구체적으로, 앞서 a^x와 도함수 정의를 엮는 과정에서 x의 변화량을 h로 두는 과정이 있었는데요, 뒤에서 a^h -1을 x로 두는게 괜찮은 건지가 궁금합니다. a^(x의 변화량)-1 = x 가 되는 꼴인데, x의 변화량은 미분중이므로 0으로 수렴하므로 a^(x의 변화량)-1은 0으로 고정인 반면, x는 0 말고도 다양한 값을 가질 수 있어 보입니다.
@@goyobird 아, 정말 좋은 지적입니다. [문제: 진짜 좋은 않은 상황입니다.] a^h-1을 x로 둔 후에 이에 대한 극한 값을 구해서 e가 됩니다. 그런데 같은 식(문장)에서 그 앞에 x가 있으니, 두 x가 혼동될 여지는 있습니다. [개선된 설명이라면?] a^h-1을, x가 아니라 z나 u 등으로 두어서 헷갈리지 않게 해야 합니다. 그 앞에 있는 x와 구분해 주어야 합니다. [변명] 수학을 많이 하는 사람들은, a^h-1을 x로 둘 때, [일정한 범위 안에서만] "이것을 x로 한다"라고 가정하고, 이 때 그 x는 저 x와 다르다고 구분합니다. 주관적인 구분이지요. 이 때 머리 속에서는 a^h-1을 z나 u로 두는 일이 발생합니다. 하지만 제 영상은, 수학을 공부하는 분들에게 쉽게 설명하는 영상이므로, 익숙지 않은 분들이 이것을 알 수 없는 상황이 생길 수 있습니다. 처음부터 이것을 고려해서 다른 문자로 두어야 했네요... 좋은 지적이시고... 이후 영상을 수정하거나 다른 영상을 만들 때 꼭 반영하겠습니다. 이 영상은, 오해가 많지 않다면, 일단 그대로 두겠습니다. ^^
@@TV-py9os 답변 감사합니다!! 저는 이과이지만 수학을 공식암기로 겨우겨우 시험만 넘기고 이해는 못한 채 지금껏 살았는데요, 사회에 나와 수학이 얼마나 유용한 학문인지를 뒤늦게 깨닫고 다시 수학을 정리하는 중이었는데 그러다 선생님 강의를 보게 되었습니다. 빛을 보았죠. 저같은 사람들이 또 있을지도 모르니 댓글을 지우지 않고 남겨두겠습니다! 다시한번 답변 감사드립니다!
말씀하신 것이 정확합니다. 지금 저기에 극한 기호를 안 써 놓았기 때문에 화살표를 쓰는 것이 불합리합니다. 그런데, 제 영상에서는, 엄격한 증명이 아니라 '쉬운 설명'을 함께 고려했기 때문에, 일부로 극한 기호를 빼고 썼습니다. 엄격한 증명은 교과서에서 항상 볼 수 있으므로, 쉬운 설명에 치중한 거죠. 지적하신 부분은, 쉬운 설명을 하면서 극한에서 쓰던 표시를 그대로 가져와서 생긴 문제입니다. 변명처럼 들리겠지만, 실수는 아니라고 할 수 있습니다. (다른 영상에서는 실수를 한 적도 있습니다.ㅜㅜ)
@@Wannabe2023 2:06에서 보시다시피, (1+1)=2이고 이것이 출발점입니다. 그 다음에는 (1+0.5)^2이므로 역시 2보다 더 커집니다. 1 근처에는 가지도 않습니다. 왜 1이 나온다고 생각하시는지 이해가 안 가네요... 0.9'=1과도 상관이 없습니다. 그냥 논리적으로 상관이 없는 것이 아니라, 그냥 보기에도 비슷해 보이지도 않는데... ㅜㅜ
1이 아닌 이유는 지수와 밑에있는 x에 순서대로 극한을 취하는게 아니라 동시에 극한을 취하기 때문입니다. 밑에있는 1+1/x 는 극한값으로 1이 결정된 후 x승을 연산하는 게 아닌, 1로 다가가고 있는 상태를 무한히 제곱한 것입니다. 밑에 극한을 먼저 취해서 극한값이 1이라는 논리대로면 지수에 있는 x에 극한을 먼저 취해 1+1/x는 1보다 크고, 1보다 큰수를 무한제곱했으니 무한으로 간다라는 논리도 맞아서 한 식이 두개의 값이 됩니다. e 값을 어떻게 계산했는지는 잘 모르겠지만, 1이 아님은 분명합니다.
