Что такое группы в математике? Душкин объяснит
HTML-код
- Опубликовано: 3 фев 2023
- Получите представление о группах в математике с помощью этого видео. Мы рассмотрим основы того, что такое группы, включая определение, свойства и примеры. Откройте для себя значение групп в алгебре и узнайте, как распознавать и применять теорию групп в реальных задачах. Улучшите свои математические знания, подписавшись на наш канал, чтобы получать больше видео по теории групп и высшей математике.
Также приглашаю подписаться на мой ТГ-канал: t.me/drv_official - после этого вы не пропустите ничего интересного, что выходит из моего пера с помощью моих прекрасных сотрудников.
Вау, рада, что вас нашла) Пытаюсь разобраться с основами математики, но во многих роликах для начинающих пропускаются моменты, которые неочевидны для человека без математического бекграунда.
Вы первый объяснил, что "o" и "*" это одно и тоже и обозначает операцию. А ещё только от вас узнала, что "при рассмотрении абстрактных вещей природа объектов не важна"
Буду смотреть ваши ролики, спасибо, что реально объясняете основы!💪
Такие комментарии для меня на вес золота :)
А вот и весь плейлист по линейной алгебре: ruclips.net/video/PB4YoeALD7U/видео.html
Конечно же, вы всегда можете обратиться к нам за консультациями.
И, кроме того, вы всегда можете написать мне в ТГ: @rdushkin
Изображение с доски: disk.yandex.ru/i/9flwT4JeZkIVBQ
" Место пересечения сфер окрасилось в промежуточный пурпурный цвет.
У Иво заработала интуиция. Он сосредоточил свои логические способности на чертеже так же, как он делал это при игре в спраут.Это было иллюстрированное представление теории групп с обобщением на булеву алгебру и с цветом как дополнительным параметром. После теории групп начинающему можно было преподавать математику, логику, электронику и другие области знания - не прибегая к речевой форме. Язык можно сам по себе эффективно анализировать этими методами. Одна головоломка решена: у инопланетян было доступное средство общения." - Энтони Пирс "Макроскоп"
Годный автор?
С "Макроскопом" можно ознакомится: сюжет интересный, вращается вокруг интеллектуальных возможностей человека. Макроскоп иногда перечитываю, а вот другие книги автора не зацепили.
@@Igril, благодарю. Я посмотрел уже - похоже, что не для меня.
неассоциативная операция это деление например
Да, мне уже указали на это. И вычитание.
А операции в таких группах могут быть любыми или только сложение и умножение?
У нас на парах есть такое понятие как "бинарные алгебраические операции" (БАО). Честно, не понимаю отличие БАО от просто БО (бинарных операций), и почему к ним не относятся вычитание и деление? Я понимаю, что с двух сторон должны быть однозначно определены числа одинакового множества, но что, если я хочу их определить на множестве целых чисел (Z) или вещественных (R), а не натуральных (N). Множества ж не ограничиваются только исключительно натуральными числами. Да, с точки зрения множества N, вычитание и деление не являются БАО, так как не всегда с двух сторон у нас однозначно определены числа именно на множестве натуральных чисел, но с остальными-то множествами всё работает иначе) (В общем, как Вы поняли, у меня много вопросов, а всего этого нам на парах не рассказывают😔)
Операции в таких группах могут быть любыми. Например, это может быть операция переворота грани кубика Рубика. Вообще, термины «умножение» и «сложение» - это всего лишь названия. Вы просто к ним привыкли. Нет никакого сложения, как и умножения тоже нет. Есть только БАО, у которых есть определённые свойства.
А например, операции поворотов? Ведь в них так же порядок выполнения важен
Да, это хороший пример.
почему так мало подписчиков и просмотров. очень годный контент. продолжайте пожалуйста снимать видео.
Потому что RUclips что-то мутит.
@@dushkin_will_explain Очень жаль. Надеюсь ситуация измениться. Успехов вам!
@@dushkin_will_explain Есть вопрос может быть не по теме. Вы случайно не тот Душкин, чьих книг много по Хаскелу ?
@@bormanamadeus, да я не расстраиваюсь. Мы продолжаем работу.
В какой то момент видимо стрельнет. Главное стабильно выдавать контент.
Забыл свободные группы! Это тоже важно знать. Свободная значит мы используем формальные элементы a,b,c,d... которые называют Порождающие либо Генераторы и формируем из них произведения, учитывая тот факт, что некоммутативность абсолютная и вездесущая. Обозначаем ⟨a,b,c,d...⟩. Операция в свободной группе есть просто конкатенация строк. Нейтральный элемент есть пустая строка. Обратный элемент просто удаляет свой порождающий либо строку, конечно, только с одной стороны.
