Molti hanno commentato che x + k dovrebbe fare 0,999....1 e non 1. D'altra parte, la domanda da farsi è la seguente: Come distinguere 0,999... da 0,999...9? Perché attaccare un 9 finale a una sequenza infinita di 9 non dovrebbe cambiare nulla, quindi, se 0,999... è uguale a 0,999...9, si dovrebbe anche poter dedurre che 0,999... + 0,000...1 = 0,999...9 + 0,000...1 = 1.
Coloro che dicono che faccia 0,999........1 non capiscono nulla di matematica e non sanno addizionare! Tra l'altro lo 0,9999.....prtiodico si differenzia dallo 0,9999 poiché quest'ultimo è un DECIMALE FINITO.... a differenza dell'altro che è un decimale periódico infinito!!
premetto non sono un professore, ma z + k non fa 0,999...6 ma bensì 1,000...5, difatti secondo la media ponderata z è a metà dell'unità k che separa x e y, quindi si può definire z come x + k/2, la somma z + k come x + k/2 + k, ma come visto x + k da come risultato y quindi z + k = y + K/2 dove k/2 è 0,000...5 che è la metà di 0,000...1 (k). formula ambigua in quanto si dovrebbe sottolineare che l'1 si trova nei "decimali" se si prende il 5 come punto di riferimento. si potrebbe scrivere in questo modo: 0,(n,0)1 come k, dove (n,0) indica n zeri con n infinito; 0,(n+1,0)5 come k/2 e 1,(n+1,0)5 come z + k. questa è comunque una forzatura o misuso di notazione in quanto n+1 sarebbe infinito+ 1 che è uguale a infinito (inoltre son sicuro che una scrittura del genere generebbe non pochi problemi). pertanto si, 0,9 periodico è uguale a 1 anche perchè k lo si può scrivere come 1/infinito che da 0; pertanto y=x, altrimenti si dovrebbe dimostrare che n/ infinito con n numero naturale, (intero, positivo), è diverso da 0.
In realtà quello che dice la signora non è insensato, solo sta parlando di un altro sistema numerico, non di numeri reali. In un opportuno campo ordinato non archimedeo effettivamente i numeri si potrebbero rappresentare con allineamenti decimali indicizzati su ordinali numerabili; allora dopo gli indici naturali 0,1,2,3,.. si può ricominciare con le cifre di posto omega,omega+1,..,2omega,..
Hai ragione, ma ovviamente qui la discussione tra me e Sara era limitata al campo dei reali, che è un campo archimedeo. Grazie del commento. @@pierineri
Finalmente qualcuno che spiega la vera e propria dimostrazione. Molti la liquidano in fretta dicendo che sono concetti complicati (ed in fondo è vero), ma tu hai mostrato che si può spiegare anche con semplicità
@@francescobondini3051 Non sono d'accordo (e avevo 9 in matematica), 1 è 1 e 0,9 periodico è 0,9 periodico, quindi mancherà sempre uno 0,0000....1 per fare 1.
@@promanato il fatto che tu abbia avuto 9 in matematica non conta nulla mi spiace. Se vuoi ti posso dare un altro modo per vedere questa cosa, non è la dimostrazione rigorosa (quella è stata fatta nel video) ma è un buon modo per capirlo. Se prendo 1 e 0.9 qual'è la differenza? 0.1 (che possiamo scrivere come 10^(-1) ) Invece 1-0.99 = 0.01 = 10^(-2) 1-0.999 = 0.001 = 10^(-3) Siccome 0.9 periodico ha per definizione infiniti 9 dopo la virgola, la differenza tra 1 e 0.9 periodico corrisponde al limite per x che tende a infinito di 10^(-x). Se non ti ricordi cosa sono i limiti puoi tranquillamente guardare online anche semplicemente il grafico della funzione 10^(-x), vedrai che per X che tende ad infinito tende a 0. Dunque la differenza tra 1 e 0.9 periodico (siccome è esattamente il valore di quel limite) è esattamente 0. Quindi 1 è esattamente uguale a 0.9 periodico. Se non hai familiarità con i limiti magari può sembrarti poco intuitivo come ragionamento, sembra quasi che io stia dicendo che il valore a cui TENDE qualcosa è l'ESATTO valore di un altra, infatti non è rigorosa come dimostrazione, ma ti fa capire cosa succede.
La dimostrazione che preferisco di più è la densità di R Per chi non lo sapesse: Un insieme si definisce denso quando, dati due valor x,y appartenenti ad R, x
Le faccio i più vivi complimenti. Oltre ad essermi divertito ho anche imparato qualcosa di nuovo :) Sono molto contento di aver scoperto questo suo canale, e sicuramente continuerò a seguirla. Ho molto apprezzato
Tutto questo è vero e sacrosanto nei numeri Reali, la cui rappresentazione decimale è una successione di cifre con indice naturale. Se passiamo agli IperReali, che possiamo pensare (ma non è l'unico modo) come numeri che hanno parte decimale rappresentata da una successione di cifre con indice ordinale che può anche avere valori transfiniti, invece diventa vero che 0.(9) (dove la periodicità è solo sulle cifre di indice naturale) è diverso da 1. Ritorna vero se prendiamo 0.[9] con periodicità anche sulle cifre di indice trasnfinito. Comunque bel video.
Il mio unico appunto è la notazione 0.999... ovvero col 9 ripetuto infinite volte che appare artificiosa. Se uno ragiona con 1/3 e 2/3 il problema non si pone. Oppure se 1 è il limite di una serie è anch'esso comprensibile. Ma scritto 1=0.9999 è fuorviante
L'ho scoperto proprio qualche mese fà, negare che quei numeri sono uguali significa ammettere che lungo la retta reale, esistono dei numeri di cui si conosce esattamente il suo successivo
Massimiliano mi puoi spiegare come fa un punto, che per definizione ha zero dimensioni, a formare un segmento che ha una dimensione ?? Detto in altre parole, è proprio vero che in un segmento ci sono infiniti punti ?? 🤔
Sembra tu sia perfettamente in chiaro su cosa sia quell'entità zero-dimensionale che chiami "punto". Come si definisce in modo rigoroso tale entità? Porsi questa domanda, e provare a rispondere, corrisponde a chiedersi, in sostanza, come si costruiscono i numeri reali e la loro relazione con la rappresentazione geometrica di una retta. Un vasto soggetto.
Buongiorno professore, Sara... argomento difficile ma trattato in modo appassionante e diverso dal solito nozionismo.. bravi ad entrambi e mi piacerebbe altre trattazioni del genere! Grazie
Grazie, Gianluca! 🙂 Mi fa piacere che abbia trovato interessante il tema e le nostre "schermaglie argomentative"! Chissà, potrei decidere di perturbare qualche altra dimostrazione del professore nel prossimo futuro! 😉
Video davvero ben fatto, ricordo il prof di analisi 1 che ci presentò la stessa dimostrazione alla nostra richiesta di un' "applicazione" della serie geometrica, carino anche il modo di presentarlo
Assioma di Dedekind o successioni di Cauchy con la proprietà di Archimede a voi la scelta. È come dire 1/2 è uguale a 2:4 stessa cosa per 0.999… e 1 fanno parte della stessa classe di equivalenza. Non bisogna confondere i numeri reali con la loro rappresentazione decimale. Video simpatico.
Buongiorno, proverei con un ulteriore ragionamento a dimostrare che la differenza 1,000... - 0,999...= 0,000... Se le espansioni decimali di minuendo e sottraendo fossero composte da N cifre il risultato della sottrazione avrebbe fino alla posizione (N-1)-esima degli zeri ed in posizione N-esima un 1. Purtroppo :-) in una espansione decimale infinita la posizione (N-1)-esima è da pensarsi in estensione continua verso l'infinito quindi non potrà mai essere presente l'1 della posizione N-esima, al suo posto ci sarà sempre uno zero. Istintivamente, si pensa infatti presente l' 1 nella ultima posizione con infiniti zeri prima perché inconsciamente si associa una espansione decimale infinita con una di un grandissimo numero di cifre. Cioè inconsciamente viene fermata la posizione (N-1) esima. Chiaramente a questo punto stiamo pensando ad una espansione decimale finita non infinita. Quindi in una espansione decimale infinita di minuendo e sottraendo non potrà esistere l'1 che chiude il risultato della sottrazione.
Appunto, è una banalità. Non mi spiego come sia possibile spendere 19 minuti per un argomento del genere, a scuola insegnavano che è importante anche il dono della sintesi! Poi io sono il primo ad apprezzare i video lunghi se approfondiscono argomenti complessi ma la durata deve essere appunto giustificata, non un allungamento inutile del brodo.
11:40. We have that x = 0,999...; y = 1,000...; z = 0,999...5; k = 0,000...1. Then x + k = 0,999...1, not 1, since the 1 in k meets no 9 from x to yield 10. Now, 0,999...1 is strictly less than z + k = 0,999...5 + 0,000...1 = 0,999...6. Where's the problem? Of course, 1 = 0,999...in the reals but what if we take those numbers with transfinite decimal positions to be non-real and we admit to be operating in such non-real numbers? In the non-reals, 1 =/= 0,999... and there seems to be no contradiction.
One can of course always try to expand the real adding new numbers, taking care then that all remain consistent. So, you are willing to accept a notation where the number 0,999... is different than 0,999...9, which is a little weird, don't you think so?
A me l'avevano spiegata come al minuto 14:00, il mio coinquilino era matematico e mentre camminavamo gli espressi questo dubbio, e lui mi chiese: quanto fa 1/3? - al che ho risposto 0,333(periodico); quindi lui mi ha chiesto di rimoltiplicare 0,333(periodico) per 3, ed ho risposto che il risultato era 0,999(periodico) ... quindi avevo diviso e moltiplicato per 3 ottenendo numeri diversi!?! P.S. se vogliamo andare di logica però, non si dovrebbe dire "cosa fa x+y?" bensì "quanto fa x+y?". Parliamo di quantità, non di cose fatte :) - in un altro contesto non lo avrei sottolineato ma parla di matematica = logica. Ho anche sentito sbagliare persone (in Lombardia, non so voi di dove siete) dicendo "cosa costa un caffè?" invece di "quanto costa un caffè?" Alla prima domanda direi: costa soldi :) alla seconda il prezzo. Comunque grazie per avermi risvegliato ricordi assopiti di matematica :)
Grazie per l'interessante commento. Quello che scrivi è indubbiamente corretto, ma limitatamente a quando consideriamo i numeri come quantificatori. Ma i numeri possono essere intesi anche come enti astratti, a prescindere dal loro utilizzo come quantificatori. Quel "cosa fa x+y?" sarebbe allora da intendere nel senso di "a quale numero corrisponde x+y?".
