По т. Фалеса BK/KA=5/10=1/2. Обозначим BK=PD=y, тогда AK=NP=2y. Из треугольника PND по т. Пифагора 4yy+yy=100, yy=20. Сторона квадрата 2y+y, S=9yy=9×20=180
Спидран по задачам, поехали. Продолжаем отрезки NP и КN так, чтобы в правом верхнем углу квадрата АВСD получился прямоугольник. Назовем их как - нибудь NH и NT. Дальше, треугольники прямоугольные оказались подобны по двум углам (это легко доказать самому), их соотношение сход. сторон равно 2, тогда примем MH за Y, а NH за Х, тогда, получается, так как внутри квадрата АВСD фигуры ВКHN, NHCT, PHTD - прямоугольники, как оказалось (это тоже можно доказать с помощью прямых углов и квадрата АКNP), тогда сторона квадрата равна 3х а также и 2x + 2y. 3x = 2x+2y, 3x = 2(x+y), 1.5x = x + y, 0,5x = y, x = 2y. Все, дальше легко. Сплошные расчеты. По Пифореме Теогора найдем Y в прямоугольном треугольнике MHN (y = корень из 5) , через него - х (2 корня из 5), а через х найдем площади двух квадратов, а оставшаяся желтая область получается равна 180 - 80 = 100. Красивый ответ, классная задача. Едит: На превью я по - своему понял, что надо искать желтую площадь, а оказалось, надо площадь всего квадрата найти. Так что ответ получается 180.
Решение от троечника-семиклассника. Продолжаем РN и KN. Три подобных треугольника. Стороны большого, малого квадрата и их разности относятся 15: 10: 5. Из треугольника NPD а) соотношение катетов 1:2 б) МС -- половина ВС. Примем МС за х. Тогда 5*х^2=15^2. х^2=45. Ответ:180
А чем не понравилось провести диагональ АС, которая пройдет через точку N ибо вершина А у обоих квадратов общая? Тогда CN будет биссектрисой угла С, а значит МС:СD = 5:10 = 1:2 => M середина стороны квадрата, а дальше элементарно
Симпатичная задача. Я так понимаю, это была самая ранняя любовь илона маска(7-8кл)? Пусть АВ=ВС=...=х. Из подобия PND и MCD -- NP=2/3x, PD=x/3. Отсюда: (2/3x)^2+(x/3)^2=100. Sabcd=180
*Д.З.* Только две теоремы Пифагора и ничего больше. Не выходя за пределы квадрата. Проведем через центр окружности прямую, параллельную касательной. Она пересечет сторону АВ в точке Е. Также проведем из точки касания перпендикуляр к АД. Он пересечет ВС в точке Т. Пусть сторона квадрата равна а. Обозначим : ЕО =х. ОТ = а -1. По т. Пифагора: (1) х² + (а - 1) ²= 1. Из точки М проведем перпендикуляр к КТ. Он пересечет КТ в точке Р. ОР = 1 -а/2, PM = a - x. Тогда снова теорема Пифагора: (2) (а - х) ² + (1 - а/2) ² = 1. Исключая из (1) - (2) переменную х, получим: 65∙а² - 120∙а + 16 = 0. Отсюда: а = (4/65)∙[15+4∙√10]≈1.70148 .
Если окружность проходит через середины сторон, то 1) её центр лежит на серединном перпендикуляре между этими точками, 2) серединный перпендикуляр проходит через левую нижнюю и правую верхнюю вершины. Таким образом, центр окружности лежит на диагонали квадрата, т.е. равноудален от осей. Значит, первый рисунок неверен в принципе.
Por el punto M trazo una perpendicular a AD en punto O. X es el valor del lado del cuadrado, MO es igual al lado del cuadrado. OD es igual a X/2. MD mide 15 u. Aplico teorema de Pitágoras: 15²= X²+(X/2)². X= 13.42 u. Área del cuadrado: X²= 180.10 u².
ДЗ, все же аналитически (многабукв, не выходя за квадрат) Сторона квадрата=a, тогда A=A(0,0), B=B(0,a), M=M(a,a/2). Серединный перпендикуляр к BM (СП): a(x-a/2)-(a/2)(y-3a/4)=0 | ×2/a 2x-y=a-3a/4=a/4, y=2x-a/4 ① Центр окружности лежит на СП, расстояние от него до B=B(0, a) равно радиусу R=1. Проведем из B окружность радиуса 1. x²+(y-a)=1² ② Нижняя точка пересечения (при наличии) будет искомым центром окружности. Решая {①,②}, получим: x²+(2x-a/4-a)²=1, x²+(4x²-5ax+25a²/16)=1, 5x²-5ax+(25a²/16-1)=0 D=25a²-20(25a²/16-1) D=20-25a²/4 ③ x=(5a-√D)/10 ④ Из ①, ④ получили координаты центра окружности. Перпендикуляр из него на основание равен радиусу R=1, то есть при найденном x (④), y=1: y=2x-a/4=(a-√D/5)-a/4 y=3a/4-√D/5≝1, √D/5=3a/4-1, √D=15a/4-5, D=225a²/16-75a/2+25 ⑤ {③=⑤} 20-25a²/4=225a²/16-75a/2+25 325a²/16-600a/16+80/16=0 a=[300±√(90000-325•80)]/325 a=(300±80√10)/325 a=(60+16√10)/65≈1,70148
PS При a=(60-16√10)/65 ≈0,14467 имеет место случай внешнего касания основания квадрата окружностью радиуса 1, проходящей через B, M, и с центром в верхней точке пересечения с СП.
