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Als höhere Mathematik bezeichnet man die Mathematik jenseits des Realschulabschlusses. Die höhere Mathematik bildet die Grundlagen für ingenieur- und naturwissenschaftliche Studienfächer.
Hallo Susanne, man sollte erwähne dass nur Pythagoreische Zahlen-Tripel vorkamen. Wenn man diese nicht weiß bietet sich bei 9 * 16, aber auch an das ganze als (3*3)*(4*4) zu schreiben und dann die Wurzel zu ziehen.
Wenn man den Höhensatz des Euklid nicht kennt, kann man sich diesen auch selbst herleiten. Indem man drei mal den Satz des Pythagoras aufstellt und dann ineinander einsetzt. Mit den im Video gegebenen Variablennamen sieht das so aus: h² + p² = x² h² + q² = y² x² + y² = (p + q)² Einsetzen von 1. und 2. Gleichung in die 3. Gleichung: (h² + p²) + (h² + q²) = (p + q)² 2h² + p² + q² = (p + q)² |1.Binomische Formel 2h² + p² + q² = p² + 2pq + q² |-p² -q² 2h² = 2pq |:2 h² = p * q
Noch schneller (und vor allem einfacher!) geht es, wenn man die Ähnlichkeit der beiden kleinen Dreiecke erkennt und die jeweiligen Katheten ins Verhältnis setzt: p/h = h/q --> h²=pq 😀
Das ist hervorragend erklärt und ist auch gleichzeitig ein Beweis für den Höhensatz. Ich habe es einfach angewendet und die 3-4-5 Regel gesehen, denn alle 3 Rechtecke entsprechen dieser Regel.
@@jensraab2902 Schneller, ja. Einfacher, nur wenn man sehr viel geometrisches Grundverständnis hat, was ich in Frage stelle, wenn man den Höhensatz von Euklid nicht kennt (was ja die Grundvoraussetzung für meinen Post war). Satz des Pythagoras und 1.Binomische Formel sollte jeder Leihe im Gengensatz noch gerade so kennen.
@@m.h.6470 Also die Ähnlichkeit von Dreiecken zu erkennen (hier über drei gleiche Winkel), halte ich jetzt nicht für etwas, für das man "sehr viel geometrisches Grundverständnis" braucht. Aber ich wollte ja auch nur eine, mMn einfachere und schnellere, Alternative erwähnen. Vom Ergebnis her ist es ja egal, wie man vorgeht. (Ich persönlich würde eben immer die einfachere Option nehmen wollen! 😉) Und es kann auch nicht schaden, verschiedene Methoden zu kennen.
Ich habe das einfach mit den Zahlen 3 und 4 und 5 gelöst, indem ich die jeweils mutipliziert habe. Großes Dreieck mit 5 => 25 20 15 ; das zweite mit 4 => 20 16 12 und das dritte mit 3 => 15 12 9. Auf die se einfache Weise konnte ich das relativ schnell mit Kopfrechnen lösen. Liebe Grüße und vielen Dank dir Susanne
Hallo, immer schöne Aufgaben Bei die Wurzel aus 9* 16 geht einfacher da 9 = 3*3 ist und 16 = 4*4 ist also ist die Wurzel 3* 4 = 12 Nur um es leichter zu machen Bei denAufgaben habe ich immer schöne Erinnerungen an die damaligen Schultage
Genau. Und für die Seiten geht auch die Methode des scharfen Hinsehens: Der Zimmermann baut sich einen rechten Winkel aus einem Dreieck mit den Seitenlängen 3m ,4m und 5m bzw. Vielfache oder Bruchteile davon. Wir haben für das eine Dreieck bereits 3*3 und 3*4, dann ist die fehlende Seite 3*5, das andere Dreieck ist ein ähnliches Dreieck mit 4*3 und 4*4, dann ist die fehlende Seite 4*5. 1863 gab es noch keine Taschenrechner, deshalb wurden die Zahlen wohl so gewählt, dass man alles auch ohne diesen berechnen kann.
Das geht auch mit dem Satz von Thales recht schön. Vom Mittelpunkt der Basis ((9+16)/2 = 12,5) zur oberen Spitze des Dreiecks ist die Länge ebenfalls 12,5. (Thaleskreis). Damit kann man dann die Höhe einfach berechnen. Wurzel(12,5^2 - 3,5^2) = 12.
Da ich den Höhensatz tatsächlich entweder nie kannte, oder 33 Jahre nach verlassen der Schule wieder vergessen hatte, habe ich es auch über den Thaleskreis genau wie beschrieben gemacht. Die beiden Katheten des großen Dreiecks dann anschließend wie im Video.
Vielen Dank für die interessante Vermittlung der Mathematik. Was ich unbedingt loswerden muss: ich wurde durch die Infos in deinem RUclips Kanal auf deine Band aufmerksam. Habe daraufhin die Alben in Spotify gehört. Hammer ! Du hast eine sehr schöne Stimme.
"Ist ganz gut, wenn man die Quadratzahlen im Kopf hat." Ohh ja. Das war vermutlich vor 50 Jahren oft mein Verhängnis. Susanne, Deine Bemerkungen sind immer sehr hilfreich!
Hi, Es ist immer wieder ein positives Erlebnis deine Bespiele vorzurechenen bzw. dies zu versuchen. Ich habe versucht drei Gleichungen fuer drei Unbekannte aufzustellen, was zum Beweis vom Hoehensatz fuehrte! Folglich landete ich dort , wo deine Loesungdansatz anfing! Echt klug ausgesuchtes Beispiel. DANKE
Es geht übrigens noch einfacher als mit drei Gleichungssystemen. Wenn man sieht, dass die zwei kleinen Rechtecke, die durch das Einzeichnen der Höhe entstehen, ähnlich sind (was man anhand der Winkel erkennen kann), dann weiß man, dass das Verhältnis der Katheten gleich ist und kann folgende Gleichung aufstellen: p/h = h/q Und das führt direkt zum Höhensatz: pq = h² 😀 (Ich habe das eben so gemacht, weil ich mir die ganzen Dreiecksgleichungen, wie z.B. Höhensatz oder Kosinussatz nie merken kann. 🤦🏼♂😅)
@@jensraab2902 Klar hast recht. Ich habe die Aehnlichkeit der zwei Dreiecke nicht beweisen koennen. Trigonometrie ist auch sehr gut.👍👍Das sind genau jene Gruende, warum ich die Beispiele in diesem Kanal toll finde. Man erkennt viele Zusammenhaenge, wenn man sich mit den Beispielen laenger befasst.
@@KS-rh3qq Der Ähnlichkeitsnachweis geht schnell über die Winkel. Das große Dreieck hat einen rechten Winkel und zwei spitze; nennen wir die wie üblich α und β. Die zwei kleinen Dreiecke entstehen ja durch Einzeichnen der Höhe und haben daher definitionsgemäß auch einen rechten Winkel. Das eine Dreieck hat den Winkel α und deshalb muss der unbekannte Winkel β sein. Im anderen Dreieck ist die Logik analog, nur dass hier der fehlende Winkel α ist. Wir haben es also mit lauter Dreiecken mit den Winkeln α, β und 90° zu tun, d.h. nicht nur die zwei kleinen Dreiecke sind ähnlich, sondern auch das große! 😀
@@jensraab2902 Ok, Dh. nicht ueber Seiten und Winkel sondern drei gleiche Winkel. Dazu muss man auch, mathematsch dargestellt, ein Gleichungssystem aufstellen jedoch viel einfacher in der Handhabung. Danke
@@KS-rh3qq Ich sehe da ehrlich gesagt nicht, dass ein Gleichungssystem nötig ist. Für Dreiecke gibt es die sog. Ähnlichkeitssätze. (Die vier Ähnlichkeitssätze findet man übersichtlich im Wikipedia-Artikel "Ähnlichkeitssätze"; ich verlinke das hier nicht, weil mir sonst wahrscheinlich der Kommentar wieder einkassiert wird...) Im vorliegenden Fall ist das der WWW-Satz. Das W steht einfach nur für Winkel. Den fehlenden Winkel berechnet man aus der Tatsache, dass die Innenwinkelsumme aller Dreiecke (in der Ebene) 180° ergibt. Hier würde man also die Gleichung α + β + 90° = 180° nach dem gesuchten Winkel auflösen. Ich will mich nicht mit dir streiten, sehe aber wirklich kein Gleichungssystem. 😉
A short (but quite rigorously worked out) version for professionals who don't like formulas but like "recognizing things": The two small triangles are both similar to the large triangle by the respective angle their share with it (and the right angles). Being similar to the same triangle they are similar to each other. Since they share the lot as their common side and are not equal, their similarity coefficient is not equal to 1, in particular the side corresponding to the lot in them is the respective line segment of the hypothenuse. That gives a*9=1/a*16 for an a which gives a=4/3. a=4/3 yields with the above considerations the lot L=4/3*9=12. We have now in the triangle with the 9, one leg equal to 9 and another equal to 12. We recognize that the numbers are up to the factor 3 those of the two of the side lengths of the egyptian (right-angled) triangle with sides equal to 3,4,5. Now having two legs differing from those of egyptian triangle by factor 3 (and the right angle) our triangle with the 9 is the egyptian triangle enlarged by 3. That is, its remaining side is equal to 15. Same way the triangle with 16 gives egyptian triangle enlarged by 4 which yields 20 for its remaining side. That's how the case can be computed purely in mind without writing anything down or even sketching.
Ich habe mein Ergebnis graphisch überprüft. Stimmt. Test bestanden. Ich habe meine gute Mathenote vor 50 Jahren wohl verdient. Und nun schaue ich mir das Video an, ob ich den selben Lösungsweg habe oder ob es auch anders geht.
Merci pour la vidéo, je vais donner le problème à mes élèves mais sans le théorème d'Euclide qu'ils ne connaissent pas. Ils feront tout avec le théorème de Pythagore :)
Ich hatte damals einen Mathelehrer, der nicht Lehramt studierte, sondern ein richtiger Mathematiker war.... Ich kann mich bis heute, an seinen Satz erinnern: "Schreibt euch die Quadratzahlen auf ein DIN A4-Blatt und hängt es im Klo auf. Wenn ihr aufs stille Örtchen müsst, dann schaut ihr drauf, ABER NICHT AUSWENDIG LERNEN!!! Das geht von alleine!" Er hatte recht...
