발산정리 개념과 증명이 공돌이님 블로그를 보니까 아주 간결하고 이해하기 쉽더군요 그냥 단순하게 유체유출함수 P,Q,R 이라는 개념을 도입해서 x축으로의 유체유출함수 P의 변화율 y축으로의 유체유출함수 Q의 변화율 z축으로의 유체유출함수 R의 변화율 각각의 축에 대해 함수를 편미분한 이것을 발산이라고 생각하고 발산정리라는 것은 x축으로의 유체유출함수 P의 변화율 ×미소단위부피 (dxdydz) y축으로의 유체유출함수 Q의 변화율 ×미소단위부피 (dxdydz) z축으로의 유체유출함수 R의 변화율 ×미소단위부피 (dxdydz) 이렇게 합친 것이라고 그냥 이렇게 생각하게 되었습니다 면적분해서 나오는 유체의 총발산량이 방금 그 3개의 {변화율 × 미소단위부피}의 총합 적분 하고 일치한다는 것이 발산정리 증명이고 발산정리증명 과정에서 (1)곡면의 넓이 공식과 (2) 넓이와 유체유출함수 두 벡터의 내적 (3)그린정리 증명에 나오는 a지점에서 b지점까지 함수의 순간증가량의 누적이 f(b)-f(a) 가 된다는 미적분의 기본정리가 사용된다 이런 세부적 지식이 사용되고 이런 세부적 지식을 보강하기 위해 공돌이님의 블로그 "법선벡터" , "면벡터" 시리즈를 다시 보니 큰 도움이 되었습니다 곡선은 일변수 매개변수고 곡면은 이변수 매개변수라는 것도 보통사람들이 놓치기 쉬운 함정 면적분에서 곡면면적을 구성하는 |r(u)×r(v)| 와 단위법선벡터의 분모의 |r(u)×r(v)|가 서로 약분되어 면적분 공식이 탄생한다는 것도 공돌이님 블로그나 동영상을 안 보면 보통사람들이 놓치는 함정 공돌이님 동영상과 블로그가 많은 도움이 되었습니다 최초에 면적분을 보고 공돌이님 블로그를 알았습니다 스토크스정리 뿐만 아니라 발산정리도 상당히 친근감이 옵니다 역시 글씨와 디자인이 중요한지 다시 보는 것도 동영상보다는 블로그를 찾게 되더군요 스토크스정리에 비하면 발산정리는 레벨이 낮은 영역이라고 생각했는데 발산정리도 가우스정리라고 해서 엄청 중요한 정리라고 책에서 강조해서 다시 봤습니다 유익한 동영상과 블로그 감사합니다 ^^
그린 정리와 2차원 발산 정리가 서로 비슷한 면이 잇는 것 처럼 스토크스 정리와 3차원 발산 정리는 유사한 면이 있습니다 ^^ 이제는 이해력이 한층 더 업그레이드 되신 것 같아요. 이 내용은 증명이 주된 내용이다보니 글로 정리된 것이 훨씬 더 잘 와닿을 것 같습니다. 그래서 힘들지만 글로 다 정리해두었던 것인데 노성용님 같으신 분들이 방문해주셔서 공부해주신다니 헛되지 않은 노력인 것 같아 기분이 좋네요 ^^~ 블로그 글은 쓰기가 정말 쉽지가 않거든요 ㅎㅎ 열공하시는 모습 보기 너무 좋습니다 ㅎㅎ 이제는 전자기학의 맥스웰 방정식을 공부하시기에 필요한 기초소양은 다 갖추신 것 같네요 😁😁 (원래 저는 맥스웰 방정식을 목표로 공부했던 내용이라...) ㅎㅎ 재밌게 공부하시는 것 같아서 보기 좋습니다. 화이팅입니다 ^^
@@AngeloYeo 오늘 하루종일 공돌이님 영상만 본 것 같네요. 보다 졸다, 다시 또 돌려서 보고.. 근데 이분 댓글 써 놓으신게 상당히 도움되네요. 내가 이해한건가 싶은 부분들을 "함정"이라고 표현해주셔서 그 부분을 내가 아는지 모르는지 인지해보니까 이젠 아는 것 같아서 뿌듯한데, 하 너무 힘들다 하루 종일...ㅜ 그 와중에 공돌이님 디스 당했어...ㅋㅋㅋ "역시 글씨와 디자인이 중요한지 다시 보는 것도 동영상보다는 블로그를 찾게 되더군요"
전역후에 복학하여 전자기학을 공부하려니 미적분학이 하나도 기억나지 않아서 너무 막막했었습니다. 그렇게 방황하던 중 우연히 공돌이님의 채널에 방문하게 되었고, 이틀동안 편미분과 gradient의 기하학적 의미 (간단소개) 영상부터 발산정리(3D)까지 15개의 영상을 쭈욱 보면서 정말 도움이 많이 되었습니다. MATLAB를 활용하여 시각적으로 설명해주시니 직관적인 이해에 도움이 정말 많이 되었습니다. 교수님들보다 훨씬 더 잘 가르쳐주시는 것 같습니다. 영상보면서 정리하니 A4로 50페이지 정도 나오네요ㅎㅎ 이제 복습하면서 공부해야겠습니다. 감사합니다. 구독 누르고 공부하다가 수학적으로 막히는 부분이 있으면 자주 방문해서 영상 시청해야겠습니다!