Доказав что М - это середина отрезка ВС (через подобие, используя теорему Фаллеса или используя свойство точки пересечения медиан) Можно сказать что СD^2 = S площадь которую мы ищем, а МС^2 = 1/4 S Тогда 15^2 = S + 1/4S S = 225 * 4/5 = 180
Д/З. 1. N - точка касания окружности с отрезком AD. Угол MND равен углу NBM=alpha (поскольку опираются на одну дугу NM). Тогда по т. синусов NM/sin(alpha)=2R, но из тр-ка NMD: sin(alpha)=x/(2a), где а=NM, из этих двух равенств получаем, что x=a^2 2. Из точки N восстанавливаем перпендикуляр, он пройдёт через центр окр-ти и пересечёт сторону квадрата в точке F и далее окр-ть в точке P. Далее, вспоминаем, что перпендикуляр, опущенный из центра окр-ти на хорду, делит её пополам, след-но, AN=BF=FB'=y. Тогда по т. о пересекающихся хордах получаем: BF*FB'=NF*FP, или y^2=x(2-x), откуда y=sqrt(2x-x^2) 3. ND=x-y. Тогда по т. Пифагора из тр-ка NMD получим: a^2=(x-y)^2+(x/2)^2 4. Ну вот, получили три ур-я с тремя неизвестными. Подставляя первое и второе ур-я в третье, получим: x=x^2-2x*sqrt(2x-x^2)+2x-x^2+x^2/4, после упрощения приходим к квадратному ур-ю: 65*x^2-120x+16=0 получаем два корня x1=1.70148373 x2=0.14467011, так как x>sqrt(2), то второй корень не подходит. Получается, сторона квадрата равна 1.7015 (с точностью до десятитысячных).
логика это искуство правильно мыслить, а математика - красиво. все дело в том, что в отличии от полноценной логики в математики она всего-лишь формальная.
Интересно зачем выражать сторону большого квадрата через "3y". А не через "y". Ставлю автору двойку. Ну вообще канешно задача на подобие и найти квадрат стороны через теорему пифагора это ни о чём
Про вчерашнюю задачу. Отчего же неправильно? Вы не учли того, что некий % зрителей (в т.ч. и я) уже лет эдак 30+ как закончили школу. Ну и соответственно идут самым быстрым путём (жисть научила))). Уотакуот🙃
Задача решается более просто, т.е. наиболее лучшим шикарным способом🙂. "Разрисовываем" большой квадрат на 9 равных квадратов со стороной х по теореме Фалеса. Рассматриваем правый нижний прямоугольник с диагональю 10. х²+(2х)²=100, 5х²=100, х²=20 и финал 20·9=180. Самое простое решение на мой взгляд.
CN- биссектриса, делит сторону треуг. MCD, МД в соотношение 1/2 Далее МС=х, CD=2x По теореме Пифагора из тр. MCD 225= x^2+4x^2 x=3√5 CD°2x=6√5 S=CD^2=180
Про предыдущую задачу: Доказательство того, что продолжение стороны AB - касательная: 1) Соединим серединки сторон E и F, с одной стороны, полученный отрезок EF это хорда окружности, с другой - диагональ квадратика 1×1 2) Проведём диагональ квадрата 2×2 перпендекулярно EF, причём эта диагональ разбивает отрезок на равные части, т.е. является серединным перпендикуляром. А как мы знаем, серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности 3) В итоге, прямоугольный треугольник AOK (K - точка касания) будет равнобедренным, т.к. угол между диагональю и стороной квадрата равен 45° Отсюда оба катета равны радиусу окружности 4) Проведём радиус OH перпендекулярно радиусу OK, тогда четырёхугольник AHOK будет прямоугольником, а значит AH - касательная
Валерий Владимирович, нельзя не уважать мощные методы аналит геометрии, но зачем же хаять простые методы, обвиняя их в сложности. На самом деле всё очень просто. Соединим средины сторон квадрата ВС и СД отрезком КМ, который одновременно является хордой жёлтой окружности. В р/б треуг КСМ проведём медиану из т.С, которая одновременно явл высотой и биссектрисой. Эта медиана как биссек угла С попадёт в т.А, а как срединный перпенд хорды - в т.О центр окружности. Биссек угла А попадает в центр окружн, сторона АД этого угла по условию явл касательной, значит и вторая его сторона АВ тоже касательная. Нет никакой необход двигать квадрат и смотреть как изменяются длины отрезков сторон квадрата внутри или снаружи окруж. Из данных задачи с полным основ сост ур-ие (R - 1)² + (R - 2)² = R², откуда R(1) = 1, R(2) = 5. Первый корень не подходит, т.к. в этом случае продолжение стороны квадрата не явл касательной. Остаётся R = 5 Вы обещали посмотреть моё док-во т. Штейнера-Лемуса в комменте к ролику Специальный выпуск! Для элиты канала!
Сразу возникает подозрение, что точка М - середина ВС. Действительно, AN и AC совпадают, следовательно, NC - биссектриса тр-ка MCD и тогда по свойству биссектрисы MC/CD=5/10, т.е 1/2. Пусть MC=x, тогда CD=2x. Тогда по т. Пифагора к тр-ку MCD: 15^2=x^2+4*x^2, откуда x^2=45 Площадь квадрата равна 4*x^2=180 кв. ед.