"가장 자연스러운 지수적 증가 형태'....? 좋은 표현이로군요.^^ 어쩌면 e라는 말을 '문학적(혹은 인문학적)'으로 설명하는 좋은 용어지 않을까 생각합니다. 물론 수학자들이나 공학자들은 이런 표현을 쓰지 않을 겁니다. 수학자들은 '자연스럽다'라는 말이 애매하다고 생각할 것이고, 자연스러운 형태라는 말이 또렷하게 설명하는 내용이 없다고 말할 것입니다. 하지만 공부하는 학생 입장에서는 그런 수학적 사고에 익숙해지기 전에 이런 '받아들임'이 도움이 될 수 있을 것입니다.
![[이공계 초보자] 2계 미분방정식 - 어려우면 반복해서 보세요. 특성방정식의 근이 중근일 때 설명](http://i.ytimg.com/vi/6li5npkAyBI/mqdefault.jpg)
![[이공계 초보자] 2계 미분방정식 - 어려우면 반복해서 보세요. 특성방정식의 근이 중근일 때 설명](/img/tr.png)
와 선생님 너무 감사합니다 😊
칭찬 감사합니다. 이 동영상은, 제가 나름대로 정말 공들여서 오래 동안 만든 것입니다. 칭찬해 주시니 뿌듯하네요.^^
감사합니다 선생님! 철학전공할때도 도움을 많이 받았는데, 유튜브에서도 우연히 만나뵈어 수학분야에서도 도움을 받았습니다. 선생님의 학문에 대한 열정이 저에게도 힘이 되네요. 항상 건강하시길 바라겠습니다
이런... 제가 답글을 너무 늦게 드리네요. 제가 기억에는 답글을 달았던 것 같은데....ㅜㅜ
먼저 댓글 감사드립니다. 제 홈페이지도 기억해 주시는, 인연이 깊은 구독자님이시네요. ^^
선생님, 영상 감사드립니다. 그런데요 질문이 있어 글을 남깁니다. 6:05에서 a^h -1을 x로 두셨는데요, x는 이미 a^x의 지수로 사용되고 있는 미지수인데 그냥 사용하는게 문제가 되지 않을지 궁금합니다.
구체적으로, 앞서 a^x와 도함수 정의를 엮는 과정에서 x의 변화량을 h로 두는 과정이 있었는데요, 뒤에서 a^h -1을 x로 두는게 괜찮은 건지가 궁금합니다.
a^(x의 변화량)-1 = x 가 되는 꼴인데, x의 변화량은 미분중이므로 0으로 수렴하므로 a^(x의 변화량)-1은 0으로 고정인 반면, x는 0 말고도 다양한 값을 가질 수 있어 보입니다.
@@goyobird 아, 정말 좋은 지적입니다.
[문제: 진짜 좋은 않은 상황입니다.]
a^h-1을 x로 둔 후에 이에 대한 극한 값을 구해서 e가 됩니다. 그런데 같은 식(문장)에서 그 앞에 x가 있으니, 두 x가 혼동될 여지는 있습니다.
[개선된 설명이라면?]
a^h-1을, x가 아니라 z나 u 등으로 두어서 헷갈리지 않게 해야 합니다. 그 앞에 있는 x와 구분해 주어야 합니다.
[변명]
수학을 많이 하는 사람들은, a^h-1을 x로 둘 때, [일정한 범위 안에서만] "이것을 x로 한다"라고 가정하고, 이 때 그 x는 저 x와 다르다고 구분합니다. 주관적인 구분이지요. 이 때 머리 속에서는 a^h-1을 z나 u로 두는 일이 발생합니다.
