれは51^100のほうがデカいな、とｗｗ
こんなん左の方がでかいのは自明やろ（証明終了）
100!も莫大な数だが両端から掛けて行くと51^100よりは小さいのは一見して解る
@@MultiYUUHI (100×1)(99×2)…(51×50)
ううううんd=(a+b+c)/3に置いてもいいって言うのがどうしても腑に落ちない正の数ならなんでも入れるのはわかるけど、dがa.b.cの関数でなければいけないという制約がついてしまうように感じてなかなか飲み込めないです有識者、だれか教えてください;-;
もう既にdは任意の実数で成り立つことが示されているためです。x+2＞xが既に示されているとき、xに何入れても成り立ちます。そのため、x=a+b+cのときa+b+c+2＞a+b+cも当然成り立ちます。これとやってることは同じです
@@ふぁっ-g1i そうか、不等式評価だから任意の実数a.b.cを用いたdをどのように両辺置いても評価が変わらないってことですね！なぜか等式で見ていたので不明瞭でした、解決しましたありがとうございす
おはようございます。平均点のお話で、「3打数１安打で打率が下がるのはすごいこと。」という言葉を思い出しました。（誰についての言及であるかは忘れましたが、…。）
「誰について」って、打率が３割３分３厘を上回っていれば、誰にでも当てはまるのですけれどね。
そんな奴はイチローくらい。
100!にひっくり返した100!かけて100×1も51×50も 51×51より小さいじゃないかという感覚で止まってしまった
12:12 k+1回ﾁｭｯﾃｨ
普通に考えると、100!=100×99×...×52×51×50×...×2×151^100=51×51×...×51×51×51×...×51×51を比べて、左の方の乗数は、100!の方が高々51の2倍未満なのに、右の方は、51^100の方が、50倍とか25倍とか大きいので、51^100が大きいですね。31^100くらいだと、悩む!?
本の宣伝乙ｗ勿論予約しましたよ（笑）言われてみれば相乗平均ってあんまり使わないなぁ…確か経理関係ではつかうんじゃなかったっけか？大学入試ばかりでなく、たまには公認会計士試験とかで出る問題を扱っても面白いかも知れませんね。
双方向帰納法というと聞いたことがあります。信憑性はあまりないですが
おはようございます。予想したことが正しいことを、証明まで出来れば鬼に金棒です。朝から、私の中(ちゅう)ブルの頭がフル回転しました。 奇想天外なアイディアに、感動しました。 貫太郎先生ありがとうございました。
5×5>4×6
斜辺以外の二辺の和が10の直角三角形の面積で考えると分かりやすいかも
動画開いた瞬間コメ欄にネタバレされるのですが。
100！
直感的にlogを取った
1コメ！
新刊「中学生の知識で数学脳を鍛える！８つのアプローチで論理的思考を養う』amzn.to/2UJxzwq
52*50=(51+1)(51-1)=51^2-1
私もこれで解きました。これだと「51^99 vs 100!どっちがでかい」でもok。
階乗が和と差の積の集まりと考えて、
52x50=(51+1)(51-1)=51^2-1^2 < 51^2
53x49=(51+2)(51-2)=51^2-2^2 < 51^2
（中略）
100x2=(51+49)(51-49)=51^2-49^2 < 51^2
ここまで数字98個、残った２個も1x51 < 51^2
50ペアの掛け算全て51^2より小さい。よって51^100の方が大きい。
あまり応用の利かないやり方ですが、これしか浮かびませんでした・・・
そのやり方でいいんじゃない。
51 * 50 = (50.5 + 0.5)(50.5 - 0.5) = 50.5^2 - 0.25 < 50.5^2 < 51^2と中央値の50.5を使った方がよりスムーズだと思うけど
51^2-n(101-n)
=n^2-101n+51^2
=(n-51)^2+n
>0(∵n>0)
というふうに考えました。
おはようございます。見事！戻る帰納法は初めて知りました。明日もよろしくお願いします。
ヨシッ❗
「あれ」の証明は、前にここで2回に分けてやられてましたが、やっぱり人が証明してるのを見てるだけだと、その場では納得しても自分の頭には中々入らないので、すぐ忘れちゃいますね。やり方、忘れてた❗
1個減らした場合を証明してから使ってもいいのですが、両者に 51^28 を掛けれて
51^128 vs 100! 51^28 にした物に 2 のべき乗個の相加相乗平均を使う手もあります。
(100! 51^28)^(1/128) ≦ {(1+2+‥+100)+51*28}/128 = (50*101+51*28)/128 =
