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オンラインサロン→lounge.dmm.com/detail/3606/新刊「中学生の知識で数学脳を鍛える！８つのアプローチで論理的思考を養う』amzn.to/2UJxzwqブルーバックス「大学入試数学 不朽の名問100 大人のための“数学腕試し”」amzn.to/2Q7bUvUこの1冊で高校数学の基本の90%が身につく「中学の知識でオイラーの公式がわかる」amzn.to/2t28U8Cオイラーの公式Tシャツ、合言葉は「貫太郎」です。www.ttrinity.jp/p/248613/
おはようございます。一旦 mod 3で考える知恵も無くいきなり mod 9で考えました。n 0, ±1, ±2, ±3, ±4 n² 0, 1, 4 0, 7定数 1, 1, 1, 1, 1どの縦の列もたして９の倍数にならないという極めてシンプルな方法でした。本日も勉強になりました。ありがとうございました。
私もそれでゴリゴリやりました😄
@@KT-tb7xmさん それでやっても計算量は大したことありませんしね。nの係数が偶数なら平方完成できるのに･･･と思いながらチマチマ計算しました。
@@mips70831 さん確かに言うほど大変な計算量ではなかったですね😊平方完成も考えましたが、仰るとおりこの問題だとできませんね😅
mod 9でn²+n+1≡0と仮定する両辺を4倍して平方完成すると、式は矛盾する
仮定より、(2n+1)^2+3≡0(mod 9)これより(2n+1)^2≡6(mod 9) 平方数のmod9での分類は0、1、4、9≡0、16≡7のみだから、このようなnはない。おー！
平方剰余ですね
@@feynman8663 貫太郎式解の公式がヒント
おいら凄い
n=3l+1 とするところがポイントです。
貫太郎さん 最初のカテナリー曲線がどうして導かれたのか、良かったら動画UPしてください。
おはようございます。今回の証明のについて蛇足ですが、3の倍数と、9の倍数の集合の関係は、Ａ＝{9の倍数}、Ｂ＝{3の倍数} とすると、Ａ⊂Ｂ ⇒ Ａ補集合 ⊃Ｂの補集合となるので、ｎ≡1(mod3)のときn^2+n+1が9の倍数になるかを調べればいい。明日もよろしくお願いします。
初めての書き込みで大変恐縮致します。鈴木貫太郎先生を初め、多くの数学関係者に敬意と感謝の意を表します。私は数学は素人ですので、modは知りませんでした。modで倍数、剰余を簡明に表現できることをこの動画で学びました。誠にありがとうございました。しかし、modを知らないまでも、以下のように取り組んでみました。9の倍数の下位1桁を見てみました。9の倍数は9,18,27,36,45,54,63,72,81,90,99,...ですので、下位1桁目は9,8,7,6,5,4,3,2,1,0,9,....の性質を持つことをが分かりました。(9,8,..,1,0を繰り返す)下位1桁目の速度(微分)は-1,-1,-1,...,9,-1,-1,-1...となりました。(9から1ずつ減少し、0になったら9になり繰り返し保存する。)次にn^2+n+1の漸化式を求めてみました。n=1の初項:3漸化式 a(n+1)=a(n)+2*(n+1)a(n+1)-a(n)=2*(n+1)→a(1)=3,a(2)=7,a(3)=13,..a(n)を並べてみます。3,7,13,21,31,43,57,73,91,111,133,157,183,211,241,...その1桁目を取り出してみます。3,7,3,1,1,3,7,3,1,1,3,7,3,1,1,...(3,7,3,1,1を繰り返す)その速度(微分)は4,-4,-2,0,2,4,-4,-2,0,2,4,-4,-2,0,...(2,4,-4,-2で0になるように繰り返し保存する。)となりました。従って、n^2+n+1の1桁目の速度(微分)と9の倍数の1桁目の速度(微分)は異なるので、n^2+n+1は9の倍数ではないように考えられました。
僕はバラ曲線が好きですね。r=asinθのaを有理数の範囲でいろいろ変えるだけで様々な曲線になり、その全てが美しい形になることに数学の美しさを感じます。
初めからMod9で進めました。動画のようにMod3で考え、絞る方がシンプルでいいなぁと思いました。
サムネを見た瞬間に思いついた、n^2+n+1=9mと仮定して背理法で処理、という方法で解いてしてしまいましたが、やはり合同式の方がスマートそうですね