@@autoricerca grazie per la risposta. Anche se non vogliamo intendere i risultati come quantità (anche se come misure di qualcosa, lo sono, e sono sempre maggiori o minori di altri numeri ecc., come una quantità appunto), credo che sappiamo "cosa" siano quindi chiedere "che cosa" fa mi appare ancora errato. Credo siano influenze dialettali comunque, buona giornata e grazie per la ancora per la condivisione del sapere in modo così divertente.
In effetti ci si può dibattere. Interessantemente il numero come qualcosa che serve per contare, per misurare, era proprio dei greci. Non a caso il teorema di Pitagora enunciato come "l'area dei quadrati costruiti su etc. Etc." é la formulazione antica. Per loro x^2 +y^2=z^2 non aveva senso, in quanto fare il quadrato di una lunghezza, non aveva senso. Potevi dire "misuro l'area di quel quadrato costruito sull'ipotenusa". Spesso infatti non si comprende perché la scoperta di radice di 2 fu così strana per Pitagora, perché rimase distrutto dal suo stesso teorema. Perché per loro i numeri erano sostanzialmente rapporti fra grandezze (cioè misure, perché dire che una cosa ha area 3, vuole dire che ha area 3 volta qualcosa di riferimento), e per loro era inccocepibile che da costruzioni geometriche uscissa fuori qualcosa che non era un rapporto, che quindi "non era un numero" per loro. Questo nei greci, grazie a dio adesso le cose sono cambiate. Cioè vero che un nuwmro può essere associato ad una quantità, cioè quanto fa x+y. Ma ha anche tutto il diritto ad essere un oggetto matematico a sé stante, come la miriade di oggetti che la matematica si inventa. Quindi anche "cosa fa x+y" ha senso.
@@mirkotorresani9615 ci penserò su. Ma per il piacere di discutere... la radice di due, una volta approssimata, è comunque un numero. Chiedendo "che cosa fa radice di due" ? Risposta: fa un numero. Però se vogliamo sapere "quale numero" diciamo "quanto fa?". E la quantità che possiamo solo approssimare è la quantità 1,4142... per esempio potremmo misurarci del sale (ma solo approssimativamente, come del resto per TUTTE le misure: nessuno può pesare 1,000... grammi di sale, cioè assicurarci che dopo 3 milioni di cifre ci sia ancora zero). Anche la radice di -1 è una quantità rappresentabile e non "immaginaria", se si immaginano i numeri in modo bidimensionale e non lineare, e la prova è il fatto che poi i numeri immaginari servono per vari campi della fisica, per descrivere fenomeni reali, anche se non possiamo propriamente pesarci il sale :)
Al minuto 10,50 credo ci sia un errore nel ragionamento, perché l'ultimo numero decimale dopo il 9 non sarà ancora 9 come proposto, infatti secondo il ragionamento l'orfanello dovrebbe essere zero perché si troverebbe dopo l'ultimo 9 del periodo (devono correre sempre di pari passo entrambi i numeri). In sostanza il decimale 1 che si troverebbe dopo gli infiniti zeri sarà quindi in colonna sotto ad uno zero e non ad un 9; Ignorando comunque ciò è come se lavorassimo con o piccoli ma a livello aritmetico, quindi con numeri discretizzati, mente dovremmo lavorare con numeri decimali infiniti. In ogni caso l'assurdo credo sia pensare che dopo un'infinità di 9 oppure di zeri c'è qualcosa di diverso in fondo, entrando in contraddizione con la definizione di periodicità stessa, basta questa definizione come dimostrazione senza mettere in campo le serie o altri strumenti matematici, in altre parole la ragazza non può usare l'aritmetica per dimostrare che 0.9 periodico sia uguale o diverso ad 1 perché non si può sommare un infinitesimo con la semplice aritmetica; non esiste una frazione che generi l'infinitesimo dovresti dividere l'unità per infinito che porterebbe ad un altro assurdo. Spero sia utile il mio commento per chi non ha ancora compreso questo concetto.
I "puntini puntini" indicano qualcosa che "non finisce", che va, per l'appunto, all'infinito, quindi sì, non ci può essere nulla, in termini numerici, dopo quell'infinità di cifre.
Che bello questo canale! Aggiungo: se a=0.99999999......, allora 10a=9.99999999......... Sottraendo membro a membro 10a-a=9, da cui a=1. Ma a era 0.99999, quindi 0.99999=1. Non è un po piu semplice?
Scusate ma la ragazza era un’attrice o stava cercando di argomentare la sua tesi? Perché mi è sembrata convinta in ciò che diceva. Comunque bel video, grazie mille! (La domanda è seria e mi farebbe molto piacere una risposta seria allo stesso modo😉)
È una giornalista (che mi sta molto a ♥) che ha iniziato con me una discussione sul tema e alla quale ho chiesto se potessimo proseguire il dialogo davanti alle telecamere, per vedere se potesse nascere qualcosa di simpatico da offrire al pubblico. È vero che in passato ha recitato in teatro, ma in questo caso la discussione che hai visto era in buona parte reale, abbiamo giusto "ripetuto" alcune delle frasi della precedente conversazione quando abbiamo accesso la videocamera, perché gli ascoltatori potessero capire da quale suo dubbio fosse iniziata la "disputa"! 🙂 Poi l'interazione è stata anche troppo spontanea, tanto che mi sono dimenticato di aggiustare una delle due camere e dunque lei di tanto in tanto nel video "scompare"!
Per me 1=1 e non 1=0,999 ... La differenza fra i due è sempre più piccola ma non si azzera mai, anche se andiamo, per assurdo, all'infinito! Mi dispiace, resto con i piedi a terra: manca sempre "qualcosina" ... Comunque, complimenti per la chiarezza della lezione!
Grazie per l'apprezzamento. È importante non confondere un numero con la sua rappresentazione. 1,000... e 0,999... sono due rappresentazioni decimali dello stesso numero reale.
In realtà tutti i giorni ne hai l'evidenza. Ogni volta che dividi una pizza in 3 e ne dai 1/3 a ciascuno stai dicendo che 0,3 periodico per 3 fa 1... E non c'è nessuna briciola che avanza. Oppure dovresti ammettere che 3/3 non è 1.
0.999... ha infinite cifre, l'inghippo è li, la tua argomentazione è sensata, e va dritta al problema, se ti interessa guardati bene la definizione di limite, vedrai che approfondendo l'argomento alla fine i conti ti torneranno.
Lo avranno già detto, ma un altra dimostrazione parziale, può essere semplicemente trasformare 0.9 periodico in frazione, seguendo le semplici regole della trasformazione risulta 9/9 = 1 ! Inoltre, avendo studiato un po' di analisi numerica (basta analisi 1) mi pare di ricordare che questi casi, vengono approfonditi e chiariti del tutto poi con le frontiere dei numeri....(infatti citi le serie che fanno parte di analisi)... Bellissimo video comunque
Bel video !! Complimenti ad entrambi. Ci sarebbe anche un altro motivo per cui 0,(9)=1 per definizione proprio e deriva dal fatto che R=I unione Q. I (irrazionali) è insieme di accumulazione di Q (razionali), e viceversa Q è insieme di accumulazione per I. Quindi presi due elementi di Q (sarebbero nel caso 0,(9) che è un periodico e 1 che è un intero, quindi incluso in Q) devono esistere infiniti elementi di I, ma come ha ben dimostrato questo non è vero. Quindi proprio per salvare "l'indispensabile" questione che R=I unione Q (fondamentale nella definizione stessa di R) si pone proprio per definizione 0,(9)=1 e tutti periodici di periodo 9 pari al razionale q immediatamente superiore. E questo la dice lunga sul fatto che R e gli infinitesimi (e gli infiniti) sono estremamente contro-intuitivi... e ricchi di contraddizioni, ad esempio Sara potrebbe obiettare, "perché Sn-Sn(0,1)=1-(0,1)^(n+1) e non ignoro "(0,1)^(n+1)" e poi dico alla fine che (0,1)^(n+1) va a Zero e lo ignoro, se lo ignoravo prima perché poi non lo ignoro"... Ovviamente la risposta è nel concetto di proiezione al limite che viene applicato in quel momento e non prima, ma è un cane che si morde un po' la coda...
@@ilmionomenonloso il punto é che la dimostrazione di quell'uguaglianza poggia sul concetto di serie numerica che a sua volta si poggia su quello di limite che a sua volta (scendendo giù nello stack delle dipendenze) finisce nell'assioma di completezza dei reali che ci riconduce alla definizione di R come unione di I e Q
Ma z+k non fa 0,9996: partendo da (1,000 + 0,999) / 2 = 0,9995 se a questo aggiungo 0,001 (differenza fra 1,000 e 0,999) il totale fa 1,0005, quindi x+k resterà sempre inferiore a z+k.
0,9 periodico è SEMPRE diverso da 1. Nella fattispece 0,9 periodico è inferiore a 1. Puoi aggiungere tutti i 9 che ti pare ma non raggiungerai mai 1 perchè ti mancherà sempre un inezia per arrivarci. Una inezia tanto più piccola quanti più 9 aggiungerai fino a che ti mancherà un solo infinitesimo. Infinitesimo sempre più piccolo quanti più 9 aggiungerai, ma ti mancherà comunque. Tutto questo sempre che l'infinito esista perché infinito è una figura teorica. Ad oggi non ci sono prove tangibili che l'universo sia infinito, quindi può non esserci spazio sufficente per aggiungere i 9. SOLAMENTE nella pratica 0,9 periodico può essere inteso uguale a 1. Ci si può fare tutti i ragionamenti che si vuole, scrivere alla lavagna tutte le operazioni matematiche che si vuole, ma ciò che ho detto è incontrovertibile: mai 0,9 periodico raggiungerà 1. (in teoria...).
Grazie per il commento e per la passione. Quello che scrivi, semplicemente, nega la nozione di periodicità, in quanto la nozione di periodicità richiede la nozione di infinito. Nessun numero con un numero finito di decimali è periodico. In tal senso, se rifletti attentamente, il tuo contro argomento non si applica, poiché nega la definizione stessa di "0,9 periodico".
@@autoricerca Ti sei arrampicato sugli specchi. Comunque non hai colpa te. Ho colpa io che ho perso tempo a starti a sentire e a rispondere pure ai tuoi vaneggiamenti.
tutto molto bello, però al minuto 11:00 secondo il ragionamento della ragazza la somma la x+k sarebbe dovuta essere 0,999...1 e non 1. di conseguenza poi la sua teoria rimarrebbe ancora in piedi in quanto 0,999...1 < 0,999...6
Nel mondo della matematica non ci sono quei vincoli temporali che si applicano al mondo materiale. Anche una sequenza infinita di operazioni può avvenire in un baleno!