하지만 제 영상은, 수학을 공부하는 분들에게 쉽게 설명하는 영상이므로, 익숙지 않은 분들이 이것을 알 수 없는 상황이 생길 수 있습니다. 처음부터 이것을 고려해서 다른 문자로 두어야 했네요...
좋은 지적이시고... 이후 영상을 수정하거나 다른 영상을 만들 때 꼭 반영하겠습니다.
이 영상은, 오해가 많지 않다면, 일단 그대로 두겠습니다. ^^
@@TV-py9os 답변 감사합니다!! 저는 이과이지만 수학을 공식암기로 겨우겨우 시험만 넘기고 이해는 못한 채 지금껏 살았는데요, 사회에 나와 수학이 얼마나 유용한 학문인지를 뒤늦게 깨닫고 다시 수학을 정리하는 중이었는데 그러다 선생님 강의를 보게 되었습니다. 빛을 보았죠.
저같은 사람들이 또 있을지도 모르니 댓글을 지우지 않고 남겨두겠습니다! 다시한번 답변 감사드립니다!
@@goyobird 맞습니다. 댓글도 중요한 자료라고 생각해서 항상 유지하려고 노력합니다.
제 채널의 의미를 더해주셔서 감사드립니다.^^
Π(pi) 는 지름과 원둘레의 비율입니다. e는 지수함수의 미분에서, 즉 극한을 취하는 모든 함수에서 x와 y의 비율일까요???
자연상수 원리를 이처럼 쉽게 설명해주시는 강의 처음입니다. 너무 감사드립니다.
칭찬 감사합니다. 용기가 샘솟습니다.^^
도움이 많이 되었습니다.
칭찬 감사드립니다. ^^
11분 50초 경에 h→0 일때 x→0이다. 가 아니고, h＝0 이면 x＝0이다" 가 아닌가요?
말씀하신 것이 정확합니다. 지금 저기에 극한 기호를 안 써 놓았기 때문에 화살표를 쓰는 것이 불합리합니다.
그런데, 제 영상에서는, 엄격한 증명이 아니라 '쉬운 설명'을 함께 고려했기 때문에, 일부로 극한 기호를 빼고 썼습니다.
엄격한 증명은 교과서에서 항상 볼 수 있으므로, 쉬운 설명에 치중한 거죠.
지적하신 부분은, 쉬운 설명을 하면서 극한에서 쓰던 표시를 그대로 가져와서 생긴 문제입니다.
변명처럼 들리겠지만, 실수는 아니라고 할 수 있습니다. (다른 영상에서는 실수를 한 적도 있습니다.ㅜㅜ)
설명을 이해하기 쉽게 하네요.
감사감사..
칭찬에 감사드립니다.^^
수학이 이해가 되니 재미가 생기는거 같아요
정말, 저를 기쁘게 하는 댓글입니다.^^
감사합니다.
이제확실히 깨우쳤습니다,
너무감사하고 구독과 좋아요 꾸욱누릅니다
감사합니다. 지속적으로 노력하겠습니다.^^
❤❤❤❤
응원 감사드립니다.^^ 꾸준히 하겠습니다.
좋은 강의 감사합니다.
칭찬 감사드립니다. ^^
감사합니다!
왜 e=2.178... 인지요? 극한값 계산에 의하면 1이 나와야 하는데요.
답변이 늦어서 죄송합니다.
2:06 지점에서 보시면 극한값의 변화를 죽 나열해서 보여드리는데요... 왜 1이 나온다고 생각하셨는지 금방 이해가 안 됩니다...
@@TV-py9os 나도 그게 갑갑해서 물어본 겁니다. 현대 미적분학(해석학)에서는 0.9'=1이라고 하더군요. 극한값은 이미 도달한 값으로 보는데 그게 이해가 안 가서 여쭤본 겁니다. 수학 전공자시면 한 번 답변해 주시기 바랍니다.