Hallo Susanne, erst mal hoffe ich, dass Du gut in die neue Woche gekommen bist. Einmal mehr lieben Dank für die Aufgabe und liebe Grüße auch an Thomas. Allen anderen hier natürlich auch einen guten Start in die neue Woche. Nun zur heutigen Aufgabe: Als ich die Skizze zur Aufgabe gesehen hatte, dacht ich mir Mist, da war doch was mit Höhensatz... verdamp lang her, verdamp lang, verdamp lang her... Weil ich den im Moment nicht auf der Rille habe, hier mein Lösungsvorschlag ohne Höhensatz. Da keine Einheiten angegeben sind, unterstelle ich "Längeneinheiten" (LE). Zum Rechnen lasse ich diese jedoch weg. Die beiden Schenkel des Dreiecks bezeichne ich mit a und b, die Höhe (das Lot, der Strecke, die das Dreieck aufteilt als d. Die Eckpiunkte des großen Dreiecks seien von links nach rechts bzw oben gegen den Uhrzeigersinn A, B und C, Der Schnittpunkt des Lots durch C und der Hypothenuse (=längste Seite) des großen Dreiecks D Die Strecke AC sei a, die Strecke CB sei b und die Strecke CD (das Lot) sei d. (Ich weiß, dass die Streckenbezeichnungen meistens so gewählt werden, dass der Buchstabe der Strecke ein anderen ist, wie die Großbuchstaben der zugehörigen Punkte...) seht es mir nach 🙂 Somit gibt es die beiden kleineren Teildreiecke ADC, sowie DBC, welche jeweils die Strecke CD =d gemeinsam haben. Da hier über Strecken gesprochen wird, glit zunächst a,b,d €R>0, also alle reellen Zahlen größer 0. (Im weiteren Verlauf wird sich zeigen, dass Susanne die Aufgabe "ganz lieb" gewählt hat, also nir ganze Zahlen herauskommen.) Aus der Aufgabenstellung heraus weiß man: AD=9 DB=16 Für das linke Teildreieck ADC gilt nach Pythagoras (1) 9^2 + d^2 =a^2 Für das rechte Teildreieck DBC gilt nach Pythagoras (2) 16^2 + d^2 = b^2 Für das große Dreieck ABC gilt nach Pythagoras (3) a^2 + b^2 = (9+16)^2 Jetzt kann man statt a^2 den linken Teil aus (1) und statt b^2 den linken Teil aus (2) in Gleichung (3) einsetzen und erhält: (4) 9^2 + d^2 + ^6^2 + d^2 = (16+9)^2 Jetzt kann man alles was berechenbar ist ausrechnen. (Auch wenn das rechts wie eiene binom. Formel aussieht, braucht man diese hier nicht anwenden, da in der klammer ja nur 'richtige' Zahlen stehen 🙂 Danach bekommt man: (4.1) 81+ 2*d^2 + 256 = 625 | -81, -256 (4.2) 2*d^2 =288 | :2 (4.3) d^2=144 | Wurzel ziehen (4.4) d1/2 = +/- Wurzel(144) =+/-12 Da d eine Strecke repräsentiert, ist nur d=12 eine Lösung im Sinne der Aufgabe. jetzt das gefundene d bzw d^2 in die Ausgangsgleichungen (1) bzw. (2) einsetzen um a bzw b zu berechnen (1.1) 9^2 +144 =a^2 =81 + 144=225 =15^2 a somit 15 (auch hier wieder nur pos. Lösung relevant) (2.1) 16^2 + 144 =b^2 = 256 + 144 =400 b somit 20 (auch hier nur pos. Lösung relevant) Probe: (ich empfehle, die immer zu machen, um sicher zu gehen, dass gefundene Lösungen richtig sind.) 15^2 + 20^2 = (9+16)°2 Verglecihe Gleichung (3) 225 + 400 = 25^2 | 625 = 625 wahre Aussage LG aus dem Schwabewnland.
Ja cool. Den Höhensatz kannte ich so noch nicht. Aber den Extraschritt nach 25^2 aufstellen und 2h^2 herausrechnen war jetzt auch nucht so umständlich. Da war ich völlig überrasch wie schnell ich h hatte. 😮 Nice Sache
Höhensatz kommt normalwerweise mit den anverwandten Kathetensätzen daher: a²=c*p und b²=c*q wobei p und q tunlichst die den jeweiligen gesuchten Seiten gegenüberliegenden Hypothenusenschnipsel sind. in unserem Fall mit c= 16+9=25 und p= 9 und q =16 gilt x²=25*9 und y²=25*16 x²= 225 und y²= 400 ob Pythagoras der Teildreiecke oder Euklids Kathetensätze: Ergebnisse sind natürlich dieselben :D noch eine Ableitung aus den bekannten Gleichungen: h= a*b/c ( auch das gilt nur mit rechtem Winkel !!!) schauen wir mal... h= 15*20/25= 300/25 =12 na, wer hätte es gedacht :D
5:00 ich bin gerade etwas am grübeln. Kann ich bei 12²+9²=x² nicht als erstes die Wurzel ziehen? Dann wäre die Rechnung 12+9=x. Aber so komme ich nicht auf 15. Liegt es daran, dass Punkt- vor Strichrechnung gilt?
Vorsicht, wenn du die Wurzel ziehst, dann muss die Wurzel über die komplette linke Seite gehen. Also Wurzel(12²+9²), was dann Wurzel(225) ist. Es gibt kein Gesetz, das dir erlaubt bei „plus“ die Wurzeln auseinanderzuziehen. Also es ist dann *nicht* dasselbe wie Wurzel(12²) + Wurzel(9²). Hilft dir das? 😊
Taschenrechner gab es zwar noch nicht, aber Rechenschieber ... Mit dem Satz von Thales geht es auch: Die Linie vom Mittelpunkt der Hypotenuse bis zum Eckpunkt ist halb so lang wie die Hypotenuse, also ergibt sich die Höhe h² =12,5² - 3,5² = (25/2)² - (7/2)² = 12² ... usw ...
Da der in der Zeichnung rechte Winkel derselbe ist, wie der obere Winkel im kleinen Dreieck, könnte man Einzelrechnungen mit dem cos dieses Winkels aufstellen. Wenn man diese Einzelrechnungen gleichsetzt kommt man auf: y/25 = 16/y y=20 Der Rest ergibt sich pythagoreisch.
Den Höhensatz nennt man auch den Satz des geometrischen Mittels. Außerdem ist er ein Spezialfall des Sehnensatzes und die doppelte Anwendung des Satzes des Pythagoras auf die beiden kleinen ähnlichen rechtwinkligen Dreiecke.
Malt man c² (= a²+b²), teilt die Verlängerung des Lotes dieses in 2 Rechtecke, die je den Flächeninhalt von a² und b² haben; folgt z.B. b² = 16 x [16+9=25] = 4x4x5x5 = 4x5x4x5 = 20x20, analog wären 3x5=15 ... Ergibt kleinere Quadrate, die einfacher zu rechnen sind.
Was gelernt, den Höhensatz hatte ich nicht auf dem Schirm, geht aber auch ohne, man kann 3 Gleichungen mit dem Satz des Pythagoras formulieren, bei 3 Variablen bekommt man das gelöst. Ist natürlich etwas umständlicher.
Ich habe nicht an den Höhensatz gedacht. Habe drei Pythagoras-Gleichungen aufgestellt und über das Einsetzungsverfahren gelöst. Ging auch recht schnell. 😊
Spannend! Ich habe natürlich den Satz Euklids nicht mehr gegenwärtig und habe mit dreimal Pythagoras und Substitution versucht. Offensichtlich waren diese Gleichungen voneinander abhängig, denn ich drehte mich in Kreisen... bis ich merkte, dass 9+16=25, und dass x2 + y2 = 625. Danach konnte ich die kleineren Dreiecke x2 bzw. y2 als z2 + z2 + ganze Zahlen ausdrücken und die Gleichungen nach 2x2 lösen.
kann mir eine oder einer bitte erklären wie ich das mit dem Katheter satz lösen kann!! Satz von Pytagoras habe ich ja so weit verstanden. Und Satz des euglid ist dann das mit der Höhe? Nur habe ich dann ja mehrere hyperthenusen in dem dreieck . Auf welche beziht sich das immer ?
@@Nikioko vielen Dank, habe es verstanden aber es dauerte. Im internet steht das das der Katheter Satz von euklit ist, also ist beides wohl das gleiche. Ich dachte es wären zwei verschiedene, da lag woll mein Fehler, danke dir
Kann man das nicht schneller lösen, indem man bedenkt, dass laut dem Satz des Pytagoras die Seiten proportional 3 zu 4 zu 5 sind? In dem Fall sind 25(5), 20(4), 15(3). Wenn man nun die neue Hypotenuse von 15 nimmt, was dann die 5 entspricht, ist dann die Strecke von 9=3, weil 9 zu 15 3/5 sind. Und somit ist das Lot 12, weil es eben 4/5 entspricht.
Hallo Susanne, zu dem Thema habe ich eine weiterführende Frage. Wenn die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks ganzzahlig sind, bekommt man ein pythagoräisches Tripel. Gibt es einen Namen dafür, wenn auch die Höhe über der Hypotenuse ganzzahlig ist, wie in diesem Fall? Und, wo wir gerade dabei sind 😄, gibt es beliebig viele davon und wie kann man sie ggf. konstruieren?
Nachtrag, zur letzten Frage habe ich gerade einen (den?) Weg gefunden. Da die Höge über der Hypotenuse gleich dem Produkt der Katheten geteilt durch die Hypotenuse ist (hc=a*b/c), ergibt eine Erweiterung des Tripels mit c immer eine ganzzahlige Höhe. (Tripel: a,b,c => Tripel ac, bc, c²) Das Beispiel aus dem Video ist ein solches: Tripel 3, 4, 5 => 3*5, 4*5, 5² = 15, 20, 25 mit Höhe über c 15*20/25 =12.
@@HiR0SHi.the.D0G das eine Dreieck ist 9 12 15, das andere 12 16 20 und das große halt 15 20 25; alles 3 4 5er Dreiecke, aber in 3fach 4fach 5facher Größe :) klar gehen diese Tripel allesamt auf, nur ist dieses simple Wissen beim MIT nicht gefragt; du sollst es auch berechnen können.
@@Flowyerg Was ich damit meine: Wenn die Hypotenuse 25LE lang ist, dann darf man aufgrund des Vielfachen des pythagorei schen Tripels nicht von 15LE und 20LE ausgehen. Es könnte beispielsweise sein, dass die eine Kathete 13LE lang ist, während die andere nach dem Satz des Pythagoras Wurzel aus 794LE wäre.
Ohne Euklid mit 3x Pythagoras geht auch. Bei den kleinen Dreiecken nach h^2 auflösen und beide gleichsetzen. Dann nach x^2 oder y^2 auflösen und im Pythagoras des großen Dreiecks einsetzen. So erhält man x, dann y und schließlich h.
Es geht auch komplett ohne Pythagoras, nur mit den Seitenverhältnissen ähnlicher Dreiecke. Damit lassen sich nämlich Höhensatz, Kathetensatz und Pythagoras beweisen: h/p = q/h, c/a = a/p und c/b = b/q.
