선생님... 나이 50넘어 수학을 공부하고 싶습니다. 그런데 어디서부터 해야할지 막막하더군요. 80년데 중학교.고등학교 참고서없이 오로지 책과 선생님설명만으로 수학을 만점받았지만 지금의 중고등교재에 따라가지 못할 정도로 쉽기는 했지요.. 기초부터 하자고 초등수학을 보니 너무 쉬워 기초를 익히기 위해 복습하는 맘으로 하자고 보니 지루하긴 하더라구요 과거에는 계산 위주였지만 지금의 교재는 서술형으로 많이 나오고 부기같이....부기도 3급받았지만 저는 사실 기억력이 좋지 못해요. 이해는 너무 잘하는데 암기가 안되어 다시 보고다시보고 그래서 학생때는 친구들이 노력파라고 불렀지요 그렇게 하지 않으면 잊어버리니.. 시험치고나면 머리에 남더라구요. 남들보다 몇배로 노력해야 등수에 오르느데도 공부에 욕심이 많아 대학도 가고 싶었지만 가정도 너무 어려워 공부를 못했지요 지금은 수학이라게 참 중요한것 같아요. 그냥 숫자계산이라 생각했는데 무궁무진하고 우주를 말하고 세상을 말하니 참 신기하기도 합니다. 머리가 복잡할때면 늘 계산을 했습니다. 그러면 머리가 맑아졌거든요. 나이들어 공부한다 놀리겠지만 수학은 해봐야 할것 같아요. 그런데 어디서 부터 해야 할지 정말 모르겠습니다.. 어떻게 하면 좋을까요? 여기저기 찾다가 이곳에 와보네요
현 서울대학교 재학생입니다. 개인적인 사견으로는 수학 그 자체를 배우고 싶은건지 입시제도에 맞는 수학을 공부하고 싶으신지가 중요한것 같습니다. 전자면 독서가 최고입니다. 다양한 책 읽으면서 여러 지식 접하고 반복적으로 보다보면 어느정도 큰 흐름과 이해를 얻으실 수 있습니다. 후자면 문제를 많이 플면서 다양한 해설이나 설명 영상을 보시는게 좋을 것 같습니다. 제가 과외하면서 제일 많이 하는 말인데 수학의 시작은 철학이고 결국 세상의 원리를 설명하고자 하는 학문이란 겁니다. 방정식 함수 로그 등등 어떠한 개념에도 그것이 생긴 이유와 사용하는 이유가 있습니다. 결국 도착점만 보면 전자랑 후자랑 비슷하긴 합니다. 그래도 과정은 상당히 차이나니 무엇을 원하시는지 생각해보시는걸 추천합니다! 50대에 열정을 가지시고 공부하는 모습 정말 존경합니다 저희 아버지가 생각나서 이 댓글 쓰면서 눈물이 살짝 맺혔습니다😢😢 진심으로 응원하겠습니다!!
물어볼 곳이 없어서 영상과 관계없는 내용을 질문하는것에 양해부탁드릴게요. 언어에 대해 궁금한데요, 여기서 언어는 세계 모든언어나 숫자같은 언어도 포함합니다. 만약 유한 시간이 주어진다면, 언어도 유한하겠죠. 만약 무한한 시간이 주어진다면 언어도 무한하겠죠. 여기서 궁금한건 가산 집합만큼의 시간이 주어지면, 가산집합만큼의 언어가있는지 궁금해요. 언어의 부분집합인 숫자로서 생각하면, 가산 집합 만큼의 숫자가 있으면 가산집합이겠죠. 하지만 언어는 자연수가 아닌 초월수나 무리수가 표현이 가능하잖아요? 그럼 그걸로 1대1 대응으로 가산집합만큼에 시간에서, 비가산 집합만큼의 언어 존재하는거 아닌가요?
