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この動画の作者がテンソルを理解していないように思います。冒頭の説明に、いきなり致命的な矛盾があり、間違っているからです。以下、それを説明します。ここでは行列0110をAと書くことにします。動画では、「ベクトル a を (a_x, a_y) と定義する。これはベクトルだから座標回転で動かない。一方、Aa = (a_y, a_x) を矢印bと定義する。このbは座標回転で動く」という事を言われています。しかし、b = (a_y, a_x) が仮に動くのでしたら、成分を入れ換えただけの a = (a_x, a_y) も変化する事になります。これは「aはベクトルなので変化しない」という説明と矛盾します。従って、「aは動かない。そしてAを上に書いた行列だとして、b = Aaである」とするのなら、bは絶対に動いてはいけません。bは動かないのですから、bはベクトルという事になります。すなわち、Aはテンソルです。逆に、aがベクトルで動かないものとして、もしbが「動く何物か」なら、それはbの定義が (a_y, a_x) ではない(b = Aa ではない)という事です。実際、動画では、最初に b = Aa と定義しましたが、その後で、bを「aと、回転座標系上の直線」を使って説明し直しています。ここでbの定義が「回転しない座標で定義されたaの、回転する座標系上の直線について対称な矢印」に、すりかわっているのです。そして、すりかわった後の定義には、Aは含まれていません。もはやbは、Aと直接的な繋がりのない存在です。直接的な繋がりのない存在なのですから、このbで以て、Aについて何か言うことは出来ません。しかし、この動画の作者は、「bが動いたからAはテンソルではない」という事を言っています。ここが間違っているのです。
Shima Shima さん」テンソルとは、１）任意のベクトルから別のベクトルを生み出す。２）線形性を満足する。というだけの、実にシンプルな概念です。難解であるかのような印象を持たれてしまったのは、私の力不足と思います。最近所用が多くて動画アップから、遠ざかっているのですが、かなり以前に作った、「共変微分 ①回目」という動画でも触れています。是非、ご覧下さい。
返信ありがとうございます。私は社会人になってから独習で物理を学んでおりまして解析力学の本も何冊か買いましたがラグランジアンの図など他の本で書かれていない指摘もあって素晴らしいなと思っていました。ただテンソルの解釈がおかしいとなると書かれた本の何を信じていいか分からなくなります。こちらの動画・コメント欄で指摘されていること・本の内容全てをすぐに分かるようになるとは思いませんが地道に理解していこうと思います。
意味わかんない。なぜなら、「相対座標」とどう違うのか。それとも座標の方を回転させてベクトルを動かさないということなの？ベクトルと座標どちらを動かそうというの？正方形の図形を原点からはなしてぐるぐる回転させるのか座標の方を回転させて図形を動かさないのか、正方形を自転させるというのか、ベクトルを固定して座標の方を動かしたり回転させたりするのか、はっきりしてもらいたいな、なんなのか？まず、液晶モニターの座標がある、次に仮想的原点Ｏを定める、次にＯからの相対座標に点ｐがある、次にその点ｐに⊿ｘ、⊿ｙ、⊿ｚのベクトルを定める、次に、、、、という中でテンソルとは何なのか？
野沢さんの相対性理論と解析力学の本を買って読んでいるのですが、こちらのコメント欄で野沢さんはテンソルを理解していないなどの疑義が出ています。このまま野沢さんの本を読んで間違った理解にならないでしょうか?