Das Lot teilt das rechtwinklige Dreieck in zwei kleinere, zum ursprünglichen Dreieck ähnliche, rechtwinklige Dreiecke. Und bei ähnlichen Dreiecken sind die Seitenverhältnisse gleich. Es gilt daher: h/p = q/h. Multipliziert man auf beiden Seiten mit hp, bekommt man h² = pq. Der Höhensatz ist bewiesen. Ferner gilt: a/p = c/a und b/q = c/b. Multipliziert man auf beiden Seiten mit ap bzw. bq, erhält man a² = pc und b² = qc. Der Kathetensatz ist bewiesen. Addiert man beide Kathetensätze, bekommt man a² + b² = pc + qc = (p+q)c = c². Der Satz des Pythagoras ist bewiesen.
Herzlichen Dank für diese Quiz Frage aus MIT 😀 Man könnte die Lot als h bezeichnen (oder auch als AO) in diesem ABC Dreieck. h²=p*k oder: AO²=BO*CO AO²=9*16 AO²=144 AO= √144 AO= 12 LE Nach dem Satz von Pythagoras, der linke Schenkel: AB²=AO²+BO² AB²=12²+9² AB²= 225 AB= √225 AB= 15 LE Für den rechten Schenkel, nach dem Satz von Pythagoras: AC²=AO²+CO² AC²=12²+16² AC²= 400 AC= √400 AC= 20 LE oder auch: AB²+AC²=BC² 15²+AC²=25² AC²= 625-225 AC²= 400 AC= 20 LE Wie sieht es heute mit den Aufnahmeprüfung Fragen von der MIT aus ?
Cool, ich kannte den Höhensatz des Euklid nicht. Ich habe es dann etwas umständlicher gelöst. Ich habe einen Kreis mit der Hypotenuse des großen Dreiecks als Durchmesser um das Dreieck gezeichnet. Dabei muss die Ecke mit dem rechten Winkel ja auf dem Kreis liegen. Dann habe ich von der Mitte der Hypotenuse den Radius zum rechten Winkel eingezeichnet und habe in kleines Dreieck erhalten mit dem Radius, dem Lot und dem Reststück aus der Hypotenuse. Das Reststück kann ich ausrechnen und den Radius weiß ich auch. Somit konnte ich dann das Lot über den Satz des Pythagoras berechnen und dann äquivalent zu dir auch die beiden Katheten des großen Dreiecks.
Wenn man den Höhensatz des Euklid nicht kennt, kann man sich diesen auch selbst herleiten. Mit den im Video gegebenen Variablennamen sieht das so aus: h² + p² = x² h² + q² = y² x² + y² = (p + q)² Einsetzen von 1. und 2. Gleichung in die 3. Gleichung: (h² + p²) + (h² + q²) = (p + q)² 2h² + p² + q² = (p + q)² |1.Binomische Formel 2h² + p² + q² = p² + 2pq + q² |-p² -q² 2h² = 2pq |:2 h² = p * q
Wenn man das pytagoreische Zahlentripel (3,4,5) kennt und sieht, daß die 9 das Dreifache der 3 sowie die 16 das Vierfache der 4 jeweils innerhalb des Zahlentripels darstellt, braucht man nicht viel zu rechnen und kann quasi die anderen Werte direkt an die Seiren schreiben!
Meine Lösung: geometrisches mittel von 2 werten ist "zufälligerweise" genau über ein solches rechtwinkliges dreieck definiert ((produkt von n positiven reelen werten)^(1/n)=geometriaxhes mittel) geometrisches mittel(h hier) = sqrt(9*16)=12
Ich war bei der Formulierung der Aufgabenstellung überfordert. Die Formulierung, das Lot zu fällen hat mich ratlos gemacht. Speziell deswegen, weil die Seite x ja schon senkrecht war und ich mir nicht vorstellen konnte, wo ich einen weiteren rechten Winkel einzeichnen sollte. Mit deiner Erklärung hat es dann Spaß gemacht. Wer oder was ist MIT?
Die Höhe hätte ich ebenfalls mit dem Höhensatz des Euklid berechnet. Dann lässt sich bei den Kathenlängen 9 und 12 sowie 12 und 16 mit etwas Übung erkennen, dass es sich um sogenannte pythagoräische Tripel handelt, wenn man als kleinstes pythagoräisches Tripel 3, 4 und 5 im Kopf hat. So sind die hier auftretenden Zahlen Vielfache davon. Somit lassen sich die fehlenden Seiten im Kopf berechnen.
Wer richtig rechnet, wird belohnt, weil alles prima aufgeht. Zudem erhält er eine gute Note. Zu bedauern ist der schwache Rechner. Er benötigt viel Zeit, weil er etwas falsch gemacht hat und es dann nicht mit ganzen Zahlen aufgeht.
Landvermessern und verwandten Berufen kostet eine solche Aufgabe wohl nur ein müdes Lächeln, denn wenn ich das aus dem Schulunterricht richtig in Erinnerung habe, werden mit den Sätzen von Euklid und Pythagoras bereits seit Jahrhunderten Gelände, Berge und Täler vermessen. :) Kleiner Tip zum Kopfrechnen: 9x = 10x - 1x. D.h.: 9*14 ist gleich 10*14 minus 1*14, also 14 weniger als 140. Dazu muss man nichts schriftlich rechnen. ;)
Kannst du auch mit Rechenschieber und Logarithmentafel rechnen? Das waren nämlich die Hilfsmittel, die Landvermessern vor dem Aufkommen von Taschenrechnern zur Verfügung standen.
@@Nikioko Log.-Tafeln haben wir tatsächlich in der Oberstufe benutzt. (Daraus kann man ableiten, daß ich wahrscheinlich einer der ältesten Zuschauer auf diesem Kanal bin. 😁) Einen Rechenschieber habe ich immer noch in der Schublade, habe aber inzwischen wieder verlernt, damit umzugehen. Aber mal sehen: wenn das nächste große Wegsperren der Bevölkerung kommt, auf Neudeutsch verniedlichend auch "Lockdown" genannt, werde ich mich noch mal intensiv mit dem Teil beschäftigen.
Da ich schon ein paar mal mit einer "Zwölfknotenschnur" gearbeitet habe, sind mir die 9 und die 16 natürlich gleich in's Auge gestochen, das sind die Quadratzahlen von 3 und 4. Also sind das alles 3:4:5 Dreiecke! Der Rest ist ein Bisschen Kopfrechnen. (Quadratzahlen bis 25 hat man zu meiner Zeit in der Mittelschule auswendig gelernt.) Die Zwölfknotenschnur kennen wahrscheinlich nur noch wenige. Schade, ist eine höchst interessante Sache: Uralt, simpel und genial! Damit kann man rechtwinklige Dreiecke konstruieren. Es gilt nämlich nicht nur mathematisch 3 + 4 + 5 = 12, sondern auch auch geometrisch 3^2 + 4^2 = 5^2 😉 Die Zwölfknotenschnur, die man heutzutage noch in der Landwirtschaft verwendet (z.B. zum Anlegen von Rebbergen) hat zwischen den Knoten etwa 1-2m Abstand. Wie viel genau ist eigentlich egal, Hauptsache alle Abstände sind exakt gleich.
Das geht deutlich schneller und im Kopf. Der Ansatz mit dem Höhensatz ist gut. Aber dann sieht man doch, dass 9 und 16 Quadrat zahlen sind. Ich kann einzelnen aus denen die Wurzel ziehen und dann multiplizieren und laande sofort bei 3 * 4 = 12 Grosses Teildreieck für lange Kathete. Dies ist ein pytthagräisches Dreieck mit den Verhältnissen 3 : 4 :5. Eine Kathete ist 4 * 3, die andere 4 * 4 . Also ist die Hypotenuse 4 * 5 = 20 Kleines Teildreieck. Gleicher Trick. Eine Seite ist 3 * 3, die andere 3 * 4. Also ist die dritte Seite 3 * 5 = 15. Ich habe habe nicht ein einziges Mal quadriert oder Wurzel gezogen. 😎
Mein Lösungsweg war auch einfach, ich sah, dass 16+9=25 ist und ist die gesamte Hypothenuse des Dreiecks. Nebenbei weiß man, wenn eine Hypothenuse gleich 5 beträgt, so muss die Seitenlängen immer 3 und 4 betragen... Das Dreieck mit der Hypothenuse von 5 Längeneinheiten ist im Seitenlängen-Verhältnis von 1:5 mit das Dreieck im Video... Das heißt ich musste nur die 4 und die 3 Mal 5 nehmen, so hatte ich dann also die Seitenlängen
Das stimmt so nicht ganz, dass die Seitenlänge der Katheten immer 3 und 4 sein muss, wenn die Hypothenuse 5 ist. Es ginge zum Beispiel auch 1 und sqrt(24). Lässt sich nur nicht so schön ganzzahlig lösen.
@@buehme Aber irwie sieht man es doch am Video allein wenn die 9 und die 16 wurzelt, kommen ganzzahlige Zahlen raus, also kann man ja wohl direkt vermuten, dass die Katheten auch ganzzahlig sind
@@buehme Dieser Ansatz ist zwar nicht immer anwendbar, laesst sich aber in diesem einen Fall beweisen. Aehnliche Dreiecke. Den Beweis muss man jedoch fuehren! Das macht die Sache nicht einfacher als im Video dargestellt. Waeren keine Zahlen 9 und 16 angegeben sondern p und q, dann verliert diese Loesungsweg ihre Gueltigkeit, wie Du richtig gesagt hast.
Bei Höhensatz des Euklid (und Kathetensatz) klingelt es gaaaaaaaanz leise. Ja, dürfte ich in der Schule gehabt haben. 😉 Aber nach gut 40 Jahren ist da nichts mehr mit Abrufbarkeit. Aber schön daran erinnert zu werden, was man mal konnte.
Ging mir ähnlich. Ich hatte beim ersten Ansehen direkt "Euklid und Höhensatz" im Kopf, aber wie der ging, musste ich nachschlagen (auch schon 45 Jahre her).
Das übliche rechtwinklige Dreieck ist meist mit Seitenlängen 3,4,5. wenn man nun das erste Dreieck mit 3 streckt (Seiten 9,12,15) das 2. dann mit 4 -> (12,16,20) Denke das erkennt man durch einfache Beobachtung !
hmmmm, da 9 und 16 selber Quadratzahlen sind und es demnach einfach wäre: gilt dann auch immer h= (Wurzel aus p) * (Wurzel aus q) ? man muss halt nur das Wurzelziehen konsequent *vor* der Multiplikation ausführen; in unserem Fall ist es h= 3*4 =12
An den Satz von Euklid habe ich mich nicht mehr erinnert. Da insgesamt 3 rechtwinklige Dreiecke vorliegen, kann man 3 Gleichungen für x^2, y^2 und h^2 mit dem Satz des Pythagoras aufstellen. 3 Gleichungen für 3 Unbekannte -> Liefert die gleichen Ergebnisse.