@@Wannabe2023 2:06에서 보시다시피, (1+1)=2이고 이것이 출발점입니다. 그 다음에는 (1+0.5)^2이므로 역시 2보다 더 커집니다. 1 근처에는 가지도 않습니다. 왜 1이 나온다고 생각하시는지 이해가 안 가네요... 0.9'=1과도 상관이 없습니다. 그냥 논리적으로 상관이 없는 것이 아니라, 그냥 보기에도 비슷해 보이지도 않는데... ㅜㅜ
@@Wannabe2023 x가 1일 때 2, 2일 때 2.25 (~~~) x의 값이 커질 수록 (1+1/x)의 x승은 한 값에 가까워짐
1이 아닌 이유는 지수와 밑에있는 x에 순서대로 극한을 취하는게 아니라 동시에 극한을 취하기 때문입니다. 밑에있는 1+1/x 는 극한값으로 1이 결정된 후 x승을 연산하는 게 아닌, 1로 다가가고 있는 상태를 무한히 제곱한 것입니다. 밑에 극한을 먼저 취해서 극한값이 1이라는 논리대로면 지수에 있는 x에 극한을 먼저 취해 1+1/x는 1보다 크고, 1보다 큰수를 무한제곱했으니 무한으로 간다라는 논리도 맞아서 한 식이 두개의 값이 됩니다. e 값을 어떻게 계산했는지는 잘 모르겠지만, 1이 아님은 분명합니다.
연이율 100%의 1년 뒤 원리합계가 최대가 되도록 잘게 쪼개면 e배만큼 불어있어요.
와 이거다!
감사합니다.^^
감사합니다.
댓글 감사드립니다.
제 감사가 매우 늦었네요.ㅜㅜ
감사합니다! 막연하게 그렇겠구나 하고 이해가 되는듯합니다! 구독하고 갑니다!
답글이 늦었네요. 저도 감사합니다.^^
자연상수 e는?
4차원을 밝히는 무리지수 이다
재미있는 말입니다. 조금 더 이유를 들어서 말해 주시면 어떨까요? 관심이 생기네요..ㅎㅎㅎ
1.25배 적당
감사합니다. 선생님, 정주행 중입니다 ;0 진짜 기계적으로 계산했는데… 이런 이야기가 있었군요.
그렇다면 자연상수e가 가장 자연스러운 지수적 증가 형태를 보인다는 말로도 이해해도 되나요
"가장 자연스러운 지수적 증가 형태'....? 좋은 표현이로군요.^^
어쩌면 e라는 말을 '문학적(혹은 인문학적)'으로 설명하는 좋은 용어지 않을까 생각합니다.
물론 수학자들이나 공학자들은 이런 표현을 쓰지 않을 겁니다.
수학자들은 '자연스럽다'라는 말이 애매하다고 생각할 것이고, 자연스러운 형태라는 말이 또렷하게 설명하는 내용이 없다고 말할 것입니다.
하지만 공부하는 학생 입장에서는 그런 수학적 사고에 익숙해지기 전에 이런 '받아들임'이 도움이 될 수 있을 것입니다.
감사합니다. 큰 은혜를 입었습니다.
아이구~, 큰 칭찬에 감사드립니다.
빨리빨리 동영상을 만들지 못하지만, 지속적으로 하겠습니다.
경상도 사투리가 심하게 들리네요;;사투리로 들으니 e가 굉장히 특이한것처럼 보이네요;;;
하하하하~ 재미있는 댓글 감사합니다.
경상도 사투리는 탈출 불가능한 것 같아요.^^
경상도 사투리아니면 2랑 구분 못함😂😂😂
[메모] 자연상수 E 설명
쉽게 얘기하면 3.14...대신 파이를 쓰고 무한급수 계산식 대신 e를 쓴다는 얘기...수학의 패턴화..이걸 이렇게 설명하면 이해가 될 일을...감사히 잘 뵜습니다
맞습니다. 하지만 실제로는 e를 또 여기저기서 상세하게 활용하니까, 그 세부적인 관련성을 아는 것도 필요할 때가 있지 않을까 합니다...