Danke! Hey Susanne, Du bist nicht nur eine tolle Mathematikerin, sondern auch eine echte Künstlerin, denn mit dem Aufdröseln dieser Aufgabe hast Du wirklich ein mathematisches Kunstwerk präsentiert. Herzliche Grüße!
Wow Susanne, ganz großes (Mathe-)Kino. Ich kannte die Aufgabe und hab auch schon einige Zeit drüber nachgedacht, bin aber nicht drauf gekommen. Toll, danke
OMG Ich habe Yolksschule, Fachschule und dann die Schiffsingenieurschule besucht. Seit nun 77 Jahren versuche ich mit der höheren Mathematik klar zu kommen. Einfach schwarze Kunst. Habe neugierig eine Sendug angesehen und bin jetzt der absolute Mathefan geworden. Warum haben Sie nicht damals gelebt, wie einfach wären die Schulbesuche gewesen. Bravo Zulu ( gut gemacht ) Danke 🙂
Liebe Susanne, jetzt muss ich mit einem verwirrten Kopf zur Arbeit. Es ist erstaunlich, wie logisches Denken manchmal schwierig aber auch notwendig ist. Danke für deine Arbeit. Meine Töchter gucken auch deine Videos an.
Wenn das wirklich das höchste der Gefühle in deinem Leben ist, bist du ein bemitlleidenswerter Mensch. Ich hoffe du findest mehr Erfüllung in deinem Leben
Wow, das war Magie. Gerade noch war ich planlos wie man da was rausbekommen soll und dann löst sich alles von "alleine" auf. Mind blown. Danke. Grundlagen + Methoden bis zum ende durchziehen = Magie
Sehr gute Aufgabenstellung und sehr gute Lösungswegfindung. Und wieder das Dreieck mit dem Pytagoras. Als ich die Zeichnung sah, blitzte erst die Dreiecksflächenformel über Innen- und Außenkreis auf. Die vielen Flächenformeln zum Dreieck sind auch gut geeignet eine Rechenprobe auf unabhängigen Weg zu gestalten. Danke
Hi Susanne, Habe das Video angehalten und bin auch auf 8 pi gekommen, bevor ich es dann zu Ende geschaut habe. Ja, das hat schon was von Zauberei, dass man die Lösung berechnen kann, ohne die genauen Werte aller Variablen zu kennen 😮 Kompliment, wie ruhig, unaufgeregt, präzise, verständlich und tiefenentspannt Du die Aufgaben in sinnvolle Schritte zerlegst und erklärst. Mit guter Laune und einem sympathischen Lächeln. 😊 Mathematische Zaubereien, bezaubernd erklärt...🧚♀️
Oh Mann, ich bin so weit von alleine gekommen und mir hat nur ein kleiner Gedankensprung gefehlt um das Rätsel vollständig zu lösen. Geniale Aufgabenstellung und so ein wundervolles Ergebnis 🥰.
Ich finde es toll, dass du nach jedem Schritt eine neue Seite beginnst. Andere pinseln alles auf eine Zeichenfläche und das wird dann sehr schnell unübersichtlich.
Hallo Susanne, guten Abend, super schöne Aufgabe. Danke Dir. Mein Lösungsvorschlag: wk sei der kleine weiße Halbkreis wg sei der größere weiße Halbkreis rk sei der kleine rote Halbkreis rg sei der größere rote Halbkreis. Awk sei die Fläche von wk Awg sei die Fläche von wg Ark sei die Fläche von rk Arg sei die Fläche von rg Der Schnittpunkt der schwarzen Linie mit der gestrichelten Linie sei A Der Schnittpunkt der schwarzen Linie mit dem roten großen Halbkreis rg sei B M sei der gemeinsame Mittelpunkt des kleinen weißen Halbkreis wk und des großen roten Halbkreis rg Damit ist wk der kleinste Halbkreis und rg der größte Halbkreis. wk und rg sollen außerdem einen gemeinsamen Mittelpunkt haben. gemäß Zeichnung gilt ausserdem: Radius wg = Durchmesser wk = 2x Radius wk Radius rk = Durchmesser wk = 2x Radius wg Der größere weiße Halbkreis wg und der kleine rote Halbkreis rk sind also gleich groß. Weil wk und rg einen gemeinsamen Mittelpunkt haben, gilt: Radius rg = Radius wg + Radius wk= 2x Radius wk + Radius wk = 3x Radius wk Die allgemeine Formel für die Fläche eines Halbkreises ist 1/2 * pi * Radius^2 Wenn man für den kleinsten Kreis r als Radius festlegt, ergibt sich folgende Tabelle: Halbkreis | Radius | Fläche Halbkreis ----------------|-------------|------------------------------------------------------------ wk | r | Awk = 1/2 * pi * r^2 ----------------|-------------|------------------------------------------------------------- wg | 2r | Awg = 1/2 * pi * (2r)^2 = 1/2 * pi * 4r^2 ---------------|--------------|------------------------------------------------------------- rk | 2r | Ark = 1/2 * pi * (2r)^2 = 1/2 * pi * 4r^2 ---------------|--------------|------------------------------------------------------------ rg | 3r | Arg = 1/2 * pi * (3r)^2 = 1/2 * pi * 9r^2 Für die gesuchte rote Gesamtfläche gilt: Agesamt = Arg -Awg + (Ark-Awk) = Arg+Ark-Awg-Awk Da wg und rk gleich groß sind, gilt dies auch für die jeweiligen Flächen, also Awg = Ark Damit lässt sich Agesamt vereinfachen zu (Ark durch Awg ersetzen) Agesamt = Arg+Awg-Awg-Awk = Arg-Awk Werte aus Tabelle einsetzen Agesamt= 1/2 * pi * 9r^2 - 1/2 * pi * r^2 = 1/2 * pi ( 9r^2 - r^1) = 1/2 * pi * 8r^2 = pi * 4 * r^2 Brechnung von r:^2 (r muss nicht berechnet werden, da in Agesamt nur r^2 vorkommt) Die Punkte A, B und M bilden ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten Strecke AB = 4 Längeneinheiten und Strecke AM = Radius wk = r und der Hypotenuse MB = Radius rg = 3r Nach Pythagoras gilt dann 4^2 + r^2 =(3r)^2 = 16+r^2 =9r^2 | -r^2 16 = 8r^2 | :8 2 = r^2 | r^2 = 2 2 für r in Agesamt einsetzen Agesamt = pi * 4 * (2)^2 = pi * 4 * 4 = pi * 16 = 16*pi Flächeneinheiten (FE) Die rot markierte Fläche ist also 16pi FE groß Edit: Ich bekomme eine andere Lösung heraus als Susanne und einige andere hier. An welcher Stelle bin ich falsch "abgebogen"? Danke für eure Antworten. LG aus dem Schwabenland. LG aus dem Schwabenland und gute Nacht.
Hallo Susanne, das ist wieder mal so eine Aufgabe, bei der ich von vornherein aufgegeben hätte. Und wenn Du das uns hier vorrechnest, ist alles so ganz einfach. Großartig Schritt für Schritt erklärt. Viele Grüße Klaus
Wow Susanne, ganz großes (Mathe-)Kino. Ich kannte die Aufgabe und hab auch schon einige Zeit drüber nachgedacht, bin aber nicht drauf gekommen. Toll, danke🎉
Wenn ich nicht wüßte, daß Susanne ALLES lösen kann, hielte ich diese Aufgabe für unberechenbar! Am tollsten fand ich die Stelle in Minute 10:03 , wo Du flüsterst: "Das könn'n wir hier ersetzen!" Vielen Dank für dieses spannende Video! 👍😊👏🎶
So ein tolles Brainstorming zum Mittag hin. Musste aber nochmals für mich selber mit ganzen Zahlen nachhrechnen wie der Bruch getrennt werden kann, damit ich es verstehe.