언어의 정의에 따라 다르겠습니다만 일반적으로 비가산집합으로 보입니다 유한시간의 개념이 혼동됩니다만 문자 수는 유한하다고 가정했기때문에 유한 길이의 문자로 된 언어에 포함되는 문장의 갯수가 유한하다고 생각하신 것 같습니다 이를 기반으로 하면 유한한 가짓수의 문자를 가산 길이 만큼 무한히 배열하여 문장을 만든다고 쳤을 때 대각선 논증에 의해 언어 집합의 크기는 비가산이겠네요
지수와 밑은 전부 복소수가 가능하다. 그러나 0이나 양수가 아닌 밑에 유리수 지수가 온다면 정의에 따라 값이 복잡해지는데, 이는 유리수가 분수의 꼴로 변형이 가능하기 때문이며 분모를 최소화하여 최소한의 해를 구할 수 있고 이 중에서 편각이 가장 낮다든가 하는 값을 대푯값으로 잡을 수 있다. 반면 0이나 양수가 아닌 밑에 무리수 지수가 온다면, 편각을 정의할 수 없게 되고 대푯값인 양수값(편각0)만을 잡을 수 있다. 그리고 이 방법을 사용한다면 무리수 지수의 역수를 취한다고 해도 원래 수가 나오지 않으며 항상 양수값으로 귀결된다. 복소수 지수의 경우에는 오일러의 식으로 정의하게 되는데, 결국 양수가 아닌 지수 연산은 항상 편각의 문제가 생기기에 보통은 절댓값과 편각을 위주로 연산을 하게 되는데... 아무튼 지수연산의 각각 정의가 다른데에는 역연산을 위해 전단사로 만들기 위해 "지수 연산은 대푯값을 정하는 연산"이라고 정의해 놓은 것이 오히려 문제일 수도 있다는 생각을 들게 함.
x^2=-1의 근을 구하게 만드는 꼴이라고 보면 되는거죠. 같은 논리로 5^(1/2)도 x=5^(1/2), x^2=5니까 원칙상으로는 +sqrt(5), -sqrt(5)의 2개의 근을 가지겠죠. 하지만 지수법칙이 양수에서 정의된다고 못을 박아버리니 양수의 값으로 픽스되는 것이고요. 복소수에서는 그렇지 않은 상황이 발생하기 때문에 여러개의 값을 그대로 둘 수밖에 없는 것이고요.
n 제곱근 m(m^1/n)을 n 거듭제곱을 해서 m이 나오는 수로 정의를 하게됩니다 즉 바꿔말하면 n 제곱근 m은 방정식 x^n=m의 해로 정의되는 것이죠 그리고 복소수체에 기반한 n차 방정식의 경우 그 해가 복소수 범위에서 항상 n개 존재합니다 따라서 지수의 밑을 양수로 제한하지 않았을 때 제곱근의 값은 여러 개가 존재합니다
9:59에서 설명한 √(-1) = (-1)^(1/2)이라고 정리하는 것은 잘못됐다는 것은 알겠는데, 2:08에서(-1)^(11/5)= 5^√(-1)^11을 풀어서 -1을 맞춘 것은 무엇인가요? 앞서 소개된 것처럼 (-1)^(11/5)= 5^√(-1)^11는 성립이 불가능한 것 아닌가요? 아니면 이 공식은 틀린 공식이고 그 뒤에 나오는 10^√(-1)^22 같이 푸는 것이 잘못 된 거라고 소개하기 위해서 쓰인 건가요?
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유튜브가 이런게 참 좋아요. 대학때 수학을 전공했지만 너무나 오래전 일이고 사회에서도 전혀 쓰지 않아서 까맣게 잊었는데 이렇게 다시 보면 참 재밌고 흥미롭단 말이죠. 감사합니다 :)
멋쟁이 상엽 선생님의 명강의에 눈 반짝♡♡ 귀 쫑긋♡♡
쁘아앙
쁘아앙
쁘아앙
쁘아앙
뭐야 왜 여깄어
ㅋㅋㅋㅋㅋ 🎉🎉🎉
축하드립니다.
(♾️^1=1^♾️) 👏
헐 미쵸따
요즘 이상엽쌤 유튜브 정주행하는 고1입니다. 람베르트w함수 강의도 듣고싶어요
진짜 도움되는 강의..ㅡ 왜 고등학생 때 유투브가 없었을까 ㅠㅠ
짧은 강의인데 복소해석학, 선형대수까지 수학에 대해서 깊이있게 이해하고 계신것이 느껴집니다. 같은 내용이더라도 어떻게 전달하느냐에 따라 달라진다고 생각하는데 정말 강의 잘하시네요.
수험생이 아닌 지금 들어보니 너무너무 재밌네요!!!