제가 최근에 몇개의 긴 댓글을 쓴 이유가 누군가의 도움으로 수학을 배웠으면 배운 공부의 완성은 다른 누군가에게 알기 쉽게 가르쳐 주던가 아니면 배운 것에 대한 감사의 표현을 하던가로 이루어진다는 생각 때문입니다 교양수학미적분의 완성은 그린정리, 스토크스정리, 발산정리 3대정리의 증명이라 들었고 그린정리증명은 힘겹게 이해했는데 스토크스정리증명, 발산정리증명은 너무 어려워 제쳐 두었습니다 1단계로 어려운 선적분을 면적분으로 처리 어려운 면적분을 삼중적분으로 처리 일단 활용 만 알면 충분하다고 생각했지만 근원적 만족이 없었습니다 2단계로 공돌이님 동영상에서 Curl벡터와 발산벡터의 기하학적 의미를 배우니 차원의 향상에 흐뭇했습니다 3단계로 미적분을 사용해서 스토크스정리, 발산정리를 증명하기 이건 계속 미루다가 하고 싶은 욕구는 강해지고 공돌이님 동영상을 계속 보니 스토크스 정리 증명이 이해가 갔고 (체인룰 1번 공식에서 고전함) 발산정리 증명은 공돌이님 동영상을 보고 거의 단번에 이해가 갔습니다 동영상 자체도 설명이 자세하게 되어 있었고 그보다도 공돌이님 면적분동영상의 면적분과 법선벡터 공부가 효과가 있어서 발산정리증명은 아주 수월하게 이해가 갔습니다 발산정리증명 면적분 3개에서 옆면은 힘벡터와 법선벡터가 90°라서 내적이 0 되어 없어지고 아랫면은 법선벡터가 윗면과 반대라 적분의 부호가 음이 되고 결국 윗면 면적분, 아랫면 면적분을 더하니 그린정리 증명 때 나오는 (변화율을 적분하면 높이가 됨) 그 형태가 되어 면적분 두 개를 더한 것이 자연스럽게 (발산을 함수로 하는 삼중적분) 형태로 귀결되는 것을 공돌이님의 동영상에서 보고 충격과 감동을 느꼈습니다 스토크스정리 증명과 마찬가지로 발산정리 증명도 이 동영상이 아니었다면 이해하기가 곤란했을 것 같습니다 지금 이 분야가 너무 어려운 분야가 되어서 수요가 적은 것이 좀 안타깝습니다 정말 고맙습니다 또 공부할 것이나 질문할 것 있으면 찾아오도록 하겠습니다 ^^
지금 저도 블로그에 발산정리 증명 부분을 마침 정리하고 있던차라 ^^ 정말 잘 이해하신 것 같습니다 ㅎ 이해한 바를 글로 다시 한번 스스로의 글로 풀어보는 과정이 정말 도움이 많이 되지요 ^^ 항상 이렇게 장문의 댓글을 남겨주시니 저에게 정말 큰 힘이 됩니다 ^^ 어려운 과정임에도 끝까지 해내시는 모습이 정말 보기 좋습니다 :) 뿌듯하기도 하구요! 정말 감사드려요 ~♡
확실히 리스트 후반부로 올수록 댓글 수가 점점 감소하는군요 ㅋㅋㅋㅋ 저도 완전히 이해가 안되서 생새우초밥집이나 다른 분들 블로그 찾아가면서 종합적으로 이해했는데 정육면체 형태의 미소부피로 가정하고 증명하는 방식이 저에게는 확 와닿더군요 ! 벡터장 자체의 x component와 y component를 0으로 잡으시는 것부터 '너무 일반적이지 않은 상황 아닌가?'했는데, '결국 법선벡터와의 연산에서 전부 소거되어 버리기 때문에 애초에 고려대상이 아니구나...'라는 생각을 하며 공돌이님의 배려에 머리를 칠 수 있었던 계기였구요 ㅋㅋㅋㅋㅋ 미소곡면에 대한 법선벡터의 방향을 아주 세심하게 잘 따져야 정상적으로 전개하고 이해할 수 있는 정리인 것 같습니다 다변수미적분학영상은 이 영상이 클라이막스인 것 같으니, (이미 뒷 영상은 저번에 봤어요...) 저는 선대나.... 푸리에 해석 쪽으로 넘어가 봐야겠습니다. 항상 감사합니다 !!