La differenza è esattamente 0, non c'è quindi bisogno di rappresentarla come limite di una funzione. Quello che invece possiamo rappresentare come limite di qualcosa è 0,9999... , come spiego al minuto 16:25.
Buongiorno. A questo punto anche un qualsiasi naturale può scriversi seguendo quella notazione (per es. 3 =2, 9 periodico) Anzi ricercando sul web ho appreso che qualsiasi razionale non zero a decimali finiti si può scrivere a periodo 9. Comunque avendo saputo che 1=0, 9 periodico ho avuto un trauma, non me lo aspettavo. Grazie della conoscenza
E di più, questo concetto vale in qualsiasi base. In base 8, ad esempio, 0.7 periodico è uguale ad 1, ed ogni numero a decimali finiti può essere scritto aggiungendo il periodo 7. Quindi è una proprietà estrinseca dal sistema di rappresentazione decimale
Complimenti per il video. Un problema nel capire questo paradosso a mio avviso potrebbe essere la differenza che si viene a creare tra il significato del numero periodico utilizzato nella cifra 9 rispetto a quando viene usato nelle altre. Mentre nelle cifre diverse da 9 (quindi 1,2,3,4,5,6,7,8) il trattino indica il ripetersi di quella cifra all'infinito e basta, nel 9 quel trattino si carica di un significato ulteriore; indica il ripetersi della cifra 9 all'infinito MA ANCHE il limite di quel numero che tende ad un altro numero (cfr. 0.99.... che tende a 1, e come si è dimostrato sono lo stesso numero scritto in modi differenti). Per evitare questa confusione e sottolineare questa differenza, secondo me sarebbe opportuno usare un simbolo diverso nel caso del periodico utilizzato nel 9. Ad esempio potrebbe essere un trattino tagliato o un trattino ondulato. Ha senso quello che dico?
Non sono insegnante ma comunque da laureato in ingegneria qualcosa l’ho imparato ahah non credo abbia senso purtroppo, perché mentre quando si parla di limiti si dice “per limite che tende a”, cioè siamo infinitamente vicini a quel numero ma non lo “tocchiamo” mai, in questo caso sono proprio lo stesso numero identico. Se invece fossimo infinitamente vicini, si potrebbe comunque trovare un infinitesimo tra i numeri. In questo caso tra 0.9 periodico e 1 non c’è alcun numero in mezzo, per cui non possono per forza essere due numeri diversi e sono per forza lo stesso numero. Alla fine è tutto relegato al concetto di infinito, essendoci infiniti 9 dopo la virgola ed essendo infinito un concetto più che un numero, quando scriviamo un numero periodico inseriamo questo concetto che non crea mai problemi di carattere matematico se non in questo caso particolare. Per cui andrebbe inserita una notazione particolare solo per X.9 periodico per esprimere il concetto di infinito , mentre in realtà il concetto di infinito è presente in qualsiasi altro numero periodico ma non essendoci il “problema dell’unità” il problema non si pone mai. Sono concetto più logici/filosofici che matematici alla fine
Rappresentando i numeri reali con un'espansione decimale infinita, si tratta unicamente di usare la convenzione che non si scrivono dei numeri che a un certo punto hanno un'infinità di numeri 9 che continua verso destra, perché se lo facciamo, certi numeri verranno rappresentati due volte. Ad esempio, 4,45999... è lo stesso numero di 4,46, quindi si evita di scrivere 4,45999... In tal senso, non è necessario introdurre "simboli differenti", ma unicamente accordarsi sulla convenzione di scrittura da utilizzare.
Nell'algoritmo della somma, dopo aver incolonnati i numeri, si procede dalla colonna all'estrema destra, colonna quest'ultima, che sommando 1 a 0,1 a 0,01 e così via, si sposta sempre più a destra rendendo impossibile la tua somma. I numeri 9periodici sono pertanto un'invenzione, anzi il continuo numerico è un'invenzione per giunta inutile. Cercate la mia matematica senza zero e/o la mia Teoria del Discreto.
grande professore, spieghi benissimo. Sarebbe molto bello altri video su concetti matematici "inusuali" come i numeri transfiniti, quarta dimensione ecc. grazie
In order to compute 1-0,999..., you usually compute the limit of the sequence of the differences (10-9)/10 = 0,1; (10-9)/100 = 0,01; and so on. That limit is indeed 0 but ought we to equate the limit of the sequence generated by partial results of an infinite operation with the result of the infinite operation? Recall Hilbert's paradox of the infinite operation involving two bags, one of them initially containing all natural numbers and the other initially empty; in the first move you pass the first ten naturals from the first to the second bag and then draw the first natural from the second bag and throw it away, so that nine numbers stay in the second bag; in the n-th move you pass the n-th ten naturals from the first to the second bag and throw away the n-th natural, etc. This generates the following sequence of partial results (i.e. of numbers of naturals remaining in the second bag): 9, 18, 27,..., 3 elevated to the n-th, ..., which tends to infinity. However, the result of the infinite operation is 0.
I understand your observation. But we have here to think to a number like 0,999... as an infinite decimal representation of a real number, then answer the following question: what real number does 0,999... represent? And this number is 1.
Ma 0,99999 periodico é + grande (NON + piccolo come dici) del numero proposto dalla signora che é 0,99999.....5 perché ultima cifra 5 è minore di 9 mentre la condizione che ponevi diceva che doveva essere maggiore😮
@@autoricerca Sì ma qualunque risposta tu dia a sto dubbio stà il fatto che ciò che *ipotizzerai* essere *ultima* in X sarà ultima *anche* in Z.... Matematici rispondono: ma *ultima* non c'è (es le Stanze dell'Albergo OO di Hilbert). Invece la soluzione è questa: i Numeri in verità sono FINITI (non infiniti come si credon i matematici da Leibniz a Cantor)... perchè OO non é un Numero quantitativo... OO ce ne è uno solo (Cantor ha fatto cilecca) ed è QUALITATIVO cioè NON QUANTITATIVO. Ai Matematici però questo non é dato di vederlo: son ancor lì col Paradosso di Russell che "sembra" dire che é Indecidibile se OO è o non è un Numero. Ciao e cmq grazie x avermi dato uno spunto x meditare.
La matematica è un dominio di realtà astratto, dove è possibile parlare di entità infinite, se lo si fa con l'attenzione necessaria. Possiamo ad esempio sicuramente immaginare un insieme che contiene un'infinità di entità astratta, e paragonare le cardinalità di diversi insiemi infiniti... Un'affermazione del tipo "I numero sono finiti" non ha molto senso. Se avesse senso, prendendo il caso semplice dei numeri naturali, dovresti poter dire quanti sono, cosa che non puoi fare... Un saluto.@@pierpier7806
Forse il problema della comprensione di questa uguaglianza è la difficoltà che una persona può avere a concepire nella propria mente il concetto di infinito.
Secondo me il succo sta tutto nelle parole iniziali del prof. cioè che si tratta (solo) di due modi diversi di scrivere lo stesso numero ed è questo che la dimostrazione dimostra, posto di voler preservare la coerenza logica delle regole per le operazioni, eguaglianza e diseguaglianza tra numeri, mentre non ha senso logico aggiungere un numero finale a una serie per definizione infinita (ho sentito qualcuno spiegare che infinito non è un numero, ma un limite...). Approfitto per dire che a me la dimostrazione diagonale di Cantor ha sempre lasciato un po' freddino nel senso che parte da una ipotesi già di per sé, a priori, palesemente assurda ossia di poter avere (o costruire) un elenco di tutti i numeri irrazionali. Naturalmente con questo non mi sogno nemmeno lontanamente di porre in dubbio la validità, rigore logico e persino genialità che a quella dimostrazione vengono unanimemente riconosciuti dagli esperti.
Buonasera, e grazie per suoi sempre arcani, ma interessantissimi video. Ho capito che è giusto quanto incontestabile che 1= 0,9periodico ( se si dice così...) credo che la chiave stia nell'INFINITO delle cifre dopo la virgola. Ma allora possiamo anche dire che 1+0,9periodico=2 x es.? Grazie!!!
Video eccellente ed entrambi simpatici. Leggendo i commenti direi che il format è piaciuto! Questa appare come una variante del paradosso di Zenone di Achille e la tartaruga
La mia conoscenza matematica è proprio basica. Forse per questo qualche anno fa la mia intuizione è stata molto più semplice e che a me è sembrata una meraviglia mentre per te è forse quasi una banalità. Mi sono resa conto che l'intervallo tra 0 e 1 può essere frazionato in parti sempre più piccole semplicemente aggiungendo uno 0 dopo la virgola e che quindi tra 0 e 1 c'è un infinito. Quindi è come dire che lo "scatto" tra 0 e 1 non avviene veramente mai. 1 incomincerebbe, quindi, ad esistere solo nel momento in cui un osservatore gli desse una misura: un metro, un albero, un giorno, una biglia... Per qualche ragione questa piccola, forse banale intuizione, ha per un profondo legame con la Creazione: Nulla, Uno, Divenire, Coscienza...
Si potrebbe sostenere esattamente l'incontrario: il passaggio tra lo 0 e l'1 è possibile, proprio perché è l'intervallo tra lo 0 e l'1 è densamente abitato da un'infinità (non numerabile) di numeri, cioè, non esiste "buco", per quanto infinitesimo, dove mancherebbe un numero.
Similmente alla ultima spiegazione si poteva passare da come si scrive un numero periodico, che è SEMPRE un numero razionale, e si può scrivere dalla nota regola: numero senza la virgola (9) , togliere quello che precede il periodo (0) e dividerlo per tanti '9' per quante sono le cifre del periodo. Si ottiene 9/9 e quindi 1. Non riporto qui la dimostrazione della regola, ma Internet è pieno ;-)
Per convincere chi non è abituato forse si può abbandonare per un attimo la matematica, fare un discorso ingegneristico: numero come misura, e ritornare subito alla matematica.
@Theycallmegigio ciao, questa discussione, organizzata e, in parte, anche improvvisata, mi ha ricordato di quando ho visto questo stesso fatto oggetto di discussione, al primo anno di Fisica in Unimi, al corso di Analisi 1. In particolare viene spiegata la rappresentazione decimale dei numeri reali e dimostrato in modo euristico che bisogna decidere che è sostanzialmente impossibile avere un periodo del tipo .999999..., assumendo di usare l'algoritmo delle divisioni successive In particolare abbiamo usato che se x=0.999... allora si arriva a x=1. I matematici nel video giocano un bel gioco di ruolo, con la dottoressa che si finge convinta di un fatto non vero, ma argomentando efficacemente e vengono fuori improvvisazioni e ragionamenti genuini, che si sviluppano in un modo interessante nelle botte e risposta :) Non so cosa studi, ma a noi fisici e matematici le discussioni sulle nostre materie piacciono molto, per stimolare a vicenda la nostra curiosità!