テンソルは、ベクトル（１×ｍ）を（ｎ×ｍ）に一般化したものや。ベクトルは、基底と係数で構成され、係数を（１×ｍ）で表したものや。テンソルも、基底と係数で構成され、係数を（ｎ×ｍ）で表したものや。行列は、複数の数の組をｎ×ｍの行列に並べて、カッコで閉じて並べるだけで、基底というものは存在しない。テンソルは、行列に規定を設定したものや。基底を設定するということは、テンソル空間を設定するということや
「相対座標系」とどう違うの？
ちょっと疑問。例にでてくる（０，１，１，０）は、たとえば３０度回転した座標上では、成分が変化して（√3/2、1/2、1/2、－√3/2）になる。すると、ベクトルAは新しい座標上では（０，１，１，０）ではなく（√3/2、1/2、1/2、－√3/2）と反応することになるのでは？結果としてベクトルAは元の座標で生成されるベクトルBと全く同じベクトルを生み出すことになるのでは？つまり、（０，１，１，０）は、やはりテンソルといえるのでは？
著書のカスタマーレビューにも書かせて頂きましたが(ojisan7というのが私です)、テンソルの解釈が、根本的に間違えているのでは。。。失礼ですが、そもそも、この動画の配信者はテンソルの概念を理解していないように見受けられます。テンソルは数学的に抽象的な概念ですが、物理では、ベクトルと同様に、座標系に依存しない具体的な物理量なのです。「ベクトルをベクトルに変換する」作用がテンソルの本質ではありません。「ベクトルをベクトルに変換する」作用なんてものは必要がなく、テンソル単独で存在できる物理量です。テンソル（ベクトルを含む）は、本来、テンソル積で表現される量です。数ベクトルやテンソルの成分のように、行列や添え字で表記されたものを、テンソルだと解釈する勘違いが多いのも残念ですが、2階のテンソルを行列表現することは、間違いではありません。というか、行列は単なる表記であり、一般にはそれに線形写像としての表現を与えるのです。著者は行列の積とテンソルの積を混同しており、その理解も間違っています。行列の積は一次変換の積ですが、テンソルの表現では、テンソル積の縮約です。このような観点からすれば、テンソル積は行列の積を含み（強いて言えば、行列は2階の(1,1)混合テンソルです）、行列よりも更に、一般的な概念なのです。テンソルを図解等で理解すること自体は悪くありませんが、視聴者を誤った理解に導く危険があります。数学や物理で、最も重要なことは、正確な定義と、厳密性です。やはり、この手の説明は、理学部の物理学科や数学科を卒業した人の説明を聞かれた方がよいのではないでしょうか。添え字を操作するテンソル計算は、テンソルを理解するための必要条件ですが、十分条件ではありません。直観による生半可な理解ではなく、幾何学的な内容を正しく理解することが大切です。
スカラーに作用してスカラーを生み出す集合①とベクトルに作用してベクトルを生み出す集合②を並べて比較し整理したら。①と②の特徴が理解できる。テンソルにならない作用とベクトルにならない作用も整理して欲しい
ベクトルの座標変換のことを言ってるのかな？？
極座標表示のほうが扱いやすいかも
回転対称性か！
高校生でも分かりました。有難う御座います。
スカラーに作用してスカラーを生み出すのは何？ベクトルに作用してベクトルを生み出すのはテンソルで？ベクトルの始点(スカラー)をベクトルの終点(スカラー)に移動させるのがベクトルでは！【作用≠移動】なの？
この動画の作者がテンソルを理解していないように思います。冒頭の説明に、いきなり致命的な矛盾があり、間違っているからです。以下、それを説明します。
ここでは行列
01
10
をAと書くことにします。
動画では、「ベクトル a を (a_x, a_y) と定義する。これはベクトルだから座標回転で動かない。一方、Aa = (a_y, a_x) を矢印bと定義する。このbは座標回転で動く」という事を言われています。しかし、b = (a_y, a_x) が仮に動くのでしたら、成分を入れ換えただけの a = (a_x, a_y) も変化する事になります。これは「aはベクトルなので変化しない」という説明と矛盾します。従って、「aは動かない。そしてAを上に書いた行列だとして、b = Aaである」とするのなら、bは絶対に動いてはいけません。bは動かないのですから、bはベクトルという事になります。すなわち、Aはテンソルです。
逆に、aがベクトルで動かないものとして、もしbが「動く何物か」なら、それはbの定義が (a_y, a_x) ではない(b = Aa ではない)という事です。実際、動画では、最初に b = Aa と定義しましたが、その後で、bを「aと、回転座標系上の直線」を使って説明し直しています。ここでbの定義が「回転しない座標で定義されたaの、回転する座標系上の直線について対称な矢印」に、すりかわっているのです。そして、すりかわった後の定義には、Aは含まれていません。もはやbは、Aと直接的な繋がりのない存在です。直接的な繋がりのない存在なのですから、このbで以て、Aについて何か言うことは出来ません。しかし、この動画の作者は、「bが動いたからAはテンソルではない」という事を言っています。ここが間違っているのです。
Shima Shima さん」
テンソルとは、
１）任意のベクトルから別のベクトルを生み出す。
２）線形性を満足する。
というだけの、実にシンプルな概念です。難解であるかのような印象を持たれてしまったのは、私の力不足と思います。最近所用が多くて動画アップから、遠ざかっているのですが、かなり以前に作った、「共変微分 ①回目」という動画でも触れています。是非、ご覧下さい。
返信ありがとうございます。私は社会人になってから独習で物理を学んでおりまして解析力学の本も何冊か買いましたがラグランジアンの図など他の本で書かれていない指摘もあって素晴らしいなと思っていました。ただテンソルの解釈がおかしいとなると書かれた本の何を信じていいか分からなくなります。こちらの動画・コメント欄で指摘されていること・本の内容全てをすぐに分かるようになるとは思いませんが地道に理解していこうと思います。
意味わかんない。
なぜなら、「相対座標」とどう違うのか。
それとも座標の方を回転させてベクトルを動かさないということなの？ベクトルと座標どちらを動かそうというの？正方形の図形を原点からはなしてぐるぐる回転させるのか座標の方を回転させて図形を動かさないのか、正方形を自転させるというのか、ベクトルを固定して座標の方を動かしたり回転させたりするのか、はっきりしてもらいたいな、なんなのか？まず、液晶モニターの座標がある、次に仮想的原点Ｏを定める、次にＯからの相対座標に点ｐがある、次にその点ｐに⊿ｘ、⊿ｙ、⊿ｚのベクトルを定める、次に、、、、という中でテンソルとは何なのか？
野沢さんの相対性理論と解析力学の本を買って読んでいるのですが、こちらのコメント欄で野沢さんはテンソルを理解していないなどの疑義が出ています。このまま野沢さんの本を読んで間違った理解にならないでしょうか?