Also nach gründlicher Analyse vieler Videos besteht die Mathematik also überwiegend daraus Formeln bzw. Gleichungen aufzustellen, anschließend schauen was weggekürzt werden kann und sich dann ob des Kürzens freuen :D
Herzlichen Dank für diese Aufgabe aus der Geometrie. Mein Lösungsvorschlag lautet: Der größte Kreis hat einen Radius von R und das kleine r, das mittlere rote große (nehmen wir an) r3 und das andere weiße Kreis r2. Die rote Fläche wäre: (1/2)*π(R²-r²+(r3)²-(r2)²) Nach dem Satz von Phytagoras: 4²+r²=R² R²-r²=16 somit: (1/2)π(R²-r²) = (1/2)π*16 = 8π FE r3 (rote Kreis) = (R+r)/2 (von rechts aus betrachtet) r2 (weißer Kreis)= (R+r)/2 (von links aus betrachtet) somit wären (r3)²=(r2)² (1/2)*π((r3)²-(r2)²) = 0 Die rote Fläche = 8π FE ist die Antwort.
Danke! Ich bin ü50 und hatte damals Mathe LK im Abitur. Aufgrund deiner Videos komme ich wieder in die Themen rein. Meine Frage: Mir ist aufgefallen, dass sehr oft Abbildungen von Graphen in den Aufgaben angegeben werden. Das vereinfacht die Aufgaben sehr, da man somit schon ein Bild der Funktion hat. Zu unserer Aufgabe gehörte es damals zum Abschluss den Graphen zu zeichnen und Taschenrechner mit Graphikprogramm waren in Prüfungen nicht erlaubt. Du erklärst die Aufgaben sehr gut und ich finde es sehr gut, dass du die Formeln immer separat aufschreibst. Mir sind nach über 30 Jahren diese Formeln entfallen.
Hübsches Rätsel, danke dafür. Ein wenig Rechnerei kann man sich sparen, wenn man sieht, dass die mittleren Radien gleich sein müssen. Dann kann man die obere Hälfte des Gebildes abschneiden und in die untere Hälfte einsetzen, so dass es einen halben Kreisring ergibt. Der Rest des Lösungsweges über Pythagoras bleibt gleich.
Wie kann man "sehen", dass die mittleren Radien gleich sein müssen? Ich war von vier verschiedenen Radien ausgegangen und bin rechnerisch draufgekommen, dass die mittleren gleich groß sind, aber nur aus der Zeichnung konnte ich es nicht ableiten.
@@vic9543 Leider gehöre ich auch nicht zu den Menschen, die so etwas auf den ersten Blick "sehen" ;-) Ich bin zunächst dem Verdacht gefolgt, dass die Mittelpunkte der mittleren Kreise auf dem Umfang des kleinen Kreises liegen müssten, weil sonst die Zeichnung nicht eindeutig bestimmt ist. Das erwies sich zwar als richtig, musste aber keine Auswirkung auf die Fläche haben und war deshalb eine Sackgasse. Dann bin ich der Erfahrung gefolgt, dass solche Aufgaben meistens einen kleinen Trick haben, der die Lösung erleichtert. Et voila ... 1) Der kleine und der große Kreis haben einen gemeinsamen Mittelpunkt. 2) Die mittleren Kreise tangieren jeweils einmal den kleinen und den großen Kreis. 3) Die Tangentpunkte und die Anordnung sind ziemlich symmetrisch. -> Das legt nahe, dass die mittleren Radien identisch sind.
Jappadappadu, Video angehalten und komplett allein gelöst. Es gibt ja meist einen Zusammenhang, den man erkennen muss und der dann alles löst. Hier war es der Pythagoras mit R, r und 4. Allerdings habe ich mit dem Zirkel erstmal 2 dieser Figuren mit verschiedenen Maßen gezeichnet, um mir klarzumachen, welche Verhältnisse zwingend sind (da kann die gegebene Zeichnung ja schnell mal in die Irre führen). Da der größere obere Kreisbogen und der kleinere untere Kreisbogen beide vom Radiusendpunkt des kleinen Kreises zum Radiusendpunkt des großen Kreises verlaufen, müssen sie gleich groß sein (A2 ist also gleich A3 --> haben ja im Video auch die gleiche Formel). Ok, das war die zweite Sache, die man erkennen musste. Dann die Pythagorasbeziehung in die Restflächenformel eingesetzt, naja im Grunde genauso gelöst wie im Video nur viel länger gebraucht, aber ich bin alt (53) ich darf das ;) Eine klasse Aufgabe und vom Schwierigkeitsgrad mal wieder genau nach meinem Geschmack. Dankeschön Susanne und ich wünsche Thomas und dir ein schönes langes Wochenende.
Hätte man nicht auch einen Segmentbogen rechnen können, um dann die Stichhöhe, also den Radius vom kleinen Kreis rauszufinden? Sprich die 4 doppelt als Spannweite und dann die Formel (2/3) x s x h?
Ich hatte teilweise einen etwas anderen Lösungsweg. Wenn man den großen Kreis als Thaleskreis betrachtet, so ist die Strecke mit der Länge 4 die Höhe eines rechtwinkeligen Dreiecks. Aus dem Höhensatz ergibt sich r=2 für den Radius des kleinsten Kreises, wenn man für p = 2 r und q = 4 r setzt. Restlicher Lösungsweg analog.
Nenen wir den Durchmesser des kleinen Halbreises d, dann hat der große 3d Durchmesser. Die Fläche ist groß- mittel+mittel-klein, es bleibt also die Fläche des großen minus des kleinen Halbreises. Die Fläche des kleinen Halbkreises ist Pi*d²/8, der große hat bei dreifachem Durchmesser die neunfache Fläche. Es bleibt also gesamt pi*d². Jetzt brauchen wir nur noch d, und das ist trivial, weil die Höhe 4 gleichzeitig die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks mit der Hypothenuse gleich dem Durchmesser des großen Halbkreises. Daher gilt d*2d=16, also d²=8. Eingesetzt ist die Fläche also 8pi. Warum du immer alles so extrem kompliziert machen musst...
Mein Lösungsweg: Der Halbkreis A3 läßt sich um den Mittelpunkt von A1 in den Halbkreis A2 drehen. Dadurch erhält man einen halben Kreisring mit dem dreifachen Durchmesser des kleinsten Halbkreises. Dieser lässt sich mittels des Höhensatzes ermitteln und damit die gesuchte Fläche ausrechnen.
Einfach genial vielen Dank für deine Erklärung 😊👍 Ich dachte zuerst jertzt kommt die parabolische Spirale als Thema mit der Formel r(t)=t^2 und das im Verhältnis zu 4 😨
Auch wenn's nicht ganz an diese Stelle passt: Was sagst Du denn zum Mengenlehre-Paradoxon (erstmals von Betrand Russel formuliert)? Das war die Geschichte mit Mengen die sich selbst enthalten... Sprengt das nicht irgendwie das Fundament der Mathematik? 😅
Na ja, solange es nicht die Kartoffelintegrale sind. 😉 So habe ich das getauft, wenn in der Vorlesung der Proff für eine geschlossene Fläche etwas kartoffel- oder bohnenförmiges an die Tafel malte. Und daran die diversen Eigenschaften erklärte, die die Mathematik kennt.
Mit dem Euklidschen Höhensatz geht's auch schnell im kopf ;-) 1. Erkennen, dass R=3r 2. Erkennen, dass die Rote Fläche A = 4×pi×r^2 (folgt mit Susannes Überlegungen zu den Flächen schnell) 3. Höhensatz: 4^2 = 2r ×4r Damit folgt r×2 =2 und A=8×pi
Bei den Aufgaben, wo ein Teil variabel ist (wie der Schnittpunkt der senkrechten Strecke der Länge 4 und der waagrechten), verschiebe ich gedanklich gern bis zu den möglichen Grenzen. In diesem Beispiel wird dann der kleine Kreis (klein r) sehr, sehr klein, also Null, und der Halbkreis oberhalb ist dann gleich groß wie der weiße Halbkreis unterhalb der gestrichelten Linie. Sie heben sich also auf. Übrig bleibt nur noch ein Halbkreis mit Radius 4. Damit war die Aufgabe schnell im Kopf gelöst. Ich habe sozusagen "geometrisch gekürzt", oder wie man das nennen will.
Der Durchmesser des größten Habkreises sei d. Der Abstand des Mittelpunktes des größten Halbkreises zum Mittelpunkt des unteren kleineren Halbkreises ist d/6. Via Pythagoras mit dem Abstand 4 ergibt das für d=Wurzel aus 72.