![[벡터미적분 Ep.5] 벡터장의 회전(curl)의 직관적 시각적 이해](http://i.ytimg.com/vi/wRoJxeo2K5I/mqdefault.jpg)
![[개념설명] 발산정리, 정확하고 쉽게 이해하기!](/img/1.gif)
썸네일에 curl 기호가 있네요
ㅠㅠ
div 맞죠?
와 .... 몇년만에 이 실수를 처음알았네요 ㅠㅠ .... 지금은 썸네일 파일이 모두 날라가버려서... 네 div가 맞습니다 ;;
혹시 9:08에 나오는 적분은 어떻게 하는 것인지 알려주실 수 있나요?
발산정리 개념과 증명이
공돌이님 블로그를 보니까
아주 간결하고 이해하기 쉽더군요
그냥 단순하게
유체유출함수
P,Q,R 이라는 개념을 도입해서
x축으로의 유체유출함수 P의 변화율
y축으로의 유체유출함수 Q의 변화율
z축으로의 유체유출함수 R의 변화율
각각의 축에 대해 함수를 편미분한
이것을 발산이라고 생각하고
발산정리라는 것은
x축으로의 유체유출함수 P의 변화율
×미소단위부피 (dxdydz)
y축으로의 유체유출함수 Q의 변화율
×미소단위부피 (dxdydz)
z축으로의 유체유출함수 R의 변화율
×미소단위부피 (dxdydz)
이렇게 합친 것이라고
그냥 이렇게 생각하게 되었습니다
면적분해서 나오는
유체의 총발산량이 방금 그 3개의
{변화율 × 미소단위부피}의 총합 적분
하고 일치한다는 것이 발산정리 증명이고
발산정리증명 과정에서
(1)곡면의 넓이 공식과
(2) 넓이와 유체유출함수 두 벡터의 내적
(3)그린정리 증명에 나오는
a지점에서 b지점까지
함수의 순간증가량의 누적이
f(b)-f(a) 가 된다는
미적분의 기본정리가 사용된다
이런 세부적 지식이 사용되고
이런 세부적 지식을 보강하기 위해
공돌이님의 블로그
"법선벡터" , "면벡터" 시리즈를 다시 보니
큰 도움이 되었습니다
곡선은 일변수 매개변수고
곡면은 이변수 매개변수라는 것도
보통사람들이 놓치기 쉬운 함정
면적분에서
곡면면적을 구성하는 |r(u)×r(v)| 와
단위법선벡터의 분모의 |r(u)×r(v)|가
서로 약분되어
면적분 공식이 탄생한다는 것도
공돌이님 블로그나 동영상을 안 보면
보통사람들이 놓치는 함정
공돌이님 동영상과 블로그가
많은 도움이 되었습니다
최초에 면적분을 보고
공돌이님 블로그를 알았습니다
스토크스정리 뿐만 아니라
발산정리도 상당히 친근감이 옵니다
역시 글씨와 디자인이 중요한지
다시 보는 것도
동영상보다는 블로그를 찾게 되더군요
스토크스정리에 비하면
발산정리는 레벨이 낮은 영역이라고
생각했는데
발산정리도 가우스정리라고 해서
엄청 중요한 정리라고
책에서 강조해서 다시 봤습니다
유익한 동영상과 블로그 감사합니다 ^^
그린 정리와 2차원 발산 정리가 서로 비슷한 면이 잇는 것 처럼 스토크스 정리와 3차원 발산 정리는 유사한 면이 있습니다 ^^ 이제는 이해력이 한층 더 업그레이드 되신 것 같아요.