// Стесняюсь спросить, а надо доказывать, что диагональ АС проходит через N и совпадает с диагональю АN ? Тогда АND~MNC AD/MC=10/5=2; a²+(2a)²=15²; S=(2a)²=15²*4/5=180; //
ДЗ. Свёл задачу к другой, уже ставшей вирусной: найти R окр-ти, проходящей через концы наклонной стороны прямоугольной трапеции (АВМD) и касающейся противоположной стороны этой трапеции. Предварительно: х = 1,7015. Проверка и обоснование - позже.
Проверил - верно. В радикалах: 4(15 + 4√10)/65. Geogebra подтвердила. Для публикации: 1. О - центр окр-ти, Н - т. касания, ОР ⟂ АВ (Р - на АВ). 2. Продлить ВМ до пересечения с продолжением АD в т. К. ВМ = КМ = (х√5)/2. КМ × КВ = КН². КН = (х√5)/√2 (касательная/секущая). 3. АК = 2х (т. к. М - середина СD). АН = ОР = 2х - (х√5)/√2 = х(2√2 - √5)/√2. 4. Пиф в ▲РОВ: х²[(2√2 - √5)/√2]² + (х - 1)² = 1. х = 4(15 + 4√10)/65 = 1,7015.
Продляем NР до ВС , точка Н , получаем 2 подобных тр-ка НNМ и РNД ( по двум углам ) , из подобия НN/NР=МN/NД , НN/NД=5/10 , сокращая - НN/NД=1/2 , НN=Х , NД=2Х , 2Х - все четыре стороны квадрата АКNР , НР=НN+NР=Х+2Х=3Х , отрезок , который равен всем сторонам квадрата АВСД - АВ=ВС=СД=АД=3Х . Из тр-ка РNД по т. Пифагора NР*2+ДР*2=ДN*2 , где ТР=2Х , ДР=АД-АР=3Х-2Х=Х , ДN=10 , подставляем - (2Х)*2+Х*2=10*2 ,5Х*2=100 , Х*2=20 . Площадь квадрата АВСД - S=АВ*2=(3Х)*2=9Х*2=9х20=180 .
лень даже смотреть, простая задача сразу видно что 15/х= 10/y то есть сторона большого квадрата в 1,5 раза больше маленького, а площадь в 2,25 раза больше площадь маленького квадрата легко найти 100=(1,5y-y)в квадрате + y в квадрате 100= 1,25y в квадрате y в квадрате равно 80 а значит большой квадрат в 2,25 раза больше - 180
Печатаю третий раз, почему-то пропадает. Решал с помощью уравнения окружности, двух точек и касательной. Получается простая, легко решаемая, система, х = 1.7014837... . Решение в радикалах привел Адепт, нет смысла повторяться. Решение чисто техническое, делается автоматически, без раздумий. Для экзамена предпочтительней.
Д/З. Способ 1 - ошибочный 1. Угол В прямой, поэтому сразу соединяем точки пересечения угла В с окружностью и говорим, что это диаметр и он равен 2. Тогда из теоремы Пифагора BB'=sqrt(2), где B' - точка пересечения отрезка BC с окружностью. 2. Из точки касания N окружности с отрезком AD восстанавливаем перпендикуляр, он пройдёт через центр окр-ти и пересечёт сторону квадрата в точке F и далее окр-ть в точке P. Далее, вспоминаем, что перпендикуляр, опущенный из центра окр-ти на хорду, делит её пополам, след-но BF=FB'=BB'/2=sqrt(2)/2, NF=x (x - сторона квадрата), а FP=2-x 3. По т. о пересекающихся хордах получаем: BF*FB'=NF*FP, или (sqrt(2)/2)^2=x(2-x), получаем квадратное ур-е 2*x^2-4x+1=0 Получаем два корня: x1=1+sqrt(2)/2, x2=1-sqrt(2)/2. Диагональ квадрата равна x*sqrt(2) и она больше диаметра окр-ти (2), след-но x>sqrt(2). Значит, подходит только первый корень x1=1+sqrt(2)/2, что с точностью до сотых равно 1.71 Итак, сторона квадрата равна 1.71 Интересно, то, что точка М - середина CD, вообще не понадобилось. Д/З. Способ 2 - ошибочный 1. Сохраняем принятые обозначения в способе 1. Также, пусть AB пересекает окр-ть в точке A', О - центр окружности. Поскольку тр-к A'BB' - равноб, О - центр A'B', то BO биссектриса и угол A'BO=45 гр. 2. Применим т-му косинусов к тр-ку ABO: AO^2=x^2+1-2*x*1*cos45 3. По т. Пифагора из тр-ка AON: AO^2=1+AN^2 (из способа 1 уже доказано, что AN=sqrt(2)/2 4. Объединяя 2 и 3 получаем: 3/2=x^2+1-2x*sqrt(2)/2 или 2x^2-2*sqrt(2)*x-1=0, корни этого уравнения: x1=1+sqrt(2)/2, x2=1-sqrt(2)/2 Подходит только первый корень. Ответ: длина стороны квадрата равна 1+sqrt(2)/2 или 1.71 Опять не понадобилось условие, что М - середина CD. Д/З. Способ 3 и на этот раз, надеюсь, правильный 🙂 В способах 1 и 2 выше допущена эпическая ошибка: тр-к A'BB' принят по недоразумению равнобедренным, а это, действительно, ниоткуда не следует. Срочно перерешиваю... 1. Сохраняя принятые обозначения в способах выше, угол MND равен углу NBM=alpha (поскольку опираются на одну дугу NM). Тогда по т. синусов NM/sin(alpha)=2R, но из тр-ка NMD: sin(alpha)=x/(2a), где а=NM, из этих двух равенств получаем, что x=a^2 2. AN=BF=FB'=y. Тогда по т. о пересекающихся хордах получаем: BF*FB'=NF*FP, или y^2=x(2-x), откуда y=sqrt(2x-x^2) 3. ND=x-y. Тогда по т. Пифагора из тр-ка NMD получим: a^2=(x-y)^2+(x/2)^2 4. Ну вот, получили три ур-я с тремя неизвестными. Подставляя первое и второе ур-я в третье, получим: x=x^2-2x*sqrt(2x-x^2)+2x-x^2+x^2/4, после упрощения приходим к квадратному ур-ю: 65*x^2-120x+16=0 получаем два корня x1=1.70148373 x2=0.14467011, так как x>sqrt(2), то второй корень не подходит. Получается, сторона квадрата равна 1.7015 (с точностью до десятитысячных).