9n,9n±1,9n±2,9n±3,9n±4の9通りに分類して1つずつ確認しました。鉄塔武蔵野線を聞き取るのに検索したり苦労しました
n=m+1とするとn^2+n+1=m^2+3m+3となり、これが3の倍数ならばmは3の倍数になるm=3kとおくと、9k^2+9k+3となり、これは9で割ると必ず3あまるため9の倍数ではないという方法を考えました
おはようございます。modの力を借りて解けることに、感謝しています。貫太郎先生ありがとうございました。
おはようございます。私の好きな曲線は、クロソイド曲線です。（車は運転しませんが、…。）ちなみに、Wikipedia のクロソイド曲線の項には、加速度の変化の割合である "躍度" が登場します。
躍度って初めて聞きました！x'''(t)ってことですか。
@@smbspoon-me-baby さん そうですね。位置の２回（階？）微分である加速度をさらに微分したものだそうです。 私も、最近 QuizKnock の動画か何かで知ったものです。 おそらく、直線運動では問題にならず（そこまで言い切っていいかなぁ？）、角加速度の変化にあらわれるものだと思います。
@@HachiKaduki0501 電車の乗り心地を考える際にジャークという名で三次微分が使われています。躍度0.52のブレーキは躍度0.26のブレーキの2倍以上耐えれない人が出るというPDFもあります。
@@北村陽道 さん、ありがとうございます。 直線運動でも、加減速の時に留意しなければならないのですね。 私の次男が、所謂 "鉄ヲタ" なので「知ってるか？」って尋ねてみようと思います。（会話をなくす "決定打" になりかねませんけれど。）
合同式に慣れてないので助かります。
いつのまにか野獣堕ちしててワロタ
@@yuukinishimura9346 堕ちました
積分の式に捻りが足りなくて草せめて、∫[0≦x≦9] (10/3)x^2dxくらいにはして欲しかった。
@@smbspoon-me-baby シンプルがちょど良いので。今度は違う積分にしようと思います。
801と810ってなんか似てるね。
もし、9 の倍数になる n が存在するなら n(n+1) ≡ -1 (mod 9).これは n と n+1 の一方が -1 に他方が 1 に合同、あるいは一方が 2 に他方が 4 に合同なことを示しているが、隣り合う 2 整数がこのようになることはありえない。したがって、n^2 + n + 1 は 9 で割り切れない。と解きました。
extraordinary!
最近問題を見た瞬間に解法を考えるのが楽しいです。サムネ見た瞬間nに関する全称命題(離散量)なので、1数学的帰納法2剰余系の利用(余りで整数を分類)3背理法の3つのパターンでの解法を思いつきました。
mod3、4と平方数は相性がいいというのは前から仰っていたことなので、倍数証明問題などでこの発想は大切にしています最初mod9でしましたが、余りを全通り確かめるのは少し面倒臭く感じたのでmod3で示しましたmodの力って偉大ですね...笑追記:なるほど、mod9でも余り全通り確認しなくても背理法で示せちゃうのか...面白いですね
スッキリしているけど頭を使う良い問題！
なるほどmod3で絞り込めるんですね😲私は普通にmod9でチマチマ処理しました😅
山本さんのコメントの解法と同じような解き方だったんですねこれらもいいです。😃
@@coscos3060 さんそうみたいですね😄
以前から気になっていたのですが，2 つの整数 a, b と正の整数 m について，a と b が m を法として合同であることの定義は，a-b が m の倍数であることです．定義を重視する貫太郎さんの動画に何故かこの定義がきちんと出てきたことがないような気がするのです．
この問題、素直に９の倍数で考える人が多数だと思うけど、mod３はなかなか思いつかないｗあともう一つは逆に１足してmod10で考えると、9は余り-1と考えて、それが成り立たないことを示せればＯＫ…という考え方もありそう。数学って自由ですね（笑）
9と10は互いに素なので、mod 10の情報からmod 9に関する情報は出てきません。
手間はかかりますが、nに0から8までの整数を代入してどれも0にならないことを確認しても良いです。このことを証明しても良い勉強になると思います。高校の範囲でできます。(環論の観点からℤ/9ℤ上の多項式と見て、この環上で既約であることを見ているということになります。)
