Respected Sir very interesting problem and very interesting solution. steps were written and most of it was self explanatory. Even language was no barrier. Thank you mukund
Спасибо за видео! Но лучше в том месте, где Вы вводите новую переменную (после чего получается квадратрое уравнение) обозначить ее не х, а другой буквой например, t, чтобы не было путаницы с неизвестным из уравнения.
X may be zero or ninety (degree ) ^= read as to the power *= read as square root As per question 7^(sinx)^2 +{7^(cosx)^2}=8 Let's explain 7^(cosx)^2 =7^{1-(sinx)^2} =(7^1)/{7^(sinx)^2} Let 7^(sinx)^2 =a So, a+(7/a)=8 (a^2+7)/a=8 a^2+7=8a a^2-8a+7=0 a^2-7a-a+7=0 a(a-7)-1(a-7)=0 (a-7)(a-1)=0 a-7=0 or a-1=0 a=7 or a=1 Let's take a=7 7^(sinx)^2=7^1 So, (Sinx)^2=1 Sinx=1 Sinx=Sin90 X=90 degree Again a=1 7^(sinx)^2=7^0 So, (Sinx)^2=0 Sinx=0 Sinx=sin 0 X=0 degree
Thanks for this. Using the pythagorean identity for cos and sin, if sin^2X=0 then cos^2X=1. We have 7+1 or 1+7. The solution set is therefore (npi)/2 where n spans the set of integers.
Au final les solutions sont toutes de la forme k*Pi/2 avec k dans Z, c'est la façon la plus synthétique de présenter les solutions de l'équation proposée.
^m remarque. Tu as raison. Impardonnable de commettre ce genre d'erreur surtout pas dans une vidéo destinée aux élèves et ça complique de plus la tâche du professeur exerçant
1)Précisez à quel ensemble appartient k 2)ce n'est pas 4 solulions mais familles de solutions car pour chaque valeur de k on a 4 solutions et comme k a une infinité de valeurs on aura une infinité de solutions. 3)merci pour le partage
Believe or not, I solved in 30 seconds by mental calculation. Just replaced cos^2(x) by 1-sin^2(x) and then divided everything by 7^sin^2(x)=y. Same equation y^2-8y+7=0, add 16 to both sides and you got (y-4)^2=9, y=1 or y=7, then x is what gives one of the 4 quadrants of the unit square.
Uau! Que questão bonita. Eu a fiz por um método um pouco diferente. Parabéns pela escolha. Brasil - outubro de 2024. Ouah! Quelle belle question. Ouah! Quelle belle question. Je l'ai fait en utilisant une méthode légèrement différente. Félicitations pour votre choix. Brésil - octobre 2024.
Let B = 7 . B^cos²(x) + B^sin²(x) = B + 1 = B^1 + 1 = B^(cos²(x) + sin²(x)) + 1 = B^cos²(x) * B^sin²(x) + 1 0 = B^cos²(x) * B^sin²(x) - B^cos²(x) - B^sin²(x) + 1 0 = [ B^cos²(x) - 1 ] * [ B^sin²(x) - 1 ] B^cos²(x) = 1 , B^sin²(x) = 1 cos²(x) = 0 , sin²(x) = 0 cos(x) = 0 , sin(x) = 0 x = π/2 + π*k , x = π*k , k ∈ ℤ x = π/2*(1 + 2*k) , x = π/2*(2*k) , k ∈ ℤ x = π/2*{odd integers} , x = π/2*{even integers} x = π/2*{all integers} x = n*π/2 , n ∈ ℤ Note that the solutions are independent of B for B^cos²(x) + B^sin²(x) = B + 1 . We can create many problems of this form having the same answer.
x² - 8x + 7 = 0 La somma dei coefficienti a+b+c di questa equazione di secondo grado è 1-8+7 =0, quindi le soluzioni sono automatiche: x = 1 e x = c/a = 7
LEVERAGE THE FACT THAT SIN^2 + COS^2 = 1 Then let A=7^(sin^2(x)). So, if A ne 0, then A + (7/A) = 8 which is quadratic so 0 = (AA -8A +7)/A = (A-7)(A-1)/A. So A=1 or 7 So exponent of A is 0 or 1. So sin^2(x) = 0 or 1. So x is any odd multiple of (π/2). Notice that A=0 is also a solution meaning that all even multiples of (π/2) are all solutions.
