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ネタバレ注意これと同じように解くことでx⁵-50ax³+60acx²+5a(25a-3c²)x+ac³=0x⁷-70ax⁵+21acx⁴+833a²x³+441a²cx²+7a²(6c²-49a)x+a²c³=0なども解くことができますね〜！(さらに上式にも再び適用すると…？)
これ多分xの7次方程式についてもy=a^(-1/6)x^(1/3)から相反方程式α^n+α^(-n)=y_nとy_1=yを使ってxの方程式に代入を繰り返してy_7の3次＆y_1の6次式に次数下げを行ってy_7=-a^(-1/2)cが求まって二次方程式と代入でxまで求められる気がします！(x^0、x^1、x^2....x^6が非常に複雑な無理数だから実質的にこの6つを線型独立なベクトルみなせることからこの予想が立てられます)
計算が面倒なので数値計算しかしてないですけど多分この予想正しそうです
プレミア公開に設定していますが中身は普通の動画です…！！何か特別感のある内容なんじゃないかと思った人はごめんね…！💦
普通に感激しました。一見解けないようにみえてもこうやって、係数と根号にて解が表現できるのは凄いです。代数の凄さを感じました。有難うございました。
@@forgive_me_roa ありがとうございますー…！！笑(v・∇)v
次数上げや次数下げなど、楽しいですね。ちなみに化学な人なのですが、難しい数学を使う場面が量子化学になりますけれども、対称性を群論でうまくまとめて、ベンゼンの分子軌道を求めるのに六次方程式を解きました。高次方程式、奥が深いですね。
補題をつかえば5/3次方程式にしなくても解が負だからx=-t^2かy=-5^(2/5)t+3^(1/5)t^(-1)で一瞬で二次方程式にできます以下10/31追記 時間が取れたのでちゃんと計算をしてみたら補題も5/3次数方程式も不要でした-5^(1/3)3^(-1/6)x^(1/3)=y(>2)が超味良くて（この変換はxが-2未満なことと最高次係数/定数項を考えると自然）、y_1=y(>2)でy_n=α^n+α^-n(>2)とする（与式の対称性が綺麗すぎるから相反方程式を使いたいので）と、y_5=y^5-5y^3+5y（5次式なのでy_5を考えるのが自然）が恒等的に成立し、（方程式の次数を4以下にしたいので）与式をxの5次方程式→y_1の4次＆y_5の三次方程式に次数下げ（代入だけなので中学生でもできる)(物理学徒は許してくれるけど数学徒から怒られそうな設定だけど許して)すると、0=(-2^2×3^(1/2)×5^3+2^2×3×5^2×y_5)y^4+(5^3-3×5×(y_5)^2)y^3+(2^2×3^(1/2)×5^3-2^2×3×5^2×y_5)y^2+(-2^2×3^(1/2)×5^2×y_5+2^2×3×5×(y_5)^2)y+(y_5)^3-5^3×3^(-3/2)となって全ての係数がy_5=3^(-1/2)×5で0になるからただの恒等式になってα^5が解になる二次方程式を使いyを求めてxがわかりますxを求めるまでの前提知識は二次方程式の解の公式ぐらいで複素数や5/3次方程式の登場も三次方程式の因数分解も補題も避けられるので中学生でもできるし、計算量もxの方程式をy_1とy_5の方程式にするとこだけしかデカくないので五次方程式界隈なら瞬札の部類に入りそうです。さらに追記固定コメの一般化についてはまだ計算してないけどy=-x^(1/3)a^(-1/6)みたいな形の式でy_5=c a^(-1/2)みたいな感じの値にできてやはり補題や3次方程式の因数分解を避けながら二次方程式だけでxを求められる気がします
ちなみに視聴者向けにどういうふうにこの補題が使えそうだなぁと思えばいいのかの補足をしますと、5次方程式の解に有限の項数での一般解がないのは群論の対称性の問題だから簡単に実数解がわかる五次方程式は本質的には2、3、4次方程式の組み合わせのはずで因数分解できなくて係数に注目すると1次と4次の項が0だし150×0.12×5C2=180で25×0.12=3だから対称性が綺麗すぎて多分相反方程式で瞬札できるなと想像できます。なんで5C2が出てくると対称性が綺麗すぎると思えるのかは動画の0:26にある通りでxの方程式の定数項と5次がtの方程式の-5次と5次、xの方程式の2次と3次がtの方程式の-1次と1次に対応することから直感的に感じられます。他にも25×6=150だしそもそも各項の係数の素因数は全て2、3、5なのでめちゃくちゃ綺麗すぎてなんらかの2、3、4次方程式の構造に簡単に落とし込めそうだなぁと予想できます。計算量的には動画とあまり変わらないというかなんならどれが実数か複素数か調べるのが面倒でこっちの方が計算量多いかもではあるけど発想はやりやすいので計算はChatGPTにでもやらせれば良いです
@@makkuroheart その発想が、ガロアっぽい！！ですね！！素晴らしく感激です！！「5次方程式の解に有限の項数での一般解がないのは群論の対称性の問題」。「簡単に実数解がわかる五次方程式は本質的には2、3、4次方程式の組み合わせのはず」、「因数分解できなくて係数に注目すると1次と4次の項が0だし150×0.12×5C2=180で25×0.12=3だから対称性が綺麗すぎて多分相反方程式で瞬札できる」
@@makkuroheartこれすごい！勉強になります
![[Factorization] A shortcut technique that is too bad if you don't know it.](http://i.ytimg.com/vi/3AcYxwuS22k/mqdefault.jpg)