이 내용은 증명이 주된 내용이다보니 글로 정리된 것이 훨씬 더 잘 와닿을 것 같습니다. 그래서 힘들지만 글로 다 정리해두었던 것인데 노성용님 같으신 분들이 방문해주셔서 공부해주신다니 헛되지 않은 노력인 것 같아 기분이 좋네요 ^^~ 블로그 글은 쓰기가 정말 쉽지가 않거든요 ㅎㅎ
열공하시는 모습 보기 너무 좋습니다 ㅎㅎ 이제는 전자기학의 맥스웰 방정식을 공부하시기에 필요한 기초소양은 다 갖추신 것 같네요 😁😁 (원래 저는 맥스웰 방정식을 목표로 공부했던 내용이라...) ㅎㅎ 재밌게 공부하시는 것 같아서 보기 좋습니다. 화이팅입니다 ^^
@@AngeloYeo 오늘 하루종일 공돌이님 영상만 본 것 같네요. 보다 졸다, 다시 또 돌려서 보고..
근데 이분 댓글 써 놓으신게 상당히 도움되네요.
내가 이해한건가 싶은 부분들을 "함정"이라고 표현해주셔서 그 부분을 내가 아는지 모르는지
인지해보니까 이젠 아는 것 같아서 뿌듯한데, 하 너무 힘들다 하루 종일...ㅜ
그 와중에 공돌이님 디스 당했어...ㅋㅋㅋ
"역시 글씨와 디자인이 중요한지
다시 보는 것도 동영상보다는 블로그를 찾게 되더군요"
우와... 대단하시네요 하루종일 공부하는거 어려운 일인데 ㅠ.ㅠ ㅎ 수고하셨읍니다
사실 저도 다시 정리해 볼때는 유튜브 영상보다는 블로그 위주로 봅니다 😇 글이 더 빨리 들어오기듀 하고... 껄껄 그렇네요
전역후에 복학하여 전자기학을 공부하려니 미적분학이 하나도 기억나지 않아서 너무 막막했었습니다. 그렇게 방황하던 중 우연히 공돌이님의 채널에 방문하게 되었고, 이틀동안 편미분과 gradient의 기하학적 의미 (간단소개) 영상부터 발산정리(3D)까지 15개의 영상을 쭈욱 보면서 정말 도움이 많이 되었습니다. MATLAB를 활용하여 시각적으로 설명해주시니 직관적인 이해에 도움이 정말 많이 되었습니다. 교수님들보다 훨씬 더 잘 가르쳐주시는 것 같습니다. 영상보면서 정리하니 A4로 50페이지 정도 나오네요ㅎㅎ 이제 복습하면서 공부해야겠습니다. 감사합니다. 구독 누르고 공부하다가 수학적으로 막히는 부분이 있으면 자주 방문해서 영상 시청해야겠습니다!