Sehr schöne Aufgabe! Mir fehlte leider die Erwähnung, dass die zwei Terme in der Flächenformel deshalb wegfallen, weil die zwei mittelgroßen Kreise der Vier den selben Radius aufweisen. Stellt man ein Gleichungssystem auf, so kann man diesen Zusammenhang schnell feststellen.
Also, dass die beiden "mittleren" Halbkreise gleich groß sein müssen ergibt sich schon aus der Zeichnung, da habe ich die Formel gleich eingespart... Aber den Pythagoras aus diese Art zu verwenden.. da hätt ich den Krams wahrscheinlich doch mal aufschreiben müssen.. Geniale Lösung
ich fand es viel einfacher, die Figur einmal um 180 Grad zu drehen, natürlich um den gemeinsamen Mittelpunkt des kleinen bzw. großen Kreises, und dann mit der ursprünglichen Figur zusammen anzuschauen, und siehe da, ein perfekter Kreisring mit Fläche π*(R² - r²). Logischerweise doppelt so groß wie die gesuchte Fläche Das R² -r² habe ich dann über den Höhensatz samt 3. Binomischer Formel ausgerechnet.
Da wo die senkrechte dick eingezeichnete Linie und die gestrichelte Durchmesser-Linie aufeinandertreffen ist ein kleiner Viertelkreis mit einem Punkt drin eingezeichnet. Das ist ein Symbol für einen 90 Grad Winkel und bei 90 Grad Winkeln sind die Linien senkrecht zueinander.
Im Grunde spielen diese ganzen augenscheinlich komplizierten "Problemfälle" damit zu erkennen, wie man eine Formel so umstellt, dass sich möglichst viele "Endgegner" gegenseitig zerschlagen. Genau darin liegt die Kunst. 👍
ich habs mit thales, höhensatz und binomischer formel gemacht statt pythagoras xD ist natürlich umständlich, aber das erste was mir bei dem bild aufgefallen ist, war das man thales+höhensatz benutzen kann, also hab ich das dann später auch benutzt^^
Kannst du erklären, wie man das Ding maßstabsgerecht mit Zirkel und Lineal konstruiert? Ich wüsste jetzt nicht, welche 4 Radien ich in den Zirkel nehmen sollte. Kommt auch nicht im Lösungsweg raus. Mit Photoshop oder Corel ist wahrscheinlich easy, weil macht alles das Programm.
Du zeichnest zwei parallele Geraden mit 4 Einheiten Abstand voneinander. Dann ziehst du einen Kreis mit Radius von 4 oder mehr Einheiten und Mittelpunkt auf der ersten Geraden. Dann zeichnest du die Lotrechte durch einen der Schnittpunkte des Kreises mit der zweiten Geraden. Zuletzt ziehst du einen Kreis mit demselben Mittelpunkt wie der erste Kreis, durch den Schnittpunkt der Lotrechten mit der ersten Geraden. Der Durchmesser der beiden fehlenden Halbkreise ist der erstellten Zeichnung zu entnehmen.
Ich möchte mal darauf hinweisen, dass die beschriebene Form *nicht* eindeutig definiert ist. R und r sind durch die gesamte Beschreibung nur abhängig durch das Verhältnis R²-r² = 4² Dafür gibt es unendlich viele Lösungen. Das sollte einen noch viel mehr ins Staunen bringen, dass die *Fläche* in all diesen unendlich vielen Ausprägungen stets identisch und daher für uns eindeutig bestimmbar ist Die Erklärung im Video war gut. Gefreut hätte mich noch eine Einordnung, dass man schon der Beschreibung entnehmen kann, dass zwei Halbkreise identisch sein müssen und wegfallen. Das hat man ja später arithmetisch auch noch gesehen, wäre im Sinne der Vermittlung von Problemlösekompetenzen aber noch schön gewesen. Tatsächlich ist der Rechenweg mit dieser Einsicht geradezu lächerlich kurz: I) Pythagoras: R² - r² = 16 II) Flächen: A - a = 1/2πR² - 1/2πr² = 1/2π(R²-r²) III) einsetzen I) in II): 1/2π16 = 8π
Das mit der Form ist mir beim rechnen gar nicht aufgefallen. Dann könnte man es sich auch einfach machen und vorstellen, dass der kleinste Kreis ein Radius von 0 hat. Wäre aber etwas geschummelt, weil man damit ja nicht bewiesen hat, dass alle Formen, den gleichen Flächeninhalt haben.
Hallo Susanne, schöne Aufgabe! r und R lassen sich aber sofort aus der Zeichnung ablesen da es sich um die Pythagoräischen Zahlen 3,4,5 handelt. L.G. Arno
Lösung: Wenn man sich die Skizze genau anschaut, kann man schnell sehen, dass man die Figur an der gestrichelten Linie zerschneiden kann, sodass die obere Hälfte um 180° gedreht genau in die untere Hälfte passt. Das ist durch den gemeinsamen Mittelpunkt automatisch gegeben. Wir haben also einen halben Kreisring, dessen Flächeninhalt mit π*(R² - r²)/2 bestimmt ist (geteilt durch 2, weil es ja nur ein halber Kreisring ist). Die 4er Hilfslinie hilft uns hierbei ungemein, da sie zusammen mit den beiden Radien ein rechtwinkliges Dreieck liefert (vom Mittelpunkt zum oberen Ende der Linie, sowie vom Mittelpunk zum unteren Ende der Linie wird je eine Seite des Dreiecks): R² = r² + 4² |-r² 16 = R² - r² Dadurch wird die rote Fläche zu π*(R² - r²)/2 = π*16/2 = 8π Fertig.
Hi, grüß Dich. Im Nachtrag zu unserem letzten Gespräch: Vergleich mal die Resonanz auf dieses Video mit der Resonanz auf jenes ruclips.net/video/GClY1hkYsVQ/видео.html .
@@porkonfork2023 du willst also einen Kanal mit 900 Mitgliedern mit einem Kanal mit gut 400.000 Mitgliedern vergleichen? Das macht nicht viel sinn, oder?
Wenn man die Kreise mit Radius R und r voll darstellt, erkennt man leicht, dass die gesuchte Fläche, die des Halbkrises mit Radius R, abzüglich der des Halbkreises mit Radius r ist. Mir fehlt das geometrische Verständnis, was vermutlich im Bereich um die Sätze zum Thaleskreis u.ä. liegt, zu erkennen warum die Fläche nur von der Länge der Höhe im Halbkreis mit Radius R abhängt. Da dies aber anscheinend der Fall ist, betrachte ich den leicht zu berechnenden Sonderfall, dass die Höhe auf dem Mittelpunkt der Halbkreise steht: Es ist dann R = 4 und r = 0 und somit A = π/2 * 4^2 = 8π
Ich sehe gerade, dass ich ähnlich vorgegangen bin, ich habe bloss den Höhensatz des Euklid verwendet: r = Radius kleiner Kreis R = Radius grosser Kreis mittlerer Radius = R - r Höhensatz des Euklid: 4² = (R - r)(R + r) 16 = R² - r² Fläche (die Halbkreise kann man beliebig in Gedanken verschieben): A = 1/2 * [R² - (R - r)² + (R - r)² - r²] π A = 1/2 * (R² - r²) π A = 1/2 * 16 π A = 8 π
Ich habe etwas anders angefangen. Zuerst der kleine Kreis mit Radius r, der mittlere mit 2r und der große mit 3r. Dann das Dreieck 4,r,3r. 4²+r²=(3r)² 16+r²=9r² | -r² 16=8r² | ꞉8 2=r² | √ r=√2 Und jetzt die Halbkreise: A=1/2*π((3r)²-(2r)²+(2r)²-r²) A=1/2*π(9r²-r²) A=1/2*π(8r²) | r²=(√2)²=2 A=8π A=25,13274
R und r kann man aber nicht berechnen oder sehe ich das falsch ?? Ich meine ich kann nur eine Zahl einsetzen und dann eine von den beiden ermitteln und es gibt viele Lösungen.
