근데 혹시 순환소수는 어떤 수로 수렴하는 값인가요? 아니면 특정 실제로 존재하는 값인가요? 이 질문을 하게 된 이유가, 영상에서 순환소수에 양변에 100을 곱하고 100000을 곱한후 변변 빼서 분수로 나타내는 부분이 있는데, 원래 이런 것이 가능하려면 애초에 수렴한다는 보장이죄어야 한다고 알고 있어서요. 예를 들어 S = 1+ 2 + 4 + 8 + 16 + ... 은 발산하므로 양변에 2를 곱한후 변변 빼서 S= 1/2 라고 하는 것은 안되기 때문인 것 처럼 말이죠. 꼭 답변 해주셨으면 좋겠습니다. 오래된 영상이더라두요...
분수를 소수로 고칠 때 보통 세로셈법을 많이 쓰기에 순환소수를 '무한히 계산하는 수'와 같이 종종 오해하는 바람에 순환소수가 '극한의 수렴값'이니 하는 둥의 잘못된 인식을 갖곤 합니다. 하지만 단언컨대 순환소수는 하나의 고정된 값입니다. '무한히 계산하는'이 오해인 이유는, 순환소수가 수학적 귀납법을 통해 소수점 아래에서 특정 숫자의 나열이 '모든' 자리수에서 반복된다는 것을 증명할 수 있기 때문입니다. 즉, '끝없이 계산하는 수'가 아니라 '모든 자리수'에서 특정 배열이 반복되는 것으로 이해해야한다는 것이죠. 아주 간단한 예시로 0.999……는 '소수점 아래로 9를 끝없이 써나가는' 수가 아니라 '소수점 아래의 모든 자리수가 9'인 수이고, 그래서 이 영상에서 설명했던 것처럼 0.999… = a라고 할 때 10a - a = 9, ∴a = 1 = 0.999……와 같은 관계를 유도할 수 있는 겁니다. 여기서 많은 분들이 위화감을 느끼는 것은, 1은 유한한 값인데 어떻게 9가 무한개인 소수와 같을 수 있냐라고 하는 부분인데, 사실 1은 1.000……인 무한소수의 일종입니다. 그러니까, 소수점 아래로 0이 무한히 반복되는 수이지만, 인간의 편의상 이 0은 써도 쓰지 않아도 사칙연산에 문제를 일으키지 않기 때문에 인간의 편의상 소수점 아래 끝에서 반복되는 0은 생략한다고 약속해서, 1 밑으로 아무런 숫자가 없다고 우리가 잘못 이해하고 있을 뿐인 겁니다. 그럼 1.000…… = 0.999……가 왜 그렇냐는 질문이 떠오를 수 있는데, 이건 '그냥 소수가 원래 그렇다'라고 받아들이는 수밖에 없습니다. 이는 세로셈법으로 9/9를 계산할 때, 몫에 1이 아니라 0을 쓰고 자릿수를 하나 내려서 90에 9를 반복해서 써나가는 과정으로 아주 간단하게 보일 수 있습니다. 그리고 이런 관계는 우리가 일상적으로 쓰는 십진법뿐만 아니라 이진법, 16진법, 심지어는 모든 n진법에서도 똑같이 나타나는 현상입니다(즉 2진법에서는 0.111……(2) = 1.000……(2)이고, 5진법에서 0.444……(5) = 1.000……(5)입니다). 바꿔 말하자면, 소수점으로 나타내는 숫자 체계에서 엄밀한 의미의 유한소수(자릿수가 유한한 소수)란 없습니다. 그저 순환소수(혹은 혼순환소수)와 비순환소수만이 있을 뿐이고, 개중에 소수점 아래 끝에서 0이 반복되는 수를 우리가 유한소수라고 부르는 것뿐입니다. 소수의 구분을 이렇게 받아들이면, 실수를 유리수와 무리수로 구분했던 체계와도 깔끔하게 대응시킬 수 있습니다. 유리수 = (혼)순환소수, 무리수 = 비순환소수라고 말이죠. (기존에 학교에서 배우는 무한소수 = (혼)순환소수 + 비순환소수'라는 구분은 '자릿수가 유한한가 아닌가'로 판단한 인간의 편의상의 구분일 뿐입니다.) 소수점을 이용해서 나타내는 수를, 원래 아무것도 없던 백지에 계산을 통해서 숫자를 계속 써나가는 게 아니라 그냥 원래 소수점 위아래로 0~9의 정수가 들어갈 자릿수가 무한개 마련되어 있고, 그 자리에 무슨 숫자가 들어가는지를 '나타낸 것'이라고 이해하시면 됩니다. 다만 순환소수와 혼순환소수는 항상 그 규칙이 존재하여 분수로 나타낼 수 있는 유리수인 것이고, 비순환소수는 그 규칙이 없어 유리수로 나타낼 수 없는 수인 것이죠.
![[수학한스푼] f(a+) 란?](http://i.ytimg.com/vi/3qLkkgpXHT4/mqdefault.jpg)
![[수학한스푼] f(a+) 란?](/img/tr.png)
![[지식in] 왜 (-1)^2 2 = -1 일까?](http://i.ytimg.com/vi/2jjnebhxFN4/mqdefault.jpg)
![[수학한스푼] 실수의 완비성](/img/1.gif)
정말로
알고싶었던...!
숫자놀이...🤩
이렇게 흥미롭게 배울수있는
학문을....
과거에는 왯..