Позволю себе усомниться в п. 1 Вашего решения: ВВʼ = √2 только в том случае, если тр-к, отсеченный от квадрата Вашим диамером - равнобедренный, а это не так (и не доказано). Поэтому Ваш ответ 1,7071 ПОЧТИ (но только почти) верный. Верный ответ 1,7015.
"Опять не понадобилось условие, что М - середина CD." Это первый признак того, что решение ошибочно. Без этого условия решить невозможно. У Вас не возник вопрос: а как это может быть?
ну хоть полегче задачу Маэстро дал... а то пугает, понимаешь, хордами с полувписанными трапециями... AD=a... из подобия PDN и верхнего треуга PN=(2/3)a=AP... PD=√(100-(4/9)a^2)... PD+AP=a...3√(100-(4/9)a^2)=a...900-4a^2=a^2... S=180
Чтобы не будить Пифагора и не копать квадратные корни отрежем справа по красной и переставим влево. Затем почитаем что от А до красной 12 и умножим на 15 Ответ 180
@@second3160 Продлим перпендикуляр к красной до высоты малого квадрата. Вся его длина будет 20. С продолжением верхней стороны малого квадрата получится пара треугольников в виде "песочных часов" с подобием 3:2 искомая длина 20*(3/(3+2))=12
@@GeometriaValeriyKazakov В науке котируется индекс цитирования - реально копающие новую тему учёные сами рассылают коллегам препринты - и цитирование и поиск ошибок... В 90-е работал в научной библиотеке сисадмином ;)
@@user-yf1zt2dg8m Хрень какая-то. "Перпендикуляр к красной", где он, из какой точки, на рис. нет и намёка. Куда продлевать то, чего нет. 20 это откуда до куда? 12 это куда? В общем, гениально.
![Старейшая нерешённая задача [Veritasium]](http://i.ytimg.com/vi/FuRem6-sTmQ/mqdefault.jpg)
Задача, где не хватило обоснования некоторых зрителей: ruclips.net/video/lMc4qJmzKV4/видео.htmlsi=QaFDS9hYUZ6dN3sl
Честно - не смотрел видео. Но я в уме подсчитал, что внутренний квадрат +- 9.165 на 9.165 а внешний +- 13,165 на 13,165
Если бы Маск знал, что он -играет такие мудреные партии- решает такие -сложные- простые задачи, то он крайне удивился бы...©
По т. Фалеса BK/KA=5/10=1/2. Обозначим BK=PD=y, тогда AK=NP=2y. Из треугольника PND по т. Пифагора 4yy+yy=100, yy=20. Сторона квадрата 2y+y, S=9yy=9×20=180
Спидран по задачам, поехали. Продолжаем отрезки NP и КN так, чтобы в правом верхнем углу квадрата АВСD получился прямоугольник. Назовем их как - нибудь NH и NT. Дальше, треугольники прямоугольные оказались подобны по двум углам (это легко доказать самому), их соотношение сход. сторон равно 2, тогда примем MH за Y, а NH за Х, тогда, получается, так как внутри квадрата АВСD фигуры ВКHN, NHCT, PHTD - прямоугольники, как оказалось (это тоже можно доказать с помощью прямых углов и квадрата АКNP), тогда сторона квадрата равна 3х а также и 2x + 2y. 3x = 2x+2y, 3x = 2(x+y), 1.5x = x + y, 0,5x = y, x = 2y. Все, дальше легко. Сплошные расчеты. По Пифореме Теогора найдем Y в прямоугольном треугольнике MHN (y = корень из 5) , через него - х (2 корня из 5), а через х найдем площади двух квадратов, а оставшаяся желтая область получается равна 180 - 80 = 100. Красивый ответ, классная задача.
Едит: На превью я по - своему понял, что надо искать желтую площадь, а оказалось, надо площадь всего квадрата найти. Так что ответ получается 180.
Отл
Спасибо Илону за приятную воскресную задачу ! Сторона квадрата а=СD, MC=a/2, из треуг-ка МCD по т. П. 225=5а^2/4, а^2=180. И настроение улучшилось! 😊
Передам.