9 * 16 ... oder auch 3* 3 * 2 * 2 * 2 * 2 = 12 * 12 .. 144 ^^ wobei .. ich habe den "äußeren" Pythagoras gebaut .. 625 = x^2 + y^2 und dann mal geraten auf 15 und 20 für x bzw. y .. damit ergeben sich dann 2 Pythagoras-Gleichungen für die beiden Teilflächen 20^2=16^2+h^2 und 15^2=9^2+h^2 .. beide ergeben ebenfalls h^2=144 und damit als Lotlänge 12 Leicht erstaunlich, dass du für die Generation Taschenrechner oder Computer selbst sehr einfache Additionen und Multiplikationen so auswalzt.. Kopfrechnen wird wohl gar nicht mehr unterrichtet?
Habs umgekehrt über den Kathetensatz des Euklid gelöst, also erst x gelöst x² = p*(p+q) = 9*(9+16) = 225 |sqrt x = 15 h² = x²-p² = 15²-9² = 225-81 = 144 |sqrt h = 12 auch alles wumbaba im Kopf ausrechenbar ...Deine Lösung ist allerdings doch wesentlicher eleganter!
Vielen Dank für die Tolle Aufgabe 😊👍 Ich habe da eine Dumme Frage Sind die Winkel nicht alle 90° zu 2*45°? Wenn ja könnte man doch auch mit der Sinus Formel sin(Alpha°)=Gegenkathete/Hypotenuse Arbeiten und alles Ausrechnen Die Frage die mir noch in den Sinn kommt gab es Sinus Cosinus Tangens 1869😅
Ich verstehe deine Frage nicht so ganz. Meinst du mit "Sind die Winkel nicht alle 90° zu 2*45°?", dass das Dreieck gleichschenklig ist? Wohl nicht, weil es ja dann symmetrisch wäre und die beiden Abschnitte links und rechts der Höhe gleich wären, was hier ja nicht der Fall ist. Edith sagt: Und ja, die trigonometrischen Funktionen waren 1869 schon laaaange bekannt.
@Jens Raab Danke für deine Antwort Ein Lot ist für mich senkrecht und das bedeutet für mich das der 90° Winkel geteilt wird macht für mich 45° Aber du hast Recht dann müsste es Gleichschenkelich sein Macht aber nix auch mit dem bekannten 90° Winkel lässt sich das gut ausrechnen 😅
@@patsauregurke4131 Ah, jetzt verstehe ich dich! Ja, der 90°-Winkel wird geteilt und bei einem flüchtigen Blick auf die Skizze könnte man wirklich meinen, dass da zwei 45°-Winkel herauskommen. Das täuscht aber, bzw. wäre es Zufall, wenn die beiden Winkel auf der Skizze wirklich 45° groß wären. Ich weiß nicht, ob du dich noch an den Thaleskreis erinnerst. Wenn du dir dort beliebige Dreiecke anschaust und dir die Höhe dazudenkst, wirst du sehen, dass der rechte Winkel in allen beliebigen Kombinationen geschnitten werden kann, solange die Summe der beiden kleineren Winkel 90° ergibt und natürlich positiv sind (also nicht ein Winkel 105° und der andere -15° - ist ja klar). Ich wollte dir hier ein Bild verlinken, aber der Link wird leider einkassiert und mein Kommentar wird nicht angezeigt. Du findest das Bild in dem Wikipedia Artikel "Satz des Thales" im Abschnitt "Formulierung des Satzes und seiner Umkehrung". Bei dem grünen Dreieck sieht man sehr schön, dass, wenn man die Höhe einzeichnen würde, diese den rechten Winkel nie und nimmer in zwei 45°-Winkel teilt! 😊
@@jensraab2902 Ah vielen Dank das du dir die Zeit genommen hast meine Frage zu beantworten 😊👍 Ich schaue mir auf Wikipedia noch einmal den Satz des tahles an
Mich würde mal interessieren, wie viel Zeit die damals hatten und wie viele Aufgaben es insgesamt waren. Ich kann mir nicht vorstellen, dass die mehr als 3 Minuten für die Aufgabe hatten.
@@MathemaTrick Eigentlich bin schon mit der Schule fertig, aber ich habe im Internet Mathe Aufgaben gefunden, wo Gleichungen dabei waren, ich weiß nicht einmal wie man damit umgeht
Warum multipliziert man 9*16 aus, wenn man hinterhger die Wurzel ziehen muss? Das kostet nur unnötige Zeit! 9 und 16 sind Quadratzahlen und das ist sicher nicht zufällig gewählt: h=√(pq) also √9 * √16 =3 * 4 = 12
[Immer wenn bekannte Formeln herangezogen werden, finde/fände ich es sehr sinnvoll deren Grundlagen (hier, beim Höhensatz: Thaleskreis, ähnliche rechtwinkelige Dreiecke usw.) am vorliegenden Problem nochmal aufzuzeigen.]
Ich kann mich mit dem Höhen-und Kathetensatz nicht wirklich anfreunden. Habe drei Gleichungen mit Pythagoras aufgestellt und dann als Gleichungssysteme gelöst.
Drehen wir die Geschichte noch etwas mehr zurück. Es gibt die beiden Herren Euklid und Pythagoras noch nicht, kann man diese Aufgabe auch ohne deren geniales Wissen berechnen? Also ich bin da raus, meine mathematischen Kenntnisse beschränken sich auf das kleine 1x1 🙂
Damals hat man noch Wert auf verständliche Fragestellungen gelegt !! (9 + 16 sind beides zahlen aus denen sich bequem die wurzel ziehen lässt vor dem zusammenrechnen !)
so hätte ich das gelöst 16+9=25 .. 25 :5= 5 ... 5*4= 20 .... 5*3=15 ..... Fläche vom dreieck( musste zur meiner schande nachgucken) ...lautet A = 1/2 ⋅ g ⋅ h ... nach h umgestellt ........ A= 15*20/0,5 A=150m^2 somit lautet die formel um hrauszufinden h=150m^2/(0,5*25m) ..... m wird weggekürzt... lautet die formel h=150m/12,5 .... h=12
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Hallo Susi, ich hätte y anders ausgerechnet. 9+16= 25 hoch 2 + 15 hoch 2 = y hoch 2.
Kann man so weiter machen?
Nein danke
Soviel zum Thema zumauern. Dazu brauche ich deine Formel nicht.
Als höhere Mathematik bezeichnet man die Mathematik jenseits des Realschulabschlusses. Die höhere Mathematik bildet die Grundlagen für ingenieur- und naturwissenschaftliche Studienfächer.
Hallo Susanne,
man sollte erwähne dass nur Pythagoreische Zahlen-Tripel vorkamen. Wenn man diese nicht weiß bietet sich bei 9 * 16, aber auch an das ganze als (3*3)*(4*4) zu schreiben und dann die Wurzel zu ziehen.
"Höhensatz" - immer wieder spannend bei dir zu sehen, was man alles vergessen hat. 😂
Danke für das Video
Wenn man den Höhensatz des Euklid nicht kennt, kann man sich diesen auch selbst herleiten. Indem man drei mal den Satz des Pythagoras aufstellt und dann ineinander einsetzt.
Mit den im Video gegebenen Variablennamen sieht das so aus:
h² + p² = x²
h² + q² = y²
x² + y² = (p + q)²
Einsetzen von 1. und 2. Gleichung in die 3. Gleichung:
(h² + p²) + (h² + q²) = (p + q)²
2h² + p² + q² = (p + q)² |1.Binomische Formel
2h² + p² + q² = p² + 2pq + q² |-p² -q²
2h² = 2pq |:2
h² = p * q
Noch schneller (und vor allem einfacher!) geht es, wenn man die Ähnlichkeit der beiden kleinen Dreiecke erkennt und die jeweiligen Katheten ins Verhältnis setzt: p/h = h/q --> h²=pq 😀
Das ist hervorragend erklärt und ist auch gleichzeitig ein Beweis für den Höhensatz.
Ich habe es einfach angewendet und die 3-4-5 Regel gesehen, denn alle 3 Rechtecke entsprechen dieser Regel.
@@jensraab2902 Schneller, ja. Einfacher, nur wenn man sehr viel geometrisches Grundverständnis hat, was ich in Frage stelle, wenn man den Höhensatz von Euklid nicht kennt (was ja die Grundvoraussetzung für meinen Post war).
Satz des Pythagoras und 1.Binomische Formel sollte jeder Leihe im Gengensatz noch gerade so kennen.
Man kann alles mit dem Satz des Pythagoras lösen. Der Höhen- und Kathetensatz sind ja nur Anwendungen davon.
@@m.h.6470 Also die Ähnlichkeit von Dreiecken zu erkennen (hier über drei gleiche Winkel), halte ich jetzt nicht für etwas, für das man "sehr viel geometrisches Grundverständnis" braucht.
Aber ich wollte ja auch nur eine, mMn einfachere und schnellere, Alternative erwähnen. Vom Ergebnis her ist es ja egal, wie man vorgeht. (Ich persönlich würde eben immer die einfachere Option nehmen wollen! 😉)
Und es kann auch nicht schaden, verschiedene Methoden zu kennen.
Ich habe das einfach mit den Zahlen 3 und 4 und 5 gelöst, indem ich die jeweils mutipliziert habe. Großes Dreieck mit 5 => 25 20 15 ; das zweite mit 4 => 20 16 12 und das dritte mit 3 => 15 12 9. Auf die se einfache Weise konnte ich das relativ schnell mit Kopfrechnen lösen. Liebe Grüße und vielen Dank dir Susanne
genau, aber es reicht die zwei kleinen auszurechnen 9,12,15 und 12,16,20
Hallo, immer schöne Aufgaben
Bei die Wurzel aus 9* 16 geht einfacher da 9 = 3*3 ist und 16 = 4*4 ist also ist die Wurzel 3* 4 = 12
Nur um es leichter zu machen
Bei denAufgaben habe ich immer schöne Erinnerungen an die damaligen Schultage
Genau. Und für die Seiten geht auch die Methode des scharfen Hinsehens: Der Zimmermann baut sich einen rechten Winkel aus einem Dreieck mit den Seitenlängen 3m ,4m und 5m bzw. Vielfache oder Bruchteile davon. Wir haben für das eine Dreieck bereits 3*3 und 3*4, dann ist die fehlende Seite 3*5, das andere Dreieck ist ein ähnliches Dreieck mit 4*3 und 4*4, dann ist die fehlende Seite 4*5. 1863 gab es noch keine Taschenrechner, deshalb wurden die Zahlen wohl so gewählt, dass man alles auch ohne diesen berechnen kann.
Das geht auch mit dem Satz von Thales recht schön. Vom Mittelpunkt der Basis ((9+16)/2 = 12,5) zur oberen Spitze des Dreiecks ist die Länge ebenfalls 12,5. (Thaleskreis). Damit kann man dann die Höhe einfach berechnen. Wurzel(12,5^2 - 3,5^2) = 12.