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ ㄹㅇ
원래 그럼
전달력 최고! 많이 배우고 갑니다 사랑합니다~^^ㅠ
상엽선생님 강의는 언제나 토씨 하나하나 곱씹어서 듣게되는 명품강의입니다! ㄹㅇ 수학쌤들의 수학쌤.
늘 재밌게 보고있습니다
다가함수 내용이 들어있어 반갑네요ㅋㅋ
유리수 지수의 정의가 정수론 관련때문에 어렵고 오히려 무리수 지수와 복소지수가 쉽다는게 😊😊
수라는게 참 미묘하네요. 인간이 정의한 수들은 굉장히 불규칙적이고, 인간이 모르는 수들은 굉장히 규칙적인것이
감사합니다.
뇌섹남이네요😮
당연 기약분수로 따져야죠❤
으어어.. 재밌어
1의 1/2승을 오일러 공식을 이용할때0도로 하지 말고 (2파이)로하면 -1이 되는데 이것은 어떻게 설명해야하나요
멋집니다.
재밌어요ㅋㅋㅋ
❤ 오일러 공식 다시 보게 되는군요.❤
좋은강의입니다만 짧아요 ㅠㅠ
뭔가 알게됐는데 뭔지 모르겠지만 재밌다
하나 더 배워갑니다.
선생님... 나이 50넘어 수학을 공부하고 싶습니다.
그런데 어디서부터 해야할지 막막하더군요.
80년데 중학교.고등학교 참고서없이 오로지 책과 선생님설명만으로
수학을 만점받았지만 지금의 중고등교재에 따라가지 못할 정도로
쉽기는 했지요.. 기초부터 하자고 초등수학을 보니 너무 쉬워
기초를 익히기 위해 복습하는 맘으로 하자고 보니 지루하긴 하더라구요
과거에는 계산 위주였지만 지금의 교재는 서술형으로 많이 나오고
부기같이....부기도 3급받았지만
저는 사실 기억력이 좋지 못해요. 이해는 너무 잘하는데 암기가 안되어
다시 보고다시보고 그래서 학생때는 친구들이 노력파라고 불렀지요
그렇게 하지 않으면 잊어버리니.. 시험치고나면 머리에 남더라구요.
남들보다 몇배로 노력해야 등수에 오르느데도 공부에 욕심이 많아
대학도 가고 싶었지만 가정도 너무 어려워 공부를 못했지요
지금은 수학이라게 참 중요한것 같아요.
그냥 숫자계산이라 생각했는데 무궁무진하고 우주를 말하고 세상을 말하니
참 신기하기도 합니다. 머리가 복잡할때면 늘 계산을 했습니다. 그러면 머리가
맑아졌거든요. 나이들어 공부한다 놀리겠지만 수학은 해봐야 할것 같아요.
그런데 어디서 부터 해야 할지 정말 모르겠습니다.. 어떻게 하면 좋을까요?
여기저기 찾다가 이곳에 와보네요
현재 서울 소재 대학교 공대생입니다. 개념원리라는 교재가 좋습니다. 중등수학부터 고등수학까지 보시면 충분할 겁니다.
현 서울대학교 재학생입니다. 개인적인 사견으로는 수학 그 자체를 배우고 싶은건지 입시제도에 맞는 수학을 공부하고 싶으신지가 중요한것 같습니다. 전자면 독서가 최고입니다. 다양한 책 읽으면서 여러 지식 접하고 반복적으로 보다보면 어느정도 큰 흐름과 이해를 얻으실 수 있습니다. 후자면 문제를 많이 플면서 다양한 해설이나 설명 영상을 보시는게 좋을 것 같습니다. 제가 과외하면서 제일 많이 하는 말인데 수학의 시작은 철학이고 결국 세상의 원리를 설명하고자 하는 학문이란 겁니다. 방정식 함수 로그 등등 어떠한 개념에도 그것이 생긴 이유와 사용하는 이유가 있습니다.
결국 도착점만 보면 전자랑 후자랑 비슷하긴 합니다. 그래도 과정은 상당히 차이나니 무엇을 원하시는지 생각해보시는걸 추천합니다! 50대에 열정을 가지시고 공부하는 모습 정말 존경합니다 저희 아버지가 생각나서 이 댓글 쓰면서 눈물이 살짝 맺혔습니다😢😢 진심으로 응원하겠습니다!!
@@djslapbass 감사합니다. 열심히 공부해보겠습니다.