안녕하세요. 많은 영상들을 정말 꼼꼼히 보셨네요... 50페이지라... ㅎㅎ 정리 잘 되시면 소책자로 내실만도 할 분량이네요 ㅎㅎ 공부 재밌게 잘 하셔서 좋은 성과 내시길 바랍니다 ^^ 앞으로도 저도 틈틈히 공부해서 영상 제작하겠습니다 ㅎㅎ
아 그리고 제 블로그에 보면 촬영 당시엔 없었던 블로그 포스팅으로 전부 다 글로 정리되어 있으니 참고해보셔도 좋을 것 같습니다~
제가 최근에 몇개의 긴 댓글을 쓴 이유가
누군가의 도움으로 수학을 배웠으면
배운 공부의 완성은
다른 누군가에게 알기 쉽게 가르쳐 주던가
아니면
배운 것에 대한 감사의 표현을 하던가로
이루어진다는 생각 때문입니다
교양수학미적분의 완성은
그린정리, 스토크스정리, 발산정리
3대정리의 증명이라 들었고
그린정리증명은 힘겹게 이해했는데
스토크스정리증명, 발산정리증명은
너무 어려워 제쳐 두었습니다
1단계로
어려운 선적분을 면적분으로 처리
어려운 면적분을 삼중적분으로 처리
일단 활용 만 알면 충분하다고 생각했지만
근원적 만족이 없었습니다
2단계로
공돌이님 동영상에서
Curl벡터와 발산벡터의 기하학적
의미를 배우니
차원의 향상에 흐뭇했습니다
3단계로
미적분을 사용해서
스토크스정리, 발산정리를 증명하기
이건 계속 미루다가
하고 싶은 욕구는 강해지고
공돌이님 동영상을 계속 보니
스토크스 정리 증명이 이해가 갔고
(체인룰 1번 공식에서 고전함)
발산정리 증명은
공돌이님 동영상을 보고
거의 단번에 이해가 갔습니다
동영상 자체도
설명이 자세하게 되어 있었고
그보다도
공돌이님 면적분동영상의
면적분과 법선벡터 공부가 효과가 있어서
발산정리증명은
아주 수월하게 이해가 갔습니다
발산정리증명 면적분 3개에서
옆면은 힘벡터와 법선벡터가 90°라서
내적이 0 되어 없어지고
아랫면은 법선벡터가 윗면과 반대라
적분의 부호가 음이 되고
결국
윗면 면적분, 아랫면 면적분을 더하니
그린정리 증명 때 나오는
(변화율을 적분하면 높이가 됨)
그 형태가 되어
면적분 두 개를 더한 것이 자연스럽게
(발산을 함수로 하는 삼중적분)
형태로 귀결되는 것을
공돌이님의 동영상에서 보고
충격과 감동을 느꼈습니다
스토크스정리 증명과 마찬가지로
발산정리 증명도
이 동영상이 아니었다면
이해하기가 곤란했을 것 같습니다
지금 이 분야가
너무 어려운 분야가 되어서
수요가 적은 것이 좀 안타깝습니다
정말 고맙습니다
또 공부할 것이나 질문할 것 있으면
찾아오도록 하겠습니다 ^^
지금 저도 블로그에 발산정리 증명 부분을 마침 정리하고 있던차라 ^^ 정말 잘 이해하신 것 같습니다 ㅎ 이해한 바를 글로 다시 한번 스스로의 글로 풀어보는 과정이 정말 도움이 많이 되지요 ^^ 항상 이렇게 장문의 댓글을 남겨주시니 저에게 정말 큰 힘이 됩니다 ^^ 어려운 과정임에도 끝까지 해내시는 모습이 정말 보기 좋습니다 :) 뿌듯하기도 하구요! 정말 감사드려요 ~♡
4:00에서 ds를 r로 표현하는 부분이 이해가 잘 안되요
왜 저렇게 되는 건가요?
그리고 x,y로 변환하면 왜 x,y,g(x,y)가 되나요?
ds를 r로 표현하는 부분에 대해서는 면적분에 관련된 영상을 보시고 오셔야 이해하실 수 있습니다.
x, y로 변환한다고 말씀하신 부분은 domain이 x, y 좌표평면이고 높이는 z = g(x,y)와 같이 x y에 대한 함수라는 의미로 쓴 것입니다
어디서는 (F * N)dS라 하고 또 다른데서는 F * dS라고 하던데 이 둘이 들어가는 적분식들이 왜 같은지 궁금합니다
첫 번째 식에서 F, N은 모두 벡터이고 dS는 스칼라로 보입니다. 반면 두 번째 식에서는 F, dS 모두 벡터로 쓴 것 같습니다. 이렇게 생각하면 두 식은 모두 같은 의미로 볼 수 있습니다.
