조화평균은 평균속도와 같이 이미 그 값 자체가 평균값일때 이 평균 값들의 평균을 구할 때 사용합니다. 그러니까 산을 올라갔다 내려오는 전 과정에 대한 평균 값(왕복 평균속도)은 결국 올라 갈때 속도와 내려 올때 속도를 조화평균 공식에 넣어 구한 값과 같습니다. 만약 조화평균 공식을 쓰지 않고 올라 갈때와 내려 갈때의 속도만 가지고 평균속도를 구하려면 오르내린 전체 거리와 전체 걸린 시간을 가지고 왕복 거리를 왕복 시간으로 나누어 구해야 합니다. 결국 어떤 값, 즉 값 자체가 평균일때 그 값들의 평균을 구할때 사용하는 것이 조화평균입니다. 요약하면 조화평균은 평균값들의 평균이 되는 것이죠.
산술평균은 연산의 기술을 배우면서 만나는 대부분의 경우에 사용하는 가장 일반적인 평균입니다. 시험 10번 본 평균은 10번의 시험 성적을 모두 더하고 10으로 나누면 각 시험의 평균 점수가 구해지요. 산술(arithmetic technique)은 연산(더하고, 빼고, 곱하고 나누는 것)의 기술을 말하고 그 연산의 기술(산술)에서 사용되는 가장 일반적인 평균을 의미합니다. 그리고 기하평균은 "n개의 양수 값을 모두 곱한 것의 n제곱근이다."가 정의인데 이 개념이 처음 도입된 근원이 a 와 b 를 두 변으로 하는 직사각형의 넓이와 똑 같은 정사격형의 한 변의 길이를 구할 때였습니다. 이 정사각형의 한 변의 길이는 루트 ab이죠. 정사각형은 모든 변의 길이가 같고 그러므로 한 변의 길이의 제곱이 넓이가 되어서 루트 ab의 제곱은 ab 즉 아까 말한 직사각형의 넓이가 됩니다. 요약하면 두 변이 a, b 인 직사각형과 넓이가 같은 정사각형의 한변의 길이가 바로 이 두 값 a, b의 기하평균값이 됩니다. 이건 변이 세개인 각기둥도 마찬가지 입니다. a,b,c 세 변의 각기둥의 부피는 abc 인데 이 부피와 똑같은 정육면체(모든변의 길이가 같은 3차원 입방체)의 한변의 길이가 바로 a,b,c의 기하평균(세제곱근 abc)이 됩니다. 결국 기하학적인 구조에서 따온 평균값이라는 의민가 들어있어서 기하평균이라고 말합니다. 그리고 마지막으로 조화평균은 영어로 Harmonic mean이라고 하는데 이 harmony(그리스어로 소리의 일치란 뜻)란 말은 음악적 용어로 처음 사용되었습니다. 도레미파솔라시도 8음계를 아시죠? 이 각 음은 소리를 내는 현의 길이와 상관이 있습니다. 음정이 높을 수록 현은 짧아집니다. 도보다 레가 레보다 미 소리를 내는 현이 짧다는 것이죠. 그런데 이 음이란 녀석은 파동(혹은 진동)이고 이 진동이 1초동안 몇 번 생겼나가 바로 주파수입니다. 그런데 이 음정들을 제 각각 현의 길이의 역수로 표시 했을 때 한쪽이 다른 쪽의 정수배가 되어서 도레미파솔.. 들은 각각 일정한 정수배인데 그걸 1도씩이라고 부른는 것이죠. 그래서 이 개념은 조화 수열과(각 수들의 역수가 등차수열인 수열)도 관계가 있습니다. 아무튼 1초에 몇번, 1초의 얼마 혹은 1시간에 얼마 등등 이런식의 값들의 평균을 구할때 조화 수열이 사용되는데 이 조화라는 말인 바로 음악에서 화음, 화성이라는 뜻의 harmony에서 이름을 따왔기에 이렇게 부르게 되었습니다. 도움이 되셨으면 좋겠습니다!
죄송하게도 답변이 늦었습니다. 책 내용은 제 인생과 수학을 공부하고 가르치면서 알게된 된 여러가지 깨달음들 그리고 하버드에서 수학교육을 공부하면서 격었던 이런 저런 얘기들에 대한 내용입니다. 수학의 쓸모와 필요, 어떻게 공부하는 것이 진짜 수학공부인지에 대한 제 의견도 담았구요. 저자로서 한번 읽어 보심을 추천드립니다^^
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조화평균은 평균속도와 같이 이미 그 값 자체가 평균값일때 이 평균 값들의 평균을 구할 때 사용합니다. 그러니까 산을 올라갔다 내려오는 전 과정에 대한 평균 값(왕복 평균속도)은 결국 올라 갈때 속도와 내려 올때 속도를 조화평균 공식에 넣어 구한 값과 같습니다. 만약 조화평균 공식을 쓰지 않고 올라 갈때와 내려 갈때의 속도만 가지고 평균속도를 구하려면 오르내린 전체 거리와 전체 걸린 시간을 가지고 왕복 거리를 왕복 시간으로 나누어 구해야 합니다. 결국 어떤 값, 즉 값 자체가 평균일때 그 값들의 평균을 구할때 사용하는 것이 조화평균입니다. 요약하면 조화평균은 평균값들의 평균이 되는 것이죠.
