感謝提醒，我原本是根據書本的內容來寫的，沒有多加懷疑，因為你的留言我去稍微查證一下： In mathematics and physics, the term "unit vector" generally refers to any vector that has a magnitude of 1. The "standard" part typically refers to specific unit vectors that are commonly used in coordinate systems. However, in most contexts, the word "standard" is often omitted because the context usually makes it clear that the vector in question is a unit vector, especially when it's being used in the context of Cartesian coordinates or when referring to a vector that is specifically meant to indicate direction rather than magnitude. For example, when discussing vector spaces or directions in 3D space, people will often refer to i-hat, j-hat, k-hat simply as "unit vectors." To summarize, while "standard unit vectors" is the more precise term, "unit vectors" is a common shorthand. 其實省略standard這個字算是常用的用法喔
大家覺得這類影片有幫助嗎？
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文字版：blog.jameskool.com/blog/linear-algebra/ch1-vectors
Linear Algebra Done Right教科書：linear.axler.net/
VMLS教科書：web.stanford.edu/~boyd/vmls/
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我期末就靠這支影片了
這部影片是建立在觀眾資工基礎之上的，下次可以試試看用更少的基礎來教學
主頻道突然復活了
01:58 認同講的「符號的使用」這件事，
我認為你所提的「符號的重要性」
即為「記錄」甚至「記錄的方式」，
因為這件事等同「文法、語法」，
或講白話點，等同在講
「這個詞，在使用上，
【話是要怎麼說的】。」
因此，08:52 這裡，會有個小建議：
但凡講到
「ＸＸ律」或「ＸＸ性」的時候，
請一定別太過自然而然的省略掉
它是在何種「運算」下
所去討論的「特性」或「定律」。
所使用的完整句型如下：
例：「整數」（哪個範圍的主詞）
在「加法」上（在何種運算裡）
具有「封閉性」（具有什麼特性）
由於我看過有同學，在網上發問時，
出現過
「整數『是』封閉性」
諸如這樣的話，
整個問題光提問內容本身
也處處充滿語法的錯亂，
其實從他這句話的用法，
當即就顯現出
他對「封閉性」一詞
在語法上理解的混亂，
更談何
他原本想問的問題本身的錯亂。
但也幸好他那是有文字打出來，
才得以抓出這個毛病。
就如同「沒抵抗力」這個詞，
到底是對什麼沒抵抗力？
是對什麼很重要啊！！！！
是對新冠病毒跟流感？
對狗狗？還是對絲襪？？？
／／／／／／／／／／／／／／
所以同樣的，
在探討是否具有「交換律」時，
也應強調，是在「加法」裡頭；
而像是第二條的「結合律」，
則是「加法」跟「乘法」皆須具備。
不過這樣的話，
又要在各種不同的
「律」當中去探討，
這是要「加法」須符合的，
還是要「乘法」須符合的，
感覺會稍顯複雜了些
因此比起這樣，
在分類整理時，
我會比較傾向用
【只有加法、只有純量乘法、加乘混合】
這三類不同的「運算」情況，
來探討，在這些不同的運算情況下，
是否具備一些「特性」或「定律」，
而不是先以特性或定律本身來分類。
只有加法：
加法單位元、加法反元素、
加法結合律、加法交換律
只有純量乘法：
純量乘法單位元、純量乘法結合律
（像這裡，有注意到向量空間裡的純量乘法，
不需要具備我們算術乘法裡的那種交換律嗎？）
加乘混合：
分配律（兩向量相加去乘、兩純量相加去乘）
而確實，回想我們小學
教到各種「ＸＸ律」時
其實本來正應該是從各種不同
「加／減／乘／除」的
「算法」當中去討論和檢查，
它們是否具備哪些哪些【律】；
而不是我們「先有哪些【律】」，
我們才去訂定「那在這種律當中，
要挑哪些【運算】去符合它」吧？
揣摩一下，後者感覺
應該會比較不自然才對。
雖說要想反過來，
以此來造向量空間是例外，