Auch schick! 👍
Da ich den Höhensatz tatsächlich entweder nie kannte, oder 33 Jahre nach verlassen der Schule wieder vergessen hatte, habe ich es auch über den Thaleskreis genau wie beschrieben gemacht. Die beiden Katheten des großen Dreiecks dann anschließend wie im Video.
Vielen Dank für die interessante Vermittlung der Mathematik.
Was ich unbedingt loswerden muss: ich wurde durch die Infos in deinem RUclips Kanal auf deine Band aufmerksam. Habe daraufhin die Alben in Spotify gehört. Hammer ! Du hast eine sehr schöne Stimme.
"Ist ganz gut, wenn man die Quadratzahlen im Kopf hat." Ohh ja. Das war vermutlich vor 50 Jahren oft mein Verhängnis.
Susanne, Deine Bemerkungen sind immer sehr hilfreich!
Hi, Es ist immer wieder ein positives Erlebnis deine Bespiele vorzurechenen bzw. dies zu versuchen. Ich habe versucht drei Gleichungen fuer drei Unbekannte aufzustellen, was zum Beweis vom Hoehensatz fuehrte! Folglich landete ich dort , wo deine Loesungdansatz anfing! Echt klug ausgesuchtes Beispiel. DANKE
Es geht übrigens noch einfacher als mit drei Gleichungssystemen.
Wenn man sieht, dass die zwei kleinen Rechtecke, die durch das Einzeichnen der Höhe entstehen, ähnlich sind (was man anhand der Winkel erkennen kann), dann weiß man, dass das Verhältnis der Katheten gleich ist und kann folgende Gleichung aufstellen:
p/h = h/q
Und das führt direkt zum Höhensatz: pq = h² 😀
(Ich habe das eben so gemacht, weil ich mir die ganzen Dreiecksgleichungen, wie z.B. Höhensatz oder Kosinussatz nie merken kann. 🤦🏼♂😅)
@@jensraab2902 Klar hast recht. Ich habe die Aehnlichkeit der zwei Dreiecke nicht beweisen koennen. Trigonometrie ist auch sehr gut.👍👍Das sind genau jene Gruende, warum ich die Beispiele in diesem Kanal toll finde. Man erkennt viele Zusammenhaenge, wenn man sich mit den Beispielen laenger befasst.
@@KS-rh3qq Der Ähnlichkeitsnachweis geht schnell über die Winkel. Das große Dreieck hat einen rechten Winkel und zwei spitze; nennen wir die wie üblich α und β. Die zwei kleinen Dreiecke entstehen ja durch Einzeichnen der Höhe und haben daher definitionsgemäß auch einen rechten Winkel. Das eine Dreieck hat den Winkel α und deshalb muss der unbekannte Winkel β sein. Im anderen Dreieck ist die Logik analog, nur dass hier der fehlende Winkel α ist.
Wir haben es also mit lauter Dreiecken mit den Winkeln α, β und 90° zu tun, d.h. nicht nur die zwei kleinen Dreiecke sind ähnlich, sondern auch das große! 😀
@@jensraab2902 Ok, Dh. nicht ueber Seiten und Winkel sondern drei gleiche Winkel. Dazu muss man auch, mathematsch dargestellt, ein Gleichungssystem aufstellen jedoch viel einfacher in der Handhabung. Danke
@@KS-rh3qq Ich sehe da ehrlich gesagt nicht, dass ein Gleichungssystem nötig ist.
Für Dreiecke gibt es die sog. Ähnlichkeitssätze. (Die vier Ähnlichkeitssätze findet man übersichtlich im Wikipedia-Artikel "Ähnlichkeitssätze"; ich verlinke das hier nicht, weil mir sonst wahrscheinlich der Kommentar wieder einkassiert wird...)
Im vorliegenden Fall ist das der WWW-Satz. Das W steht einfach nur für Winkel.
Den fehlenden Winkel berechnet man aus der Tatsache, dass die Innenwinkelsumme aller Dreiecke (in der Ebene) 180° ergibt.
Hier würde man also die Gleichung α + β + 90° = 180° nach dem gesuchten Winkel auflösen.
Ich will mich nicht mit dir streiten, sehe aber wirklich kein Gleichungssystem. 😉
A short (but quite rigorously worked out) version for professionals who don't like formulas but like "recognizing things":
The two small triangles are both similar to the large triangle by the respective angle their share with it (and the right angles).
Being similar to the same triangle they are similar to each other.
Since they share the lot as their common side and are not equal, their similarity coefficient is not equal to 1, in particular the side corresponding to the lot in them is the respective line segment of the hypothenuse.
That gives a*9=1/a*16 for an a which gives a=4/3.
a=4/3 yields with the above considerations the lot L=4/3*9=12. We have now in the triangle with the 9, one leg equal to 9 and another equal to 12. We recognize that the numbers are up to the factor 3 those of the two of the side lengths of the egyptian (right-angled) triangle with sides equal to 3,4,5. Now having two legs differing from those of egyptian triangle by factor 3 (and the right angle) our triangle with the 9 is the egyptian triangle enlarged by 3. That is, its remaining side is equal to 15. Same way the triangle with 16 gives egyptian triangle enlarged by 4 which yields 20 for its remaining side.
That's how the case can be computed purely in mind without writing anything down or even sketching.
Ich habe mein Ergebnis graphisch überprüft. Stimmt. Test bestanden. Ich habe meine gute Mathenote vor 50 Jahren wohl verdient. Und nun schaue ich mir das Video an, ob ich den selben Lösungsweg habe oder ob es auch anders geht.
Merci pour la vidéo, je vais donner le problème à mes élèves mais sans le théorème d'Euclide qu'ils ne connaissent pas. Ils feront tout avec le théorème de Pythagore :)
Nice! fast lane: q + p = c; a = √pc = 15 → b = √qc = 20 → h = √pq = 12 = ab/c
Ich hatte damals einen Mathelehrer, der nicht Lehramt studierte, sondern ein richtiger Mathematiker war.... Ich kann mich bis heute, an seinen Satz erinnern: "Schreibt euch die Quadratzahlen auf ein DIN A4-Blatt und hängt es im Klo auf. Wenn ihr aufs stille Örtchen müsst, dann schaut ihr drauf, ABER NICHT AUSWENDIG LERNEN!!! Das geht von alleine!"
Er hatte recht...
Ich habe es ohne den Höhensatz auch geschafft. Kam natürlich auch das gleiche raus 😂. Danke für das Video!
Hallo Susanne,
erst mal hoffe ich, dass Du gut in die neue Woche gekommen bist.
Einmal mehr lieben Dank für die Aufgabe und liebe Grüße auch an Thomas.
Allen anderen hier natürlich auch einen guten Start in die neue Woche.
Nun zur heutigen Aufgabe:
Als ich die Skizze zur Aufgabe gesehen hatte, dacht ich mir
Mist, da war doch was mit Höhensatz... verdamp lang her, verdamp lang, verdamp lang her...
Weil ich den im Moment nicht auf der Rille habe, hier mein Lösungsvorschlag ohne Höhensatz.
Da keine Einheiten angegeben sind, unterstelle ich "Längeneinheiten" (LE).
Zum Rechnen lasse ich diese jedoch weg.
Die beiden Schenkel des Dreiecks bezeichne ich mit a und b, die Höhe (das Lot, der Strecke, die das Dreieck aufteilt als d.
Die Eckpiunkte des großen Dreiecks seien von links nach rechts bzw oben gegen den Uhrzeigersinn A, B und C, Der Schnittpunkt des Lots durch C und der Hypothenuse (=längste Seite) des großen Dreiecks D
Die Strecke AC sei a, die Strecke CB sei b und die Strecke CD (das Lot) sei d.
(Ich weiß, dass die Streckenbezeichnungen meistens so gewählt werden, dass der Buchstabe der Strecke ein anderen ist, wie die Großbuchstaben der zugehörigen Punkte...) seht es mir nach 🙂
Somit gibt es die beiden kleineren Teildreiecke ADC, sowie DBC, welche jeweils die Strecke CD =d gemeinsam haben.
Da hier über Strecken gesprochen wird, glit zunächst a,b,d €R>0, also alle reellen Zahlen größer 0.
(Im weiteren Verlauf wird sich zeigen, dass Susanne die Aufgabe "ganz lieb" gewählt hat, also nir ganze Zahlen herauskommen.)
Aus der Aufgabenstellung heraus weiß man:
AD=9
DB=16
Für das linke Teildreieck ADC gilt nach Pythagoras
(1) 9^2 + d^2 =a^2
Für das rechte Teildreieck DBC gilt nach Pythagoras
(2) 16^2 + d^2 = b^2
Für das große Dreieck ABC gilt nach Pythagoras
(3) a^2 + b^2 = (9+16)^2
Jetzt kann man statt a^2 den linken Teil aus (1) und statt b^2 den linken Teil aus (2) in Gleichung (3) einsetzen und erhält:
(4) 9^2 + d^2 + ^6^2 + d^2 = (16+9)^2
Jetzt kann man alles was berechenbar ist ausrechnen. (Auch wenn das rechts wie eiene binom. Formel aussieht, braucht man diese hier nicht anwenden, da in der klammer ja nur 'richtige' Zahlen stehen 🙂
Danach bekommt man:
(4.1) 81+ 2*d^2 + 256 = 625 | -81, -256
(4.2) 2*d^2 =288 | :2
(4.3) d^2=144 | Wurzel ziehen
(4.4) d1/2 = +/- Wurzel(144) =+/-12
Da d eine Strecke repräsentiert, ist nur d=12 eine Lösung im Sinne der Aufgabe.
jetzt das gefundene d bzw d^2 in die Ausgangsgleichungen (1) bzw. (2) einsetzen um a bzw b zu berechnen
(1.1) 9^2 +144 =a^2 =81 + 144=225 =15^2 a somit 15 (auch hier wieder nur pos. Lösung relevant)
(2.1) 16^2 + 144 =b^2 = 256 + 144 =400 b somit 20 (auch hier nur pos. Lösung relevant)
Probe: (ich empfehle, die immer zu machen, um sicher zu gehen, dass gefundene Lösungen richtig sind.)
15^2 + 20^2 = (9+16)°2 Verglecihe Gleichung (3)
225 + 400 = 25^2 |
625 = 625 wahre Aussage
LG aus dem Schwabewnland.
sehr schön erklärt!