Решение от троечника-семиклассника.
Продолжаем РN и KN. Три подобных треугольника. Стороны большого, малого квадрата и их разности относятся 15: 10: 5.
Из треугольника NPD а) соотношение катетов 1:2 б) МС -- половина ВС. Примем МС за х. Тогда 5*х^2=15^2. х^2=45.
Ответ:180
А чем не понравилось провести диагональ АС, которая пройдет через точку N ибо вершина А у обоих квадратов общая? Тогда CN будет биссектрисой угла С, а значит МС:СD = 5:10 = 1:2 => M середина стороны квадрата, а дальше элементарно
Спасибо. Это доругое решение. Я выбрал это. По красоте одинаковы.
@@GeometriaValeriyKazakov
Нет, это дорогое решение.
При
AD=a, DN=m, NM=n;
MC=a*n/m;
(m+n)²=((n/m)²+1)a²;
S=(m+n)²/((n/m)²+1);
@@user-ij6rt3sb9h Да, чуть дороше, конечно, через диагональ лучше, но комментов тогда меньше!
Симпатичная задача. Я так понимаю, это была самая ранняя любовь илона маска(7-8кл)? Пусть АВ=ВС=...=х. Из подобия PND и MCD --
NP=2/3x, PD=x/3. Отсюда: (2/3x)^2+(x/3)^2=100. Sabcd=180
👍 интересная воскресная задача. Спасибо! Решила почти также, другой подход к обозначению неизвестных. Суть та же.
Легче через нижний.
*Д.З.* Только две теоремы Пифагора и ничего больше. Не выходя за пределы квадрата. Проведем через центр окружности прямую, параллельную касательной. Она пересечет
сторону АВ в точке Е. Также проведем из точки касания перпендикуляр к АД. Он пересечет ВС в точке Т. Пусть сторона квадрата равна а. Обозначим : ЕО =х. ОТ = а -1.
По т. Пифагора: (1) х² + (а - 1) ²= 1. Из точки М проведем перпендикуляр к КТ. Он пересечет КТ в точке Р. ОР = 1 -а/2, PM = a - x. Тогда снова теорема Пифагора:
(2) (а - х) ² + (1 - а/2) ² = 1. Исключая из (1) - (2) переменную х, получим: 65∙а² - 120∙а + 16 = 0. Отсюда: а = (4/65)∙[15+4∙√10]≈1.70148 .
Если окружность проходит через середины сторон, то 1) её центр лежит на серединном перпендикуляре между этими точками, 2) серединный перпендикуляр проходит через левую нижнюю и правую верхнюю вершины.
Таким образом, центр окружности лежит на диагонали квадрата, т.е. равноудален от осей. Значит, первый рисунок неверен в принципе.
Совершенно верно. Это и нужно было зрителем написать. У вас идельное доказательство, оно и есть решение. Спасибо! Жду ДЗ!
@@GeometriaValeriyKazakov
Какое-то дз... Сходу не решается, подумать надо)
Композитор, конечно, зануда и симметрия при нём.
//
Ха-Ха-Ха
Шикарная задача, никогда не было и вот опять
//
Por el punto M trazo una perpendicular a AD en punto O.
X es el valor del lado del cuadrado, MO es igual al lado del cuadrado.
OD es igual a X/2.
MD mide 15 u.
Aplico teorema de Pitágoras:
15²= X²+(X/2)².
X= 13.42 u.
Área del cuadrado: X²= 180.10 u².
ДЗ, все же аналитически (многабукв, не выходя за квадрат)
Сторона квадрата=a, тогда A=A(0,0), B=B(0,a), M=M(a,a/2). Серединный перпендикуляр к BM (СП):
a(x-a/2)-(a/2)(y-3a/4)=0 | ×2/a
2x-y=a-3a/4=a/4,
y=2x-a/4 ①
Центр окружности лежит на СП, расстояние от него до B=B(0, a) равно радиусу R=1. Проведем из B окружность радиуса 1.
x²+(y-a)=1² ②
Нижняя точка пересечения (при наличии) будет искомым центром окружности.
Решая {①,②}, получим:
x²+(2x-a/4-a)²=1,
x²+(4x²-5ax+25a²/16)=1,
5x²-5ax+(25a²/16-1)=0
D=25a²-20(25a²/16-1)
D=20-25a²/4 ③
x=(5a-√D)/10 ④
Из ①, ④ получили координаты центра окружности. Перпендикуляр из него на основание равен радиусу R=1, то есть при найденном x (④), y=1:
y=2x-a/4=(a-√D/5)-a/4
y=3a/4-√D/5≝1,
√D/5=3a/4-1, √D=15a/4-5,
D=225a²/16-75a/2+25 ⑤
{③=⑤}
20-25a²/4=225a²/16-75a/2+25
325a²/16-600a/16+80/16=0
a=[300±√(90000-325•80)]/325
a=(300±80√10)/325
a=(60+16√10)/65≈1,70148
PS При a=(60-16√10)/65 ≈0,14467 имеет место случай внешнего касания основания квадрата окружностью радиуса 1, проходящей через B, M, и с центром в верхней точке пересечения с СП.
Полный примитив. Более простой задачи на этом канале не доводилось видеть. Да уж, не особо блещет талантами маск, что впрочем и так очевидно
Доказав что М - это середина отрезка ВС (через подобие, используя теорему Фаллеса или используя свойство точки пересечения медиан)
Можно сказать что СD^2 = S площадь которую мы ищем, а МС^2 = 1/4 S
Тогда 15^2 = S + 1/4S
S = 225 * 4/5 = 180
Благодарю.