Genau, es gibt unendlich viele Lösungen bei denen die Differenz aus R^2 und r^2 gleich 16 ist. Je größer R und r werden, desto "größer" und "schlanker" wirkt die schraffierte Figur. Aber die Fläche bleibt immer 8 Pi.
@@vic9543 Danke, deshalb kam ich auf kein Ergebnis weil ich ewig gebraucht habe aus Dreiecken ein Radius zubekommen:) Danach war ich mit den Abständen auf den richtigen Weg hatte aber dann die Nerven verloren bei den vielen Unbekannt und hab mir lieber das Video angeschaut ist ja einfacher :)
Ach so da wäre dann theoretisch der zweite Lösungsansatz ohne einen Variabelkrieg hier anzufangen eine Radius annehmen und dann rückwärts zurechnen. Dafür hätte man aber das ganze Gebilde verstehen müssen hab ich aber in dem Moment nicht :(
@@venusthomas Ohne Variabelkrieg geht's nicht, weil man ja zuerst herausbekommen muss, dass die Fläche gleich Pi/2 mal (R^2 - r^2) ist, also wie die Fläche mit den beiden Radien zusammenhängt. Durch das R^2 = r^2 + 16 aus dem Dreieck weiß man dann, dass R^2 - r^2 = 16 ist und kann diese 16 anstelle von (R^2 - r^2) in die Flächen-Formel einsetzen. Und dann kommt halt 8Pi für die Fläche raus. Aber einen Radius annehmen und dann rückwärts rechnen würde nicht gehen, weil man am Anfang die Formel ja noch nicht hergeleitet hat, dann wüsste man ja nicht wie/was man rechnen soll. Bin übrigens auch nicht allein drauf gekommen, weil ich das Dreieck aus R, r und 4 nicht erkannt habe und hab' dann "Lösungsansatz V", also Video Anschauen gewählt :)
@@vic9543 Wenn du weist das es unendlich viele Löseungen gib, nimmst du eine sinnvole Zahl für den großen Radius an, hab da einfach 20 genommen und dann gehst du sofort über das Dreieck zum kleinen Radius. Weil das Dreieck hab ich sofort gesehen. Gut da hab ich mal eine Variable. Aber ich bin ja an den bekloppten Differenzen gescheitert obwohl es im nachhinein einfach aussieht. Da hab ich nähmlich für jeden Halbreis eine andere Variable genommen und hab mich dabei verzettelt um dort soviel Gleichungen wie unbekannte zufinden. Und genauso lösen sich die Zahlen dann auf wie beim gezeigten Video im Prinzip die selbe Löungstrategie. Die Aufgabe war schon nicht schlecht muss ich sagen.🙂
Ich habe mir gedacht ich gehe über den Höhensatz im Thaleskreisdreieck. Daraus folgt, wobei die Reihenfolge egal ist, p=R-r und q= R+r. p*q ist also (3. Binom. Formel) R^2-r^2. Da pq aber gleich h^2 ist folgt daraus dass R^2-r^2=16 ist. Das ergibt für die Fläche dann 8*π.
Immerwieder verblüffend wie sich das im Laufe des Lösungsweges so "ganz zufällig" gewaltig vereinfacht. Apropos, das A2 und A3 gleich groß sind hatte ich anhand der Zeichnung erkannt. Nur genügt das nicht, sondern es muss sauber hergeleitet werden, das es tatsächlich so ist.
Warum benutzt du R? Ist es nicht offensichtlich, dass R = 3r? Das muss doch wahr sein. Der kleine Kreis verbindet IMMER die Mittelpunkte der beiden Mittleren Kreise, weil: Der kleine Kreis und der große Kreis haben immer den gleichen Mittelpunkt. Der kleine kreis berührt den Rand von beiden mittlen Kreisen auf der gleichen Achse. Das heißt dann, dass die beiden mittleren Kreise göeich groß sein müssen, weil sie ja den kleinen und den großen Kreis immer auf der gleichen Achse treffen müssen. Also ist der Durchmesser vom kleinen Kreis der Radius von den Mittleren Kreisen. Das heißt der große Kreis muss immer den Radius der mittleren Kreise 3mal als Durchmesser haben. Also ist R = 3r Und du hast instant eine Variable weniger und kannst alles was du willst ausrechnen. 4²+ r² = (3r)² 16 + r² = 9r² 16 - 8r² = 0 2 - r² = 0 r² = 2 r = √(2) oder -√(2) (was keinen Unterschied macht, weils Kreise sind. Keine Variablen mehr, also nurnoch Flächeninhalte abziehen. BAM!
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Meine Wunschliste: mathematrick.de/wunschzettel
Susanne zeigt es immer wieder. Mathematik ist die Kunst, das Rechnen zu vermeiden. Genial.
Danke! Hey Susanne, Du bist nicht nur eine tolle Mathematikerin, sondern auch eine echte Künstlerin, denn mit dem Aufdröseln dieser Aufgabe hast Du wirklich ein mathematisches Kunstwerk präsentiert. Herzliche Grüße!
Dankeschön René!! 😍
Wow Susanne, ganz großes (Mathe-)Kino.
Ich kannte die Aufgabe und hab auch schon einige Zeit drüber nachgedacht, bin aber nicht drauf gekommen.
Toll, danke
Perfektes Video. Nachvollziehbar und sehr anschaulich geloest. Die Spannung, was als naechstes passiert, hat bis zum Schluss gehalten. Danke
Super, das freut mich! ☺️
OMG
Ich habe Yolksschule, Fachschule und dann die Schiffsingenieurschule besucht. Seit nun 77 Jahren versuche ich mit der höheren Mathematik klar zu kommen. Einfach schwarze Kunst. Habe neugierig eine Sendug angesehen und bin jetzt der absolute Mathefan geworden. Warum haben Sie nicht damals gelebt, wie einfach wären die Schulbesuche gewesen.
Bravo Zulu ( gut gemacht ) Danke 🙂
Saugeil - der Pythagoras im Kreis - auf den "Knackpunkt" wäre ich nie alleine draufgekommen 🤣👍
Liebe Susanne, jetzt muss ich mit einem verwirrten Kopf zur Arbeit. Es ist erstaunlich, wie logisches Denken manchmal schwierig aber auch notwendig ist. Danke für deine Arbeit. Meine Töchter gucken auch deine Videos an.
Absolut faszinierend!
Das ist Mathematik allerhöchster Vollendung dargeboten. Ich möchte aufstehen und applaudieren.
Es gibt kaum ein schöneres Gefühl als in langen Formeln fast alles kürzen zu können! 😊
Wenn das wirklich das höchste der Gefühle in deinem Leben ist, bist du ein bemitlleidenswerter Mensch.
Ich hoffe du findest mehr Erfüllung in deinem Leben
@@TedOtini-mh3lp Troll!
@@TedOtini-mh3lp okay Ted Otini
@@TedOtini-mh3lp digga....🤣🤣🤣 diss den jungen doch nicht ganz so hart
Naja.... Vielleicht ein bisschen hart formuliert, aber iwie hat Ted recht. 🤷🏼♂️
Mal wieder total plausibel und sehr genau und anschaulich erklärt.
Du bist ein echtes Mathe-Genie, Susanne!
Deine Stimme ist sehr beruhigend und angenehm.
Wow, das war Magie. Gerade noch war ich planlos wie man da was rausbekommen soll und dann löst sich alles von "alleine" auf. Mind blown. Danke. Grundlagen + Methoden bis zum ende durchziehen = Magie
Sehr gute Aufgabenstellung und sehr gute Lösungswegfindung. Und wieder das Dreieck mit dem Pytagoras.
Als ich die Zeichnung sah, blitzte erst die Dreiecksflächenformel über Innen- und Außenkreis auf.
Die vielen Flächenformeln zum Dreieck sind auch gut geeignet eine Rechenprobe auf unabhängigen Weg zu gestalten.
Danke
Da haben Aufgabe, Lösung und Lehrerin einiges gemeinsam: Interessant, intelligent und attraktiv!