Se ci si msntiene su un piano puramente teorico matematico 0, 9999...periodico è ugiale a 1, per convenzione, ma su un piano fisico reale 0,9periodico non sara mai uguale a 1, per via del limite di Plank, ad un certo punto i decimali della frażione devono fermarsi su una misura quantica discreta minima di spazio indivisibile.
L'unico appunto è che 1,0000000..... non ha ragion di essere scritto, se tutto quello che si ha dopo la VIRGOLA son degli zeri o se dopo l'ultima cifra differente dallo ZERO dopo la virgola poi è seguita da soli zeri. 😊
generalizzando l'uguaglianza è possibile affermare che tutti i periodici che hanno 9 come sola cifra periodica sono immediatamente rapresentabili con la cifra precedente il 9 successiva?
Penso che il procedimento illustrato al minuto 15:09 possa essere tranquillamente definito "dimostrazione". Poi, certamente, ogni dimostrazione poggia su degli assunti. A quale convenzione fai riferimento, più nello specifico, che interverrebbe nella dimostrazione che ho fornito?
@@autoricerca è una dimostrazione corretta utilizzando gli strumenti messi a disposizione dalla matematica composta quindi di assunti ,leggi eccetera... Il che ovviamente non significa che ciò che è scritto sia reale, ma è una descrizione approssimata per infinito alla realtà a, una sorta di dimostrazione statistica
@@5il11 Non è molto chiaro quello che scrivi. Hai affermato che quella che ho indicato "non è una dimostrazione matematica" (parole tue). Ora invece scrivi che "è una dimostrazione corretta utilizzando gli strumenti messi a disposizione dalla matematica"... sembra tu non sia d'accordo con te stesso/a 😂
@@autoricerca comunque forse io Non saprò spiegare, ma sicuramente lei non è abbastanza intelligente da capire quello che io ho scritto. La risata è superflua e di cattivo gusto inoltre denota una sua supponenza. Se lei usa delle approssimazioni per dimostrare qualcosa che non si può dimostrare se non approssimando è ovvio che è una dimostrazione di comodo.
Ma nella dimostrazione 3x1/3 se dovessimo rappresentare 1/3 come percentuale avremmo il 33,3.....% che moltiplicato per 3 non da il 100%. La semplificazione delle dimostrazioni serve ad ingannare la percezione che un numero con infiniti decimali sia un numero finito, ma così non è.
Errore: l'infinito non può essere trattato una volta come infinito e un'altra come finito a piacimento, quando dice "il risultato di questa somma infinita", perché non è possibile rendere finita una somma infinita.
@@autoricerca converge all'infinito? Quindi non converge mai. Anche quando dite 0.9999...9 + 0.0000...1 = 1, è sbagliato, perché all'infinito non si arriva mai e quindi non c'è un "la in fondo" dove finalmente convergono. È solo un modo approssimativo per terminare l'infinito, che per definizione non può finire. Quindi lo 0.9999... resterà sempre 0.9999. 😃
@@ptjmwjpag Che "0.9999...9 + 0.0000...1 = 1", è sbagliato è proprio quello che spiego nel video. Per la nozione di serie convergente, ti rimando a: it.wikipedia.org/wiki/Serie_convergente
@@ptjmwjpag è sbagliata la tua definizione "converge all'infinito" Non converge all'infinito. Ma bensì "0,99999 .... all'infinito converge ad 1". Poi sul fatto di dire affermare in maniera semplificata 1 = 0,9999 ....... Io non sono d'accordo, perché senza un minimo di nozioni sui limiti questa affermazione porta l'utente comune a pensare che 1 e 0,999... dopo un consistente numero di 9 siano uguali ma così non è.
@@certosino2267 0.99999...peridico converge verso 1, ma non sarà mai 1, perché l'infinito non finisce, altrimenti non si chiamerebbe infinito, ma finito. Quindi, qualsiasi formulazione che pretende di trovare l'uguaglianza tra 1 e 0.9 periodico, è solo una approssimazione, poiché 1 rappresenta il finito, mentre 0.9 periodico l'infinito, a meno che non si voglia sostenere che il finito in realtà non è finito, ma infinito pure esso (dato il simbolo di =), il che osservando la natura, non sarebbe sbagliato dire che nessun ente è realmente un ente finito e che il finito non esiste, e che i numeri interi sono essi stessi delle approssimazioni.
Quel numero 1 come lo giustifichi? Sara fa tutte le divisioni finite, che danno la successione 0,95, 0,995, 0,9995, 0,99995, ecc. Non appare quel numero 1 che indichi tu.
Mi spiace, ma 0,1 elevato all'infinito, tende a O, non sarà mai 0. La sua discente ha accettato la sua affermazione, ed ha gettato le armi!!! Anche 1/3 = 033.... moltiplicando entrambi i membri per 3, farà 1= 0,33....X3; ma 1 è diverso da 0,99... Grazie, ma non indica la sua discente-amica al accettate il suo "sofisma'. Con apprezzamento e stima alla sua preparazione matematica.
Un video in rete di mCoding sostiene che tutte le prove algebriche siano fallaci. Io concordo. Unica cosa certa è che il limite delle somme 9/10 + 9/100 etc va a 1
Su questo, nutro pochi dubbi! La realtà è Una! Lo diceva lo stesso Poincaré, ricordando che il vero problema non è quello di sapere "se è una", perché è autoevidente che lo sia, ma "come è una".
Molti hanno commentato che x + k dovrebbe fare 0,999....1 e non 1. D'altra parte, la domanda da farsi è la seguente: Come distinguere 0,999... da 0,999...9? Perché attaccare un 9 finale a una sequenza infinita di 9 non dovrebbe cambiare nulla, quindi, se 0,999... è uguale a 0,999...9, si dovrebbe anche poter dedurre che 0,999... + 0,000...1 = 0,999...9 + 0,000...1 = 1.
Infatti lo è, ossia 0,999...periódico = 1, ovvero 0,000......1 + 0,9999......9 = *1* !! La logica è lógica 💪🤙
Coloro che dicono che faccia 0,999........1 non capiscono nulla di matematica e non sanno addizionare! Tra l'altro lo 0,9999.....prtiodico si differenzia dallo 0,9999 poiché quest'ultimo è un DECIMALE FINITO.... a differenza dell'altro che è un decimale periódico infinito!!
premetto non sono un professore, ma z + k non fa 0,999...6 ma bensì 1,000...5, difatti secondo la media ponderata z è a metà dell'unità k che separa x e y, quindi si può definire z come x + k/2, la somma z + k come x + k/2 + k, ma come visto x + k da come risultato y quindi z + k = y + K/2 dove k/2 è 0,000...5 che è la metà di 0,000...1 (k). formula ambigua in quanto si dovrebbe sottolineare che l'1 si trova nei "decimali" se si prende il 5 come punto di riferimento. si potrebbe scrivere in questo modo: 0,(n,0)1 come k, dove (n,0) indica n zeri con n infinito; 0,(n+1,0)5 come k/2 e 1,(n+1,0)5 come z + k. questa è comunque una forzatura o misuso di notazione in quanto n+1 sarebbe infinito+ 1 che è uguale a infinito (inoltre son sicuro che una scrittura del genere generebbe non pochi problemi).
pertanto si, 0,9 periodico è uguale a 1 anche perchè k lo si può scrivere come 1/infinito che da 0; pertanto y=x, altrimenti si dovrebbe dimostrare che n/ infinito con n numero naturale, (intero, positivo), è diverso da 0.
In realtà quello che dice la signora non è insensato, solo sta parlando di un altro sistema numerico, non di numeri reali. In un opportuno campo ordinato non archimedeo effettivamente i numeri si potrebbero rappresentare con allineamenti decimali indicizzati su ordinali numerabili; allora dopo gli indici naturali 0,1,2,3,.. si può ricominciare con le cifre di posto omega,omega+1,..,2omega,..
Hai ragione, ma ovviamente qui la discussione tra me e Sara era limitata al campo dei reali, che è un campo archimedeo. Grazie del commento. @@pierineri
Assurdo. Non tanto l uguaglianza, quanto aver visto un uomo convincere una donna di avere ragione
😂 Il simbolo di una nuova alleanza tra Femminile e Maschile! 🙂
Infatti, non può essere vera la dimostrazione 😂
@@SimoneVenturin la dimostrazione per assurdo per eccellenza
🤣😂🤣😂🤣😂
😂😂😂😂
che bomba questo video!originale ,simpatico,coinvolgente,grande fantasia,e vado matto
per argomenti didattici!
Grazie, sei molto gentile.
Finalmente qualcuno che spiega la vera e propria dimostrazione. Molti la liquidano in fretta dicendo che sono concetti complicati (ed in fondo è vero), ma tu hai mostrato che si può spiegare anche con semplicità
Ciao Francesco, grazie per l'apprezzamento.
Non è vero che 0,9999 è uguale a 1,0000 (vedi risposta che ho dato io).
@@promanato mi dispiace, maa matematica non è un opinione. 0.9 periodico è uguale a 1. Non c'è alcuna indecisione o indeterminazione a riguardo.
@@francescobondini3051 Non sono d'accordo (e avevo 9 in matematica), 1 è 1 e 0,9 periodico è 0,9 periodico, quindi mancherà sempre uno 0,0000....1 per fare 1.
@@promanato il fatto che tu abbia avuto 9 in matematica non conta nulla mi spiace. Se vuoi ti posso dare un altro modo per vedere questa cosa, non è la dimostrazione rigorosa (quella è stata fatta nel video) ma è un buon modo per capirlo.
Se prendo 1 e 0.9 qual'è la differenza? 0.1 (che possiamo scrivere come 10^(-1) )
Invece 1-0.99 = 0.01 = 10^(-2)
1-0.999 = 0.001 = 10^(-3)
Siccome 0.9 periodico ha per definizione infiniti 9 dopo la virgola, la differenza tra 1 e 0.9 periodico corrisponde al limite per x che tende a infinito di 10^(-x). Se non ti ricordi cosa sono i limiti puoi tranquillamente guardare online anche semplicemente il grafico della funzione 10^(-x), vedrai che per X che tende ad infinito tende a 0. Dunque la differenza tra 1 e 0.9 periodico (siccome è esattamente il valore di quel limite) è esattamente 0. Quindi 1 è esattamente uguale a 0.9 periodico.
Se non hai familiarità con i limiti magari può sembrarti poco intuitivo come ragionamento, sembra quasi che io stia dicendo che il valore a cui TENDE qualcosa è l'ESATTO valore di un altra, infatti non è rigorosa come dimostrazione, ma ti fa capire cosa succede.