Belíssimo exercício de geometria. Obrigado, mestre.
Grazie. Molto bello!
Д/З.
1. N - точка касания окружности с отрезком AD. Угол MND равен углу NBM=alpha (поскольку опираются на одну дугу NM). Тогда по т. синусов NM/sin(alpha)=2R, но из тр-ка NMD: sin(alpha)=x/(2a), где а=NM, из этих двух равенств получаем, что x=a^2
2. Из точки N восстанавливаем перпендикуляр, он пройдёт через центр окр-ти и пересечёт сторону квадрата в точке F и далее окр-ть в точке P. Далее, вспоминаем, что перпендикуляр, опущенный из центра окр-ти на хорду, делит её пополам, след-но, AN=BF=FB'=y. Тогда по т. о пересекающихся хордах получаем: BF*FB'=NF*FP, или y^2=x(2-x), откуда y=sqrt(2x-x^2)
3. ND=x-y. Тогда по т. Пифагора из тр-ка NMD получим: a^2=(x-y)^2+(x/2)^2
4. Ну вот, получили три ур-я с тремя неизвестными. Подставляя первое и второе ур-я в третье, получим: x=x^2-2x*sqrt(2x-x^2)+2x-x^2+x^2/4, после упрощения приходим к квадратному ур-ю: 65*x^2-120x+16=0 получаем два корня x1=1.70148373 x2=0.14467011, так как x>sqrt(2), то второй корень не подходит.
Получается, сторона квадрата равна 1.7015 (с точностью до десятитысячных).
логика это искуство правильно мыслить, а математика - красиво. все дело в том, что в отличии от полноценной логики в математики она всего-лишь формальная.
Интересно зачем выражать сторону большого квадрата через "3y". А не через "y". Ставлю автору двойку. Ну вообще канешно задача на подобие и найти квадрат стороны через теорему пифагора это ни о чём
Про вчерашнюю задачу. Отчего же неправильно? Вы не учли того, что некий % зрителей (в т.ч. и я) уже лет эдак 30+ как закончили школу. Ну и соответственно идут самым быстрым путём (жисть научила))).
Уотакуот🙃
Да, некторый % зритель решил неправильно. Я так и сказал. Но это же наши неправильные решениЯ!
Пусть AD = x; AP = y;
(x - y)^2 + y^2 = 100;
sin(ADN) = 0.1y;
Простенькая, но классная задача. Спасибо))
Согласен.
Задача решается более просто, т.е. наиболее лучшим шикарным способом🙂. "Разрисовываем" большой квадрат на 9 равных квадратов со стороной х по теореме Фалеса. Рассматриваем правый нижний прямоугольник с диагональю 10. х²+(2х)²=100, 5х²=100, х²=20 и финал 20·9=180. Самое простое решение на мой взгляд.
Согласен. При целых наброс сетки - супер!
CN- биссектриса, делит сторону треуг. MCD, МД в соотношение 1/2
Далее МС=х, CD=2x
По теореме Пифагора из тр. MCD 225= x^2+4x^2
x=3√5
CD°2x=6√5
S=CD^2=180
Супер!
Про предыдущую задачу:
Доказательство того, что продолжение стороны AB - касательная:
1) Соединим серединки сторон E и F, с одной стороны, полученный отрезок EF это хорда окружности, с другой - диагональ квадратика 1×1
2) Проведём диагональ квадрата 2×2 перпендекулярно EF, причём эта диагональ разбивает отрезок на равные части, т.е. является серединным перпендикуляром. А как мы знаем, серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности
3) В итоге, прямоугольный треугольник AOK (K - точка касания) будет равнобедренным, т.к. угол между диагональю и стороной квадрата равен 45° Отсюда оба катета равны радиусу окружности
4) Проведём радиус OH перпендекулярно радиусу OK, тогда четырёхугольник AHOK будет прямоугольником, а значит AH - касательная
Вот это другое дело! Спасибо.
После выражения сторон решил алгебраически, обычной системой
ОТлично.
Валерий Владимирович, нельзя не уважать мощные методы аналит геометрии, но зачем же хаять простые методы, обвиняя их в сложности. На самом деле всё очень просто. Соединим средины сторон квадрата ВС и СД отрезком КМ, который одновременно является хордой жёлтой окружности. В р/б треуг КСМ проведём медиану из т.С, которая одновременно явл высотой и биссектрисой. Эта медиана как биссек угла С попадёт в т.А, а как срединный перпенд хорды - в т.О центр окружности. Биссек угла А попадает в центр окружн, сторона АД этого угла по условию явл касательной, значит и вторая его сторона АВ тоже касательная. Нет никакой необход двигать квадрат и смотреть как изменяются длины отрезков сторон квадрата внутри или снаружи окруж. Из данных задачи с полным основ сост ур-ие (R - 1)² + (R - 2)² = R², откуда R(1) = 1, R(2) = 5. Первый корень не подходит, т.к. в этом случае продолжение стороны квадрата не явл касательной. Остаётся R = 5 Вы обещали посмотреть моё док-во т. Штейнера-Лемуса в комменте к ролику Специальный выпуск! Для элиты канала!
Смотрел - отлично.