50대, 중 2수포자...초등수학부터 공부 중.ㅎ 1/3 곱하기 1/30 => 50??? ......몇 년 후 이해되는날이 오기를.. 위 펌.. 요약하면 조화평균은 평균값들의 평균이 되는 것이죠.
잘 보았습니다
산술평균 등 세 평균이 왜 그렇게 불리게 되었는지 용어의 뜻을 알려주시면 더 좋겠습니다. 특히 조화평균이 궁금합니다.
산술평균은 연산의 기술을 배우면서 만나는 대부분의 경우에 사용하는 가장 일반적인 평균입니다. 시험 10번 본 평균은 10번의 시험 성적을 모두 더하고 10으로 나누면 각 시험의 평균 점수가 구해지요. 산술(arithmetic technique)은 연산(더하고, 빼고, 곱하고 나누는 것)의 기술을 말하고 그 연산의 기술(산술)에서 사용되는 가장 일반적인 평균을 의미합니다. 그리고 기하평균은 "n개의 양수 값을 모두 곱한 것의 n제곱근이다."가 정의인데 이 개념이 처음 도입된 근원이 a 와 b 를 두 변으로 하는 직사각형의 넓이와 똑 같은 정사격형의 한 변의 길이를 구할 때였습니다. 이 정사각형의 한 변의 길이는 루트 ab이죠. 정사각형은 모든 변의 길이가 같고 그러므로 한 변의 길이의 제곱이 넓이가 되어서 루트 ab의 제곱은 ab 즉 아까 말한 직사각형의 넓이가 됩니다. 요약하면 두 변이 a, b 인 직사각형과 넓이가 같은 정사각형의 한변의 길이가 바로 이 두 값 a, b의 기하평균값이 됩니다. 이건 변이 세개인 각기둥도 마찬가지 입니다. a,b,c 세 변의 각기둥의 부피는 abc 인데 이 부피와 똑같은 정육면체(모든변의 길이가 같은 3차원 입방체)의 한변의 길이가 바로 a,b,c의 기하평균(세제곱근 abc)이 됩니다. 결국 기하학적인 구조에서 따온 평균값이라는 의민가 들어있어서 기하평균이라고 말합니다. 그리고 마지막으로 조화평균은 영어로 Harmonic mean이라고 하는데 이 harmony(그리스어로 소리의 일치란 뜻)란 말은 음악적 용어로 처음 사용되었습니다. 도레미파솔라시도 8음계를 아시죠? 이 각 음은 소리를 내는 현의 길이와 상관이 있습니다. 음정이 높을 수록 현은 짧아집니다. 도보다 레가 레보다 미 소리를 내는 현이 짧다는 것이죠. 그런데 이 음이란 녀석은 파동(혹은 진동)이고 이 진동이 1초동안 몇 번 생겼나가 바로 주파수입니다. 그런데 이 음정들을 제 각각 현의 길이의 역수로 표시 했을 때 한쪽이 다른 쪽의 정수배가 되어서 도레미파솔.. 들은 각각 일정한 정수배인데 그걸 1도씩이라고 부른는 것이죠. 그래서 이 개념은 조화 수열과(각 수들의 역수가 등차수열인 수열)도 관계가 있습니다. 아무튼 1초에 몇번, 1초의 얼마 혹은 1시간에 얼마 등등 이런식의 값들의 평균을 구할때 조화 수열이 사용되는데 이 조화라는 말인 바로 음악에서 화음, 화성이라는 뜻의 harmony에서 이름을 따왔기에 이렇게 부르게 되었습니다. 도움이 되셨으면 좋겠습니다!
감사합니다~
증명 보니까 쫌 알겠네요 감사합니다
도움이 되셨다니 다행입니다~
동영상의 내용들이 다 책 속의 내용인가요??
죄송하게도 답변이 늦었습니다. 책 내용은 제 인생과 수학을 공부하고 가르치면서 알게된 된 여러가지 깨달음들 그리고 하버드에서 수학교육을 공부하면서 격었던 이런 저런 얘기들에 대한 내용입니다. 수학의 쓸모와 필요, 어떻게 공부하는 것이 진짜 수학공부인지에 대한 제 의견도 담았구요. 저자로서 한번 읽어 보심을 추천드립니다^^