【入試数学(基礎)】複素数と方程式、式と証明4 整式を割った余り
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- Опубликовано: 9 фев 2025
- (1)は典型的、(2)は質問が多いもの、(3)は何が最速？ 全員、楽しめるように3レベル用意してみました。役に立つと思います！
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神動画。
永島豪先生、特に（２）素晴らしかったです。ありがとうございます。速い。
神です
自分はx^3-1でx^100を割るとあまりが1/3x^2+4/3x+1/3であり、これはさらにx^2+x+1で割れるのでこれで割ると答えはxとしました
塾講師バイトしてるけどこの動画最高！！
めっちゃ参考になる！！
(3)の「x^100-x^97はx^2+x+1で割り切れるから、x^100もx^97もx^2+x+1で割った余りが等しい」の部分がわかりません。この部分を解説してほしいです。
(2)やっと理解できた！きもちい
ωでも出来ますかね
(3)全くわからんです😭
(3)は
a-b≡0 (mod n)
⇔a≡b (mod n)
を使ってるってこと？
そーです！
今日もありがとうございます。
誤魔化しや省略がなくわかりやすい内容をありがとうございます。
東進の難関大模試に⑵に似た問題でてきて出来なかったからありがたい
表裏一体 受験頑張ってな
いいたくありません ありがとうございます！来年笑えるように頑張ります😁
受かりました！ありがとうございましたー
@@chitanda-f5e おめでとうございます！旧帝ですか？？
@@河田とおる 名古屋大学です！
毎日楽しみです！
⑶のωを使ったやり方誰でもいいので丁寧に解説希望します。
。マーマレード あ、そうでしたか。
この問題はxをωとして考えたらすぐ解けますか？
鉄板問題でめっちゃわかりやすいです！
(2)は(x+1)の二乗を展開した式を割る数にして筆算すれば未知数が3つでも難なく求まります
自分用
27と45を6で割ったあまりを考える。45-27=18 18は3で割り切れるから、27,45をそれぞれ6で割ったあまりは一致する。
(2)が分かりにくい人は具体的な数で考えてみたらいいかも
わかりやすい！
重解を持つ式で割る問題も重要。
4:56
微分すればいけるよね
数3必要だけども
合同式は本当にありがたいです！！
余りも全然復習しないので本当に助かります！
modっていろんな問題で応用できるからやっといて良かった
まあ最後のは剰余の定理で1の3乗根代入して係数比較して終わりやな
某RUclipsrさんみたいにするとこんな感じでしょうか。ご参考まで。
二項展開が分かって(a+b)ⁿをａで割った余りがbⁿをａで割った余りと同じってことが分かるのであれば以下のように考えてもできます。
x³-1=(x-1)(x²+x+1)
x³=(x-1)(x²+x+1)+1
x⁹⁹=(x³³)³={(x-1)(x²+x+1) + 1}³³
よって、右辺の二項展開を考えると、x⁹⁹を(x²+x+1)で割った余りは1³³=1
(modで言えばx⁹⁹≡1(mod(x²+x+1)))
よって、x¹⁰⁰={(x-1)(x²+x+1)+1}³³・xを(x²+x+1)で割った余りはx
やっぱそっちの方が分かり易いね
もしくは因数分解公式でx^99 -1=(x^3)^33 -1がx^3 -1を因数に持つことを使うか
なんか理解出来てないとこピンポイントで指摘されてる感じw
あ、clear問題集だw
今までで1番為になったかも
良き
最後mod出てきたとき、
た〇みさんの「mod10で計算してんな！」
を思い出しました笑
今日も分かりやすかったです！
え〜、、、なんだっけな。。。
たつみさんだっけかな。
9×4=？
@@Yudai-ut1mb 6！！！
整式の合同式便利ですね！
私は(3)をこんなやり方でやっちゃいました。
めんどくさみ…
x² + x + 1 = 0
の解を A とすると
A² + A + 1 = 0 …①
となり、この式の両辺に A - 1 をかけると
(A - 1) (A² + A + 1) = 0
A³ = 1 …②
が得られる。
x¹ºº = (x² + x + 1) Q(x) + ax + b
とおき、x = A を代入すると
A¹ºº = (A² + A + 1) Q(A) + aA + b
A × (A³)³³ = (A² + A + 1) Q(A) + aA + b
ここで①と②を用いると
A × 1 = 0 × Q(A) + aA + b
(a - 1)A + b = 0
A は実数でなく、右辺のように実数にするためには
A の虚部を 0 に、すなわち
a - 1 = 0
でなければならない。よって a = 1
したがって b = 0
∴求める答えは x である。
なるほど！
神奈川大にしては難しい問題だった←オイっ
*無料でこれが見れるのありがたすぎ*
*もう少し遅く生まれててもよかったな、、(・ー・ )*
継続は力なりみんなでがんばろな
2の解法いつも忘れるからありがたいです。僕は微分でやってます。
(2)分からない😭
(3)ちょっと難しいのでもう少し他の例とか解説欲しい...
n y
x¹⁰⁰=(x²+x+1)Q(x)+ax+bと表せる.