Dankeschön ☺️
Ja cool. Den Höhensatz kannte ich so noch nicht. Aber den Extraschritt nach 25^2 aufstellen und 2h^2 herausrechnen war jetzt auch nucht so umständlich. Da war ich völlig überrasch wie schnell ich h hatte. 😮
Nice Sache
Höhensatz kommt normalwerweise mit den anverwandten Kathetensätzen daher: a²=c*p und b²=c*q wobei p und q tunlichst die den jeweiligen gesuchten Seiten gegenüberliegenden Hypothenusenschnipsel sind.
in unserem Fall mit c= 16+9=25 und p= 9 und q =16 gilt
x²=25*9 und y²=25*16
x²= 225 und y²= 400
ob Pythagoras der Teildreiecke oder Euklids Kathetensätze: Ergebnisse sind natürlich dieselben :D
noch eine Ableitung aus den bekannten Gleichungen: h= a*b/c ( auch das gilt nur mit rechtem Winkel !!!)
schauen wir mal... h= 15*20/25= 300/25 =12
na, wer hätte es gedacht :D
Früher in der Schule, gahbs bei meinem Mathelehrer als "Strafarbeit" immer das Lernen von Quadratzahlen.
Sehr hilfreich beim Lösen solcher AUugaben 😁
5:00 ich bin gerade etwas am grübeln. Kann ich bei 12²+9²=x² nicht als erstes die Wurzel ziehen? Dann wäre die Rechnung 12+9=x. Aber so komme ich nicht auf 15. Liegt es daran, dass Punkt- vor Strichrechnung gilt?
Vorsicht, wenn du die Wurzel ziehst, dann muss die Wurzel über die komplette linke Seite gehen. Also Wurzel(12²+9²), was dann Wurzel(225) ist. Es gibt kein Gesetz, das dir erlaubt bei „plus“ die Wurzeln auseinanderzuziehen. Also es ist dann *nicht* dasselbe wie Wurzel(12²) + Wurzel(9²). Hilft dir das? 😊
Taschenrechner gab es zwar noch nicht, aber Rechenschieber ...
Mit dem Satz von Thales geht es auch: Die Linie vom Mittelpunkt der Hypotenuse bis zum Eckpunkt ist halb so lang wie die Hypotenuse, also ergibt sich die Höhe h² =12,5² - 3,5² = (25/2)² - (7/2)² = 12² ... usw ...
Grandios ! schöne Grüße nach KL 😊
Euklid war neu für mich, wieder was gelernt
Da der in der Zeichnung rechte Winkel derselbe ist, wie der obere Winkel im kleinen Dreieck, könnte man Einzelrechnungen mit dem cos dieses Winkels aufstellen. Wenn man diese Einzelrechnungen gleichsetzt kommt man auf:
y/25 = 16/y
y=20
Der Rest ergibt sich pythagoreisch.
Den Höhensatz nennt man auch den Satz des geometrischen Mittels. Außerdem ist er ein Spezialfall des Sehnensatzes und die doppelte Anwendung des Satzes des Pythagoras auf die beiden kleinen ähnlichen rechtwinkligen Dreiecke.
Macht super Spaß 😊
3:51 ...deswegen nehmen wir nur die positive Lösung...
Man merkt, wir sind optimistisch! 😉
DANKE!
Malt man c² (= a²+b²), teilt die Verlängerung des Lotes dieses in 2 Rechtecke, die je den Flächeninhalt von a² und b² haben; folgt z.B. b² = 16 x [16+9=25] = 4x4x5x5 = 4x5x4x5 = 20x20, analog wären 3x5=15 ... Ergibt kleinere Quadrate, die einfacher zu rechnen sind.
Was gelernt, den Höhensatz hatte ich nicht auf dem Schirm, geht aber auch ohne, man kann 3 Gleichungen mit dem Satz des Pythagoras formulieren, bei 3 Variablen bekommt man das gelöst. Ist natürlich etwas umständlicher.
Ich habe einen ähnlichen Lösungsweg wie im Video, aber alles im Kopf gerechnet. Kopfrechnen fand ich schon immer das beste an Mathe.
Ganz einfach. Höhensatz bzw. Kathetensatz des Euklid:
h = √pq = √(9 m ⋅ 16 m) = 12 m
a = √pc = √(9 m ⋅ 25 m) = 15 m
b = √qc = √(16 m ⋅ 25 m) = 20 m
Ich habe nicht an den Höhensatz gedacht. Habe drei Pythagoras-Gleichungen aufgestellt und über das Einsetzungsverfahren gelöst. Ging auch recht schnell. 😊
Der HÖHENSATZ ! 🧐😬 Da war doch mal was... Danke, das Thema muss ich nacharbeiten...👍🙋♂️
25^2=20^2 + 15^2 15^2 = 12^2 +9^2 Laut Pythagoras, sind die gekennzeichneten Dreiecksseiten 20, 15 und 12 LEn gross .
Spannend! Ich habe natürlich den Satz Euklids nicht mehr gegenwärtig und habe mit dreimal Pythagoras und Substitution versucht. Offensichtlich waren diese Gleichungen voneinander abhängig, denn ich drehte mich in Kreisen... bis ich merkte, dass 9+16=25, und dass x2 + y2 = 625. Danach konnte ich die kleineren Dreiecke x2 bzw. y2 als z2 + z2 + ganze Zahlen ausdrücken und die Gleichungen nach 2x2 lösen.
kann mir eine oder einer bitte erklären wie ich das mit dem Katheter satz lösen kann!! Satz von Pytagoras habe ich ja so weit verstanden. Und Satz des euglid ist dann das mit der Höhe? Nur habe ich dann ja mehrere hyperthenusen in dem dreieck . Auf welche beziht sich das immer ?
Kathetensatz heißt a² = pc bzw. b² = qc.
p = 9, q = 16, c = p + q = 25.
Also:
a² = 9 ⋅ 25 = 225 ⇒ a = 15
b² = 16 ⋅ 25 = 400 ⇒ b = 20
@@Nikioko vielen Dank, habe es verstanden aber es dauerte. Im internet steht das das der Katheter Satz von euklit ist, also ist beides wohl das gleiche. Ich dachte es wären zwei verschiedene, da lag woll mein Fehler, danke dir
Kann man das nicht schneller lösen, indem man bedenkt, dass laut dem Satz des Pytagoras die Seiten proportional 3 zu 4 zu 5 sind? In dem Fall sind 25(5), 20(4), 15(3). Wenn man nun die neue Hypotenuse von 15 nimmt, was dann die 5 entspricht, ist dann die Strecke von 9=3, weil 9 zu 15 3/5 sind. Und somit ist das Lot 12, weil es eben 4/5 entspricht.
Hallo Susanne, zu dem Thema habe ich eine weiterführende Frage. Wenn die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks ganzzahlig sind, bekommt man ein pythagoräisches Tripel. Gibt es einen Namen dafür, wenn auch die Höhe über der Hypotenuse ganzzahlig ist, wie in diesem Fall?
Und, wo wir gerade dabei sind 😄, gibt es beliebig viele davon und wie kann man sie ggf. konstruieren?
Nachtrag, zur letzten Frage habe ich gerade einen (den?) Weg gefunden. Da die Höge über der Hypotenuse gleich dem Produkt der Katheten geteilt durch die Hypotenuse ist (hc=a*b/c), ergibt eine Erweiterung des Tripels mit c immer eine ganzzahlige Höhe. (Tripel: a,b,c => Tripel ac, bc, c²)
Das Beispiel aus dem Video ist ein solches: Tripel 3, 4, 5 => 3*5, 4*5, 5² = 15, 20, 25 mit Höhe über c 15*20/25 =12.
Mit der 3-4-5er-Regel hätte man das ganze auch deutlich schneller lösen können.
grundsätzlich richtig, nur soll man sowas berechnen statt es aus dem Ärmel zu schütteln.
@@HiR0SHi.the.D0G das eine Dreieck ist 9 12 15, das andere 12 16 20 und das große halt 15 20 25; alles 3 4 5er Dreiecke, aber in 3fach 4fach 5facher Größe :)
klar gehen diese Tripel allesamt auf, nur ist dieses simple Wissen beim MIT nicht gefragt; du sollst es auch berechnen können.
Grundsätzlich richtig und habe ich mir auch gedacht, aber es könnten theoretisch auch Kommazahlen rauskommen, weshalb diese Methode nicht gültig wäre.
@@zekria3737 Tut mir leid, aber ich habe den Eindruck, du hast die Methode nicht verstanden. die Funktioniert nämlich genau so auch mit Kommazahlen.
@@Flowyerg Was ich damit meine:
Wenn die Hypotenuse 25LE lang ist, dann darf man aufgrund des Vielfachen des pythagorei schen Tripels nicht von 15LE und 20LE ausgehen.
Es könnte beispielsweise sein, dass die eine Kathete 13LE lang ist, während die andere nach dem Satz des Pythagoras Wurzel aus 794LE wäre.
Ohne Euklid mit 3x Pythagoras geht auch. Bei den kleinen Dreiecken nach h^2 auflösen und beide gleichsetzen. Dann nach x^2 oder y^2 auflösen und im Pythagoras des großen Dreiecks einsetzen. So erhält man x, dann y und schließlich h.
Es geht auch komplett ohne Pythagoras, nur mit den Seitenverhältnissen ähnlicher Dreiecke. Damit lassen sich nämlich Höhensatz, Kathetensatz und Pythagoras beweisen:
h/p = q/h, c/a = a/p und c/b = b/q.
@@Nikioko Klar, hier führen viele Wege nach Rom 😃
Das Lot teilt das rechtwinklige Dreieck in zwei kleinere, zum ursprünglichen Dreieck ähnliche, rechtwinklige Dreiecke. Und bei ähnlichen Dreiecken sind die Seitenverhältnisse gleich. Es gilt daher:
h/p = q/h. Multipliziert man auf beiden Seiten mit hp, bekommt man h² = pq. Der Höhensatz ist bewiesen.
Ferner gilt: a/p = c/a und b/q = c/b. Multipliziert man auf beiden Seiten mit ap bzw. bq, erhält man a² = pc und b² = qc. Der Kathetensatz ist bewiesen.
Addiert man beide Kathetensätze, bekommt man a² + b² = pc + qc = (p+q)c = c². Der Satz des Pythagoras ist bewiesen.
Herzlichen Dank für diese Quiz Frage aus MIT 😀
Man könnte die Lot als h bezeichnen (oder auch als AO) in diesem ABC Dreieck.
h²=p*k oder:
AO²=BO*CO
AO²=9*16
AO²=144
AO= √144
AO= 12 LE
Nach dem Satz von Pythagoras, der linke Schenkel:
AB²=AO²+BO²
AB²=12²+9²
AB²= 225
AB= √225
AB= 15 LE
Für den rechten Schenkel, nach dem Satz von Pythagoras:
AC²=AO²+CO²
AC²=12²+16²
AC²= 400
AC= √400
AC= 20 LE
oder auch:
AB²+AC²=BC²
15²+AC²=25²
AC²= 625-225
AC²= 400
AC= 20 LE
Wie sieht es heute mit den Aufnahmeprüfung Fragen von der MIT aus ?
Ich hab's mit Höhensatz und Kathetensatz gelöst. h^2=9*16, a^2=16*(9+16), b^2=9*(9+16). Wurzel ziehen und alle drei Seiten sind bestimmt.
