ЧЕРНЫЙ ПОНЕДЕЛЬНИК. Задача-монстрик!

Два квадрата ABCD и A1B1C1D1 со сторонами 4 и 9 стоят на одной прямой. Некоторая окружность проходит через вершины C и B1 и касается прямой AD1 в точке K. Найти растояния KM до прямой CB1.

[@ВерцинГеториг-ч5ь]

Проводим СК и В1К - две пары подобных тр-ков СКМ - КВ1А1 (угол КСВ1=В1КА1 , первый опирается на на одну и ту же дугу , как и второй - между хордой КВ1 и касательной КА1 и по прямому углу СМК = КА1В1=90*) и ДСК - КМВ1 аналогично (угол СКД=МВ1К и СДК=КМВ1=90*) . Из подобия первой пары - КМ/СК=А1В1/КВ1 , КМ=4СК/КВ1(1) , из второй пары СК/СД=КВ1/КМ , КВ1=СКхКМ/9 - подставляем в уравнение (1) КМ=(4СКх9)/СКхКМ , КМ*2=36 , КМ=6 .

[@vkr122]

Продлим СВ1 до пересечения с прямой АА1 в точке Р , СР=у, по т. Фалеса РВ1=4/9у и применяем любимую уже теорему о секущей и касательной РК*РК= РВ1*РС=4/9у*у , РК=2/3уи теперь подобные треугольники РDC и РМК , РК/РС=х/9=2у/3у и искомый х=6!

[@dmitry-ie3vd4ll2z]

4:16 Пусть радиус окружности равен r;
DK = sqrt[r^2 - (9-r)^2] = sqrt[r^2 - r^2 + 18r - 81] = sqrt(18r - 81);
CK = sqrt[18r - 81 + 81] = sqrt(18r);
KA1 = sqrt[r^2 - (r-4)^2] = sqrt(8r - 16);
KB1 = sqrt[8r - 16 + 16] = sqrt(8r);
sin(KCB1) = sin(A1KB1) = 4/sqrt(8r) = 2/sqrt(2r);
KM = CK*sin(KCB1) = sqrt(18r)*2/sqrt(2r) = 2*sqrt(9) = 6. (!!)

[@SB-7423]

Обозначим: ∡CKD = ∡KB₁M = α, ∡B₁KA₁ = ∡KCM = β. Теперь выразим длину отрезка МК двумя способами: (4/sinβ)∙sinα = (9/sinα)∙sinβ ⟹ sinα/sinβ = 3/2.
Отсюда х = КМ = 4∙(3/2) = 6.

[@Snuryus]

Забавно что это расстояние не зависит от радиуса окружности. Хотя доказать это и сложно.
Но для быстрого ответа можно взять вырожденный случай, когда диаметр окружности равен 9.
Тогда в прямоугольном треугольнике мы ищем катет, а знаем гипотенузу 9 и проекцию этого катета на гипотенузу - 4.
Х = √ (9 * 4)

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, верно.

[@SB-7423]

Доказать это не так уж и сложно.

[@SB-7423]

@@liep-f4c Должен Вас обрадовать, в обычных классах американских школ тоже не решат. В специальных классах решат так же,
как Учитель (не все). Я много занимаюсь самостоятельно. Многому научился на этом канале.

[@SB-7423]

Начало координат-точка К(0, 0). С(-m, 9), B₁(n, 4), O(0, R). CM: y∙(m + n) + 5∙x - 4∙m - 9∙n = 0. Искомая длина отрезка равна расстоянию от точки К до
прямой СВ₁: d = (4∙m + 9∙n)/√[(m + n)² +25]. CO = OB₁ = R. Используя координаты точек, получим: m² + 81= 18∙R, n² + 16 = 8∙R ⟹ n = (2/3)∙√(m² + 45).
Подставляя это значение в формулу расстояния, получим: d² = (4∙m + 9∙n)²/√[(m + n)² +25]² =36∙ (2∙m + 3∙√(m² + 45))²/√[(3∙m + 2∙√(m² + 45))² +225].
Докажем, что множитель при 36 ТОЖДЕСТВЕННО равен 1. [2∙m + 3∙√(…)]² - [3∙m + 2∙√(…)]² - 225 = [√(…) - m ]∙5∙[√(…) + m] - 225 =
5∙(m² + 45 - m²) - 225 = 0 ⟹ d² = 36 ⟹ d = 6. *Таким образом доказано, что длина отрезка КМ не зависит от длин отрезков m и n и их соотношения.*