7^cosx^2+7^sinx^2-8=7^cosx^2+7^(1-cosx^2)-8=(7^cosx^2)^2-8(7^cosx^2)+7=0. 7^cosx^2=-4+-sqrt[16-7]=4+-3=(7 OR 1) -> cosx^2=(1 OR 0) AND sinx^2=(0 OR 1) -> x=(90° or 0°).
on peut résoudre plus facilement : 7^sin2'(x+)7^co^2(x)=8 donne 7^sin^2(x)+7^(1-sin^2(x)=7^(1-sin^2(x))=7 on pose X=7^sin^2(x) on obtient X+7/X=8 X^2-8X+7=0 (X-1)(X-7)=0 7^sin^(x)=7 ou7^sin^2(x)=1. on pose sin^2(x)=y alors l'éq. devient 7^(y^2-1)=1 ou 7^y^2=1 y^2=1 ou y^2==0. Les solutions sont donc kpi por y=0 ou pi/2+kpi pour y^2=1 soit S = { kπ/2 / k€Z }.
Plus rapide il suffit de voir que 7+1=1+7=8 et par identification des exposants on a les systèmes.N'oublions pas qu'il faut aller vite dans les Olympiades...
La demonstration se base sur le chzngement de la variabe si non il y'a bcp plus simple ....ça pour ceux qui parlent de solutions plus simple et generales .
Je suis d'accord. J'aimerais que ce prof. prenne une audience (par exemple 6è-3è ou seconde terminale) et suivre un programme scolaire bien approprié qui pourra être utile à nos enfants.
NB : mon clavier ne me propose pas les accents ni les signes typographiques completes, raison pour laquelle il y trop d'erreurs apparentes. Bonne resolution et bcp de clarte mais bcp de precautions ignorees a la fin du travail. En effet,dans les solitions, il manque d'elegance dans l'ecriture ; et cela on en fait bcp usage en mathematique. En effet il faudrait ecrire k x pi/2 (avec k un entier relatif) pour avoir a mon gout tous les points.
Merci beaucoup dee laisser un si Long text . Tu es exceptionnel, et j apprécie que quelqu'un me corrige, j ai noté ces erreurs afin qu elle ne se produise plus. Merci encore
Merci. Je crois qu'il faudra compléter la video a la fin avec une texte pour souligner que les solutions sont k x pi/2. Car en classe les élèves risquent de ne pas avoir tous les points.
Bonjour La démarche la plus courte (Sinx)^2=1-(cosx)^2 On pose 7^(cosx)^2=y On obtient l'équation y^2-8y+7=0 Puis les équations y=7^(cosx)^2=1 et y=7^(cosx)^2=7 Donc (cosx)^2=0 ou (cosx)^2=1 Soit cosx=0 ou cosx=1 ou cosx=-1 Soit x=(2k+1)π/2 ou x=kπ avec k€Z Solution S={(2k+1)π/2 ; kπ} avec k€Z Puis cosx
You cannot use x as a variable because you're trying to solve for x . Bad: x = 7^sin²(x) Good: y = 7^sin²(x) y² - 8*y + 7 = 0 Find y, then find x (infinite number of solutions).
Une méthode plus simple : il suffit de remplacer cos2x(cos carré dex) par 1--sin2x(sin carré de x).....
Respected Sir very interesting problem and very interesting solution.
steps were written and most of it was self explanatory.
Even language was no barrier.
Thank you mukund
Very good explained
very nice explanation
Спасибо за видео! Но лучше в том месте, где Вы вводите новую переменную (после чего получается квадратрое уравнение) обозначить ее не х, а другой буквой например, t, чтобы не было путаницы с неизвестным из уравнения.
Here's the cleanest general solution:
Let B = 7 .