Cool, ich kannte den Höhensatz des Euklid nicht. Ich habe es dann etwas umständlicher gelöst. Ich habe einen Kreis mit der Hypotenuse des großen Dreiecks als Durchmesser um das Dreieck gezeichnet. Dabei muss die Ecke mit dem rechten Winkel ja auf dem Kreis liegen. Dann habe ich von der Mitte der Hypotenuse den Radius zum rechten Winkel eingezeichnet und habe in kleines Dreieck erhalten mit dem Radius, dem Lot und dem Reststück aus der Hypotenuse. Das Reststück kann ich ausrechnen und den Radius weiß ich auch. Somit konnte ich dann das Lot über den Satz des Pythagoras berechnen und dann äquivalent zu dir auch die beiden Katheten des großen Dreiecks.
Wenn man den Höhensatz des Euklid nicht kennt, kann man sich diesen auch selbst herleiten.
Mit den im Video gegebenen Variablennamen sieht das so aus:
h² + p² = x²
h² + q² = y²
x² + y² = (p + q)²
Einsetzen von 1. und 2. Gleichung in die 3. Gleichung:
(h² + p²) + (h² + q²) = (p + q)²
2h² + p² + q² = (p + q)² |1.Binomische Formel
2h² + p² + q² = p² + 2pq + q² |-p² -q²
2h² = 2pq |:2
h² = p * q
@@m.h.6470 Danke schön. :) Er ließe sich tatsächlich sogar auch über meinen gewählten Lösungsweg herleiten, wenn man da Variablen einsetzt.
Wenn man das pytagoreische Zahlentripel (3,4,5) kennt und sieht, daß die 9 das Dreifache der 3 sowie die 16 das Vierfache der 4 jeweils innerhalb des Zahlentripels darstellt, braucht man nicht viel zu rechnen und kann quasi die anderen Werte direkt an die Seiren schreiben!
Meine Lösung:
geometrisches mittel von 2 werten ist "zufälligerweise" genau über ein solches rechtwinkliges dreieck definiert
((produkt von n positiven reelen werten)^(1/n)=geometriaxhes mittel)
geometrisches mittel(h hier) = sqrt(9*16)=12
Hallo
Geht diese Aufgabe auch ohne den Höhensatz d. E.?
Aha, endlich. Dank Susanne denke ich auf MIT-Niveau!
Auf MIT-Niveau von vor über 150 Jahren - aber wer fragt schon.
So geht's ohne Taschenrechner und ohne Hantieren mit dreistelligen Zahlen:
h² = 9 * 16 = 3² * 4² = 12² ⇔ h = 12
x² = 9² + 12² = 3² * (3² + 4²) = 3² * 5² = 15² ⇔ x = 15
y² = 12² + 16² = 4² * (3² + 4²) = 4² * 5² = 20² ⇔ y = 20
Natürlich gilt "⇔" in allen drei Fällen nur, weil wir mit Streckenlängen hantieren und die negativen Lösungen deshalb ausscheiden.
Ich war bei der Formulierung der Aufgabenstellung überfordert. Die Formulierung, das Lot zu fällen hat mich ratlos gemacht. Speziell deswegen, weil die Seite x
ja schon senkrecht war und ich mir nicht vorstellen konnte, wo ich einen weiteren rechten Winkel einzeichnen sollte. Mit deiner Erklärung hat es dann Spaß gemacht.
Wer oder was ist MIT?
MIT = Massachusetts Institute of Technology. Weltweit eine der Spitzenuniversitäten, vor allem im Naturwissenschaftlich/technischen Bereich.
Die Höhe hätte ich ebenfalls mit dem Höhensatz des Euklid berechnet. Dann lässt sich bei den Kathenlängen 9 und 12 sowie 12 und 16 mit etwas Übung erkennen, dass es sich um sogenannte pythagoräische Tripel handelt, wenn man als kleinstes pythagoräisches Tripel 3, 4 und 5 im Kopf hat. So sind die hier auftretenden Zahlen Vielfache davon. Somit lassen sich die fehlenden Seiten im Kopf berechnen.
Das sind lauter pythagotäische Zahlentripel.
Gesamtes Dreieck: Hypotenuse = 16 + 9 = 25 = 5*5, Katheten = 3*5 und 4*5, also 15 und 20. Probe: 20^2 + 15^2 = 400 + 225 = 625 = 25^2.
Mittleres Dreieck: 16^2 + 12^2 = 20^2, da 256 + 144 = 400.
Kleines Dreieck: 9^2 + 12^2 = 15^2, da 81 + 144 = 225.
Das Lot mißt also 12, die Schenkel 15 und 20.
Aber Susannes Lösung mit dem Höhensatz ist natürlich sauberer und allgemeiner, da sie nicht nur bei ganzzahligen Seitenlängen funktioniert.
Wer richtig rechnet, wird belohnt, weil alles prima aufgeht. Zudem erhält er eine gute Note. Zu bedauern ist der schwache Rechner. Er benötigt viel Zeit, weil er etwas falsch gemacht hat und es dann nicht mit ganzen Zahlen aufgeht.
Landvermessern und verwandten Berufen kostet eine solche Aufgabe wohl nur ein müdes Lächeln, denn wenn ich das aus dem Schulunterricht richtig in Erinnerung habe, werden mit den Sätzen von Euklid und Pythagoras bereits seit Jahrhunderten Gelände, Berge und Täler vermessen. :)
Kleiner Tip zum Kopfrechnen: 9x = 10x - 1x. D.h.: 9*14 ist gleich 10*14 minus 1*14, also 14 weniger als 140. Dazu muss man nichts schriftlich rechnen. ;)
Kannst du auch mit Rechenschieber und Logarithmentafel rechnen? Das waren nämlich die Hilfsmittel, die Landvermessern vor dem Aufkommen von Taschenrechnern zur Verfügung standen.
@@Nikioko Log.-Tafeln haben wir tatsächlich in der Oberstufe benutzt. (Daraus kann man ableiten, daß ich wahrscheinlich einer der ältesten Zuschauer auf diesem Kanal bin. 😁) Einen Rechenschieber habe ich immer noch in der Schublade, habe aber inzwischen wieder verlernt, damit umzugehen. Aber mal sehen: wenn das nächste große Wegsperren der Bevölkerung kommt, auf Neudeutsch verniedlichend auch "Lockdown" genannt, werde ich mich noch mal intensiv mit dem Teil beschäftigen.
Hab die Formeln nach Pythagoras fuer die 3 Dreiecke aufgestellt und dann stumpf durchgerechnet.
Klar. Höhensatz und Kathetensatz sind ja nur Anwendungen des Satzes des Pythagoras.
Da ich schon ein paar mal mit einer "Zwölfknotenschnur" gearbeitet habe, sind mir die 9 und die 16 natürlich gleich in's Auge gestochen, das sind die Quadratzahlen von 3 und 4. Also sind das alles 3:4:5 Dreiecke! Der Rest ist ein Bisschen Kopfrechnen. (Quadratzahlen bis 25 hat man zu meiner Zeit in der Mittelschule auswendig gelernt.)
Die Zwölfknotenschnur kennen wahrscheinlich nur noch wenige. Schade, ist eine höchst interessante Sache: Uralt, simpel und genial! Damit kann man rechtwinklige Dreiecke konstruieren. Es gilt nämlich nicht nur mathematisch 3 + 4 + 5 = 12,
sondern auch auch geometrisch 3^2 + 4^2 = 5^2 😉
Die Zwölfknotenschnur, die man heutzutage noch in der Landwirtschaft verwendet (z.B. zum Anlegen von Rebbergen) hat zwischen den Knoten etwa 1-2m Abstand. Wie viel genau ist eigentlich egal, Hauptsache alle Abstände sind exakt gleich.
Die Höhe habe ich im Kopf berechnet indem ich erst die Wurzeln gezogen habe. Also drei mal vier ist gleich 12. Das geht natürlich nicht bei Summen.
Frage; wie haben sie überhaupt die Wurzel gezogen, gab es schon einen Rechenschieber ?
Rechenschieber.
@@petermau9715 und ???????????????????????????
@@richardschcarl1852 de.wikipedia.org/wiki/Rechenschieber
Die Aufgabenstellung "roch" schon verdächtig nach Seitenverhältnissen 3:4:5.
Das geht deutlich schneller und im Kopf.
Der Ansatz mit dem Höhensatz ist gut. Aber dann sieht man doch, dass 9 und 16 Quadrat zahlen sind. Ich kann einzelnen aus denen die Wurzel ziehen und dann multiplizieren und laande sofort bei 3 * 4 = 12
Grosses Teildreieck für lange Kathete. Dies ist ein pytthagräisches Dreieck mit den Verhältnissen 3 : 4 :5. Eine Kathete ist 4 * 3, die andere 4 * 4 . Also ist die Hypotenuse 4 * 5 = 20
Kleines Teildreieck. Gleicher Trick. Eine Seite ist 3 * 3, die andere 3 * 4. Also ist die dritte Seite 3 * 5 = 15.
Ich habe habe nicht ein einziges Mal quadriert oder Wurzel gezogen. 😎
Mein Lösungsweg war auch einfach, ich sah, dass 16+9=25 ist und ist die gesamte Hypothenuse des Dreiecks.
Nebenbei weiß man, wenn eine Hypothenuse gleich 5 beträgt, so muss die Seitenlängen immer 3 und 4 betragen...
Das Dreieck mit der Hypothenuse von 5 Längeneinheiten ist im Seitenlängen-Verhältnis von 1:5 mit das Dreieck im Video...
Das heißt ich musste nur die 4 und die 3 Mal 5 nehmen, so hatte ich dann also die Seitenlängen
Das stimmt so nicht ganz, dass die Seitenlänge der Katheten immer 3 und 4 sein muss, wenn die Hypothenuse 5 ist. Es ginge zum Beispiel auch 1 und sqrt(24). Lässt sich nur nicht so schön ganzzahlig lösen.
@@buehme Aber irwie sieht man es doch am Video allein wenn die 9 und die 16 wurzelt, kommen ganzzahlige Zahlen raus, also kann man ja wohl direkt vermuten, dass die Katheten auch ganzzahlig sind
@@buehme Dieser Ansatz ist zwar nicht immer anwendbar, laesst sich aber in diesem einen Fall beweisen. Aehnliche Dreiecke. Den Beweis muss man jedoch fuehren! Das macht die Sache nicht einfacher als im Video dargestellt. Waeren keine Zahlen 9 und 16 angegeben sondern p und q, dann verliert diese Loesungsweg ihre Gueltigkeit, wie Du richtig gesagt hast.
@@KS-rh3qq Ja, danke. Du hast es besser gesagt, was ich eigentlich sagen wollte. :D
@@buehme kann man auch am Thaleskreis erkennen: da ist ja jedes Dreieck über Durchmesser 5 rechtwinklig !