{(50*100+50)+51*28}/128 = {(51*100-100+50)+51*28}/128 = (51*128-50)/128 < 51
⇔ 100! 51^28 < 51^128 ⇔ 100! < 51^100。
n個の相加相乗、証明ありがとうございます、ためになるー。
そうかぁ。相加相乗平均を使うんですね。証明の仕方は、勉強になりました。
入試で相加相乗平均って3以上でも成り立つって自明として使っていいんですか？
100! = Π[n=1, 50] n(101 -n)
f(x) = x(101 -x) = -x^2 + 101x は上に凸の放物線だから、
f'(x) = -2x + 101 = 0 のとき、すなわちx = 101/2のとき最大となる。
f(101/2) = (101/2)^2 < (102/2)^2 = 51^2 より
100! < f(101/2)^50 < 51^100
上に凸だと思いますが、私も同じ方法で解きましたｂ
haru haru やっべw 修正しました！
所謂双方向帰納法ですね
センターを50.5にした2つの数の和と差の積(a+b)(a-b)=a^2-b^2 を50セット用意すれば行けそうですね。
スタートが1だからシンプルに51センターでみていい気がしますね
直感で左の方が大きそうはわかりました。ログでちまちまかと思いきや、相加・相乗平均を使うのでしたか…
導出を含め見直してみます。
2 項の相加平均、相乗平均で解いてしまいました。
101 以下の自然数 k に対して、k と 102-k の相和平均を Ak, 相乗平均を Bk とすると、Ak ≧ Bk 。
等号が成り立つのは k = 51 のときだけなので
Π_{k=1}^{101} Ak = Π_{k=1}^{101} 51 = 51^101 > Π_{k=1}^{101} Bk = Π_{k=1}^{101} √k(102-k) = Π_{k=1}^{101} √(k^k) = Π_{k=1}^{101} k = 101!
したがって 51^100 = (51^101)/51 > 101!/51 = 100! * (101/51) > 100! .
尺の長さと動画のタイトルから，相加相乗平均使うということが予想付いたので，それで問題自体は解けました。
数学的帰納法のやり方を丸暗記ではなく，意味合いと一緒に学ぶ上では，ちょうどいいネタかもしれませんね。
おはようございます。以前買った雑誌「数学セミナー」2009年２月号に不等式の世界という特集に、相加相乗平均のシンプルな証明が載っています。
ここでは、補題３ P＞Ｑ p＞q のとき Pp＋Qq ≧ Pq ＋ Qp が成り立つことを使ってｎ＝3の時の証明されていました。ｎな何項の場合も証明できるとのことです。なお、その記事によると、この不等式の証明は７０以上あるとのことです。参考までにここに書いておきます。
楽しく拝見しております。
(50+1)^100を2項展開して100!で括って、()の中が1より大きいという手も有りますね♪
ちょっと質問です。
6:32
a,b,cは正の任意の数なので、正の数であれば何でもいいと思いますが、
dはd=(a+b+c)/3とおいた時点で、正の数ではあっても
「任意の」数とは言えないのではないかと思いました。
（a,b,cは正の独立変数であるのに対して、dは正の従属変数ですよね？）
なのでこの後で出てくる数学的帰納法を使った証明は限定的な証明であり、
一般的に成り立つとは限らないのではないかと思ったのですが、
いかがでしょうか？
3数の相加相乗平均から2数の相加相乗平均を導いて下さい。そうして導かれた2数の相加相乗の式のa,bに正の数なら何を代入しても成り立ちますよね？
従属な変数dが、例えば4コの相加・相乗平均から3コの相加・相乗平均を求めてるから、a,b,cが独立だから関係がないということでしょうか？
大雑把にいえば3コの相加・相乗平均に、4つの定数はいらないから1つは自分で決めてもいいって感じでしょうか
このケースでは4変数の場合の相加相乗の成立を仮定して、3変数の場合の相加相乗の証明を行っているので、生き残る3変数の独立性さえ担保されていれば十分なのです。
100,99,98は51の倍ぐらい。1,2,3は51と比べて大きな比がある。この不均衡さでは51の圧勝ではと予測してゴリ押し。
51^100/100! > 51/100*51/99*...*(51^2/59^2)^3*1*..*(51/25)^13*(51/12)^6*(51/6)^3*(51/3)^2*51 > (1/2)^42*(1/2)^4*1^26*2^13*4^6*8^3*16^2*32 = 2 > 1
よって 51^100>100!