B^cos²(x) + B^sin²(x) = B + 1
= B^1 + 1
= B^(cos²(x) + sin²(x)) + 1
= B^cos²(x) * B^sin²(x) + 1
0 = B^cos²(x) * B^sin²(x) - B^cos²(x) - B^sin²(x) + 1
0 = [ B^cos²(x) - 1 ] * [ B^sin²(x) - 1 ]
B^cos²(x) = 1 , B^sin²(x) = 1
cos²(x) = 0 , sin²(x) = 0
cos(x) = 0 , sin(x) = 0
x = π/2 + π*k , x = π*k , k ∈ ℤ
x = π/2*(1 + 2*k) , x = π/2*(2*k) , k ∈ ℤ
x = π/2*{odd integers} , x = π/2*{even integers}
x = π/2*{all integers}
x = n*π/2 , n ∈ ℤ
Note that the solutions are independent of B for:
B^cos²(x) + B^sin²(x) = B + 1
Very nice approach. Many thanks sir from India.
Merci beaucoup professeur. J'aime cet equation. Matematique est tres belle.
Bonjour .. très bon travail ; vous pouvez minimiser l'écriture de l'ensemble de solutions par:
S = { kπ/2 / k€Z }
Effectivement, cette écriture est plus simple et regroupe les 4 du professeur
Thank u teacher for yr aids and if possible u can increase for us many trigonometric qs. I'm watching this video from Rwanda.
Bravo notre Expert Prof , nous vous aimons pour toujours , à bientôt.
C est Exelent professeur bravo
Très intéressant
X may be zero or ninety (degree )
^= read as to the power
*= read as square root
As per question
7^(sinx)^2 +{7^(cosx)^2}=8
Let's explain
7^(cosx)^2
=7^{1-(sinx)^2}
=(7^1)/{7^(sinx)^2}
Let 7^(sinx)^2 =a
So,
a+(7/a)=8
(a^2+7)/a=8
a^2+7=8a
a^2-8a+7=0
a^2-7a-a+7=0
a(a-7)-1(a-7)=0
(a-7)(a-1)=0
a-7=0 or a-1=0
a=7 or a=1
Let's take a=7
7^(sinx)^2=7^1
So,
(Sinx)^2=1
Sinx=1
Sinx=Sin90
X=90 degree
Again
a=1
7^(sinx)^2=7^0
So,
(Sinx)^2=0
Sinx=0
Sinx=sin 0
X=0 degree
تبارك الله عليك
Très instructif
Thanks for this. Using the pythagorean identity for cos and sin, if sin^2X=0 then cos^2X=1. We have 7+1 or 1+7. The solution set is therefore (npi)/2 where n spans the set of integers.
Très bien expliqué ❤❤
Merci du compliment
l'équation admets une infinité de solutions et ne pas 4 solutions, et peuvent être généralisé sous deux formats soit x=k*PI soit x = PI/2 + k*PI
the solution is: x=k*PI/2 , k=0,1,2,3....(k belongs N)
@@adrianciungu396 k blongs to Z too SO IT S K PI/2 K BLG TO Z
Au final les solutions sont toutes de la forme k*Pi/2 avec k dans Z, c'est la façon la plus synthétique de présenter les solutions de l'équation proposée.
^m remarque. Tu as raison. Impardonnable de commettre ce genre d'erreur surtout pas dans une vidéo destinée aux élèves et ça complique de plus la tâche du professeur exerçant
C'est vraie une infinité de solution mais on peut mieux faire en écrivant juste sous 1 format: KPi/2
J'adore, recalé en math sup je prend toujours plaisir à voir une belle résolution d'équation.
Bon travail
1)Précisez à quel ensemble appartient k
2)ce n'est pas 4 solulions mais familles de solutions car pour chaque valeur de k on a 4 solutions et comme k a une infinité de valeurs on aura une infinité de solutions.
3)merci pour le partage
Merci j ai seulement oublié
En fait, les 4 "familles" de solutions peuvent être simplifier en une seule : K × PI / 2 🙄
І didn't see the generic solution which is (pi/2)*k
Passez par les racines simples pour factoriser ou bien la factorisation canonique
Believe or not, I solved in 30 seconds by mental calculation. Just replaced cos^2(x) by 1-sin^2(x) and then divided everything by 7^sin^2(x)=y. Same equation y^2-8y+7=0, add 16 to both sides and you got (y-4)^2=9, y=1 or y=7, then x is what gives one of the 4 quadrants of the unit square.