@@sssssss-1222 감사합니다.. 단지 수학계산보다 더 깊이 들어가고 싶어서요... 책도 많이 읽어보려고 공부하고 있습니다. 좋은 말씀 감사합니다
혹시 책 추천 부탁드려도 될까요? @@sssssss-1222
최곱니다~~
물어볼 곳이 없어서 영상과 관계없는 내용을 질문하는것에 양해부탁드릴게요. 언어에 대해 궁금한데요, 여기서 언어는 세계 모든언어나 숫자같은 언어도 포함합니다. 만약 유한 시간이 주어진다면, 언어도 유한하겠죠. 만약 무한한 시간이 주어진다면 언어도 무한하겠죠. 여기서 궁금한건 가산 집합만큼의 시간이 주어지면, 가산집합만큼의 언어가있는지 궁금해요. 언어의 부분집합인 숫자로서 생각하면, 가산 집합 만큼의 숫자가 있으면 가산집합이겠죠. 하지만 언어는 자연수가 아닌 초월수나 무리수가 표현이 가능하잖아요? 그럼 그걸로 1대1 대응으로 가산집합만큼에 시간에서, 비가산 집합만큼의 언어 존재하는거 아닌가요?
오... 저도 궁금합니다
오 ㅋㅋ흥미롭네요
이미 숫자라는 언어가 포함됨에따라 ‘숫자로 나타낸 실수’의 집합은 (ex.{1,2,3,...}) 비가산입니다. 유한한 시간에도 이미 언어는 비가산이라는 거에요.
와 멋진 주제네요 !!
언어의 정의에 따라 다르겠습니다만 일반적으로 비가산집합으로 보입니다
유한시간의 개념이 혼동됩니다만 문자 수는 유한하다고 가정했기때문에 유한 길이의 문자로 된 언어에 포함되는 문장의 갯수가 유한하다고 생각하신 것 같습니다
이를 기반으로 하면 유한한 가짓수의 문자를 가산 길이 만큼 무한히 배열하여 문장을 만든다고 쳤을 때 대각선 논증에 의해 언어 집합의 크기는 비가산이겠네요
몇번 더 봐야갰내요.
왜.1x1=2 인지 설명도 부탁드립니다.
수학은 늘 짜릿해
흠.... 윈도우11의 계산기는 저 수식의 답을 1이라고 합니다. ㅠㅠ;;
일반인의 생각을 잘 알고계셔서 일반인 입장에서 보기 재밌네요
조삼모사😂😂
낚였다 2*2인줄 2.2;;;
지수가 유리수 실수일때는 밑이 0보다 커야함.
지수함수 생각하면 됨
지수와 밑은 전부 복소수가 가능하다. 그러나 0이나 양수가 아닌 밑에 유리수 지수가 온다면 정의에 따라 값이 복잡해지는데,
이는 유리수가 분수의 꼴로 변형이 가능하기 때문이며 분모를 최소화하여 최소한의 해를 구할 수 있고 이 중에서 편각이 가장 낮다든가 하는 값을 대푯값으로 잡을 수 있다.
반면 0이나 양수가 아닌 밑에 무리수 지수가 온다면, 편각을 정의할 수 없게 되고 대푯값인 양수값(편각0)만을 잡을 수 있다.
그리고 이 방법을 사용한다면 무리수 지수의 역수를 취한다고 해도 원래 수가 나오지 않으며 항상 양수값으로 귀결된다.
복소수 지수의 경우에는 오일러의 식으로 정의하게 되는데, 결국 양수가 아닌 지수 연산은 항상 편각의 문제가 생기기에 보통은 절댓값과 편각을 위주로 연산을 하게 되는데...
아무튼 지수연산의 각각 정의가 다른데에는 역연산을 위해 전단사로 만들기 위해 "지수 연산은 대푯값을 정하는 연산"이라고 정의해 놓은 것이 오히려 문제일 수도 있다는 생각을 들게 함.
계산기가 계산 못하겠대
이분언제돌아옴?