죽어도 싫었스까요.ㅎ
유트브의 활성화는
저를 위해 이시대 온것같았요.
답답한 가슴이~~!
펑...@@
시언하게 가르쳐주셔서
고맙습니다.🍵
근데 혹시 순환소수는 어떤 수로 수렴하는 값인가요? 아니면 특정 실제로 존재하는 값인가요?
이 질문을 하게 된 이유가, 영상에서 순환소수에 양변에 100을 곱하고 100000을 곱한후 변변 빼서 분수로 나타내는 부분이 있는데, 원래 이런 것이 가능하려면 애초에 수렴한다는 보장이죄어야 한다고 알고 있어서요. 예를 들어
S = 1+ 2 + 4 + 8 + 16 + ... 은 발산하므로 양변에 2를 곱한후 변변 빼서 S= 1/2 라고 하는 것은 안되기 때문인 것 처럼 말이죠. 꼭 답변 해주셨으면 좋겠습니다. 오래된 영상이더라두요...
분수를 소수로 고칠 때 보통 세로셈법을 많이 쓰기에 순환소수를 '무한히 계산하는 수'와 같이 종종 오해하는 바람에 순환소수가 '극한의 수렴값'이니 하는 둥의 잘못된 인식을 갖곤 합니다.
하지만 단언컨대 순환소수는 하나의 고정된 값입니다. '무한히 계산하는'이 오해인 이유는, 순환소수가 수학적 귀납법을 통해 소수점 아래에서 특정 숫자의 나열이 '모든' 자리수에서 반복된다는 것을 증명할 수 있기 때문입니다. 즉, '끝없이 계산하는 수'가 아니라 '모든 자리수'에서 특정 배열이 반복되는 것으로 이해해야한다는 것이죠. 아주 간단한 예시로 0.999……는 '소수점 아래로 9를 끝없이 써나가는' 수가 아니라 '소수점 아래의 모든 자리수가 9'인 수이고, 그래서 이 영상에서 설명했던 것처럼 0.999… = a라고 할 때 10a - a = 9, ∴a = 1 = 0.999……와 같은 관계를 유도할 수 있는 겁니다.
여기서 많은 분들이 위화감을 느끼는 것은, 1은 유한한 값인데 어떻게 9가 무한개인 소수와 같을 수 있냐라고 하는 부분인데, 사실 1은 1.000……인 무한소수의 일종입니다. 그러니까, 소수점 아래로 0이 무한히 반복되는 수이지만, 인간의 편의상 이 0은 써도 쓰지 않아도 사칙연산에 문제를 일으키지 않기 때문에 인간의 편의상 소수점 아래 끝에서 반복되는 0은 생략한다고 약속해서, 1 밑으로 아무런 숫자가 없다고 우리가 잘못 이해하고 있을 뿐인 겁니다. 그럼 1.000…… = 0.999……가 왜 그렇냐는 질문이 떠오를 수 있는데, 이건 '그냥 소수가 원래 그렇다'라고 받아들이는 수밖에 없습니다. 이는 세로셈법으로 9/9를 계산할 때, 몫에 1이 아니라 0을 쓰고 자릿수를 하나 내려서 90에 9를 반복해서 써나가는 과정으로 아주 간단하게 보일 수 있습니다. 그리고 이런 관계는 우리가 일상적으로 쓰는 십진법뿐만 아니라 이진법, 16진법, 심지어는 모든 n진법에서도 똑같이 나타나는 현상입니다(즉 2진법에서는 0.111……(2) = 1.000……(2)이고, 5진법에서 0.444……(5) = 1.000……(5)입니다).
바꿔 말하자면, 소수점으로 나타내는 숫자 체계에서 엄밀한 의미의 유한소수(자릿수가 유한한 소수)란 없습니다. 그저 순환소수(혹은 혼순환소수)와 비순환소수만이 있을 뿐이고, 개중에 소수점 아래 끝에서 0이 반복되는 수를 우리가 유한소수라고 부르는 것뿐입니다. 소수의 구분을 이렇게 받아들이면, 실수를 유리수와 무리수로 구분했던 체계와도 깔끔하게 대응시킬 수 있습니다. 유리수 = (혼)순환소수, 무리수 = 비순환소수라고 말이죠. (기존에 학교에서 배우는 무한소수 = (혼)순환소수 + 비순환소수'라는 구분은 '자릿수가 유한한가 아닌가'로 판단한 인간의 편의상의 구분일 뿐입니다.)
소수점을 이용해서 나타내는 수를, 원래 아무것도 없던 백지에 계산을 통해서 숫자를 계속 써나가는 게 아니라
그냥 원래 소수점 위아래로 0~9의 정수가 들어갈 자릿수가 무한개 마련되어 있고, 그 자리에 무슨 숫자가 들어가는지를 '나타낸 것'이라고 이해하시면 됩니다. 다만 순환소수와 혼순환소수는 항상 그 규칙이 존재하여 분수로 나타낼 수 있는 유리수인 것이고, 비순환소수는 그 규칙이 없어 유리수로 나타낼 수 없는 수인 것이죠.
7을 121로 나누는데 ..이게 과연 순환소수인가?
예
13으로 나누면 순환마디가 열몇개던가 경험이 있습니다
그렇다면 12개일 겁니다.
13-1=12의 약수 개로 나옵니다.
769230
X에 100곱하실 때도 하고 싶으신 말이 많이실텐데 ㅎㅎ