Сразу возникает подозрение, что точка М - середина ВС. Действительно, AN и AC совпадают, следовательно, NC - биссектриса тр-ка MCD и тогда по свойству биссектрисы MC/CD=5/10, т.е 1/2. Пусть MC=x, тогда CD=2x.
Тогда по т. Пифагора к тр-ку MCD: 15^2=x^2+4*x^2, откуда x^2=45
Площадь квадрата равна 4*x^2=180 кв. ед.
Отлично.
//
Стесняюсь спросить, а надо доказывать, что диагональ АС проходит через N и совпадает с диагональю АN ?
Тогда
АND~MNC
AD/MC=10/5=2;
a²+(2a)²=15²;
S=(2a)²=15²*4/5=180;
//
Два квадрата и диагонали на одной прямой под 45. Не нужно.
ДЗ. Свёл задачу к другой, уже ставшей вирусной: найти R окр-ти, проходящей через концы наклонной стороны прямоугольной трапеции (АВМD) и касающейся противоположной стороны этой трапеции. Предварительно: х = 1,7015. Проверка и обоснование - позже.
Проверил - верно. В радикалах: 4(15 + 4√10)/65. Geogebra подтвердила.
Для публикации:
1. О - центр окр-ти, Н - т. касания, ОР ⟂ АВ (Р - на АВ).
2. Продлить ВМ до пересечения с продолжением АD в т. К. ВМ = КМ = (х√5)/2.
КМ × КВ = КН². КН = (х√5)/√2 (касательная/секущая).
3. АК = 2х (т. к. М - середина СD). АН = ОР = 2х - (х√5)/√2 = х(2√2 - √5)/√2.
4. Пиф в ▲РОВ: х²[(2√2 - √5)/√2]² + (х - 1)² = 1. х = 4(15 + 4√10)/65 = 1,7015.
Очень красиво, спасибо!
А я так из квадрата и не вылез(😄✌️
@@adept7474 Ну, классно. Нужно в 2 строчки и так стонут, что сложно. Посмотрим! Может что урежем?
@@YardenVokerol Бывает!
@@GeometriaValeriyKazakov Вы - хирург, Вам и резать, а я лишь фельдшер😁
СN-биссектриса, СМ:CD=5:10=1:2, далее теорема Пифагора
Продляем NР до ВС , точка Н , получаем 2 подобных тр-ка НNМ и РNД ( по двум углам ) , из подобия НN/NР=МN/NД ,
НN/NД=5/10 , сокращая - НN/NД=1/2 , НN=Х , NД=2Х , 2Х - все четыре стороны квадрата АКNР , НР=НN+NР=Х+2Х=3Х , отрезок , который равен всем сторонам квадрата АВСД - АВ=ВС=СД=АД=3Х . Из тр-ка РNД по т. Пифагора NР*2+ДР*2=ДN*2 , где ТР=2Х , ДР=АД-АР=3Х-2Х=Х , ДN=10 , подставляем - (2Х)*2+Х*2=10*2 ,5Х*2=100 , Х*2=20 . Площадь квадрата АВСД - S=АВ*2=(3Х)*2=9Х*2=9х20=180 .
Супер!
В тр.PND NP=2/3 от CD =x . По т. Пифагора NP^+PD^=ND* ,(2/3*x)^+(1/3x)^=10^, откуда x^=900/5=180
Отлично!
лень даже смотреть, простая задача
сразу видно что 15/х= 10/y
то есть сторона большого квадрата в 1,5 раза больше маленького, а площадь в 2,25 раза больше
площадь маленького квадрата легко найти
100=(1,5y-y)в квадрате + y в квадрате
100= 1,25y в квадрате
y в квадрате равно 80
а значит большой квадрат в 2,25 раза больше - 180
Так там в конце ДЗ для ленивых. Жду ответа!
Печатаю третий раз, почему-то пропадает. Решал с помощью уравнения окружности, двух точек и касательной. Получается простая, легко решаемая, система, х = 1.7014837... .
Решение в радикалах привел Адепт, нет смысла повторяться. Решение чисто техническое, делается автоматически, без раздумий. Для экзамена предпочтительней.
Два, банят как хотят.
Это нормально, что решила в уме за 5 минут?
Конечно. Очень хорошо. Попробуйте общий вид для m и n.
Спасибо, побольше подобных задач.
Согласен, ну их в баню эти олимпиадные!
Д/З. Способ 1 - ошибочный
1. Угол В прямой, поэтому сразу соединяем точки пересечения угла В с окружностью и говорим, что это диаметр и он равен 2. Тогда из теоремы Пифагора BB'=sqrt(2), где B' - точка пересечения отрезка BC с окружностью.
2. Из точки касания N окружности с отрезком AD восстанавливаем перпендикуляр, он пройдёт через центр окр-ти и пересечёт сторону квадрата в точке F и далее окр-ть в точке P. Далее, вспоминаем, что перпендикуляр, опущенный из центра окр-ти на хорду, делит её пополам, след-но BF=FB'=BB'/2=sqrt(2)/2, NF=x (x - сторона квадрата), а FP=2-x
3. По т. о пересекающихся хордах получаем: BF*FB'=NF*FP, или (sqrt(2)/2)^2=x(2-x), получаем квадратное ур-е 2*x^2-4x+1=0 Получаем два корня: x1=1+sqrt(2)/2, x2=1-sqrt(2)/2. Диагональ квадрата равна x*sqrt(2) и она больше диаметра окр-ти (2), след-но x>sqrt(2). Значит, подходит только первый корень x1=1+sqrt(2)/2, что с точностью до сотых равно 1.71 Итак, сторона квадрата равна 1.71 Интересно, то, что точка М - середина CD, вообще не понадобилось.