Uau! Que questão bonita. Eu a fiz por um método um pouco diferente. Parabéns pela escolha. Brasil - outubro de 2024. Ouah! Quelle belle question. Ouah! Quelle belle question. Je l'ai fait en utilisant une méthode légèrement différente. Félicitations pour votre choix. Brésil - octobre 2024.
Vous êtes exceptionnel, brillant, sensationnel. En un mot un savant. Bravo monsieur 👍💪
Merci infiniment
J'espère que vous aurait le temps de faire l'exercice d'approfondissement sur les angles orientés. Merci
Let B = 7 .
B^cos²(x) + B^sin²(x) = B + 1
= B^1 + 1
= B^(cos²(x) + sin²(x)) + 1
= B^cos²(x) * B^sin²(x) + 1
0 = B^cos²(x) * B^sin²(x) - B^cos²(x) - B^sin²(x) + 1
0 = [ B^cos²(x) - 1 ] * [ B^sin²(x) - 1 ]
B^cos²(x) = 1 , B^sin²(x) = 1
cos²(x) = 0 , sin²(x) = 0
cos(x) = 0 , sin(x) = 0
x = π/2 + π*k , x = π*k , k ∈ ℤ
x = π/2*(1 + 2*k) , x = π/2*(2*k) , k ∈ ℤ
x = π/2*{odd integers} , x = π/2*{even integers}
x = π/2*{all integers}
x = n*π/2 , n ∈ ℤ
Note that the solutions are independent of B for B^cos²(x) + B^sin²(x) = B + 1 . We can create many problems of this form having the same answer.
@alhabibidriss39: At 05:00, you made a fatal mistake in reusing variable x.
Bad: x = 7^sin²(x)
Good: y = 7^sin²(x)
Grand professeur ❤❤❤
Good job!
Direct way:
8 = 7+1 = 7^1 + 7^0
So
1-sin^2(x)=0 or sin^2(x)=0
--> sin(x)=1 or sin(x)=-1 or sin(x)=0
Muchas gracias, saludos desde Perú
X2-8X+7=0
X2-8X+16-9=0
(X-4)2-9=0
(X-4-3)(X-4+3)
(X-7)(X-1)=0
X=7,X=1
Etc...
Lei è veramente un bravo professore. Grazie
waooohhh
You can simplify the answer as x=k pi/2 where k is an integer number.
If you spend 1 min drawing the options you will express all of the solutions as
k(π/2) with k € Z
= ± 0º, 90º, 180º, 270º,….
7^(cos^2(x))+7^(sin^2(x))=7^1+7^0
Sin^2(x)=0 ou sin^2(x)=1 et
Cos^2(x)=0 ou cos^2(x)=1
Input
7^cos^2(0) + 7^sin^2(0) = 8
Result
True x=0
You only have one of the infinite number of solutions.
x = n*π/2, n ∈ ℤ
x² - 8x + 7 = 0
La somma dei coefficienti a+b+c di questa equazione di secondo grado è 1-8+7 =0,
quindi le soluzioni sono automatiche:
x = 1 e x = c/a = 7
LEVERAGE THE FACT THAT SIN^2 + COS^2 = 1 Then let A=7^(sin^2(x)). So, if A ne 0, then A + (7/A) = 8 which is quadratic so 0 = (AA -8A +7)/A = (A-7)(A-1)/A. So A=1 or 7 So exponent of A is 0 or 1. So sin^2(x) = 0 or 1. So x is any odd multiple of (π/2). Notice that A=0 is also a solution meaning that all even multiples of (π/2) are all solutions.
Merci beaucoup .Bonne journée à vous .
7^(cos^2(x)) = 1 or 7
cos^2(x) = 0 or 1
x = kpi/2 where k is in the set of integers.
🙏👍👍👍
Merci prof❤
7^cosx^2+7^sinx^2-8=7^cosx^2+7^(1-cosx^2)-8=(7^cosx^2)^2-8(7^cosx^2)+7=0. 7^cosx^2=-4+-sqrt[16-7]=4+-3=(7 OR 1) -> cosx^2=(1 OR 0) AND sinx^2=(0 OR 1) -> x=(90° or 0°).