Macht immer wieder Spaß die Lösungen anzuschauen. Und dabei kommst Du so sympathisch rüber 😊😊
Dankeschön, das freut mich sehr! 🥰
Hi Susanne,
Habe das Video angehalten und bin auch auf 8 pi gekommen, bevor ich es dann zu Ende geschaut habe.
Ja, das hat schon was von Zauberei, dass man die Lösung berechnen kann, ohne die genauen Werte aller Variablen zu kennen 😮
Kompliment, wie ruhig, unaufgeregt, präzise, verständlich und tiefenentspannt Du die Aufgaben in sinnvolle Schritte zerlegst und erklärst. Mit guter Laune und einem sympathischen Lächeln. 😊
Mathematische Zaubereien, bezaubernd erklärt...🧚♀️
Oh Mann, ich bin so weit von alleine gekommen und mir hat nur ein kleiner Gedankensprung gefehlt um das Rätsel vollständig zu lösen. Geniale Aufgabenstellung und so ein wundervolles Ergebnis 🥰.
Ich finde es toll, dass du nach jedem Schritt eine neue Seite beginnst. Andere pinseln alles auf eine Zeichenfläche und das wird dann sehr schnell unübersichtlich.
mit einem Mal gings ganz schnell und zack - da war die Lössung. Das hat mich wirklich überrascht. Gelungenes Video as always . Weiter so, 👍👍
Hallo Susanne, guten Abend,
super schöne Aufgabe. Danke Dir.
Mein Lösungsvorschlag:
wk sei der kleine weiße Halbkreis
wg sei der größere weiße Halbkreis
rk sei der kleine rote Halbkreis
rg sei der größere rote Halbkreis.
Awk sei die Fläche von wk
Awg sei die Fläche von wg
Ark sei die Fläche von rk
Arg sei die Fläche von rg
Der Schnittpunkt der schwarzen Linie mit der gestrichelten Linie sei A
Der Schnittpunkt der schwarzen Linie mit dem roten großen Halbkreis rg sei B
M sei der gemeinsame Mittelpunkt des kleinen weißen Halbkreis wk und des großen roten Halbkreis rg
Damit ist wk der kleinste Halbkreis und rg der größte Halbkreis.
wk und rg sollen außerdem einen gemeinsamen Mittelpunkt haben.
gemäß Zeichnung gilt ausserdem:
Radius wg = Durchmesser wk = 2x Radius wk
Radius rk = Durchmesser wk = 2x Radius wg
Der größere weiße Halbkreis wg und der kleine rote Halbkreis rk sind also gleich groß.
Weil wk und rg einen gemeinsamen Mittelpunkt haben, gilt: Radius rg = Radius wg + Radius wk= 2x Radius wk + Radius wk = 3x Radius wk
Die allgemeine Formel für die Fläche eines Halbkreises ist
1/2 * pi * Radius^2
Wenn man für den kleinsten Kreis r als Radius festlegt, ergibt sich folgende Tabelle:
Halbkreis | Radius | Fläche Halbkreis
----------------|-------------|------------------------------------------------------------
wk | r | Awk = 1/2 * pi * r^2
----------------|-------------|-------------------------------------------------------------
wg | 2r | Awg = 1/2 * pi * (2r)^2 = 1/2 * pi * 4r^2
---------------|--------------|-------------------------------------------------------------
rk | 2r | Ark = 1/2 * pi * (2r)^2 = 1/2 * pi * 4r^2
---------------|--------------|------------------------------------------------------------
rg | 3r | Arg = 1/2 * pi * (3r)^2 = 1/2 * pi * 9r^2
Für die gesuchte rote Gesamtfläche gilt:
Agesamt = Arg -Awg + (Ark-Awk) = Arg+Ark-Awg-Awk
Da wg und rk gleich groß sind, gilt dies auch für die jeweiligen Flächen, also Awg = Ark
Damit lässt sich Agesamt vereinfachen zu (Ark durch Awg ersetzen)
Agesamt = Arg+Awg-Awg-Awk = Arg-Awk
Werte aus Tabelle einsetzen
Agesamt= 1/2 * pi * 9r^2 - 1/2 * pi * r^2 = 1/2 * pi ( 9r^2 - r^1) = 1/2 * pi * 8r^2 = pi * 4 * r^2
Brechnung von r:^2
(r muss nicht berechnet werden, da in Agesamt nur r^2 vorkommt)
Die Punkte A, B und M bilden ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten Strecke AB = 4 Längeneinheiten und Strecke AM = Radius wk = r und der Hypotenuse MB = Radius rg = 3r
Nach Pythagoras gilt dann
4^2 + r^2 =(3r)^2 = 16+r^2 =9r^2 | -r^2
16 = 8r^2 | :8
2 = r^2 |
r^2 = 2
2 für r in Agesamt einsetzen
Agesamt = pi * 4 * (2)^2 = pi * 4 * 4 = pi * 16 = 16*pi Flächeneinheiten (FE)
Die rot markierte Fläche ist also 16pi FE groß
Edit: Ich bekomme eine andere Lösung heraus als Susanne und einige andere hier.
An welcher Stelle bin ich falsch "abgebogen"?
Danke für eure Antworten. LG aus dem Schwabenland.
LG aus dem Schwabenland und gute Nacht.
respekt.......ich wünschte, ich hätte so ein schlaue frau in meinem freundeskreis...........jedes video eine freude!
Sehr schön, das hat mal wieder großen Spaß gemacht!😊
Danke für die prima erläuterte Herleitung! Es geht auch mal ohne Integralrechnung (Stichwort Spirale).
toller Lösungsweg - wie immer, danke liebe M-Fee🌷
Hallo Susanne,
das ist wieder mal so eine Aufgabe, bei der ich von vornherein aufgegeben hätte. Und wenn Du das uns hier vorrechnest, ist alles so ganz einfach. Großartig Schritt für Schritt erklärt.
Viele Grüße
Klaus
Wow Susanne, ganz großes (Mathe-)Kino.
Ich kannte die Aufgabe und hab auch schon einige Zeit drüber nachgedacht, bin aber nicht drauf gekommen.
Toll, danke🎉
hat Spaß gemacht!
Sehr schön, hat Spaß gemacht.😊
Wenn ich nicht wüßte, daß Susanne ALLES lösen kann, hielte ich diese Aufgabe für unberechenbar! Am tollsten fand ich die Stelle in Minute 10:03 , wo Du flüsterst: "Das könn'n wir hier ersetzen!" Vielen Dank für dieses spannende Video! 👍😊👏🎶
Psst, nicht weitersagen 🙄
Nein, die Lösung hätte ich so nie gefunden. Aber super erklärt, lässt sich gut nachvollziehen.
Kompliment! Zunächst weiß man gar nicht, wie man sich dem nähern soll. aber dann, Stück für Stück geht es doch. Prima!
Krass! Und das sah erst mal mega kompliziert aus 😅
Ich liebe deine Rechnungen. Löse alles zuerst selber, habe aber deutlich länger!😮😅
So ein tolles Brainstorming zum Mittag hin.
Musste aber nochmals für mich selber mit ganzen Zahlen nachhrechnen wie der Bruch getrennt werden kann, damit ich es verstehe.
Also nach gründlicher Analyse vieler Videos besteht die Mathematik also überwiegend daraus Formeln bzw. Gleichungen aufzustellen, anschließend schauen was weggekürzt werden kann und sich dann ob des Kürzens freuen :D
WwowW das ist eine der geilsten Aufgaben, die ich jeh gesehen habe, danke für den "Aha" Effekt.
Herzlichen Dank für diese Aufgabe aus der Geometrie.
Mein Lösungsvorschlag lautet:
Der größte Kreis hat einen Radius von R und das kleine r, das mittlere rote große (nehmen wir an) r3 und das andere weiße Kreis r2.
Die rote Fläche wäre: (1/2)*π(R²-r²+(r3)²-(r2)²)
Nach dem Satz von Phytagoras:
4²+r²=R²
R²-r²=16
somit:
(1/2)π(R²-r²) = (1/2)π*16
= 8π FE
r3 (rote Kreis) = (R+r)/2 (von rechts aus betrachtet)
r2 (weißer Kreis)= (R+r)/2 (von links aus betrachtet)
somit wären (r3)²=(r2)²
(1/2)*π((r3)²-(r2)²) = 0
Die rote Fläche = 8π FE ist die Antwort.