高２です今日から毎日解きます！！
そういうTシャツ、どこで売ってるんです、、？
オイラーの公式Tシャツ、合言葉は「貫太郎」です。www.ttrinity.jp/p/248613/
与式=9mと置いた式の判別式=3(12m-1)が平方数ではあり得ない、というのはだめなのかな。
n(n+1)は8にならない
mod9で背理法
おはようございます😤
カテナリーは歴史知るとおもしろいですよ。1600年代前半、ガリレオもメルセンヌもあのフェルマーも、「ひもを両手で持って垂らすとだいたい放物線じゃね？」と思ってたらしいです。それを「なんか違うよな〜」って自力で計算して放物線と懸垂線は違うって証明したのは当時17歳の学生ですってw
鉄塔武蔵野線! まさかここでそれを聞くとは
懸垂曲線の式ってもしかしてsinh?
@@9cmParabellum あ、そっちか。ありがとう
ヨシッ❗この動画を見た時、既に別解解説動画も上がっていたので、なるべく鮮やかに解きたいと思ったが、とりあえずmod 9で一通り試すというオーソドックスなヤツでやって確認した後で考える事にした。で、考えてみたんだが、結局、余り大したのは出ず（笑）。n^3≡0，±1（mod 9）という割りとキレイなのが出たが、上手く生かせなかった。で、n^3≡1（mod 9）となるのは、n≡1，4，7（mod 9）⇔n≡1（mod 3）なので確認して…っていうつまらん解法しか出ませんでした。
なるほどお
合同式を用いなくても、n^2+n=n(n+1)として連続二整数の積と見れば、3の倍数を含む時は明らかに9の倍数ではないことが分かるので、3の倍数を含まない時のみについて考えれば良いと思いました。
![Stromae, Pomme - “Ma Meilleure Ennemie” (from Arcane Season 2) [Official Visualizer]](http://i.ytimg.com/vi/1F3OGIFnW1k/mqdefault.jpg)
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おはようございます。
一旦 mod 3で考える知恵も無くいきなり mod 9で考えました。
n 0, ±1, ±2, ±3, ±4
n² 0, 1, 4 0, 7
定数 1, 1, 1, 1, 1
どの縦の列もたして９の倍数にならないという極めてシンプルな方法でした。
本日も勉強になりました。ありがとうございました。
私もそれでゴリゴリやりました😄
@@KT-tb7xmさん それでやっても計算量は大したことありませんしね。
nの係数が偶数なら平方完成できるのに･･･と思いながらチマチマ計算しました。
@@mips70831 さん
確かに言うほど大変な計算量ではなかったですね😊
平方完成も考えましたが、仰るとおりこの問題だとできませんね😅
mod 9でn²+n+1≡0と仮定する
両辺を4倍して平方完成すると、式は矛盾する
仮定より、(2n+1)^2+3≡0(mod 9)
これより(2n+1)^2≡6(mod 9)
平方数のmod9での分類は
0、1、4、9≡0、16≡7
のみだから、このようなnはない。
おー！
平方剰余ですね
@@feynman8663 貫太郎式解の公式がヒント
おいら凄い
n=3l+1 とするところがポイントです。
貫太郎さん 最初のカテナリー曲線がどうして導かれたのか、良かったら
動画UPしてください。
おはようございます。今回の証明のについて蛇足ですが、
3の倍数と、9の倍数の集合の関係は、
Ａ＝{9の倍数}、Ｂ＝{3の倍数} とすると、Ａ⊂Ｂ ⇒ Ａ補集合 ⊃Ｂの補集合となるので、ｎ≡1(mod3)のときn^2+n+1が9の倍数になるかを調べればいい。
明日もよろしくお願いします。
初めての書き込みで大変恐縮致します。
鈴木貫太郎先生を初め、多くの数学関係者に敬意と感謝の意を表します。
私は数学は素人ですので、modは知りませんでした。
modで倍数、剰余を簡明に表現できることをこの動画で学びました。
誠にありがとうございました。
しかし、modを知らないまでも、以下のように取り組んでみました。
9の倍数の下位1桁を見てみました。
9の倍数は
9,18,27,36,45,54,63,72,81,90,99,...