Bei Höhensatz des Euklid (und Kathetensatz) klingelt es gaaaaaaaanz leise. Ja, dürfte ich in der Schule gehabt haben. 😉 Aber nach gut 40 Jahren ist da nichts mehr mit Abrufbarkeit. Aber schön daran erinnert zu werden, was man mal konnte.
Ging mir ähnlich. Ich hatte beim ersten Ansehen direkt "Euklid und Höhensatz" im Kopf, aber wie der ging, musste ich nachschlagen (auch schon 45 Jahre her).
@@petermau9715Höhensatz lässt sich direkt mit Hilfe der Ähnlichkeit der Dreiecke oder mit Hilfe des Strahlensatzes herleiten.
Das übliche rechtwinklige Dreieck ist meist mit Seitenlängen 3,4,5. wenn man nun das erste Dreieck mit 3 streckt (Seiten 9,12,15) das 2. dann mit 4 -> (12,16,20) Denke das erkennt man durch einfache Beobachtung !
hmmmm, da 9 und 16 selber Quadratzahlen sind und es demnach einfach wäre: gilt dann auch immer h= (Wurzel aus p) * (Wurzel aus q) ?
man muss halt nur das Wurzelziehen konsequent *vor* der Multiplikation ausführen; in unserem Fall ist es h= 3*4 =12
Auf Anhieb bestanden!! Nur mit Pythagoras und ein bisschen einsetzen. Danke!
An den Satz von Euklid habe ich mich nicht mehr erinnert. Da insgesamt 3 rechtwinklige Dreiecke vorliegen, kann man 3 Gleichungen für x^2, y^2 und h^2 mit dem Satz des Pythagoras aufstellen. 3 Gleichungen für 3 Unbekannte -> Liefert die gleichen Ergebnisse.
schau mal aufs ganz große und die 2 kleinen Dreiecke: die sind immer ähnlich ! im Beispiel sind es Seitenverhältnisse von jeweils 3:4:5
Ich bin offenbar 103 Jahre zu spät geboren für diese Aufgabe...
LG, Bunti
9 * 16 ... oder auch 3* 3 * 2 * 2 * 2 * 2 = 12 * 12 .. 144 ^^
wobei .. ich habe den "äußeren" Pythagoras gebaut .. 625 = x^2 + y^2 und dann mal geraten auf 15 und 20 für x bzw. y .. damit ergeben sich dann 2 Pythagoras-Gleichungen für die beiden Teilflächen
20^2=16^2+h^2 und 15^2=9^2+h^2 .. beide ergeben ebenfalls h^2=144 und damit als Lotlänge 12
Leicht erstaunlich, dass du für die Generation Taschenrechner oder Computer selbst sehr einfache Additionen und Multiplikationen so auswalzt.. Kopfrechnen wird wohl gar nicht mehr unterrichtet?
Habs umgekehrt über den Kathetensatz des Euklid gelöst, also erst x gelöst
x² = p*(p+q) = 9*(9+16) = 225 |sqrt
x = 15
h² = x²-p² = 15²-9² = 225-81 = 144 |sqrt
h = 12
auch alles wumbaba im Kopf ausrechenbar ...Deine Lösung ist allerdings doch wesentlicher eleganter!
Schön die Vielfachen vom Pytagoreischen Tripel 3,4,5,
Vielen Dank für die Tolle Aufgabe 😊👍
Ich habe da eine Dumme Frage Sind die Winkel nicht alle 90° zu 2*45°?
Wenn ja könnte man doch auch mit der Sinus Formel sin(Alpha°)=Gegenkathete/Hypotenuse Arbeiten und alles Ausrechnen
Die Frage die mir noch in den Sinn kommt gab es Sinus Cosinus Tangens 1869😅
Ich verstehe deine Frage nicht so ganz.
Meinst du mit "Sind die Winkel nicht alle 90° zu 2*45°?", dass das Dreieck gleichschenklig ist? Wohl nicht, weil es ja dann symmetrisch wäre und die beiden Abschnitte links und rechts der Höhe gleich wären, was hier ja nicht der Fall ist.
Edith sagt: Und ja, die trigonometrischen Funktionen waren 1869 schon laaaange bekannt.
@Jens Raab
Danke für deine Antwort
Ein Lot ist für mich senkrecht und das bedeutet für mich das der 90° Winkel geteilt wird macht für mich 45°
Aber du hast Recht dann müsste es Gleichschenkelich sein
Macht aber nix auch mit dem bekannten 90° Winkel lässt sich das gut ausrechnen 😅
@@patsauregurke4131 Ah, jetzt verstehe ich dich!
Ja, der 90°-Winkel wird geteilt und bei einem flüchtigen Blick auf die Skizze könnte man wirklich meinen, dass da zwei 45°-Winkel herauskommen. Das täuscht aber, bzw. wäre es Zufall, wenn die beiden Winkel auf der Skizze wirklich 45° groß wären.
Ich weiß nicht, ob du dich noch an den Thaleskreis erinnerst. Wenn du dir dort beliebige Dreiecke anschaust und dir die Höhe dazudenkst, wirst du sehen, dass der rechte Winkel in allen beliebigen Kombinationen geschnitten werden kann, solange die Summe der beiden kleineren Winkel 90° ergibt und natürlich positiv sind (also nicht ein Winkel 105° und der andere -15° - ist ja klar).
Ich wollte dir hier ein Bild verlinken, aber der Link wird leider einkassiert und mein Kommentar wird nicht angezeigt. Du findest das Bild in dem Wikipedia Artikel "Satz des Thales" im Abschnitt "Formulierung des Satzes und seiner Umkehrung".
Bei dem grünen Dreieck sieht man sehr schön, dass, wenn man die Höhe einzeichnen würde, diese den rechten Winkel nie und nimmer in zwei 45°-Winkel teilt! 😊
@@jensraab2902
Ah vielen Dank das du dir die Zeit genommen hast meine Frage zu beantworten 😊👍
Ich schaue mir auf Wikipedia noch einmal den Satz des tahles an
@@patsauregurke4131 Gerne. 🙂
Also ich habe es mit Hilfe des Kathetensatzes ausgerechnet und fand das persönlich auch so leichte.
Ich habe alles mit der satz des Pythagoras aufgelöst.
x²+y²=25²
h²+9²=x², h²+16²=y² --> h²=x²-9² und h²=y²-16² --> x²-9²=y²-16²
x²-81=y²-256 --> y²=x²-81+256 --> y²=x²+175
x²+y²=625 --> x²+x²+175=625 --> 2x²=625-175=450 --> x²=225 --> x=15
Hieraus folgt das y=20
h²=y²-16²=400-256=144 --> h=12
Mich würde mal interessieren, wie viel Zeit die damals hatten und wie viele Aufgaben es insgesamt waren. Ich kann mir nicht vorstellen, dass die mehr als 3 Minuten für die Aufgabe hatten.
❤❤
❤🌷
Kannst du mal eine Aufgabe machen mit einer Gleichung?
Welche Gleichungen nehmt ihr denn gerade durch? Vielleicht hast du ja ein Beispiel. 😊
@@MathemaTrick Eigentlich bin schon mit der Schule fertig, aber ich habe im Internet Mathe Aufgaben gefunden, wo Gleichungen dabei waren, ich weiß nicht einmal wie man damit umgeht
Warum multipliziert man 9*16 aus, wenn man hinterhger die Wurzel ziehen muss? Das kostet nur unnötige Zeit! 9 und 16 sind Quadratzahlen und das ist sicher nicht zufällig gewählt: h=√(pq) also √9 * √16 =3 * 4 = 12
(cosa=An/25) = (cosa=9/An); An=15;
[Immer wenn bekannte Formeln herangezogen werden, finde/fände ich es sehr sinnvoll deren Grundlagen (hier, beim Höhensatz: Thaleskreis, ähnliche rechtwinkelige Dreiecke usw.) am vorliegenden Problem nochmal aufzuzeigen.]
pythargoräische dreiecke 5 sek im kopf h=12 x=15 y=20
9 und 16 sind vielfaches von 3 und 4 3,4,5 Dreieck hochskalieren, fertig
Das war'n noch Zeiten, als die Aufgaben beim MIT auf Deutsch gestellt wurden! 😛
Ich kann mich mit dem Höhen-und Kathetensatz nicht wirklich anfreunden. Habe drei Gleichungen mit Pythagoras aufgestellt und dann als Gleichungssysteme gelöst.
Drehen wir die Geschichte noch etwas mehr zurück. Es gibt die beiden Herren Euklid und Pythagoras noch nicht, kann man diese Aufgabe auch ohne deren geniales Wissen berechnen? Also ich bin da raus, meine mathematischen Kenntnisse beschränken sich auf das kleine 1x1 🙂
ich habe auch wieder was gelernt, 1869 hatten die USA das metrische System und haben zurück auf Imperial bzw. Freedom Units gewechselt... ;-) SCNR
A = 20 B = 15 C = 12 ❤❤
H = 12
Damals hat man noch Wert auf verständliche Fragestellungen gelegt !! (9 + 16 sind beides zahlen aus denen sich bequem die wurzel ziehen lässt vor dem zusammenrechnen !)
Finde das ne geniale Leistung vom Aufgabensteller. Alles so hingetüddelt, dass man alles im Kopf rechnen kann.
Ich hab mal wieder gemerkt "Kopfrechnen ist Klasse".
9 * 16 rechne ich so im Kopf:
9 * 10 + 9 * 6 = 90 + 54 = 144
Wenn man die Höhenformel kennt (war mir absolut unbekannt) ist es ganz einfach.
Ich habe es nur über den Satz des Pythagoras gelöst. Man erhält 3 Gleichungen mit 3 Ungleichungen und kann das durch Einsetzen lösen.
Ich hätte die Aufgabe ganz anders gelöst 🥰
9:x = x:(9+16)
x=15
x² + y² =(16+9)²; x² = h² + 9²; y² = h² +16²;
2h² + 16² + 9² = 16² + 2*16*9 + 9²
h² = 16*9 = 4*4*3*3 = 12² => h = 12
x² = 12² + 9² = 225 => x = 15
y² = 12² + 16² = 400 => y = 20
geht also auch ohne vorwissen
Wäre ein Asylannahmetest für "Facharbeiter".
3-4-5 Dreiecks. :-D
so hätte ich das gelöst 16+9=25 .. 25 :5= 5 ... 5*4= 20 .... 5*3=15 ..... Fläche vom dreieck( musste zur meiner schande nachgucken) ...lautet A = 1/2 ⋅ g ⋅ h ... nach h umgestellt ........ A= 15*20/0,5 A=150m^2 somit lautet die formel um hrauszufinden h=150m^2/(0,5*25m) ..... m wird weggekürzt... lautet die formel h=150m/12,5 .... h=12
ich hatte direkt mit tangens gerechnet aber das geht ja nur mit Taschenrechner
*Handy Vertikal*, *Like*, *Handy Horizontal*……..*Handy vertikal*… „Oh….egal, nochmal.“