Danke! Ich bin ü50 und hatte damals Mathe LK im Abitur. Aufgrund deiner Videos komme ich wieder in die Themen rein.
Meine Frage: Mir ist aufgefallen, dass sehr oft Abbildungen von Graphen in den Aufgaben angegeben werden. Das vereinfacht die Aufgaben sehr, da man somit schon ein Bild der Funktion hat. Zu unserer Aufgabe gehörte es damals zum Abschluss den Graphen zu zeichnen und Taschenrechner mit Graphikprogramm waren in Prüfungen nicht erlaubt.
Du erklärst die Aufgaben sehr gut und ich finde es sehr gut, dass du die Formeln immer separat aufschreibst. Mir sind nach über 30 Jahren diese Formeln entfallen.
Aber ... Da kam keine Frage nach "Meine Frage:" 🤔
@@2dark4noir Senilität
@@GeilerDaddy Was erwartet Ihr? der Mann ist Ü50! ;-)
@@2dark4noir Was erwartet Ihr? der Mann ist Ü50! ;-)
Bravo. Ein Gedicht. ❤
Stoooop Susanne! Drehe A3 um M um 180grad (A2=A3(!)) und rechne A gesucht=A4-A1 - fertig
Hübsches Rätsel, danke dafür.
Ein wenig Rechnerei kann man sich sparen, wenn man sieht, dass die mittleren Radien gleich sein müssen. Dann kann man die obere Hälfte des Gebildes abschneiden und in die untere Hälfte einsetzen, so dass es einen halben Kreisring ergibt. Der Rest des Lösungsweges über Pythagoras bleibt gleich.
Wie kann man "sehen", dass die mittleren Radien gleich sein müssen? Ich war von vier verschiedenen Radien ausgegangen und bin rechnerisch draufgekommen, dass die mittleren gleich groß sind, aber nur aus der Zeichnung konnte ich es nicht ableiten.
@@vic9543 Leider gehöre ich auch nicht zu den Menschen, die so etwas auf den ersten Blick "sehen" ;-)
Ich bin zunächst dem Verdacht gefolgt, dass die Mittelpunkte der mittleren Kreise auf dem Umfang des kleinen Kreises liegen müssten, weil sonst die Zeichnung nicht eindeutig bestimmt ist. Das erwies sich zwar als richtig, musste aber keine Auswirkung auf die Fläche haben und war deshalb eine Sackgasse.
Dann bin ich der Erfahrung gefolgt, dass solche Aufgaben meistens einen kleinen Trick haben, der die Lösung erleichtert.
Et voila ...
1) Der kleine und der große Kreis haben einen gemeinsamen Mittelpunkt.
2) Die mittleren Kreise tangieren jeweils einmal den kleinen und den großen Kreis.
3) Die Tangentpunkte und die Anordnung sind ziemlich symmetrisch.
-> Das legt nahe, dass die mittleren Radien identisch sind.
@@theofuhrmann1984 Danke für die Antwort, jetzt hab' ich verstanden, wie es gemeint war.
Jappadappadu, Video angehalten und komplett allein gelöst. Es gibt ja meist einen Zusammenhang, den man erkennen muss und der dann alles löst. Hier war es der Pythagoras mit R, r und 4. Allerdings habe ich mit dem Zirkel erstmal 2 dieser Figuren mit verschiedenen Maßen gezeichnet, um mir klarzumachen, welche Verhältnisse zwingend sind (da kann die gegebene Zeichnung ja schnell mal in die Irre führen). Da der größere obere Kreisbogen und der kleinere untere Kreisbogen beide vom Radiusendpunkt des kleinen Kreises zum Radiusendpunkt des großen Kreises verlaufen, müssen sie gleich groß sein (A2 ist also gleich A3 --> haben ja im Video auch die gleiche Formel). Ok, das war die zweite Sache, die man erkennen musste. Dann die Pythagorasbeziehung in die Restflächenformel eingesetzt, naja im Grunde genauso gelöst wie im Video nur viel länger gebraucht, aber ich bin alt (53) ich darf das ;) Eine klasse Aufgabe und vom Schwierigkeitsgrad mal wieder genau nach meinem Geschmack. Dankeschön Susanne und ich wünsche Thomas und dir ein schönes langes Wochenende.
Genial gelöst
Mathe ist so viel schöner seit ich es nicht mehr machen MUSS. Ich wünsch mir echt, ich hätte das entspannter angegangen und hätte mehr Zeit gehabt.
tolles Beispiel! 👍
Hätte man nicht auch einen Segmentbogen rechnen können, um dann die Stichhöhe, also den Radius vom kleinen Kreis rauszufinden? Sprich die 4 doppelt als Spannweite und dann die Formel (2/3) x s x h?
Ich hatte teilweise einen etwas anderen Lösungsweg. Wenn man den großen Kreis als Thaleskreis betrachtet, so ist die Strecke mit der Länge 4 die Höhe eines rechtwinkeligen Dreiecks. Aus dem Höhensatz ergibt sich r=2 für den Radius des kleinsten Kreises, wenn man für p = 2 r und q = 4 r setzt. Restlicher Lösungsweg analog.
Und wieso soll der Hypothenusenabschnitt q doppelt so lang wie p sein?
@@coolcycles Weil der Durchmesser eines Kreises doppelt so lang wie sein Radius ist. Die beiden mittelgroßen Halbkreise sind gleich groß.
ich würde mich sehr darüber freuen wenn ihr ein Video über Fläche, Länge ,Höhe und volumen machen würdet
Nenen wir den Durchmesser des kleinen Halbreises d, dann hat der große 3d Durchmesser. Die Fläche ist groß- mittel+mittel-klein, es bleibt also die Fläche des großen minus des kleinen Halbreises. Die Fläche des kleinen Halbkreises ist Pi*d²/8, der große hat bei dreifachem Durchmesser die neunfache Fläche. Es bleibt also gesamt pi*d². Jetzt brauchen wir nur noch d, und das ist trivial, weil die Höhe 4 gleichzeitig die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks mit der Hypothenuse gleich dem Durchmesser des großen Halbkreises. Daher gilt d*2d=16, also d²=8. Eingesetzt ist die Fläche also 8pi. Warum du immer alles so extrem kompliziert machen musst...
Wie toll ihr seid !😂😁
Mein Lösungsweg:
Der Halbkreis A3 läßt sich um den Mittelpunkt von A1 in den Halbkreis A2 drehen. Dadurch erhält man einen halben Kreisring mit dem dreifachen Durchmesser des kleinsten Halbkreises. Dieser lässt sich mittels des Höhensatzes ermitteln und damit die gesuchte Fläche ausrechnen.
Gut gespielt !
Wie kann die Aufforderung "Finde die Fläche" beantwortet werden? Einfach mit: "Da!"
Einfach genial vielen Dank für deine Erklärung 😊👍
Ich dachte zuerst jertzt kommt die parabolische Spirale als Thema mit der Formel r(t)=t^2 und das im Verhältnis zu 4 😨
Auch wenn's nicht ganz an diese Stelle passt: Was sagst Du denn zum Mengenlehre-Paradoxon (erstmals von Betrand Russel formuliert)? Das war die Geschichte mit Mengen die sich selbst enthalten... Sprengt das nicht irgendwie das Fundament der Mathematik? 😅
Ohhh die Hörnchen sind zurück!!
Na ja, solange es nicht die Kartoffelintegrale sind. 😉
So habe ich das getauft, wenn in der Vorlesung der Proff für eine geschlossene Fläche etwas kartoffel- oder bohnenförmiges an die Tafel malte. Und daran die diversen Eigenschaften erklärte, die die Mathematik kennt.