La dimostrazione che preferisco di più è la densità di R
Per chi non lo sapesse:
Un insieme si definisce denso quando, dati due valor x,y appartenenti ad R, x
@Theycallmegigio più che densità, è la potenza. La potenza del continuo. E si dà come assioma in alcune introduzioni all'analisi.
R a differenza di Q è un insieme completo
Le faccio i più vivi complimenti. Oltre ad essermi divertito ho anche imparato qualcosa di nuovo :)
Sono molto contento di aver scoperto questo suo canale, e sicuramente continuerò a seguirla. Ho molto apprezzato
Molto gentile. Grazie per l'apprezzamento.
l'ultimo metodo era la prima volta che lo vedevo. Grazie mille!
Grazie a te Alessandro, per l'ascolto.
Complimenti per la valenza didattica di questo e degli altri video del Suo canale (da un ex- docente di Scienze Matematiche).
Grazie Giovanni, detto da un (ex) docente ha ancora più valore.
Video molto interessante! Adoro questi contenuti di qualità
Sei molto gentile Paolo, ti ringrazio.
Bella interlocutrice!😍❤
Mi hai fatto tornare con la memoria ai bei tempi dell'università (Facoltà di Fisica)... complimenti per il video
Grazie per l'apprezzamento Fabio.
Tutto questo è vero e sacrosanto nei numeri Reali, la cui rappresentazione decimale è una successione di cifre con indice naturale. Se passiamo agli IperReali, che possiamo pensare (ma non è l'unico modo) come numeri che hanno parte decimale rappresentata da una successione di cifre con indice ordinale che può anche avere valori transfiniti, invece diventa vero che 0.(9) (dove la periodicità è solo sulle cifre di indice naturale) è diverso da 1. Ritorna vero se prendiamo 0.[9] con periodicità anche sulle cifre di indice trasnfinito.
Comunque bel video.
Grazie per l'apprezzamento.
Video gradevolissimo. Brava Sara (d'altronde è sarda :-) Molto carina la parte da lei recitata con una naturalezza disarmante.
Sara è stata bravissima, sono d'accordo!
Bravissimi! Scorrevole e didattico!
Grazie, molto gentile.
domanda da principiante: perché all'inizio del video non scrivete 1,0 periodico o 0,9 periodico invece dei 0000 o 9999 puntini? Grazie
Il mio unico appunto è la notazione 0.999... ovvero col 9 ripetuto infinite volte che appare artificiosa. Se uno ragiona con 1/3 e 2/3 il problema non si pone. Oppure se 1 è il limite di una serie è anch'esso comprensibile. Ma scritto 1=0.9999 è fuorviante
L'ho scoperto proprio qualche mese fà, negare che quei numeri sono uguali significa ammettere che lungo la retta reale, esistono dei numeri di cui si conosce esattamente il suo successivo
Oggi ad analisi il professore ha spiegato la stessa cosa, però adesso l'ho capita meglio. Grazie.
Grazie a te.
Molto carino.
Sia l'argomento che la maniera di presentarlo.😊
Grazie per l'apprezzamento.
Greetings From Curaçao an Island Nation in The Caribbean.
Saluti da Curaçao, una nazione insulare dei Caraibi.
Hello there!
Massimiliano mi puoi spiegare come fa un punto, che per definizione ha zero dimensioni, a formare un segmento che ha una dimensione ?? Detto in altre parole, è proprio vero che in un segmento ci sono infiniti punti ?? 🤔
Sembra tu sia perfettamente in chiaro su cosa sia quell'entità zero-dimensionale che chiami "punto". Come si definisce in modo rigoroso tale entità? Porsi questa domanda, e provare a rispondere, corrisponde a chiedersi, in sostanza, come si costruiscono i numeri reali e la loro relazione con la rappresentazione geometrica di una retta. Un vasto soggetto.
L'uguaglianza si capisce anche in un secondo con le frazioni: 1/3+2/3=1 --> 0.3 periodico+0.6 periodico=0.9 periodico= 1. Bel video, complimenti.
È sicuramente un procedimento alternativo alla mia prima dimostrazione. Grazie per l'apprezzamento.
Sono rimasto incollato per 20 minuti allo schermo anche se sapevo già la dimostrazione! Video molto ben fatto
Molto gentile, grazie per l'apprezzamento.
Buongiorno professore, Sara... argomento difficile ma trattato in modo appassionante e diverso dal solito nozionismo.. bravi ad entrambi e mi piacerebbe altre trattazioni del genere! Grazie
Grazie, Gianluca! 🙂 Mi fa piacere che abbia trovato interessante il tema e le nostre "schermaglie argomentative"! Chissà, potrei decidere di perturbare qualche altra dimostrazione del professore nel prossimo futuro! 😉
Video davvero ben fatto, ricordo il prof di analisi 1 che ci presentò la stessa dimostrazione alla nostra richiesta di un' "applicazione" della serie geometrica, carino anche il modo di presentarlo
Grazie per l'apprezzamento.
Bel video. Grazie per la condivisione!
Grazie a te Nicolò.
Complimenti! Bravissimi
Gradevolissimo video!
Ti ringrazio per l'apprezzamento.
Assioma di Dedekind o successioni di Cauchy con la proprietà di Archimede a voi la scelta. È come dire 1/2 è uguale a 2:4 stessa cosa per 0.999… e 1 fanno parte della stessa classe di equivalenza. Non bisogna confondere i numeri reali con la loro rappresentazione decimale. Video simpatico.
Grazie per l'apprezzamento.
Buongiorno, proverei con un ulteriore ragionamento a dimostrare che la differenza 1,000... - 0,999...= 0,000... Se le espansioni decimali di minuendo e sottraendo fossero composte da N cifre il risultato della sottrazione avrebbe fino alla posizione (N-1)-esima degli zeri ed in posizione N-esima un 1. Purtroppo :-) in una espansione decimale infinita la posizione (N-1)-esima è da pensarsi in estensione continua verso l'infinito quindi non potrà mai essere presente l'1 della posizione N-esima, al suo posto ci sarà sempre uno zero. Istintivamente, si pensa infatti presente l' 1 nella ultima posizione con infiniti zeri prima perché inconsciamente si associa una espansione decimale infinita con una di un grandissimo numero di cifre. Cioè inconsciamente viene fermata la posizione (N-1) esima. Chiaramente a questo punto stiamo pensando ad una espansione decimale finita non infinita. Quindi in una espansione decimale infinita di minuendo e sottraendo non potrà esistere l'1 che chiude il risultato della sottrazione.
Sì, è un modo possibile di ragionare, che nel video esprimo anch'io sinteticamente al minuto 2:28.
Ma anche1, 1/n con n che tende a +infinito e' = a 1?, grazie professore
È indubbio che il limite di 1/n con n che tende all'infinito sia uguale a 1.
Interessantissimo...!
Gentilissimo...!
si può anche fare: 0,9 (con 9 periodico) è trasformato in frazione: 9 fratto 9 (9/9) che danno come risultato "1" . giusto?
Appunto, è una banalità. Non mi spiego come sia possibile spendere 19 minuti per un argomento del genere, a scuola insegnavano che è importante anche il dono della sintesi! Poi io sono il primo ad apprezzare i video lunghi se approfondiscono argomenti complessi ma la durata deve essere appunto giustificata, non un allungamento inutile del brodo.
@@mars4everse qualcuno ti obbliga a guardare questi video, fai un segnale: manderemo qualcuno ad aiutarti.
11:40. We have that x = 0,999...; y = 1,000...; z = 0,999...5; k = 0,000...1. Then x + k = 0,999...1, not 1, since the 1 in k meets no 9 from x to yield 10. Now, 0,999...1 is strictly less than z + k = 0,999...5 + 0,000...1 = 0,999...6. Where's the problem? Of course, 1 = 0,999...in the reals but what if we take those numbers with transfinite decimal positions to be non-real and we admit to be operating in such non-real numbers? In the non-reals, 1 =/= 0,999... and there seems to be no contradiction.
One can of course always try to expand the real adding new numbers, taking care then that all remain consistent. So, you are willing to accept a notation where the number 0,999... is different than 0,999...9, which is a little weird, don't you think so?
Una vera attrice 😊
Sara è in effetti davvero molto brava! Grazie per l'apprezzamento.
A me l'avevano spiegata come al minuto 14:00, il mio coinquilino era matematico e mentre camminavamo gli espressi questo dubbio, e lui mi chiese: quanto fa 1/3? - al che ho risposto 0,333(periodico); quindi lui mi ha chiesto di rimoltiplicare 0,333(periodico) per 3, ed ho risposto che il risultato era 0,999(periodico) ... quindi avevo diviso e moltiplicato per 3 ottenendo numeri diversi!?!
P.S. se vogliamo andare di logica però, non si dovrebbe dire "cosa fa x+y?" bensì "quanto fa x+y?". Parliamo di quantità, non di cose fatte :) - in un altro contesto non lo avrei sottolineato ma parla di matematica = logica. Ho anche sentito sbagliare persone (in Lombardia, non so voi di dove siete) dicendo "cosa costa un caffè?" invece di "quanto costa un caffè?" Alla prima domanda direi: costa soldi :) alla seconda il prezzo.
Comunque grazie per avermi risvegliato ricordi assopiti di matematica :)
Grazie per l'interessante commento. Quello che scrivi è indubbiamente corretto, ma limitatamente a quando consideriamo i numeri come quantificatori. Ma i numeri possono essere intesi anche come enti astratti, a prescindere dal loro utilizzo come quantificatori. Quel "cosa fa x+y?" sarebbe allora da intendere nel senso di "a quale numero corrisponde x+y?".
@@autoricerca grazie per la risposta. Anche se non vogliamo intendere i risultati come quantità (anche se come misure di qualcosa, lo sono, e sono sempre maggiori o minori di altri numeri ecc., come una quantità appunto), credo che sappiamo "cosa" siano quindi chiedere "che cosa" fa mi appare ancora errato. Credo siano influenze dialettali comunque, buona giornata e grazie per la ancora per la condivisione del sapere in modo così divertente.
@@umegghju Hai sicuramente ragione tu, sulle influenze dialettali. Un saluto.
In effetti ci si può dibattere. Interessantemente il numero come qualcosa che serve per contare, per misurare, era proprio dei greci. Non a caso il teorema di Pitagora enunciato come "l'area dei quadrati costruiti su etc. Etc." é la formulazione antica. Per loro x^2 +y^2=z^2 non aveva senso, in quanto fare il quadrato di una lunghezza, non aveva senso. Potevi dire "misuro l'area di quel quadrato costruito sull'ipotenusa". Spesso infatti non si comprende perché la scoperta di radice di 2 fu così strana per Pitagora, perché rimase distrutto dal suo stesso teorema. Perché per loro i numeri erano sostanzialmente rapporti fra grandezze (cioè misure, perché dire che una cosa ha area 3, vuole dire che ha area 3 volta qualcosa di riferimento), e per loro era inccocepibile che da costruzioni geometriche uscissa fuori qualcosa che non era un rapporto, che quindi "non era un numero" per loro.
