유체역학18 💧 2-9 부피유량과 질량유량

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안녕하세요 피토스터디 입니다
유체역학 18번 강의로 (vrew 자막은 썸네일에)
부피유량과 질량유량 입니다
화면에 다섯 개의 항이 모두 동일하다고 세일즈맨이 말하고 있습니다
하지만 항상 동일한 것은 아니고요
가장 결정적인 순간에 동일합니다
바로 Reynolds transport theorem
레이놀즈 수송정리에서 성립합니다
그런데 위쪽에 3개의 항은 앞에서 공부한 공간보존법칙입니다
따라서 오늘 배울 내용은요 부피유량과 질량유량의 정의입니다
부피유량은 초등학생도 이해할 수 있는 원리라고 하네요
초등학생이 우산을 들고 있는데요
어느 쪽이 비를 덜 맞을까요
빗줄기에 수직으로 놓은 경우겠죠 너무나 당연한 결과입니다
이와 같이 초등학생도 이해할 수 있는 원리 인데요
부피유량은 면적벡터와 속도벡터의 내적으로 주어집니다
그리고 질량유량은 부피유량에 밀도를 곱하면 됩니다
부피유량과 질량유량을 구하는 실용적인 공식 입니다
두 가지의 유량을 구하는 예인데요
원형 파이프 안에서 속도분포가 주어지고요
속도분포와 면적벡터의 내적을 이용해서
부피유량과 질량유량을 구할 수 있습니다
문제 5번에서 부피유량을 구해볼까요
덕트의 단면 형상이 타원 입니다
그리고 이 단면에서 유체유동의 속력 분포가 아래와 같이 주어집니다
단면의 둘레에서는 속도가 zero 이고요
x = 0, y = 0 에서 최대속도 2u_0 입니다
이때 부피유량을 구하는 것입니다
부피유량의 정의에 따라서 dA dot v 벡터를 계산하는데요
속도와 면적을 곱하면 됩니다
x 와 y 에 대해서 적분을 할 수 있는데요
이것은 좌표변환을 이용하는 것이 훨씬 편리합니다
그런데 보통 r cos theta, r sin theta 를 쓰는 것이 아니고요
a 와 b 로 스케일 합니다
64번 식처럼 좌표변환을 해야 됩니다
그러면 반경의 범위는 0 과 1 이고
theta 는 한 바퀴를 돕니다
자코비안을 구하고요
65번 식으로 a*b*r 이 됩니다
그러면 이중 적분은요
d theta 와 dr 에 대해서 적분하는데요
two pi 는 앞으로 곱해지고요 반경에 대해서만 적분합니다
결과가 주어지고요
단면적과 u_0 의 곱으로 나타납니다
쉽게 말하면 단면적의 평균속도가 u_0 란 뜻입니다
두 번째 문제로 선택과정입니다
원관내부에서 유동의 분포가 r 의 n 제곱 형태로 주어지는데요
부피유량을 구하고 평균속도를 구하는 것입니다
평균속도의 정의인데요
먼저 반경을 R * eta 로 치환합니다
부피유량의 정의에 대입을 하고요
속도분포를 대입하고 적분을 계속 하면요
n 을 포함하는 결과가 나오는데요
n + 2 분의 2*n 을 u_0 에 곱한 값이 됩니다
속도분포가 직선인 경우에는 n = 1 이고요. 2/3 u_0 가 되네요
그리고 포물선의 경우는 앞의 경우와 동일합니다
n = 2 인 경우고. 평균속도는 u_0 로 동일합니다
지금부터의 내용은
레이놀즈 수송정리를 공부하기 위한 준비단계 인데요
선택적인 내용이므로 건너 뛰어도 됩니다
앞에서 단면에 대한 부피유량과 질량유량을 논의 했는데요
면적벡터가 주된 관심 이었습니다
이번에는 검사체적을 고려 하는데요
빨간색으로 표시한 미소 검사체적이 있습니다
그리고 면적벡터는요 폐곡면의 일부로써
검사체적 전체를 커버하고 있습니다
공간보존법칙과 기러기 공식은 앞에서 공부한 내용이고요
지금부터는 검사체적에 대해서 논의 하는데요
발산정리에서 적분 기호를 떨어뜨린 형태를
divergence concept key 로 이야기합니다
여기서 위, 아래 두 개의 항에 적분 기호를 붙이면요
divergence theorem 이 됩니다
이러한 의미에서 dV del = dA 벡터는요
divergence concept key 가 됩니다
그러면 다섯 개의 모든 항은 동일한 개념을 나타내고요
위쪽 3 개는 미소체적 dV 에 대응하는 개념입니다
dV, dV, dV 가 있죠
아래쪽에서 부피유량의 정의는요 면적벡터 dA 벡터에 대응 합니다
검사체적에 대해서 미소체적 dV 와 표면의 dA 벡터를 고려하면요
이 다섯 개의 항은 모두 동일합니다
이러한 논의는 레이놀즈 수송정리에서 핵심적인 내용이 됩니다
오늘의 개념 카드 입니다
유동이 흐를 때 cross section 에서
부피유량과 질량유량의 정의를 공부했습니다
마지막 개념 카드로 부피유량이 계산 뿐 아니라
이론적인 측면에서 상당히 많이 활용되는 것을 보여주고 있습니다
시청해주셔서 감사합니다