Д/З. Способ 2 - ошибочный
1. Сохраняем принятые обозначения в способе 1. Также, пусть AB пересекает окр-ть в точке A', О - центр окружности. Поскольку тр-к A'BB' - равноб, О - центр A'B', то BO биссектриса и угол A'BO=45 гр.
2. Применим т-му косинусов к тр-ку ABO: AO^2=x^2+1-2*x*1*cos45
3. По т. Пифагора из тр-ка AON: AO^2=1+AN^2 (из способа 1 уже доказано, что AN=sqrt(2)/2
4. Объединяя 2 и 3 получаем: 3/2=x^2+1-2x*sqrt(2)/2 или 2x^2-2*sqrt(2)*x-1=0, корни этого уравнения: x1=1+sqrt(2)/2, x2=1-sqrt(2)/2 Подходит только первый корень.
Ответ: длина стороны квадрата равна 1+sqrt(2)/2 или 1.71 Опять не понадобилось условие, что М - середина CD.
Д/З. Способ 3 и на этот раз, надеюсь, правильный 🙂
В способах 1 и 2 выше допущена эпическая ошибка: тр-к A'BB' принят по недоразумению равнобедренным, а это, действительно, ниоткуда не следует. Срочно перерешиваю...
1. Сохраняя принятые обозначения в способах выше, угол MND равен углу NBM=alpha (поскольку опираются на одну дугу NM). Тогда по т. синусов NM/sin(alpha)=2R, но из тр-ка NMD: sin(alpha)=x/(2a), где а=NM, из этих двух равенств получаем, что x=a^2
2. AN=BF=FB'=y. Тогда по т. о пересекающихся хордах получаем: BF*FB'=NF*FP, или y^2=x(2-x), откуда y=sqrt(2x-x^2)
3. ND=x-y. Тогда по т. Пифагора из тр-ка NMD получим: a^2=(x-y)^2+(x/2)^2
4. Ну вот, получили три ур-я с тремя неизвестными. Подставляя первое и второе ур-я в третье, получим: x=x^2-2x*sqrt(2x-x^2)+2x-x^2+x^2/4, после упрощения приходим к квадратному ур-ю: 65*x^2-120x+16=0 получаем два корня x1=1.70148373 x2=0.14467011, так как x>sqrt(2), то второй корень не подходит.
Получается, сторона квадрата равна 1.7015 (с точностью до десятитысячных).
В вашей трактовке т.M не является серединой CD
Позволю себе усомниться в п. 1 Вашего решения: ВВʼ = √2 только в том случае,
если тр-к, отсеченный от квадрата Вашим диамером - равнобедренный, а это не так (и не доказано). Поэтому Ваш ответ 1,7071 ПОЧТИ (но только почти) верный.
Верный ответ 1,7015.
@@adept7474 Да, действительно, Ваше замечание верное. Этот момент я упустил из виду.
"Опять не понадобилось условие, что М - середина CD." Это первый признак того, что решение ошибочно. Без этого условия решить невозможно. У Вас не возник вопрос:
а как это может быть?
@@adept7474 Перерешал. Спасибо за замечание.
ну хоть полегче задачу Маэстро дал... а то пугает, понимаешь, хордами с полувписанными трапециями... AD=a... из подобия PDN и верхнего треуга PN=(2/3)a=AP... PD=√(100-(4/9)a^2)... PD+AP=a...3√(100-(4/9)a^2)=a...900-4a^2=a^2... S=180
Ну, вот всем радость!
Почему вы решили, что точки M, N, D лежат на одной прямой?
В условии дано это, он же зачитывал
Я так придумал задачу.
Чтобы не будить Пифагора и не копать квадратные корни отрежем справа по красной и переставим влево. Затем почитаем что от А до красной 12 и умножим на 15 Ответ 180
ГЕ-НИ-АЛЬ-НО!! Сопрут ваше решение точно! Следите!
//
Стесняюсь спросить, а как почитаем от А до красной равно 12?
//
@@second3160
Продлим перпендикуляр к красной до высоты малого квадрата. Вся его длина будет 20. С продолжением верхней стороны малого квадрата получится пара треугольников в виде "песочных часов" с подобием 3:2 искомая длина 20*(3/(3+2))=12
@@GeometriaValeriyKazakov
В науке котируется индекс цитирования - реально копающие новую тему учёные сами рассылают коллегам препринты - и цитирование и поиск ошибок... В 90-е работал в научной библиотеке сисадмином ;)
@@user-yf1zt2dg8m
Хрень какая-то.
"Перпендикуляр к красной", где он, из какой точки, на рис. нет и намёка.
Куда продлевать то, чего нет.
20 это откуда до куда?
12 это куда?
В общем, гениально.
Это не самое красиво решение. Ужас не догадаться, что можно решить ещё проще и в уме. Позор автору.
Да, позор. Так я задачу придумал, мое дело сделано, а решать вам! Кстати, где ваше решение? А в общем виде при m и n?
🗿🗿🗿
Первый 😂
Отлично.
Двойка.
Правильный ответ:
Первыйнах