ですので、
下位1桁目は
9,8,7,6,5,4,3,2,1,0,9,....
の性質を持つことをが分かりました。(9,8,..,1,0を繰り返す)
下位1桁目の速度(微分)は
-1,-1,-1,...,9,-1,-1,-1...
となりました。(9から1ずつ減少し、0になったら9になり繰り返し保存する。)
次にn^2+n+1の漸化式を求めてみました。
n=1の初項:3
漸化式 a(n+1)=a(n)+2*(n+1)
a(n+1)-a(n)=2*(n+1)
→
a(1)=3,a(2)=7,a(3)=13,..
a(n)を並べてみます。
3,7,13,21,31,43,57,73,91,111,133,157,183,211,241,...
その1桁目を取り出してみます。
3,7,3,1,1,3,7,3,1,1,3,7,3,1,1,...(3,7,3,1,1を繰り返す)
その速度(微分)は
4,-4,-2,0,2,4,-4,-2,0,2,4,-4,-2,0,...
(2,4,-4,-2で0になるように繰り返し保存する。)
となりました。
従って、n^2+n+1の1桁目の速度(微分)と9の倍数の1桁目の速度(微分)は異なるので、
n^2+n+1は9の倍数ではないように考えられました。
僕はバラ曲線が好きですね。
r=asinθのaを有理数の範囲でいろいろ変えるだけで様々な曲線になり、
その全てが美しい形になることに数学の美しさを感じます。
初めからMod9で進めました。
動画のようにMod3で考え、絞る方がシンプルでいいなぁと思いました。
サムネを見た瞬間に思いついた、n^2+n+1=9mと仮定して背理法で処理、という方法で解いてしてしまいましたが、やはり合同式の方がスマートそうですね
9n,9n±1,9n±2,9n±3,9n±4の9通りに分類して1つずつ確認しました。
鉄塔武蔵野線を聞き取るのに検索したり苦労しました
n=m+1とすると
n^2+n+1=m^2+3m+3となり、これが3の倍数ならばmは3の倍数になる
m=3kとおくと、9k^2+9k+3となり、これは9で割ると必ず3あまるため9の倍数ではない
という方法を考えました
おはようございます。modの力を借りて解けることに、感謝しています。貫太郎先生ありがとうございました。
おはようございます。
私の好きな曲線は、クロソイド曲線です。（車は運転しませんが、…。）
ちなみに、Wikipedia のクロソイド曲線の項には、加速度の変化の割合である "躍度" が登場します。
躍度って初めて聞きました！x'''(t)ってことですか。
@@smbspoon-me-baby さん
そうですね。位置の２回（階？）微分である加速度をさらに微分したものだそうです。
私も、最近 QuizKnock の動画か何かで知ったものです。
おそらく、直線運動では問題にならず（そこまで言い切っていいかなぁ？）、角加速度の変化にあらわれるものだと思います。
@@HachiKaduki0501 電車の乗り心地を考える際にジャークという名で三次微分が使われています。躍度0.52のブレーキは躍度0.26のブレーキの2倍以上耐えれない人が出るというPDFもあります。
@@北村陽道 さん、ありがとうございます。
直線運動でも、加減速の時に留意しなければならないのですね。
私の次男が、所謂 "鉄ヲタ" なので「知ってるか？」って尋ねてみようと思います。（会話をなくす "決定打" になりかねませんけれど。）
合同式に慣れてないので助かります。
いつのまにか野獣堕ちしててワロタ
@@yuukinishimura9346 堕ちました
積分の式に捻りが足りなくて草
せめて、
∫[0≦x≦9] (10/3)x^2dx
くらいにはして欲しかった。
@@smbspoon-me-baby シンプルがちょど良いので。
今度は違う積分にしようと思います。
801と810ってなんか似てるね。
もし、9 の倍数になる n が存在するなら n(n+1) ≡ -1 (mod 9).