Dn 이면군
(-1)^(1/2)은 그냥 하나의 수식인데 어떻게 여러 근을 가질 수 있는 건가요…?ㅜ
sqrt4
무수히 많은 일반각이 같은 동경크기를 가지는 것과 같은 맥락인 것 같아요
사실 ^라는 것은 함수입니다. 근데 일일히 함수로 쓰면 불편하니까 기호로 치환시켜 놓은 겁니다. 사실 1+2는 +(1,2), 즉 +라는 함수에 1과 2를 대입시킨다는 기호입니다. 이걸 안다면, ^라는 함수가 두 개의 값을 가질 수 있다는 것이 그리 이상하진 않죠.
x^2=-1의 근을 구하게 만드는 꼴이라고 보면 되는거죠. 같은 논리로 5^(1/2)도 x=5^(1/2), x^2=5니까 원칙상으로는 +sqrt(5), -sqrt(5)의 2개의 근을 가지겠죠. 하지만 지수법칙이 양수에서 정의된다고 못을 박아버리니 양수의 값으로 픽스되는 것이고요. 복소수에서는 그렇지 않은 상황이 발생하기 때문에 여러개의 값을 그대로 둘 수밖에 없는 것이고요.
n 제곱근 m(m^1/n)을 n 거듭제곱을 해서 m이 나오는 수로 정의를 하게됩니다
즉 바꿔말하면 n 제곱근 m은 방정식 x^n=m의 해로 정의되는 것이죠
그리고 복소수체에 기반한 n차 방정식의 경우 그 해가 복소수 범위에서 항상 n개 존재합니다
따라서 지수의 밑을 양수로 제한하지 않았을 때 제곱근의 값은 여러 개가 존재합니다
9:59에서 설명한 √(-1) = (-1)^(1/2)이라고 정리하는 것은 잘못됐다는 것은 알겠는데, 2:08에서(-1)^(11/5)= 5^√(-1)^11을 풀어서 -1을 맞춘 것은 무엇인가요? 앞서 소개된 것처럼 (-1)^(11/5)= 5^√(-1)^11는 성립이 불가능한 것 아닌가요? 아니면 이 공식은 틀린 공식이고 그 뒤에 나오는 10^√(-1)^22 같이 푸는 것이 잘못 된 거라고 소개하기 위해서 쓰인 건가요?
이 예시의 경우는 -1 이라는 '유일한 실수값'이 존재하므로 다행히도 제곱근 전개가 어색하지 않아 보이지만 후에 소개하듯이 범위를 확장하면 제곱근 표현이 어색해진다는 흐름입니다.
@@lsy_math 그렇다면 답은 맞게 나왔지만 지수의 범위를 확장하면 어색해져버리기에 위 2:08에서 소개된 식은 "답은 옳바르지만 전개는 틀린 식"으로 생각을 정리해도 괜찮을까요?
'일반적으로 이렇게 전개하지는 않는다.'라고 정리하시기를 권장드립니다 🙃
애초에 보편적인 전개가 아니기에 '틀렸다.'고 할 근거 역시 모호하니까요.
여담이지만 위 문제는 지수 범위의 확장보다는 밑 범위의 확장으로 인한 문제로 보시는 편이, 그리고 거듭제곱 값의 범위 확장 문제로 보시는 편이 더 직접적입니다 🙂
@@lsy_math넵 질문이 길고 조금 난해했었는데 친절히 답변해주셔서 정말 감사합니다❤❤
덕분에 평소 깊게 생각해본 적 없던 밑이 음수인 거듭제곱식과 복소수 체계에 대해 많은 생각을 할 수 있어서 좋았었습니다!!
😆
음수의 유리수 제곱 하나에 대해서 여러개의 복소수가 대응된다면 애초에 금지되는건 아닌가요? 지수를 기약분수로 만드는 것도 정의에 포함된건지 궁금합니다.
7:40
세상에는 여러 개의 값을 가지는 함수라는 것도 있게 마련이죠
물론 고등학교 시험에는 그러한 것이 나올 수는 없지만요
다가 함수도 있고...여러개가 대응된다 해서 문제될건 없죠
다가 함수는 엄밀히 말하면 함수가 아니긴 합니다만... 그래도 보통 함수를 다루듯이 사용합니다.
@@hyeonsseungsseungi사실 고등학교에서도 음함수 배웁니다
예전과 정의가 달라진건가요? 음수의 유리수 제곱은 할 수 없다고 알고 았었는데 .. (-1)^1 ={(-1)^2}^(1/2) = 1 이런 모순에 계산의 우선순위같은게 생긴걸까요? 2와(1/2)를 먼저 곱하는것처럼 영상이 이해되네요
7:40
What???