@@AngeloYeo 정말 감사합니다
벡터미적분쪽이 막혀서 인강구입을 고민했었는데, 덕분에 무료로 필요한 공부를 하게 되었습니다. 정말 감사합니다.
판서도 너무 보기 좋고 발음발성 전달력도 남다르세요.
여기까지 보셨으면 정말 다보신걸텐데... 도움되셨는지 모르겠네요... 수고많으셨습니다 ㅎ 댓글 감사드려요 ^^
@@AngeloYeo 판서도 깔끔하고 발음발성 전달력도 남다르세요.
전 벡터미적분부터 보는중입니다. ㅎㅎ 전역하고 뒤늦게 이공계 입학하게됐는데 앞으로 선형대수 확통 이런쪽에서도 큰 도움이 될 것 같습니다.
확실히 리스트 후반부로 올수록 댓글 수가 점점 감소하는군요 ㅋㅋㅋㅋ
저도 완전히 이해가 안되서 생새우초밥집이나 다른 분들 블로그 찾아가면서 종합적으로 이해했는데
정육면체 형태의 미소부피로 가정하고 증명하는 방식이 저에게는 확 와닿더군요 !
벡터장 자체의 x component와 y component를 0으로 잡으시는 것부터 '너무 일반적이지 않은 상황 아닌가?'했는데, '결국 법선벡터와의 연산에서 전부 소거되어 버리기 때문에 애초에 고려대상이 아니구나...'라는 생각을 하며 공돌이님의 배려에 머리를 칠 수 있었던 계기였구요 ㅋㅋㅋㅋㅋ
미소곡면에 대한 법선벡터의 방향을 아주 세심하게 잘 따져야 정상적으로 전개하고 이해할 수 있는 정리인 것 같습니다
다변수미적분학영상은 이 영상이 클라이막스인 것 같으니, (이미 뒷 영상은 저번에 봤어요...)
저는 선대나.... 푸리에 해석 쪽으로 넘어가 봐야겠습니다. 항상 감사합니다 !!
흑흑 ㅋㅋ ... 끝까지 들으시는 분들이 많지 않은데 Tim님 대단하시네요 이걸 재밌게 들으시다니... ㅎ 저는 푸리에보다는 선대를 먼저 듣는걸 추천드려요 ㅎ
공돌이님 영상 다 보니까 스톡스 그린 가우스 정리 모두 당연한 거였네요
그런데 스토크스 정리에서 완전히 이해가 가지 않은 부분이 있습니다. 미소면적에 대한 curl V자체는 이미 미소면적에 수직한 법선 방향 아닌가요? 굳이 법선벡터를 왜 곱해주는 건가요... 제가 이해를 잘못한 부분 집어주시면 감사하겠습니다
curl V는 어느 방향을 가리키고 있을수도 있지만 임의의 미소면적의 2차원 회전(? 그니깐 미소면적이 자신을 포함하는 평면에서의 회전)은 구하려면 법선벡터와 내적값만이 결정하는 건가요?
안녕하세요 :) 늦게까지 공부하시네요. 잘 이해하셨습니다. curl 의 결과는 항상 미소면적에 수직이고 법선벡터와 내적을 취해 curl의 성분을 이용해주기 위함입니다
5분 39초 쯤의 행렬식 계산이 결과가 이상한거같아요.. 결과의 부호가 각 성분마다 +, -, - 여야 하는데 이후 계산에선 어차피 앞의 i, j부분이 날아가서 증명에 영향이 없었네요..
ㅡㅡ
수정) 제가 헷갈려서 실수했네요 ㅠㅠ
안녕하세요. 어떤 이유로 해당 행렬식 계산 결과의 부호가 각 성분마다 +, -, - 여야하는지 잘 모르겠습니다. 어떤 부분이 잘못되었다고 보시는지 좀더 자세히 설명해주실 수 있으실까요?
@@AngeloYeo 헉 제가 실수했네요! 밤샘공부중이라 그만.. 헷갈리시게 해서 죄송합니다 ㅜㅜ
뚜껑이랑 바닥의 ds가 다른가요?
크기는 같고 방향만 반대입니다
그냥 지나갈께요.. 상형문자인줄.