但哪怕是如此，
我們在描述「ＸＸ律」時，
就自然語法上的出發點，
還是會先以【運算】為根本，
來去探討它
是否具有的「ＸＸ律」才對。
01:58 補充「符號使用的重要性」這件事
其實光從國小的中高年級，
最遲，我觀察從國中開始，
就應該開始強調一件
在書寫上很重要的事情，
也就是「標題」的重要。
很多從小的數學，
只著重「算術」，
也就是「算出最後答案」，
因此很多人往往劈頭就是
一坨數字加減乘除的橫式直接寫出，
然後旁邊空白處筆記直式計算算出，
但到後面往往就變成，
到底算的為何物，自己也說不清楚。
／／／／／／／／／／／／／／／
因此，最初開始練習書寫的時候，
我覺得可以先從
「你到底要算什麼」
的【標題】開始寫起
（例如：人數、收入、成本、利潤）
再等於出能算出它的【算法】
（用符號，或甚至中文表示都可以）
接著才開始
在同樣的相對位置下方
上下對齊，【代換入數據】的內容，
而非一開始劈頭上來
就直接寫上數據、內容，
甚至有的，連在「第一行」
就已經偷合併好、
偷算好一兩個加減乘除，
但這卻也會使得閱讀者，
往往很難第一眼就看得出，
那算式的「第一行」是「怎麼來的」，
除此之外，「偷算的算錯」
往往也會比「照抄的抄錯」
更難去檢查到，且還不是得重算一次。
因此，我覺得可以多練習，
【標題＝算法（公式，哪怕字符表示）
＝算式（實際代入數據並對齊）】
這樣的寫法，要算出數據等，
寧可都再下一行再飛起都好。
記得在寫程式裡頭，
應該有種術語，叫作「宣告」，
應該跟這要求，有某種異曲同工之意。
先寫【標題】，能便於閱讀跟快速查找，
別一上來，就寫一串不知哪來的【內容】，
如同提起一本故事書的【書名】，
即可幫你指稱並且喚起【整本故事的內容】。
拜見大師🙏
之前看了教材书，一直没有理解，今天看了视频，豁然开朗的感觉。谢谢你！希望可以继续把Linear Alg Done Right这本书讲下去，谢谢🎉
太神拉 先留言再看
感謝，一定支持已經支持
謝謝
15:05 題目８的那題
是不是還沒問完呀？
感覺還在前面的鋪陳跟佈題，
怎麼就被卡掉了？
我在猜，
前面這些鋪陳佈題完後，
它接著應該是想請你證明：
「Vc也是個向量空間」吧？
好讚，但可以想像到這種影片不會有流量，希望多做一點這種影片，讀線性代數讀到會瘋掉XD。
講的很棒，我自己有買書，但都是英文就算自己讀得懂還是不理解
我他媽愛死這主題了
unit vector 是指長度為1的vector而不是e_i
感謝提醒，我原本是根據書本的內容來寫的，沒有多加懷疑，因為你的留言我去稍微查證一下：
In mathematics and physics, the term "unit vector" generally refers to any vector that has a magnitude of 1. The "standard" part typically refers to specific unit vectors that are commonly used in coordinate systems.
However, in most contexts, the word "standard" is often omitted because the context usually makes it clear that the vector in question is a unit vector, especially when it's being used in the context of Cartesian coordinates or when referring to a vector that is specifically meant to indicate direction rather than magnitude. For example, when discussing vector spaces or directions in 3D space, people will often refer to i-hat, j-hat, k-hat simply as "unit vectors."
To summarize, while "standard unit vectors" is the more precise term, "unit vectors" is a common shorthand.
其實省略standard這個字算是常用的用法喔
@@james-kool 數學系路過。我翻了一下你的參考資料，確實在 VMLS 中是將 unit vector 定義成 e_i，但這其實是一個很爛的定義，我可以跟你保證絕大多數的數學系教科書都不會這樣用這個詞。在我解釋理由之前，我們先看看你的兩本參考資料有什麼區別：
VMLS：這是一本以計算跟應用為主的教科書，更接近工程數學。（作者也不是數學系的教授。）
LADR：這是一本較為抽象的教科書，更接近數學系的標準，或是一般人口中的純數。