Элементы группы представляются как строки из порождающих, и никогда с обратными к ним.
Есть теорема, что любая группа может быть представлена, как свободная + дополнительные Cоотношения(relations) через черту в скобках: ⟨a,b,c,d... | r1, r2, r3...⟩, где каждое соотношение rk может быть приведено к виду элемент=e или системе таких тождеств. Часто пишут небольшие функции, если надо сохранить некую формулу для многих элементов. Такое описание произвольной группы называется комбинат`орным представлением группы. Как правило, оно простое для компов и сложное для исследования свойств групп. Простое соотношение может дать невероятно сложную группу. На пример ⟨ a,b,c | a³b²c²=e ⟩.
Если я не ошибаюсь, то по числу порождающих группы делятся на конечно- и бесконечно-порождённые. А по соотношениям - конечно/бесконечно-представлеными.
Однако, если соотношение задано формулой, на пример ⟨a, b, с | х²=1 ⟩ (т.н. группа Бёрнсайда) х означает - произвольный элемент группы. Однако, группа эта оказывается конечной. И снова - я мог просто записать все тождества для квадратов кажного элемента. И тогда соотношений было бы больше, но тут, кажется, только одно учитывается. Так что точно есть тонкости. Я чаще всего видел соотношения с порождающими и абстрактные функции, просто зависящие от порождающих.
Точно!
12:45 там токо положительные действительные числа должны быть.
Да
Ваще-то есть еще одно свойство - групповая операция не выводит за пределы группы. Замкнутость то бишь.
Да, это важно. Но я об этом говорю в видео про полугруппы, а так как группа является полугруппой, то свойство замкнутости наследуется. Но вы правы, надо было упомянуть.
Я когда-то получал неассоциативность, когда пытался апгрейдить числа, добавив элемент, обратный нулю, мистический элемент ▮ (антиноль), что ▮*0=0*▮=1.
Но тогда могут существовать элементы типа х▮ и когда я их умножаю на 0 то возникают неприятности х▮*0 = х(▮*0)=х что нормально, но вот если переставить скобки
(х▮)*0 то как-бы непонятно.. Тем более, что можно умножать справа: ▮х, и будет так (▮х)*0 что тоже непонятно как вычислить. Если бы х▮=▮х , то возникла бы проблема:
(х▮)*0=(▮х)*0 согласно тождеству, но х▮ это произведение х и ▮, так что можно попробовать переставить скобки, и мы получим: х(▮*0) и ▮(х*0), но они не равны!!!
х(▮*0)=х*1=х, а ▮(х*0)=▮*0=1 !!! Получилась неассоциативность? - Я думаю, что нет, - мы поломали операцию) Ведь х▮=▮х и вышло, что при умножении х▮ на 0 есть 2 значения.
Ладно, тем не менее, без ассоциативности, надо договориться, как расставлять скобки. Я видел статью где вводили неассоциативную структуру из 2 порождающих x, y и соотношениями: xx=y, yy=x, скобки ставили как-то по-хитрому, наверное что бы не ставить их (хх) или (уу) и это оказалось очень богатой структурой! Попробую найти.
Тем не менее, если х▮≠▮х то надо соглашение расстановки скобок, на пример, нормируя их направо: ▮*х*0=▮*(х*0), но 0*(▮*х) непонятно как вычислять, даже с коммутативностью х▮=▮х : 0*(▮*х) = 0*(х*▮), ведь хочется поменять скобки, а нельзя. Иногда математики могут такое просто оставить, как и 2√2.
А если принять соглашение расставлять скобки что бы "сократить" ▮ и 0 побыстрее, то это уже не похоже на шаблон скобок, мы же *меняем* его по случаю. Это похоже на то, что не все скобки позволено , и не дело в том, что результаты различны - дело в том, что *некоторые из них может и не существуют вообще!*
Если ограничивать расставление скобок, то это интерестно: вот *(xy)z* существует, а *x(yz)* уже нет. И вроде как-бы всё равно разные результаты и неассоциативность, но неассоциативность это отношение *(xy)z ≠ x(yz)* . Так что *x(yz)* должен существовать в нашей алгебраической структуре, - а его нет, значит и отношение невозможно "выполнить" , его не существует! И как это назвать? *супер-неассоциативность* или *неполная (не-)ассоциативность*, может *ан-ассоциативность* ?
Можно положить, что х▮ и ▮х являются "неразрывными", то есть они всегда входят в произведения сразу в скобках.. и тогда 0*(▮х), 0*(х▮), ((▮х)*0)*1 так и остануться, либо нам надо выбрать чему они будут равны. Можно оставить те случаи, которые я предложил выше, со скобками для самого удобного сокращения.