Bon travail, π (pi)est une lettre , on dit πsur deux au lieu de π-demi et merci pour votre effort
👏👏
Merci
vous pouvez synthétiser et dire simplement que x= k*pi/2, avec k appartenant à Z. ;)
merci ❤
on peut résoudre plus facilement : 7^sin2'(x+)7^co^2(x)=8 donne 7^sin^2(x)+7^(1-sin^2(x)=7^(1-sin^2(x))=7
on pose X=7^sin^2(x) on obtient X+7/X=8 X^2-8X+7=0 (X-1)(X-7)=0 7^sin^(x)=7 ou7^sin^2(x)=1.
on pose sin^2(x)=y alors l'éq. devient 7^(y^2-1)=1 ou 7^y^2=1 y^2=1 ou y^2==0.
Les solutions sont donc kpi por y=0 ou pi/2+kpi pour y^2=1 soit S = { kπ/2 / k€Z }.
set 7^(sinx*2)=t t+7/t=8 t^2-8t+7=0 0=(t-7)(t-1) so sinx^2=1 or sinx^2=0 x=(k+1/2)π or x=kπ
Plus rapide il suffit de voir que 7+1=1+7=8 et par identification des exposants on a les systèmes.N'oublions pas qu'il faut aller vite dans les Olympiades...
La demonstration se base sur le chzngement de la variabe si non il y'a bcp plus simple ....ça pour ceux qui parlent de solutions plus simple et generales .
Malheureusement nos enfants ne s'intéressent pas à ces cours
Je suis d'accord. J'aimerais que ce prof. prenne une audience (par exemple 6è-3è ou seconde terminale) et suivre un programme scolaire bien approprié qui pourra être utile à nos enfants.
BRAVO PROFESSEUR SLTS
شكرا جزيلا لكم.
plus simple si vous remplacez sin^2(x) par 1- cos^2(x) et poser u = 7^(cos^2(x)).
Good!
NB : mon clavier ne me propose pas les accents ni les signes typographiques completes, raison pour laquelle il y trop d'erreurs apparentes.
Bonne resolution et bcp de clarte mais bcp de precautions ignorees a la fin du travail.
En effet,dans les solitions, il manque d'elegance dans l'ecriture ; et cela on en fait bcp usage en mathematique. En effet il faudrait ecrire k x pi/2 (avec k un entier relatif) pour avoir a mon gout tous les points.
Mes excuses, il s'agit de cos x.
Merci beaucoup dee laisser un si Long text . Tu es exceptionnel, et j apprécie que quelqu'un me corrige, j ai noté ces erreurs afin qu elle ne se produise plus. Merci encore
Merci. Je crois qu'il faudra compléter la video a la fin avec une texte pour souligner que les solutions sont k x pi/2. Car en classe les élèves risquent de ne pas avoir tous les points.
@alhabibidriss39: You made a fatal mistake in reusing variable x.
Bad: x = 7^sin²(x)
Good: y = 7^sin²(x)
aX²+bX+c=0 si a+b+c= 0 alors X1 = 1 et X2 = c/a c'était alors plus facile en se passant de la méthode du discriminant.
Thanks
Merci beaucoup
merci beaucoup
Good
Bonjour
La démarche la plus courte
(Sinx)^2=1-(cosx)^2
On pose 7^(cosx)^2=y
On obtient l'équation
y^2-8y+7=0
Puis les équations
y=7^(cosx)^2=1 et y=7^(cosx)^2=7
Donc
(cosx)^2=0 ou (cosx)^2=1
Soit
cosx=0 ou cosx=1 ou cosx=-1
Soit
x=(2k+1)π/2 ou x=kπ avec k€Z
Solution
S={(2k+1)π/2 ; kπ} avec k€Z
Puis cosx
Merge solutions into one form:
x = n*π/2, n ∈ ℤ
On peut noter très simplement S= 0[π/2]
👍👍 de maroc
Puisque sinx^2+cosx2^=1, on tire sin ou cos et on le remplace au début de l équation pour avoir une solution très courte.