其中一個重大區別就是 VMLS 時完全沒提到向量空間。正確來說，向量的定義是應該什麼？沒錯，就是向量空間的元素。我們之所以定義了向量空間這個抽象的概念，也是為了抽象的定義向量。比如說在你的影片中提到了 F^S 作為向量空間的例子，如果你用的是 VMLS 的向量的定義，你就沒辦法解釋為什麼你給了一個函數 f 它會是一個向量，因為 f 看起來並不像是一個 list。正因為 VMLS 逃避了向量空間的定義，所以他就只好直接把向量定義成 n*1 矩陣（這也比較具體而好想像）。
那憑什麼說數學系的抽象定義是比較好的呢？線性代數的一大成就其實是他意識到了向量空間跟其座標表達其實是可以區分開來的，也就是說一個向量空間並不依賴其座標的選擇，你可以架設不同的座標來得到同樣的結果（這就有物理選相對參考系的那種味道了對吧）。而同樣的當我們在比較兩個向量空間的時候，我們就可以抽象地去分析他們的結構是否相同，而不會執著於表象，比如說當你的 S={1,2,3} 的時候，R^S 作為向量空間，直覺上應該會覺得他跟 R^3 是一樣的對吧，各自的運算看起來是可以類比的，那要怎麼嚴謹的表達這件事，就是要使用同構 (isomorphism) 的語言（同樣 VMLS 也沒有這個，因為沒有定義向量空間自然就不可能談什麼是向量空間的同構。）而這個就是近代的抽象代數的核心手法：「如果我對一個抽象的結構證明了某個結論，那所有有相同結構的集合，這個結論都可以一體適用。」這也是為什麼數學系會讓線性代數是大一必修，而代數是大二必修。
那現在就可以回過來解釋為什麼我說 VMLS 的定義很爛，因為其依賴於座標的選取，你要先選好一個座標，才能說上面的 unit vector 是什麼。在這個定義之下，同一個向量空間，在不同的座標選取下就會用不同的 unit vector。那你可能會想說依賴就依賴唄，線性代數也是會有概念依賴於座標選取的啊，又不是說依賴座標就一無可取。然而，那我們仔細觀察在選取了座標的情況下，這些 unit vector 到底是什麼？在線性代數中，選取座標其實是比較口語/不嚴謹的說法，正確的語言是選取一個有序基底 (ordered basis)，一旦有了有序基底，我們就可以有對應的矩陣表示法 (matrix representation with respect to a basis)，那這個時候，一個只有一個元素是 1，其餘皆是 0 的行矩陣，會是哪個向量的矩陣表示法呢？就是對應的基底的元素。所以這個定義完全沒有定義出新東西，我們本來的語言就足以描述了。
回到數學系的定義，unit vector 我們會定義成「長度為 1 的向量」，然而我們知道一個抽象的向量，其長度該如何記算嗎？比如說上面提到的 f \in R^S，他的長度應該怎麼計算？這其實牽涉到另一個線性代數的重要章節，內積空間 (inner product space) 與賦範空間 (normed space)。這邊只提一件事，就是我們注意到同樣的一個向量空間，上面計算長度的方式其實可以有很多種，像是 L^p 範數 (L^p norm)，這樣不同的長度計算方式，也可以說是不同的結構。我們就會有空間是作為向量空間是同構的，但作為賦範空間卻不同構，而我們將賦範空間中的同構稱為等距同構 (isometry)，可以想像成一種更強的條件。
整體來說呢，我覺得 VMLS 這樣的寫法，其實很像是數學老師騙國中生一元二次方程式有時候會無解一樣。學是比較好學，但也確實是誤導。除非真的對抽象論證超苦手，不然我不是很建議讀那本。
願意自學線性代數是很了不起的事情，願意拍影片解釋更是辛苦，我能給出的建議是，如果想要多找幾本參考資料的話，要注意他們彼此的 approach 是否相容，比如說如果都是數學系的線性代數教科書，那大概彼此的差距不會太遠（也肯定都會提向量空間）。在數學中，論證的前提是很重要的，所以同一個定理，他們用的定義不一樣，那他們的證明也會不一樣（雖然這樣是否還算同一個定理有待商榷）。把不同的東西混在一起可能就會產生像上述的錯誤。然而要能夠整理 approach 需要一定的數學能力，所以我也不是很建議新手這樣做，最好就是選一本喜歡的然後專心讀那本，真有卡住、看不懂的地方時，再去網路上發問或是查閱其他參考資料。
猛
人
一
枚
首先，向量與座標是不同的觀念。另外後面對於命題的陳述也不太精確 (22:42) ，應該要寫0 only exist trivial solution才對。
失蹤人口回歸 不過沒想到會做跟矩陣跟線代有關的東西 之後會不會開家教班XD
商科背景報到，終於知道我學的線性幾何(生產管理)到底在"科幻"甚麼了。有幫助。
請問 07:33 的地方， i(1+i, 2-i) = (-1+i, 1+2i) 這裡不是很懂，請問 i 實際應該代入多少？
ｉ也是某種「數」，你可以先理解為它就像「圓周率」那樣，也是「某個既定的數」就是了。
想問 James 對交大莊重或是清大趙啟超 OCW 的看法是？
單純看 OCW 有辦法取代原文書嗎？
建議看台大數學的謝銘倫
也可以看 IIT 的
建議搭配原文書，除非你很會作筆記。
我覺得台大蘇柏青老師的線性代數很好
@@徐永承-n2k 怎麼說？
好厲害的動畫，請問怎麼做的？
3blue1brown 在用的
3blue1brown 在用的 library 呈現的畫面蠻美的