Mit dem Euklidschen Höhensatz geht's auch schnell im kopf ;-)
1. Erkennen, dass R=3r
2. Erkennen, dass die Rote Fläche A = 4×pi×r^2 (folgt mit Susannes Überlegungen zu den Flächen schnell)
3. Höhensatz: 4^2 = 2r ×4r
Damit folgt r×2 =2 und A=8×pi
Top, mehr gibt es nicht zu sagen
Bei den Aufgaben, wo ein Teil variabel ist (wie der Schnittpunkt der senkrechten Strecke der Länge 4 und der waagrechten), verschiebe ich gedanklich gern bis zu den möglichen Grenzen. In diesem Beispiel wird dann der kleine Kreis (klein r) sehr, sehr klein, also Null, und der Halbkreis oberhalb ist dann gleich groß wie der weiße Halbkreis unterhalb der gestrichelten Linie. Sie heben sich also auf. Übrig bleibt nur noch ein Halbkreis mit Radius 4. Damit war die Aufgabe schnell im Kopf gelöst. Ich habe sozusagen "geometrisch gekürzt", oder wie man das nennen will.
🤨
Der Durchmesser des größten Habkreises sei d. Der Abstand des Mittelpunktes des größten Halbkreises zum Mittelpunkt des unteren kleineren Halbkreises ist d/6. Via Pythagoras mit dem Abstand 4 ergibt das für d=Wurzel aus 72.
#GLOCKEAKTIV DEIN BESTER SUPPORTER 🔥
Das ist eine sehr schöne Figur, in der sich die beiden Halbkreise mit r = 4 gegenseitig aufheben. Also ist A = pi() * (36/2 - 4/2) = 16 * pi() 🙂
Nein... 8*pi()
Sehr schöne Aufgabe! Mir fehlte leider die Erwähnung, dass die zwei Terme in der Flächenformel deshalb wegfallen, weil die zwei mittelgroßen Kreise der Vier den selben Radius aufweisen. Stellt man ein Gleichungssystem auf, so kann man diesen Zusammenhang schnell feststellen.
Dazu bedarf es keines Gleichungssystems. Das sieht man einfach.
Also, dass die beiden "mittleren" Halbkreise gleich groß sein müssen ergibt sich schon aus der Zeichnung, da habe ich die Formel gleich eingespart... Aber den Pythagoras aus diese Art zu verwenden.. da hätt ich den Krams wahrscheinlich doch mal aufschreiben müssen.. Geniale Lösung
ich fand es viel einfacher, die Figur einmal um 180 Grad zu drehen, natürlich um den gemeinsamen Mittelpunkt des kleinen bzw. großen Kreises, und dann mit der ursprünglichen Figur zusammen anzuschauen, und siehe da, ein perfekter Kreisring mit Fläche π*(R² - r²). Logischerweise doppelt so groß wie die gesuchte Fläche
Das R² -r² habe ich dann über den Höhensatz samt 3. Binomischer Formel ausgerechnet.
Wieso steht die 4 senkrecht auf dem mittleren Durchmesser? Wo steht das?
Da wo die senkrechte dick eingezeichnete Linie und die gestrichelte Durchmesser-Linie aufeinandertreffen ist ein kleiner Viertelkreis mit einem Punkt drin eingezeichnet. Das ist ein Symbol für einen 90 Grad Winkel und bei 90 Grad Winkeln sind die Linien senkrecht zueinander.
Im Grunde spielen diese ganzen augenscheinlich komplizierten "Problemfälle" damit zu erkennen, wie man eine Formel so umstellt, dass sich möglichst viele "Endgegner" gegenseitig zerschlagen. Genau darin liegt die Kunst. 👍
Int R3->R4 [(π•r4)-(π×r3)]•dr + IntR1->R2 [(πr2)-(πr1)]•dr Σ=3,5π+1,5π=5π 15,70 qcm
Kniffelig, schick gelöst, gut erklärt.
ich habs mit thales, höhensatz und binomischer formel gemacht statt pythagoras xD
ist natürlich umständlich, aber das erste was mir bei dem bild aufgefallen ist, war das man thales+höhensatz benutzen kann, also hab ich das dann später auch benutzt^^
Kannst du erklären, wie man das Ding maßstabsgerecht mit Zirkel und Lineal konstruiert? Ich wüsste jetzt nicht, welche 4 Radien ich in den Zirkel nehmen sollte. Kommt auch nicht im Lösungsweg raus. Mit Photoshop oder Corel ist wahrscheinlich easy, weil macht alles das Programm.
Du zeichnest zwei parallele Geraden mit 4 Einheiten Abstand voneinander.
Dann ziehst du einen Kreis mit Radius von 4 oder mehr Einheiten und Mittelpunkt auf der ersten Geraden.
Dann zeichnest du die Lotrechte durch einen der Schnittpunkte des Kreises mit der zweiten Geraden.
Zuletzt ziehst du einen Kreis mit demselben Mittelpunkt wie der erste Kreis, durch den Schnittpunkt der Lotrechten mit der ersten Geraden.
Der Durchmesser der beiden fehlenden Halbkreise ist der erstellten Zeichnung zu entnehmen.
Ich möchte mal darauf hinweisen, dass die beschriebene Form *nicht* eindeutig definiert ist.
R und r sind durch die gesamte Beschreibung nur abhängig durch das Verhältnis
R²-r² = 4²
Dafür gibt es unendlich viele Lösungen.
Das sollte einen noch viel mehr ins Staunen bringen, dass die *Fläche* in all diesen unendlich vielen Ausprägungen stets identisch und daher für uns eindeutig bestimmbar ist
Die Erklärung im Video war gut.
Gefreut hätte mich noch eine Einordnung, dass man schon der Beschreibung entnehmen kann, dass zwei Halbkreise identisch sein müssen und wegfallen.
Das hat man ja später arithmetisch auch noch gesehen, wäre im Sinne der Vermittlung von Problemlösekompetenzen aber noch schön gewesen.
Tatsächlich ist der Rechenweg mit dieser Einsicht geradezu lächerlich kurz:
I) Pythagoras: R² - r² = 16
II) Flächen: A - a = 1/2πR² - 1/2πr²
= 1/2π(R²-r²)
III) einsetzen I) in II): 1/2π16 = 8π
Das mit der Form ist mir beim rechnen gar nicht aufgefallen. Dann könnte man es sich auch einfach machen und vorstellen, dass der kleinste Kreis ein Radius von 0 hat. Wäre aber etwas geschummelt, weil man damit ja nicht bewiesen hat, dass alle Formen, den gleichen Flächeninhalt haben.
❤❤
Super
Hallo Susanne, schöne Aufgabe! r und R lassen sich aber sofort aus der Zeichnung ablesen da es sich um die Pythagoräischen Zahlen 3,4,5 handelt. L.G. Arno
Lösung:
Wenn man sich die Skizze genau anschaut, kann man schnell sehen, dass man die Figur an der gestrichelten Linie zerschneiden kann, sodass die obere Hälfte um 180° gedreht genau in die untere Hälfte passt. Das ist durch den gemeinsamen Mittelpunkt automatisch gegeben.
Wir haben also einen halben Kreisring, dessen Flächeninhalt mit π*(R² - r²)/2 bestimmt ist (geteilt durch 2, weil es ja nur ein halber Kreisring ist).
Die 4er Hilfslinie hilft uns hierbei ungemein, da sie zusammen mit den beiden Radien ein rechtwinkliges Dreieck liefert (vom Mittelpunkt zum oberen Ende der Linie, sowie vom Mittelpunk zum unteren Ende der Linie wird je eine Seite des Dreiecks):
R² = r² + 4² |-r²
16 = R² - r²
Dadurch wird die rote Fläche zu π*(R² - r²)/2 = π*16/2 = 8π
Fertig.
Hi, grüß Dich.
Im Nachtrag zu unserem letzten Gespräch:
Vergleich mal die Resonanz auf dieses Video mit der Resonanz auf jenes ruclips.net/video/GClY1hkYsVQ/видео.html .
@@porkonfork2023 du willst also einen Kanal mit 900 Mitgliedern mit einem Kanal mit gut 400.000 Mitgliedern vergleichen? Das macht nicht viel sinn, oder?
Habe ich die Aufgabe nicht schon bei "Hemmes mathematische Rätsel" gesehen? Und auch die Lösung?
Entspricht Deinem Kommentar.
@@m.h.6470 Dieser Kommentar ist nicht sinnhaftig, da @porkonfork2023 auf einen besseren Lösungsansatz verweist.