7^(1-sin^2x) +7^(sin^2x)=8
7/7^(sin^2x) +7^(sin^2x) =8
7^(sin^2x) =f
7/t+t=8
t^2-8t+7=0, t no 0
t=7, t=1
7^(sin^2x) =1
sin^2x=0
x=πk
7^(sin^2x) =7
sinx=+-1
x=π/2+πn
Vous confondez solutions et racines des equations : Elle quatre formes d'expressions un nombre infini de solutions
Красивая, но лёгкая задача)))
Bonjour professeur. S'il vous plaît faites un peu une nouvelle leçon sur sin et cos vraiment je n'ai pas la notion sur ça.
a+B,+c'0 =1
I’m from India , we got all these problems in HS 1st year
❤
😮
Mewa awwe indiyswenda
L'ensemble des solutions se résume plus simplement à {kpi ; Pi/2 + kPi}
Or cos^2 x=1-sin^2 x
RESOLUTION DE X²-8X+7=0
racine évidente
a = 1, b= -1, c=7
a+b+c = 1-8+7= 0 donc les zéros sont 1 et 7
You cannot use x as a variable because you're trying to solve for x .
Bad: x = 7^sin²(x)
Good: y = 7^sin²(x)
y² - 8*y + 7 = 0
Find y, then find x (infinite number of solutions).
Where from you sir
X=90°
x = ..., -90⁰, 0⁰, 90⁰, 180⁰, ...
x = n*90⁰ = n*π/2, n ∈ ℤ
Very trivial. The only solution is [0,1] or [1,0].
You haven't found x.
7^sinx^2 +7Cosx^2= 8 =]]] sinx2+Cosx^2= 1=1*1=1+1=2]=[ sinx+cosx=1 ] =[ sinx=o cosx=1 x= 2Pik k=1 Pi=4 x=8
x = n*π/2, n ∈ ℤ
On peut aussi remplacer 7 par 8-1 et on obtient un facteur commun qui est X -1.
Многое время потеряли на этот метод.
MERCI prof
Ok bien.
Mon cher la somme des coefficients est égal à zéro -8+1+7=0 donc automatiquement l'équation admet comme solution initiale X0=1
what is the range of age? 14 - 16?
Pour l ensemble des solutions on peut ecrire π/2+k/2 π avec k€N seulement
se poniamo (sin x)^2 = t; (cos X)^2 = 1 - t^2; si arriva più facilmente alla soluzione.
Mr le professeur sinx=o est un cas particulier donc x=kpi
Les arguments doivent appartenir à-pi,pi
Il suffit de remarquer que cosx¬2=1-sinx¬2
7^[cos²(x)] + 7^[sin²(x)] = 8
7^[cos²(x)] + 7^[1 - cos²(x)] = 8
7^[cos²(x)] + { 7^[1] * 7^[- cos²(x)] } = 8
7^[cos²(x)] + { 7 * 1/7^[cos²(x)] } = 8 → let: cos²(x) = a
7^(a) + { 7/7^(a) } = 8
[7^(a) * 7^(a)] + 7 = 8 * 7^(a) → let: 7^(a) = b
b² + 7 = 8b
b² - 8b + 7 = 0
Δ = (- 8)² - (4 * 7) = 64 - 28 = 36
b = (8 ± 6)/2
b = 4 ± 3
First case: b = 7 → recall: 7^(a) = b
7^(a) = 7
7^(a) = 7^(1)
a = 1 → recall: cos²(x) = a
cos²(x) = 1
cos(x) = ± 1
x = kπ → where: k ∈ Z
Second case: b = 1 → recall: 7^(a) = b
7^(a) = 1
7(a) = 7^(0)
a = 0 → recall: cos²(x) = a
cos²(x) = 0
cos(x) = 0
x = (π/2) + kπ → where: k ∈ Z
Merge together into one form:
x = n*π/2, n ∈ ℤ
Juste parceque vous avez effacé le tableau par la main que je me suis abonné....😊😊😊❤🇩🇿
Il faut partir du théorème que cos carré de x plus sin carré de x égal 1.
Le public est forcément mathématicien , il vaut mieux abréger les explications
Utilise la relation fondamentale
3pi/2
Cest unr soultion