これは n と n+1 の一方が -1 に他方が 1 に合同、あるいは一方が 2 に他方が 4 に合同なことを示しているが、隣り合う 2 整数がこのようになることはありえない。
したがって、n^2 + n + 1 は 9 で割り切れない。
と解きました。
extraordinary!
最近問題を見た瞬間に解法を考えるのが楽しいです。
サムネ見た瞬間nに関する全称命題(離散量)なので、
1数学的帰納法
2剰余系の利用(余りで整数を分類)
3背理法
の3つのパターンでの解法を思いつきました。
mod3、4と平方数は相性がいいというのは前から仰っていたことなので、倍数証明問題などでこの発想は大切にしています
最初mod9でしましたが、余りを全通り確かめるのは少し面倒臭く感じたのでmod3で示しました
modの力って偉大ですね...笑
追記:なるほど、mod9でも余り全通り確認しなくても背理法で示せちゃうのか...
面白いですね
スッキリしているけど頭を使う良い問題！
なるほど
mod3で絞り込めるんですね😲
私は普通にmod9でチマチマ処理しました😅
山本さんのコメントの解法と同じような解き方だったんですね
これらもいいです。😃
@@coscos3060 さん
そうみたいですね😄
以前から気になっていたのですが，2 つの整数 a, b と正の整数 m について，a と b が m を法として合同であることの定義は，a-b が m の倍数であることです．定義を重視する貫太郎さんの動画に何故かこの定義がきちんと出てきたことがないような気がするのです．
この問題、素直に９の倍数で考える人が多数だと思うけど、mod３はなかなか思いつかないｗ
あともう一つは逆に１足してmod10で考えると、9は余り-1と考えて、それが成り立たないことを示せればＯＫ…という考え方もありそう。
数学って自由ですね（笑）
9と10は互いに素なので、mod 10の情報からmod 9に関する情報は出てきません。
手間はかかりますが、nに0から8までの整数を代入してどれも0にならないことを確認しても良いです。このことを証明しても良い勉強になると思います。高校の範囲でできます。
(環論の観点からℤ/9ℤ上の多項式と見て、この環上で既約であることを見ているということになります。)
高２です
今日から毎日解きます！！
そういうTシャツ、どこで売ってるんです、、？
オイラーの公式Tシャツ、合言葉は「貫太郎」です。www.ttrinity.jp/p/248613/
与式=9mと置いた式の判別式=3(12m-1)が平方数ではあり得ない、というのはだめなのかな。
n(n+1)は8にならない
mod9で背理法
おはようございます😤
カテナリーは歴史知るとおもしろいですよ。
1600年代前半、ガリレオもメルセンヌもあのフェルマーも、「ひもを両手で持って垂らすとだいたい放物線じゃね？」と思ってたらしいです。
それを「なんか違うよな〜」って自力で計算して放物線と懸垂線は違うって証明したのは当時17歳の学生ですってw
鉄塔武蔵野線! まさかここでそれを聞くとは
懸垂曲線の式ってもしかしてsinh?
@@9cmParabellum あ、そっちか。ありがとう
ヨシッ❗
この動画を見た時、既に別解解説動画も上がっていたので、なるべく鮮やかに解きたいと思ったが、とりあえずmod 9で一通り試すというオーソドックスなヤツでやって確認した後で考える事にした。
で、考えてみたんだが、結局、余り大したのは出ず（笑）。
n^3≡0，±1（mod 9）という割りとキレイなのが出たが、上手く生かせなかった。
で、n^3≡1（mod 9）となるのは、n≡1，4，7（mod 9）
⇔n≡1（mod 3）なので確認して…っていうつまらん解法しか出ませんでした。
なるほどお
合同式を用いなくても、n^2+n=n(n+1)として連続二整数の積と見れば、3の倍数を含む時は明らかに9の倍数ではないことが分かるので、3の倍数を含まない時のみについて考えれば良いと思いました。