Questo nei greci, grazie a dio adesso le cose sono cambiate. Cioè vero che un nuwmro può essere associato ad una quantità, cioè quanto fa x+y. Ma ha anche tutto il diritto ad essere un oggetto matematico a sé stante, come la miriade di oggetti che la matematica si inventa. Quindi anche "cosa fa x+y" ha senso.
@@mirkotorresani9615 ci penserò su. Ma per il piacere di discutere... la radice di due, una volta approssimata, è comunque un numero. Chiedendo "che cosa fa radice di due" ? Risposta: fa un numero. Però se vogliamo sapere "quale numero" diciamo "quanto fa?". E la quantità che possiamo solo approssimare è la quantità 1,4142...
per esempio potremmo misurarci del sale (ma solo approssimativamente, come del resto per TUTTE le misure: nessuno può pesare 1,000... grammi di sale, cioè assicurarci che dopo 3 milioni di cifre ci sia ancora zero).
Anche la radice di -1 è una quantità rappresentabile e non "immaginaria", se si immaginano i numeri in modo bidimensionale e non lineare, e la prova è il fatto che poi i numeri immaginari servono per vari campi della fisica, per descrivere fenomeni reali, anche se non possiamo propriamente pesarci il sale :)
Al minuto 10,50 credo ci sia un errore nel ragionamento, perché l'ultimo numero decimale dopo il 9 non sarà ancora 9 come proposto, infatti secondo il ragionamento l'orfanello dovrebbe essere zero perché si troverebbe dopo l'ultimo 9 del periodo (devono correre sempre di pari passo entrambi i numeri).
In sostanza il decimale 1 che si troverebbe dopo gli infiniti zeri sarà quindi in colonna sotto ad uno zero e non ad un 9;
Ignorando comunque ciò è come se lavorassimo con o piccoli ma a livello aritmetico, quindi con numeri discretizzati, mente dovremmo lavorare con numeri decimali infiniti.
In ogni caso l'assurdo credo sia pensare che dopo un'infinità di 9 oppure di zeri c'è qualcosa di diverso in fondo, entrando in contraddizione con la definizione di periodicità stessa, basta questa definizione come dimostrazione senza mettere in campo le serie o altri strumenti matematici, in altre parole la ragazza non può usare l'aritmetica per dimostrare che 0.9 periodico sia uguale o diverso ad 1 perché non si può sommare un infinitesimo con la semplice aritmetica; non esiste una frazione che generi l'infinitesimo dovresti dividere l'unità per infinito che porterebbe ad un altro assurdo. Spero sia utile il mio commento per chi non ha ancora compreso questo concetto.
I "puntini puntini" indicano qualcosa che "non finisce", che va, per l'appunto, all'infinito, quindi sì, non ci può essere nulla, in termini numerici, dopo quell'infinità di cifre.
Che bello questo canale! Aggiungo: se a=0.99999999......, allora 10a=9.99999999......... Sottraendo membro a membro 10a-a=9, da cui a=1. Ma a era 0.99999, quindi 0.99999=1. Non è un po piu semplice?
Grazie per l'apprezzamento. Se vai al minuto 13:00 ...
La differenza tra i due numeri è il limite di 10 elevato a -n per n tendente ad infinito, cioè 0.
Compare nella cifreria numerica miliardaria combinatoria evidenziata?
Commento davvero criptico.
bravi! chiari e piacevoli da ascoltare
Grazie, sei gentile.
Bel video, molto semplici e interessanti le dimostrazioni
Ti ringrazio per l'apprezzamento.
Scusate ma la ragazza era un’attrice o stava cercando di argomentare la sua tesi? Perché mi è sembrata convinta in ciò che diceva. Comunque bel video, grazie mille! (La domanda è seria e mi farebbe molto piacere una risposta seria allo stesso modo😉)
È una giornalista (che mi sta molto a ♥) che ha iniziato con me una discussione sul tema e alla quale ho chiesto se potessimo proseguire il dialogo davanti alle telecamere, per vedere se potesse nascere qualcosa di simpatico da offrire al pubblico. È vero che in passato ha recitato in teatro, ma in questo caso la discussione che hai visto era in buona parte reale, abbiamo giusto "ripetuto" alcune delle frasi della precedente conversazione quando abbiamo accesso la videocamera, perché gli ascoltatori potessero capire da quale suo dubbio fosse iniziata la "disputa"! 🙂 Poi l'interazione è stata anche troppo spontanea, tanto che mi sono dimenticato di aggiustare una delle due camere e dunque lei di tanto in tanto nel video "scompare"!
Grazie mille della risposta!
Complimenti, canale stupendo.
Sei molto gentile, grazie.
Per me 1=1 e non 1=0,999 ... La differenza fra i due è sempre più piccola ma non si azzera mai, anche se andiamo, per assurdo, all'infinito! Mi dispiace, resto con i piedi a terra: manca sempre "qualcosina" ... Comunque, complimenti per la chiarezza della lezione!
Grazie per l'apprezzamento. È importante non confondere un numero con la sua rappresentazione. 1,000... e 0,999... sono due rappresentazioni decimali dello stesso numero reale.
In realtà tutti i giorni ne hai l'evidenza. Ogni volta che dividi una pizza in 3 e ne dai 1/3 a ciascuno stai dicendo che 0,3 periodico per 3 fa 1... E non c'è nessuna briciola che avanza. Oppure dovresti ammettere che 3/3 non è 1.
0.999... ha infinite cifre, l'inghippo è li, la tua argomentazione è sensata, e va dritta al problema, se ti interessa guardati bene la definizione di limite, vedrai che approfondendo l'argomento alla fine i conti ti torneranno.
@@adrianosernagiotto4314 ... potrei ribattere, ad essere pignoli, che quell'infinitesimo mancante sia in più in uno dei tre pezzi di pizza!😄
@@francescosmerilli5384 ... grazie per il consiglio. Spero che i conti tornino
Lo avranno già detto, ma un altra dimostrazione parziale, può essere semplicemente trasformare 0.9 periodico in frazione, seguendo le semplici regole della trasformazione risulta 9/9 = 1 !
Inoltre, avendo studiato un po' di analisi numerica (basta analisi 1) mi pare di ricordare che questi casi, vengono approfonditi e chiariti del tutto poi con le frontiere dei numeri....(infatti citi le serie che fanno parte di analisi)... Bellissimo video comunque
Grazie mille per l'apprezzamento!
Bel video. 👍👍👍
Grazie! 👍👍👍
Bel video !! Complimenti ad entrambi.
Ci sarebbe anche un altro motivo per cui 0,(9)=1 per definizione proprio e deriva dal fatto che R=I unione Q.
I (irrazionali) è insieme di accumulazione di Q (razionali), e viceversa Q è insieme di accumulazione per I.
Quindi presi due elementi di Q (sarebbero nel caso 0,(9) che è un periodico e 1 che è un intero, quindi incluso in Q) devono esistere infiniti elementi di I, ma come ha ben dimostrato questo non è vero.
Quindi proprio per salvare "l'indispensabile" questione che R=I unione Q (fondamentale nella definizione stessa di R) si pone proprio per definizione 0,(9)=1 e tutti periodici di periodo 9 pari al razionale q immediatamente superiore.
E questo la dice lunga sul fatto che R e gli infinitesimi (e gli infiniti) sono estremamente contro-intuitivi... e ricchi di contraddizioni, ad esempio Sara potrebbe obiettare, "perché Sn-Sn(0,1)=1-(0,1)^(n+1) e non ignoro "(0,1)^(n+1)" e poi dico alla fine che (0,1)^(n+1) va a Zero e lo ignoro, se lo ignoravo prima perché poi non lo ignoro"...
Ovviamente la risposta è nel concetto di proiezione al limite che viene applicato in quel momento e non prima, ma è un cane che si morde un po' la coda...
Forse se gliela spiegavi tu l'avresti convinto entrambi.
@@mimmomimmo1333 assolutamente no.
Io ho solo da imparare
Quale sarebbe, però, il punto di porli uguali per definizione, quando si può dimostrare l'uguaglianza?
@@ilmionomenonloso il punto é che la dimostrazione di quell'uguaglianza poggia sul concetto di serie numerica che a sua volta si poggia su quello di limite che a sua volta (scendendo giù nello stack delle dipendenze) finisce nell'assioma di completezza dei reali che ci riconduce alla definizione di R come unione di I e Q
Ma z+k non fa 0,9996: partendo da (1,000 + 0,999) / 2 = 0,9995 se a questo aggiungo 0,001 (differenza fra 1,000 e 0,999) il totale fa 1,0005, quindi x+k resterà sempre inferiore a z+k.
Finché si ragiona con dei numeri finiti, non si presentano problemi e ovviamente 1 e 0,999 sono due numeri perfettamente distinti.
0,9 periodico è SEMPRE diverso da 1. Nella fattispece 0,9 periodico è inferiore a 1. Puoi aggiungere tutti i 9 che ti pare ma non raggiungerai mai 1 perchè ti mancherà sempre un inezia per arrivarci. Una inezia tanto più piccola quanti più 9 aggiungerai fino a che ti mancherà un solo infinitesimo. Infinitesimo sempre più piccolo quanti più 9 aggiungerai, ma ti mancherà comunque. Tutto questo sempre che l'infinito esista perché infinito è una figura teorica. Ad oggi non ci sono prove tangibili che l'universo sia infinito, quindi può non esserci spazio sufficente per aggiungere i 9. SOLAMENTE nella pratica 0,9 periodico può essere inteso uguale a 1. Ci si può fare tutti i ragionamenti che si vuole, scrivere alla lavagna tutte le operazioni matematiche che si vuole, ma ciò che ho detto è incontrovertibile: mai 0,9 periodico raggiungerà 1. (in teoria...).
Grazie per il commento e per la passione. Quello che scrivi, semplicemente, nega la nozione di periodicità, in quanto la nozione di periodicità richiede la nozione di infinito. Nessun numero con un numero finito di decimali è periodico. In tal senso, se rifletti attentamente, il tuo contro argomento non si applica, poiché nega la definizione stessa di "0,9 periodico".
@@autoricerca Ti sei arrampicato sugli specchi. Comunque non hai colpa te. Ho colpa io che ho perso tempo a starti a sentire e a rispondere pure ai tuoi vaneggiamenti.