ここでx²+x+1=0の解をω(ωは虚数解)とするとω³=1だからこれを利用する
x=ωを両辺に代入すると
左辺=ω×(ω³)³³=ω
右辺=(ω²+ω+1)Q(ω)+aω+b
=0×Q(ω)+aω+b
=aω+b
a,bは実数でωは虚数だからω=aω+bよりa=1,b=0
よって求める余りはx
大学への数学1体1対応の演習でこのような問題がありますがx²+x+1の形を見たら1の三乗根を考えてみるということが書いてありました
わかりにくければ1の三乗根の動画を調べれば出てくると思うのでそれを見てください
masaki すごくわかりやすいです！ありがとうございました！
わかりやすい！
初見の時(2)みたいなやつ意味不だったなぁ
これと同じ解法の青チャートの問題で、この前1人で苦しみながら解説読んでなんとかインプットしたのが、こんなにも明快な解説に集約されていて目から鱗でした、ありがとうございます！！！！！！！！
青チャの問題ってどれですか？
教えてください！
ぱっと見(解説とかはまだ聞いてないが)青チャⅡの例題55に似てるような気がする
練習54すね
2問目はすぐ分かったけど3問目は3回ぐらい見直した
3番で、ある2数の差がkの倍数であるとき、2数をkで割った余りが等しいことの証明はしなくていいんですか？
そこまでしなくて良いでしょう。動画内の黒板のような解答で問題はないと思います。
やってることは互除法ですね
これは神回
本日もお願いします。
今回のような問題は慣れないうちは理解が難しい部分かも知れないですね。
整式P(x)を
P(x)=商×割る数+余り の形で考えたり、
余りをax+bと置いて求めたりと、初見だと馴染みのない考え方でしょうから、難しく感じるかも知れません。
自分自身、今回の問題へのアプローチは曖昧な部分が多かったので、しっかり復習します。
あと、やっぱり合同式って強力な武器ですよね〜。
4:56
自分用
（3）は、ωを代入しても行けそう
これはすごい！青チャートとかじゃ学べない解法
なるほど
教科書（数学Ａの発展的内容）の合同式の部分では、合同式の各種の性質は整数の場合にしか証明は与えられていません。多項式にまで拡張して使用して良いものでしょうか？ 入試答案で使って減点されないか、いささか不安が残ります。
良いと思います。教科書が限定しているだけと、私はとらえています。
大学数学の代数学のイデアルという範囲で詳しく扱います。
結論から言うと足し算引き算掛け算はできます。
解説を拝聴していればなるほど🧐、となりますけど、
なかなか着想が得にくい厄介な単元ですね😵
(2)青チャートに同じ系統の問題載ってるけど、初見はみんな詰まってる印象がある（笑）
（3）を見て行列で似たような問題あったなぁと思い出しました。
11:30 関西大
意外と奥が深いのはホントそうですよね
、mod x^2+1とか考えると複素数と同じようなもの作れたりもしますし😊
これまた入試では常識とされる問題なので、解法の理解と定石としての暗記が必要
また、最初の(3)の問題では普通に二次式でa、bを使い余りを表して、両辺を微分することでも求められる。これも覚えておくべき定石。
この手の問題は数列の問題や更に整数問題の応用問題に変化していくことが多いため、難関大学ではここの最初の変形や考え方は出来なければ話にならないだろう
うーん、3問目がよく分からんかったな。また後で動画見返します。
ごめんなさい。少し難しかったかもしれません。
問題集の解説に、虚数を使うものが多いので、今回敢えて取り上げてみました。
整数問題として捉えるとわかりやすく、「指数式の余りには規則性が存在する」ということを使って解いている感じですね。
これは、小さい数とそのn乗（nは自然数）の、modを順繰りに調べていけば体感的にわかるかと。
割った時の商をQ(x)する、という記述がないと減点になりませんか？
不安だと書いておけば良いです。が、なくても通じるでしょうから、そこに配点をおく人はあまりいない気もします(人によると思う)。
微分や無理矢理代入して計算する方法も、いざと言う時にやってみます！
合同式の解法や、文字の種類を減らす考えは知りませんでした！しっかり復習しておきます！
3問目オメガ代入して複素数の相等を踏まえても良いのかな？
合八一合さんが説明してくれています。詳しいので有難いです。
(2)の解法は黒板使っての解説の方がわかりやすくて理解できた。(3)は合同式を習ってない人からしたらきつい？自分は高1の時にやったから(2)よりも楽にいけた
発想は普通に入試問題レベルですね。
(2)がよく分からんかったなー。
大事なとこだね〜
微分するの好き
今年の国福医の入試を思い出した
今回苦手な人キツそう
今日は間に合った！
襦袢は着ないのだろうか
これガチで嫌い
（2）は二次式で割ると商が一次式以下になるためX－2でQ1が割り切れるんでしょうか？
尺の問題でしょうがないのかもしれないけど、(1)(2)と比べると(3)の解説が少し簡素に感じました。
ご意見ありがとうございます。気をつけます！(3)は発展問題という位置付けで、少し急いでしまいました。
これ苦手w
理解不能なり〜(°ω。)
あ
4:20