Тогда 0*(▮х)=х, 0*(x▮)=1, (▮x)*0=1, (x▮)*0=x. *Красиво и некоммутативно.* Попробуем вместе. Скобки справа: (▮x)*(0*(0*(▮x)))=(▮x)*(0*х)=1, скобки слева:
(((▮x)*0)*0)*(▮х)=0*(▮х)=х. А вот и не повезло! Значит Решено! Я не ставил скобку внутрь (▮х) или (x▮) но ассоциативность не работает!
Эту проблему можно решить, если ограничить варианты расстановки скобок, как я выше говорил, но.. это странно и вряд ли будет удобно. На пример, ставить скобки так, что б внутри всегда было одинаковое число 0-ей и ▮-ей.. что бы сворачивать по тождествам вида 0(x▮) как я уже записывал.
Для чего это?
@@dushkin_will_explain меня занесло.. хотел удалить, но уже вы видели. Неассоциативность получить на много легче, в тех же логических операциях.
Надеюсь вы не читали, да и хорошо.
А может ли быть ассоциативность без коммутативности? Почему это не является обязательным условием для группы?
Да и вообще, нам в универе не объясняют, может, Вы знаете, каков вообще смысл этих групп, колец, полей, кроме того, чтобы зазубрить их до первого коллоквиума или сессии и забыть? Где практическое применение в жизни?
Т.е., сидели как-то математики, им было скучно, не знали, чем себя занять, и решили вдруг классифицировать числа по определённым признакам, выдуманным в их головах... А зачем? А почему именно с такими свойствами? Почему ассоциативность обязательна, а коммутативность - нет? И, самое главное, где это в жизни применить?
У нас очень хреновый препод, который тупо диктует быстро лекции, а требует так, как будто мы понимаем) Я зубрить не люблю - я понимать люблю, так что, может, Вы знаете... На Вас последняя надежда))
Всё просто...
Однажды на лекции по оптике на меня снизошло озарение о том, что в математических формулах не надо искать никакого смысла, ими надо просто синтаксически манипулировать. И после этого мир и весь тяжёлый матан заиграл совсем иными красками.
Поэтому моя рекомендация вам - перестаньте искать смысл в операциях, свойствах и т. д. Да, собрались математики и волюнтаристски (на самом деле, нет - найдите моё видео про математические структуры, в нём рассказано про архитектуру математики) решили создать вот такие вот структуры. И сами структуры (кольца, поля, группы и вот это вот всё) нужны для простых вещей. Например, для кольца можно доказать определённые теоремы. А это значит, что если какая-то конкретная хрень в математике окажется кольцом, то для неё автоматически будут доказаны все теоремы кольца. Всё.
Ну а свойства той структуры, которую назвали кольцом, действительно подобрали более или менее случайным образом.
И да, ассоциативность без коммутативности быть может.
@@dushkin_will_explain спасибо огромное за пояснения))
Можете, пожалуйста, привести пример ассоциативности без коммутативности в операциях сложения или умножения?
@@dushkin_will_explain искать смысл как-раз стоит, как минимум, потому, что про это спросят на паре) Да и просто интересно: я не люблю зубрить - я люблю понимать, что, для чего и зачем.
@@kitayapa, по-моему, для кватернионов умножение ассоциативно, но антикоммутативно, но перепроверьте.
@@dushkin_will_explain ахах, такого мы ещё не проходили))
Из школьной математики пример неассоциативного умножения это векторное произведение.
Благодарю, отличный пример. Не совсем школьная математика, конечно :)
Просили придумать =))) пожалуйста.
Сначала штаны снять, потом в туалет сходить.
Сначала в туалет сходить, потом штаны снять.
Отлично. Только на практике не проверяйте.
@@dushkin_will_explain Поздно 😉
Кстати, как считаете? На основании всего озвученного в ролике, можем мы считать: 6:2(2+1) как:
6
---------- =1
2(2+1)
Потому как 2(2+1) является группой.
@@Mister_Smit_, нет, так как по соглашению о расстановке скобок для операции * (в обычном алгебраическом понимании) это выражение должно быть преобразовано в (6 * 1/2) * (2+1) = 9
a * b * c = (a * b) * c
@@dushkin_will_explain
Следовательно Вы считаете что:
6:2х=6:2*х=6х:2
6 6 6х
-- = --- х = -----
2х 2 2
Правильно я Вас понял?
@@Mister_Smit_, нет, неправильно. Если убрать весь синтаксический сахар, то исходное выражение будет развёрнуто в: 6 * 1/2 * (2+1), что по соглашению о восстановлении скобок преобразуется в то выражение, которое я дал ранее, и его результат = 9.