Mi dispiace che hai perso tempo con i miei vaneggiamenti.
tutto molto bello, però al minuto 11:00 secondo il ragionamento della ragazza la somma la x+k sarebbe dovuta essere 0,999...1 e non 1.
di conseguenza poi la sua teoria rimarrebbe ancora in piedi in quanto 0,999...1 < 0,999...6
Sara aveva detto prima che 1-x=k, quindi x+k=1.
X e Y tendendo all'infinito comporterebbero un tempo infinito per poter calcolare il risultato
Nel mondo della matematica non ci sono quei vincoli temporali che si applicano al mondo materiale. Anche una sequenza infinita di operazioni può avvenire in un baleno!
Scriverei la differenza tra i due come lim n-->inf 1/n=0.
La differenza è esattamente 0, non c'è quindi bisogno di rappresentarla come limite di una funzione. Quello che invece possiamo rappresentare come limite di qualcosa è 0,9999... , come spiego al minuto 16:25.
Mi avete ricordato il "Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo" di Galileo 😁
😂
anche a me agahahahaha
Bravissimi
Grazissime!
Complimenti!
Buongiorno. A questo punto anche un qualsiasi naturale può scriversi seguendo quella notazione (per es. 3 =2, 9 periodico) Anzi ricercando sul web ho appreso che qualsiasi razionale non zero a decimali finiti si può scrivere a periodo 9. Comunque avendo saputo che 1=0, 9 periodico ho avuto un trauma, non me lo aspettavo. Grazie della conoscenza
Salve. Mi fa piacere che il video sia stato di interesse!
E di più, questo concetto vale in qualsiasi base. In base 8, ad esempio, 0.7 periodico è uguale ad 1, ed ogni numero a decimali finiti può essere scritto aggiungendo il periodo 7. Quindi è una proprietà estrinseca dal sistema di rappresentazione decimale
Bel siparietto, in effetti conoscevo solo la dimostrazione 1/3 x 3, è stato istruttivo.
Grazie dell'apprezzamento.
Complimenti per il video.
Un problema nel capire questo paradosso a mio avviso potrebbe essere la differenza che si viene a creare tra il significato del numero periodico utilizzato nella cifra 9 rispetto a quando viene usato nelle altre. Mentre nelle cifre diverse da 9 (quindi 1,2,3,4,5,6,7,8) il trattino indica il ripetersi di quella cifra all'infinito e basta, nel 9 quel trattino si carica di un significato ulteriore; indica il ripetersi della cifra 9 all'infinito MA ANCHE il limite di quel numero che tende ad un altro numero (cfr. 0.99.... che tende a 1, e come si è dimostrato sono lo stesso numero scritto in modi differenti). Per evitare questa confusione e sottolineare questa differenza, secondo me sarebbe opportuno usare un simbolo diverso nel caso del periodico utilizzato nel 9. Ad esempio potrebbe essere un trattino tagliato o un trattino ondulato. Ha senso quello che dico?
Non sono insegnante ma comunque da laureato in ingegneria qualcosa l’ho imparato ahah non credo abbia senso purtroppo, perché mentre quando si parla di limiti si dice “per limite che tende a”, cioè siamo infinitamente vicini a quel numero ma non lo “tocchiamo” mai, in questo caso sono proprio lo stesso numero identico. Se invece fossimo infinitamente vicini, si potrebbe comunque trovare un infinitesimo tra i numeri. In questo caso tra 0.9 periodico e 1 non c’è alcun numero in mezzo, per cui non possono per forza essere due numeri diversi e sono per forza lo stesso numero. Alla fine è tutto relegato al concetto di infinito, essendoci infiniti 9 dopo la virgola ed essendo infinito un concetto più che un numero, quando scriviamo un numero periodico inseriamo questo concetto che non crea mai problemi di carattere matematico se non in questo caso particolare. Per cui andrebbe inserita una notazione particolare solo per X.9 periodico per esprimere il concetto di infinito , mentre in realtà il concetto di infinito è presente in qualsiasi altro numero periodico ma non essendoci il “problema dell’unità” il problema non si pone mai. Sono concetto più logici/filosofici che matematici alla fine
Rappresentando i numeri reali con un'espansione decimale infinita, si tratta unicamente di usare la convenzione che non si scrivono dei numeri che a un certo punto hanno un'infinità di numeri 9 che continua verso destra, perché se lo facciamo, certi numeri verranno rappresentati due volte. Ad esempio, 4,45999... è lo stesso numero di 4,46, quindi si evita di scrivere 4,45999... In tal senso, non è necessario introdurre "simboli differenti", ma unicamente accordarsi sulla convenzione di scrittura da utilizzare.
Nell'algoritmo della somma, dopo aver incolonnati i numeri, si procede dalla colonna all'estrema destra, colonna quest'ultima, che sommando 1 a 0,1 a 0,01 e così via, si sposta sempre più a destra rendendo impossibile la tua somma. I numeri 9periodici sono pertanto un'invenzione, anzi il continuo numerico è un'invenzione per giunta inutile. Cercate la mia matematica senza zero e/o la mia Teoria del Discreto.
Se sono un'invenzione, allora è davvero un'invenzione utile, spero che almeno su questo concorderai.
Ottima l'argomentazione basata su 1/3=0.3333... anche per i ragazzi delle medie.
In effetti, è molto immediata.
grande professore, spieghi benissimo. Sarebbe molto bello altri video su concetti matematici "inusuali" come i numeri transfiniti, quarta dimensione ecc. grazie
Grazie dell'apprezzamento. Sicuramente, farò altri video di questo genere, di tanto in tanto.
Bellissimo video! Magari all'università ci avessero insegnato Analisi in questo modo!
Grazie per l'apprezzamento.
In order to compute 1-0,999..., you usually compute the limit of the sequence of the differences (10-9)/10 = 0,1; (10-9)/100 = 0,01; and so on. That limit is indeed 0 but ought we to equate the limit of the sequence generated by partial results of an infinite operation with the result of the infinite operation? Recall Hilbert's paradox of the infinite operation involving two bags, one of them initially containing all natural numbers and the other initially empty; in the first move you pass the first ten naturals from the first to the second bag and then draw the first natural from the second bag and throw it away, so that nine numbers stay in the second bag; in the n-th move you pass the n-th ten naturals from the first to the second bag and throw away the n-th natural, etc. This generates the following sequence of partial results (i.e. of numbers of naturals remaining in the second bag): 9, 18, 27,..., 3 elevated to the n-th, ..., which tends to infinity. However, the result of the infinite operation is 0.
I understand your observation. But we have here to think to a number like 0,999... as an infinite decimal representation of a real number, then answer the following question: what real number does 0,999... represent? And this number is 1.
Però la tua dimostrazione implica l'esistenza un (0,1)^n+1 con n=infinito, quanto vale infinito+1?
Qualcuno sa spiegarmi il perchè divide per 1-0.1 al minuto 18.04. Non ho fatto le serie però non credo riguardi quello.
Perché risolvendo S(1-0,1)=1-(0,1)^(n+1), facendo passare il fattore (1-0,1) dall'altra parte dell'eguaglianza, questo va al denominatore.
Capito grazie
Video strepitoso.
Davvero molto gentile. Mi fa molto piacere.
Ma 0,99999 periodico é + grande (NON + piccolo come dici) del numero proposto dalla signora che é 0,99999.....5 perché ultima cifra 5 è minore di 9 mentre la condizione che ponevi diceva che doveva essere maggiore😮
Il problema qui è proprio nella nozione di "ultima" cifra....
@@autoricerca Sì ma qualunque risposta tu dia a sto dubbio stà il fatto che ciò che *ipotizzerai* essere *ultima* in X sarà ultima *anche* in Z.... Matematici rispondono: ma *ultima* non c'è (es le Stanze dell'Albergo OO di Hilbert). Invece la soluzione è questa: i Numeri in verità sono FINITI (non infiniti come si credon i matematici da Leibniz a Cantor)... perchè OO non é un Numero quantitativo... OO ce ne è uno solo (Cantor ha fatto cilecca) ed è QUALITATIVO cioè NON QUANTITATIVO.
Ai Matematici però questo non é dato di vederlo: son ancor lì col Paradosso di Russell che "sembra" dire che é Indecidibile se OO è o non è un Numero. Ciao e cmq grazie x avermi dato uno spunto x meditare.
La matematica è un dominio di realtà astratto, dove è possibile parlare di entità infinite, se lo si fa con l'attenzione necessaria. Possiamo ad esempio sicuramente immaginare un insieme che contiene un'infinità di entità astratta, e paragonare le cardinalità di diversi insiemi infiniti... Un'affermazione del tipo "I numero sono finiti" non ha molto senso. Se avesse senso, prendendo il caso semplice dei numeri naturali, dovresti poter dire quanti sono, cosa che non puoi fare... Un saluto.@@pierpier7806
Ricordo questa uguaglianza, la vidi per la prima volta ad analisi 2. Complimenti per il video! 👏🏻👏🏻
Grazie per l'apprezzamento.
Forse il problema della comprensione di questa uguaglianza è la difficoltà che una persona può avere a concepire nella propria mente il concetto di infinito.
Sicuramente. Se lei è realmente in grado di comprendere il concetto di infinito e non meramente di accettarlo vuol dire che è "l'eletto" 😁
@@caipi8429 Ho preso la pillola rossa e sono riuscito a vedere la profondità della tana del bianconiglio.
Secondo me il succo sta tutto nelle parole iniziali del prof. cioè che si tratta (solo) di due modi diversi di scrivere lo stesso numero ed è questo che la dimostrazione dimostra, posto di voler preservare la coerenza logica delle regole per le operazioni, eguaglianza e diseguaglianza tra numeri, mentre non ha senso logico aggiungere un numero finale a una serie per definizione infinita (ho sentito qualcuno spiegare che infinito non è un numero, ma un limite...). Approfitto per dire che a me la dimostrazione diagonale di Cantor ha sempre lasciato un po' freddino nel senso che parte da una ipotesi già di per sé, a priori, palesemente assurda ossia di poter avere (o costruire) un elenco di tutti i numeri irrazionali. Naturalmente con questo non mi sogno nemmeno lontanamente di porre in dubbio la validità, rigore logico e persino genialità che a quella dimostrazione vengono unanimemente riconosciuti dagli esperti.
Grazie del tuo interessante commento.
Buonasera, e grazie per suoi sempre arcani, ma interessantissimi video. Ho capito che è giusto quanto incontestabile che 1= 0,9periodico ( se si dice così...) credo che la chiave stia nell'INFINITO delle cifre dopo la virgola. Ma allora possiamo anche dire che 1+0,9periodico=2 x es.? Grazie!!!
Possiamo sicuramente dirlo, poiché 1,999... = 2. Un saluto.
1.6 periodico a cosa è uguale?