![[Factorization] A shortcut technique that is too bad if you don't know it.](/img/tr.png)
ネタバレ注意
これと同じように解くことで
x⁵-50ax³+60acx²+5a(25a-3c²)x+ac³=0
x⁷-70ax⁵+21acx⁴+833a²x³+441a²cx²+7a²(6c²-49a)x+a²c³=0
なども解くことができますね〜！
(さらに上式にも再び適用すると…？)
これ多分xの7次方程式についてもy=a^(-1/6)x^(1/3)から相反方程式α^n+α^(-n)=y_nとy_1=yを使ってxの方程式に代入を繰り返してy_7の3次＆y_1の6次式に次数下げを行ってy_7=-a^(-1/2)cが求まって二次方程式と代入でxまで求められる気がします！
(x^0、x^1、x^2....x^6が非常に複雑な無理数だから実質的にこの6つを線型独立なベクトルみなせることからこの予想が立てられます)
計算が面倒なので数値計算しかしてないですけど多分この予想正しそうです
プレミア公開に設定していますが中身は普通の動画です…！！
何か特別感のある内容なんじゃないかと思った人はごめんね…！💦
普通に感激しました。
一見解けないようにみえても
こうやって、係数と根号にて
解が表現できるのは凄いです。
代数の凄さを感じました。
有難うございました。
@@forgive_me_roa ありがとうございますー…！！笑(v・∇)v
次数上げや次数下げなど、楽しいですね。
ちなみに化学な人なのですが、難しい数学
を使う場面が量子化学になりますけれども、
対称性を群論でうまくまとめて、ベンゼンの
分子軌道を求めるのに六次方程式を解きました。
高次方程式、奥が深いですね。
補題をつかえば5/3次方程式にしなくても解が負だからx=-t^2かy=-5^(2/5)t+3^(1/5)t^(-1)で一瞬で二次方程式にできます
以下10/31追記 時間が取れたのでちゃんと計算をしてみたら補題も5/3次数方程式も不要でした
-5^(1/3)3^(-1/6)x^(1/3)=y(>2)が超味良くて（この変換はxが-2未満なことと最高次係数/定数項を考えると自然）、
y_1=y(>2)でy_n=α^n+α^-n(>2)とする（与式の対称性が綺麗すぎるから相反方程式を使いたいので）と、
y_5=y^5-5y^3+5y（5次式なのでy_5を考えるのが自然）が恒等的に成立し、
（方程式の次数を4以下にしたいので）
与式をxの5次方程式→y_1の4次＆y_5の三次方程式に次数下げ（代入だけなので中学生でもできる)(物理学徒は許してくれるけど数学徒から怒られそうな設定だけど許して)すると、
0=(-2^2×3^(1/2)×5^3+2^2×3×5^2×y_5)y^4+(5^3-3×5×(y_5)^2)y^3+(2^2×3^(1/2)×5^3-2^2×3×5^2×y_5)y^2+(-2^2×3^(1/2)×5^2×y_5+2^2×3×5×(y_5)^2)y+(y_5)^3-5^3×3^(-3/2)
となって全ての係数がy_5=3^(-1/2)×5で0になるからただの恒等式になってα^5が解になる二次方程式を使いyを求めてxがわかります
xを求めるまでの前提知識は二次方程式の解の公式ぐらいで複素数や5/3次方程式の登場も三次方程式の因数分解も補題も避けられるので中学生でもできるし、
計算量もxの方程式をy_1とy_5の方程式にするとこだけしかデカくないので五次方程式界隈なら瞬札の部類に入りそうです。
さらに追記
固定コメの一般化についてはまだ計算してないけどy=-x^(1/3)a^(-1/6)みたいな形の式でy_5=c a^(-1/2)みたいな感じの値にできてやはり補題や3次方程式の因数分解を避けながら二次方程式だけでxを求められる気がします
ちなみに視聴者向けにどういうふうにこの補題が使えそうだなぁと思えばいいのかの補足をしますと、
5次方程式の解に有限の項数での一般解がないのは群論の対称性の問題だから簡単に実数解がわかる五次方程式は本質的には2、3、4次方程式の組み合わせのはずで因数分解できなくて係数に注目すると1次と4次の項が0だし150×0.12×5C2=180で25×0.12=3だから対称性が綺麗すぎて多分相反方程式で瞬札できるなと想像できます。なんで5C2が出てくると対称性が綺麗すぎると思えるのかは動画の0:26にある通りでxの方程式の定数項と5次がtの方程式の-5次と5次、xの方程式の2次と3次がtの方程式の-1次と1次に対応することから直感的に感じられます。他にも25×6=150だしそもそも各項の係数の素因数は全て2、3、5なのでめちゃくちゃ綺麗すぎてなんらかの2、3、4次方程式の構造に簡単に落とし込めそうだなぁと予想できます。計算量的には動画とあまり変わらないというかなんならどれが実数か複素数か調べるのが面倒でこっちの方が計算量多いかもではあるけど発想はやりやすいので計算はChatGPTにでもやらせれば良いです
@@makkuroheart その発想が、ガロアっぽい！！ですね！！素晴らしく感激です！！「5次方程式の解に有限の項数での一般解がないのは群論の対称性の問題」。「簡単に実数解がわかる五次方程式は本質的には2、3、4次方程式の組み合わせのはず」、「因数分解できなくて係数に注目すると1次と4次の項が0だし150×0.12×5C2=180で25×0.12=3だから対称性が綺麗すぎて多分相反方程式で瞬札できる」
@@makkuroheartこれすごい！勉強になります