@@popogast Nein, es geht um Resonanz auf das Video, nicht um den Inhalt.
Wenn man die Kreise mit Radius R und r voll darstellt, erkennt man leicht, dass die gesuchte Fläche, die des Halbkrises mit Radius R, abzüglich der des Halbkreises mit Radius r ist.
Mir fehlt das geometrische Verständnis, was vermutlich im Bereich um die Sätze zum Thaleskreis u.ä. liegt, zu erkennen warum die Fläche nur von der Länge der Höhe im Halbkreis mit Radius R abhängt.
Da dies aber anscheinend der Fall ist, betrachte ich den leicht zu berechnenden Sonderfall, dass die Höhe auf dem Mittelpunkt der Halbkreise steht: Es ist dann R = 4 und r = 0 und somit A = π/2 * 4^2 = 8π
Merksätze für's Leben:
Wir sammeln erstmal und bleiben geduldig.
Sieht schlimm aus, ist aber egal.
10:15 Das Kürzen geht zu schnell, das werden einige so nicht nachvollziehen können. Didaktisch besser erst die 16 oben in den Zähler bringen.
❤
Warum ist die Hypothenuse (c) gleich R? Das habe ich nicht verstanden.
Ich sehe gerade, dass ich ähnlich vorgegangen bin, ich habe bloss den Höhensatz des Euklid verwendet:
r = Radius kleiner Kreis
R = Radius grosser Kreis
mittlerer Radius = R - r
Höhensatz des Euklid:
4² = (R - r)(R + r)
16 = R² - r²
Fläche (die Halbkreise kann man beliebig in Gedanken verschieben):
A = 1/2 * [R² - (R - r)² + (R - r)² - r²] π
A = 1/2 * (R² - r²) π
A = 1/2 * 16 π
A = 8 π
Ich habe etwas anders angefangen. Zuerst der kleine Kreis mit Radius r, der mittlere mit 2r und der große mit 3r.
Dann das Dreieck 4,r,3r.
4²+r²=(3r)²
16+r²=9r² | -r²
16=8r² | ꞉8
2=r² | √
r=√2
Und jetzt die Halbkreise:
A=1/2*π((3r)²-(2r)²+(2r)²-r²)
A=1/2*π(9r²-r²)
A=1/2*π(8r²) | r²=(√2)²=2
A=8π
A=25,13274
R und r kann man aber nicht berechnen oder sehe ich das falsch ?? Ich meine ich kann nur eine Zahl einsetzen und dann eine von den beiden ermitteln und es gibt
viele Lösungen.
Genau, es gibt unendlich viele Lösungen bei denen die Differenz aus R^2 und r^2 gleich 16 ist. Je größer R und r werden, desto "größer" und "schlanker" wirkt die schraffierte Figur. Aber die Fläche bleibt immer 8 Pi.
@@vic9543 Danke, deshalb kam ich auf kein Ergebnis weil ich ewig gebraucht habe aus Dreiecken ein Radius zubekommen:) Danach war ich mit den Abständen auf den richtigen Weg hatte aber dann die Nerven verloren bei den vielen Unbekannt und hab mir lieber das Video angeschaut ist ja einfacher :)
Ach so da wäre dann theoretisch der zweite Lösungsansatz ohne einen Variabelkrieg hier anzufangen eine Radius annehmen und dann rückwärts zurechnen.
Dafür hätte man aber das ganze Gebilde verstehen müssen hab ich aber in dem Moment nicht :(
@@venusthomas Ohne Variabelkrieg geht's nicht, weil man ja zuerst herausbekommen muss, dass die Fläche gleich Pi/2 mal (R^2 - r^2) ist, also wie die Fläche mit den beiden Radien zusammenhängt.
Durch das R^2 = r^2 + 16 aus dem Dreieck weiß man dann, dass R^2 - r^2 = 16 ist und kann diese 16 anstelle von (R^2 - r^2) in die Flächen-Formel einsetzen. Und dann kommt halt 8Pi für die Fläche raus.
Aber einen Radius annehmen und dann rückwärts rechnen würde nicht gehen, weil man am Anfang die Formel ja noch nicht hergeleitet hat, dann wüsste man ja nicht wie/was man rechnen soll.
Bin übrigens auch nicht allein drauf gekommen, weil ich das Dreieck aus R, r und 4 nicht erkannt habe und hab' dann "Lösungsansatz V", also Video Anschauen gewählt :)
@@vic9543 Wenn du weist das es unendlich viele Löseungen gib, nimmst du eine sinnvole Zahl für den großen Radius an, hab da einfach 20 genommen
und dann gehst du sofort über das Dreieck zum kleinen Radius. Weil das Dreieck hab ich sofort gesehen. Gut da hab ich mal eine Variable. Aber ich bin
ja an den bekloppten Differenzen gescheitert obwohl es im nachhinein einfach aussieht. Da hab ich nähmlich für jeden Halbreis eine andere Variable
genommen und hab mich dabei verzettelt um dort soviel Gleichungen wie unbekannte zufinden.
Und genauso lösen sich die Zahlen dann auf wie beim gezeigten Video im Prinzip die selbe Löungstrategie.
Die Aufgabe war schon nicht schlecht muss ich sagen.🙂
Habe ich die Aufgabe nicht schon bei "Hemmes mathematische Rätsel" gesehen?
❤❤❤LOVE💋💋💋
Goldener Schnitt?😊
Cool
Oh Warum R für den Radius? Ich dachte große Buchstaben sind Flächen ?
Ich habe mir gedacht ich gehe über den Höhensatz im Thaleskreisdreieck. Daraus folgt, wobei die Reihenfolge egal ist, p=R-r und q= R+r. p*q ist also (3. Binom. Formel) R^2-r^2. Da pq aber gleich h^2 ist folgt daraus dass R^2-r^2=16 ist. Das ergibt für die Fläche dann 8*π.
Immerwieder verblüffend wie sich das im Laufe des Lösungsweges so "ganz zufällig" gewaltig vereinfacht.
Apropos, das A2 und A3 gleich groß sind hatte ich anhand der Zeichnung erkannt. Nur genügt das nicht, sondern es muss sauber hergeleitet werden, das es tatsächlich so ist.
Wieso kann man am Anfang davon ausgehen, dass die Flächen überhaupt Halbkreise sind?
Ich stehe total auf dem Schlauch! Bitte nochmal für Dumme!
Das war schön didaktisch ausgeführt ...
... aber ich habe noch selten eine derart übel gemogelte Aufgabe gesehen.
Warum benutzt du R?
Ist es nicht offensichtlich, dass R = 3r?
Das muss doch wahr sein.
Der kleine Kreis verbindet IMMER die Mittelpunkte der beiden Mittleren Kreise, weil:
Der kleine Kreis und der große Kreis haben immer den gleichen Mittelpunkt.
Der kleine kreis berührt den Rand von beiden mittlen Kreisen auf der gleichen Achse.
Das heißt dann, dass die beiden mittleren Kreise göeich groß sein müssen, weil sie ja den kleinen und den großen Kreis immer auf der gleichen Achse treffen müssen.
Also ist der Durchmesser vom kleinen Kreis der Radius von den Mittleren Kreisen.
Das heißt der große Kreis muss immer den Radius der mittleren Kreise 3mal als Durchmesser haben.
Also ist R = 3r
Und du hast instant eine Variable weniger und kannst alles was du willst ausrechnen.
4²+ r² = (3r)²
16 + r² = 9r²
16 - 8r² = 0
2 - r² = 0
r² = 2
r = √(2) oder -√(2) (was keinen Unterschied macht, weils Kreise sind.
Keine Variablen mehr, also nurnoch Flächeninhalte abziehen. BAM!
WTF mal wieder erste sahne😅
Glücklicherweise war die Aussenkurve keine lorarithmische Spirale. 😅
Ich hätte die weißen Flächen einfach von den Gesamtflächen abgezogen. Man muß nur den jeweiligen Radius finden. (R² × pi) ÷ 2 = halber Kreis!
Halbe von den oberen und jeweils ein viertel von den anderen beiden
Ein richtiger edler Tropfen ist entstanden - das Zeitalter des Malens mit geometrischen Figuren ist aufgebrochen!