5/3
Si può anche usare la frazione generatrice?
La frazione generatrice di 0,999... quale sarebbe?
@@autoricerca dovrebbe essere 9/9=1
Video eccellente ed entrambi simpatici. Leggendo i commenti direi che il format è piaciuto! Questa appare come una variante del paradosso di Zenone di Achille e la tartaruga
Ti ringrazio per il tuo simpatico commento!
Confesso: la bella Sarà mi dis-trae dalla matematica😌
La mia conoscenza matematica è proprio basica. Forse per questo qualche anno fa la mia intuizione è stata molto più semplice e che a me è sembrata una meraviglia mentre per te è forse quasi una banalità. Mi sono resa conto che l'intervallo tra 0 e 1 può essere frazionato in parti sempre più piccole semplicemente aggiungendo uno 0 dopo la virgola e che quindi tra 0 e 1 c'è un infinito. Quindi è come dire che lo "scatto" tra 0 e 1 non avviene veramente mai. 1 incomincerebbe, quindi, ad esistere solo nel momento in cui un osservatore gli desse una misura: un metro, un albero, un giorno, una biglia... Per qualche ragione questa piccola, forse banale intuizione, ha per un profondo legame con la Creazione: Nulla, Uno, Divenire, Coscienza...
Si potrebbe sostenere esattamente l'incontrario: il passaggio tra lo 0 e l'1 è possibile, proprio perché è l'intervallo tra lo 0 e l'1 è densamente abitato da un'infinità (non numerabile) di numeri, cioè, non esiste "buco", per quanto infinitesimo, dove mancherebbe un numero.
Similmente alla ultima spiegazione si poteva passare da come si scrive un numero periodico, che è SEMPRE un numero razionale, e si può scrivere dalla nota regola: numero senza la virgola (9) , togliere quello che precede il periodo (0) e dividerlo per tanti '9' per quante sono le cifre del periodo. Si ottiene 9/9 e quindi 1. Non riporto qui la dimostrazione della regola, ma Internet è pieno ;-)
Per convincere chi non è abituato forse si può abbandonare per un attimo la matematica, fare un discorso ingegneristico: numero come misura, e ritornare subito alla matematica.
La distinzione da fare è tra il concetto di numero e le sue possibile rappresentazioni.
grazie 1000 bellissimo video
Grazie a te!
però quando si parla di infinito tocca sempre tirare fuori i limiti
Video super interessante e super divertente!
Grazie mille per l'apprezzamento.
@Theycallmegigio ciao, questa discussione, organizzata e, in parte, anche improvvisata, mi ha ricordato di quando ho visto questo stesso fatto oggetto di discussione, al primo anno di Fisica in Unimi, al corso di Analisi 1. In particolare viene spiegata la rappresentazione decimale dei numeri reali e dimostrato in modo euristico che bisogna decidere che è sostanzialmente impossibile avere un periodo del tipo .999999..., assumendo di usare l'algoritmo delle divisioni successive
In particolare abbiamo usato che se x=0.999... allora si arriva a x=1.
I matematici nel video giocano un bel gioco di ruolo, con la dottoressa che si finge convinta di un fatto non vero, ma argomentando efficacemente e vengono fuori improvvisazioni e ragionamenti genuini, che si sviluppano in un modo interessante nelle botte e risposta :)
Non so cosa studi, ma a noi fisici e matematici le discussioni sulle nostre materie piacciono molto, per stimolare a vicenda la nostra curiosità!
Se ci si msntiene su un piano puramente teorico matematico 0, 9999...periodico è ugiale a 1, per convenzione, ma su un piano fisico reale 0,9periodico non sara mai uguale a 1, per via del limite di Plank, ad un certo punto i decimali della frażione devono fermarsi su una misura quantica discreta minima di spazio indivisibile.
Il mondo della matematica non è il mondo della fisica....
L'unico appunto è che 1,0000000..... non ha ragion di essere scritto, se tutto quello che si ha dopo la VIRGOLA son degli zeri o se dopo l'ultima cifra differente dallo ZERO dopo la virgola poi è seguita da soli zeri. 😊
generalizzando l'uguaglianza è possibile affermare che tutti i periodici che hanno 9 come sola cifra periodica sono immediatamente rapresentabili con la cifra precedente il 9 successiva?
n,999… = n+1
@@autoricerca intendevo x,yz999... = x,yz+1 è corretto?
@@antoniodellera230 Sì, è corretto.
Non è una dimostrazione matematica, è "dimostrato" per convenzione matematica , utilizzando convenzioni per risolvere calcoli impossibili.
Penso che il procedimento illustrato al minuto 15:09 possa essere tranquillamente definito "dimostrazione". Poi, certamente, ogni dimostrazione poggia su degli assunti. A quale convenzione fai riferimento, più nello specifico, che interverrebbe nella dimostrazione che ho fornito?
@@autoricerca è una dimostrazione corretta utilizzando gli strumenti messi a disposizione dalla matematica composta quindi di assunti ,leggi eccetera... Il che ovviamente non significa che ciò che è scritto sia reale, ma è una descrizione approssimata per infinito alla realtà a, una sorta di dimostrazione statistica
@@5il11 Non è molto chiaro quello che scrivi. Hai affermato che quella che ho indicato "non è una dimostrazione matematica" (parole tue). Ora invece scrivi che "è una dimostrazione corretta utilizzando gli strumenti messi a disposizione dalla matematica"... sembra tu non sia d'accordo con te stesso/a 😂
@@autoricerca è una "dimostrazione" validissima nei termini e nelle regole della compressione di questa matematica.
@@autoricerca comunque forse io Non saprò spiegare, ma sicuramente lei non è abbastanza intelligente da capire quello che io ho scritto. La risata è superflua e di cattivo gusto inoltre denota una sua supponenza. Se lei usa delle approssimazioni per dimostrare qualcosa che non si può dimostrare se non approssimando è ovvio che è una dimostrazione di comodo.
Ma nella dimostrazione 3x1/3 se dovessimo rappresentare 1/3 come percentuale avremmo il 33,3.....% che moltiplicato per 3 non da il 100%. La semplificazione delle dimostrazioni serve ad ingannare la percezione che un numero con infiniti decimali sia un numero finito, ma così non è.
⅓ 100% = 33,333...%, quindi 3 x ⅓ 100% = 100% = 3 x 33,333...% = 99,999...%
Peccato che nella realtà se ho un centesimo in meno sul conto non vengono pagate le bollette 😅, farò vedere questo video la prossima volta 😂.
Ma se dico che 1/3 è 0.333... E 0.333... X 3=0.999... E 1/3 x 3=1 =>0.999... = 1 può essere una dimostrazione?
È sicuramente un modo per mostrare l’identità, che indico anche nel video.
Errore: l'infinito non può essere trattato una volta come infinito e un'altra come finito a piacimento, quando dice "il risultato di questa somma infinita", perché non è possibile rendere finita una somma infinita.
È possibile, quando la somma (la serie) è convergente.
@@autoricerca converge all'infinito? Quindi non converge mai. Anche quando dite 0.9999...9 + 0.0000...1 = 1, è sbagliato, perché all'infinito non si arriva mai e quindi non c'è un "la in fondo" dove finalmente convergono. È solo un modo approssimativo per terminare l'infinito, che per definizione non può finire. Quindi lo 0.9999... resterà sempre 0.9999. 😃
@@ptjmwjpag Che "0.9999...9 + 0.0000...1 = 1", è sbagliato è proprio quello che spiego nel video. Per la nozione di serie convergente, ti rimando a: it.wikipedia.org/wiki/Serie_convergente
@@ptjmwjpag è sbagliata la tua definizione "converge all'infinito"
Non converge all'infinito.
Ma bensì "0,99999 .... all'infinito converge ad 1".
Poi sul fatto di dire affermare in maniera semplificata
1 = 0,9999 .......
Io non sono d'accordo, perché senza un minimo di nozioni sui limiti questa affermazione porta l'utente comune a pensare che 1 e 0,999... dopo un consistente numero di 9 siano uguali ma così non è.
@@certosino2267 0.99999...peridico converge verso 1, ma non sarà mai 1, perché l'infinito non finisce, altrimenti non si chiamerebbe infinito, ma finito. Quindi, qualsiasi formulazione che pretende di trovare l'uguaglianza tra 1 e 0.9 periodico, è solo una approssimazione, poiché 1 rappresenta il finito, mentre 0.9 periodico l'infinito, a meno che non si voglia sostenere che il finito in realtà non è finito, ma infinito pure esso (dato il simbolo di =), il che osservando la natura, non sarebbe sbagliato dire che nessun ente è realmente un ente finito e che il finito non esiste, e che i numeri interi sono essi stessi delle approssimazioni.
Ma considerato che la media crea un numero più piccolo del massimo la somma di a+k non dovrebbe fare 0,999…15?
Quel numero 1 come lo giustifichi? Sara fa tutte le divisioni finite, che danno la successione 0,95, 0,995, 0,9995, 0,99995, ecc. Non appare quel numero 1 che indichi tu.
Ma perché le prof di matematica non sono tutte come Sara? 🙂
È una domanda cui non ho risposta 🤔
Mi spiace, ma 0,1 elevato all'infinito, tende a O, non sarà mai 0. La sua discente ha accettato la sua affermazione, ed ha gettato le armi!!!
Anche 1/3 = 033.... moltiplicando entrambi i membri per 3, farà 1= 0,33....X3; ma 1 è diverso da 0,99... Grazie, ma non indica la sua discente-amica al accettate il suo "sofisma'.
Con apprezzamento e stima alla sua preparazione matematica.
Refuso "al accettate" leggasi 'ad accettare".
Leggasi" induca", non " indica"
Un video in rete di mCoding sostiene che tutte le prove algebriche siano fallaci. Io concordo. Unica cosa certa è che il limite delle somme 9/10 + 9/100 etc va a 1
Basta considerarli come serie numeriche
Ma che furba, per niente. Se ci sono infiniti 9 oppure zeri o altre cifre, non si possono mettere cifre diverse dopo
È in effetti un po' furbetta la mia interlocutrice! 😂
…la bellezza della matematica
Fantastico!
Grazie!
Ma 2,9 periodico é uguale a 3? E cosí: 3,9 periodico è ugule a 4? ecc
Sì, corretto.
L'Unica Constante assoluta nell'Universo tutto,è proprio l'Uno. nel senso che l'Unità è intera.
Su questo, nutro pochi dubbi! La realtà è Una! Lo diceva lo stesso Poincaré, ricordando che il vero problema non è quello di sapere "se è una", perché è autoevidente che lo sia, ma "come è una".
@@autoricerca Studiando un po' di Fisica/Astro e le altre di contorno,sta proprio nella "Rappresentazione" la complessità dell'Unità.