厳密な証明ではないけれど、あたりをつけるのは私もそれでやりました。他には、Stirlingの公式ln(n!)≒n*ln(n)-nで、ln(51^100) = 100*ln(51) vs ln(100!)≒100*(ln(100) - 1)から「ln(51)とln(100/e)」の比較で51^100の方が大きいよなぁ、と。
15:35でなぜｋをｋ＋１に変えてるんですか
間違えです。すみません。
相加相乗平均といえば双方向帰納法
双方向帰納法といえば相加相乗平均
という感じがしますね。
今日の問題は簡単だなぁと思ってたら、自分が相加相乗平均が分かってないことに気付かされるとは😂
ありがとうございます！！
相加相乗平均というからわかりにくいんであって、相撲平均と言えば
「あー、100～230くらいまでの足し算かな？」って
直感的にわかるんだ曙
笑った。
とても、相加相乗平均には、思い至りませんでした。必死でメモをとったあと、同郷の方らしいＡ姫みかんさんの解法に感動しました。
ありがとうございました。
100!＝100*50*(50+1)(50-1)*(50+2)(50-2)*……*(50+49)(50-49)で、もうこれは51^100のほうがデカいな、とｗｗ
こんなん左の方がでかいのは自明やろ（証明終了）
100!も莫大な数だが
両端から掛けて行くと51^100よりは小さいのは一見して解る
@@MultiYUUHI
(100×1)(99×2)…(51×50)
ううううん
d=(a+b+c)/3に置いてもいいって言うのがどうしても腑に落ちない
正の数ならなんでも入れるのはわかるけど、dがa.b.cの関数でなければいけないという制約がついてしまうように感じてなかなか飲み込めないです
有識者、だれか教えてください;-;
もう既にdは任意の実数で成り立つことが示されているためです。
x+2＞xが既に示されているとき、xに何入れても成り立ちます。そのため、x=a+b+cのとき
a+b+c+2＞a+b+cも当然成り立ちます。これとやってることは同じです
@@ふぁっ-g1i そうか、不等式評価だから任意の実数a.b.cを用いたdをどのように両辺置いても評価が変わらないってことですね！
なぜか等式で見ていたので不明瞭でした、解決しましたありがとうございす
おはようございます。
平均点のお話で、「3打数１安打で打率が下がるのはすごいこと。」という言葉を思い出しました。
（誰についての言及であるかは忘れましたが、…。）
「誰について」って、打率が３割３分３厘を上回っていれば、誰にでも当てはまるのですけれどね。
そんな奴はイチローくらい。
100!にひっくり返した100!かけて100×1も51×50も 51×51より小さいじゃないかという感覚で止まってしまった
12:12 k+1回ﾁｭｯﾃｨ
普通に考えると、
100!=100×99×...×52×51×50×...×2×1
51^100=51×51×...×51×51×51×...×51×51
を比べて、左の方の乗数は、100!の方が高々51の2倍未満なのに、
右の方は、51^100の方が、50倍とか25倍とか大きいので、
51^100が大きいですね。
31^100くらいだと、悩む!?
本の宣伝乙ｗ
勿論予約しましたよ（笑）
言われてみれば相乗平均ってあんまり使わないなぁ…
確か経理関係ではつかうんじゃなかったっけか？
大学入試ばかりでなく、たまには公認会計士試験とかで出る問題を扱っても面白いかも知れませんね。
双方向帰納法というと聞いたことがあります。信憑性はあまりないですが
おはようございます。予想したことが正しいことを、証明まで出来れば鬼に金棒です。朝から、私の中(ちゅう)ブルの頭がフル回転しました。
奇想天外なアイディアに、感動しました。
貫太郎先生ありがとうございました。
5×5>4×6
斜辺以外の二辺の和が10の直角三角形の面積で考えると分かりやすいかも
動画開いた瞬間コメ欄にネタバレされるのですが。
100！
直感的にlogを取った
1コメ！