テンソルは、ベクトル（１×ｍ）を（ｎ×ｍ）に一般化したものや。
ベクトルは、基底と係数で構成され、係数を（１×ｍ）で表したものや。
テンソルも、基底と係数で構成され、係数を（ｎ×ｍ）で表したものや。
行列は、複数の数の組をｎ×ｍの行列に並べて、カッコで閉じて並べるだけで、基底というものは存在しない。
テンソルは、行列に規定を設定したものや。
基底を設定するということは、テンソル空間を設定するということや
「相対座標系」とどう違うの？
ちょっと疑問。例にでてくる（０，１，１，０）は、たとえば３０度回転した座標上では、成分が変化して（√3/2、1/2、1/2、－√3/2）になる。すると、ベクトルAは新しい座標上では（０，１，１，０）ではなく（√3/2、1/2、1/2、－√3/2）と反応することになるのでは？結果としてベクトルAは元の座標で生成されるベクトルBと全く同じベクトルを生み出すことになるのでは？つまり、（０，１，１，０）は、やはりテンソルといえるのでは？
著書のカスタマーレビューにも書かせて頂きましたが(ojisan7というのが私です)、テンソルの解釈が、根本的に間違えているのでは。。。失礼ですが、そもそも、
この動画の配信者はテンソルの概念を理解していないように見受けられます。テンソルは数学的に抽象的な概念ですが、物理では、ベクトルと同様に、座標系に
依存しない具体的な物理量なのです。「ベクトルをベクトルに変換する」作用がテンソルの本質ではありません。「ベクトルをベクトルに変換する」作用なんて
ものは必要がなく、テンソル単独で存在できる物理量です。テンソル（ベクトルを含む）は、本来、テンソル積で表現される量です。数ベクトルやテンソルの成分
のように、行列や添え字で表記されたものを、テンソルだと解釈する勘違いが多いのも残念ですが、2階のテンソルを行列表現することは、間違いではありません。
というか、行列は単なる表記であり、一般にはそれに線形写像としての表現を与えるのです。著者は行列の積とテンソルの積を混同しており、その理解も間違って
います。行列の積は一次変換の積ですが、テンソルの表現では、テンソル積の縮約です。このような観点からすれば、テンソル積は行列の積を含み（強いて言えば、
行列は2階の(1,1)混合テンソルです）、行列よりも更に、一般的な概念なのです。テンソルを図解等で理解すること自体は悪くありませんが、視聴者を誤った理解に
導く危険があります。数学や物理で、最も重要なことは、正確な定義と、厳密性です。
やはり、この手の説明は、理学部の物理学科や数学科を卒業した人の説明を聞かれた方がよいのではないでしょうか。添え字を操作するテンソル計算は、テンソルを
理解するための必要条件ですが、十分条件ではありません。直観による生半可な理解ではなく、幾何学的な内容を正しく理解することが大切です。
スカラーに作用してスカラーを生み出す集合①とベクトルに作用してベクトルを生み出す集合②を並べて比較し整理したら。①と②の特徴が理解できる。テンソルにならない作用とベクトルにならない作用も整理して欲しい
ベクトルの座標変換のことを言ってるのかな？？
極座標表示のほうが扱いやすいかも
回転対称性か！
高校生でも分かりました。有難う御座います。
スカラーに作用してスカラーを生み出すのは何？ベクトルに作用してベクトルを生み出すのはテンソルで？ベクトルの始点(スカラー)をベクトルの終点(スカラー)に移動させるのがベクトルでは！【作用≠移動】なの？