Ну и ответ неверный. В обоих двух роликах. Использование полученной первообразной для вычисления определённых интегралов на промежутках, включающих πn, приводит к неправильному ответу.
Это конечно не относится к тему ролика, но я придумал задачу, есть деревянная доска толщиной 20 см и есть машина с постоянной скоростью. Вопрос с какой минимальной скоростью должна двигаться машина чтобы при переезде сквозь доску в ней не успели произойти трещины? и она не сломалась?
Исходная подынтегральная функция была непрерывна, а полученный интеграл имеет разрыв в нуле: предел справа -1+С, предел слева 1+С. Да и во всех точках вида pi*n он имеет разрыв.
@@DEXyk разрывные функции нельзя дифференцировать? Blackpenredpen в своём видео ссылался на калькулятор и сперва взял производную от ответа, чтобы проверить его. Получилась исходная подынтегральная функция.
видел оригинал, но никак не ожидал увидеть этот же интеграл тут) спасибо, мне всегда нравятся взаимодействия между незнакомыми людьми, которых объединяет интернет и общее увлечение)
А теперь с помощью найденной первообразной считаем определенный интеграл на промежутке от π/4 до 5π/4 и получаем 0. А на самом деле он равен 2, т.к. √(sin(x)^2) строго положительная функция на данном промежутке кроме х=π.
На этом канале (особенно в последнее время) таких поянений нет. Пояснения, что и как и почему так тут решается у 'N Eliseeva' (великолепные!), 'Tatyana Grygoryeva' (также отличные!) и 'Лолита Кунгурцева'. Вот на этих каналах - великолепные пояснения. Самое интересное (и самое непонятное!) - смотрел как-то пару раз (больше невозможно смотреть эти кривляния) лекции (!) старейшего преподавателя по "Линейной Алгебре" из MIT. Он недавно ушел на пенсию. Так вот, почему "кривляния" и как я "посмел про него такое написать" (когда у него столько известных учеников!). На самом деле известных учеников не так уж и много, а известные они как раз благодаря своему таланту, а не заслугам этого преподавателя! Почему же "кривляния" - он (этот преподаватель), в ответственные моменты (когда нужно было пояснять что-то!) просто подносил руку к лицу типа задумываясь при этом и стоял задумываясь вроде! И решение как бы приходило как результат этой "задумчивости"! Никаких толком обхяснений что и как тут! Просто такие вот "остановки" во время лекции и быстрое писание мелом на досках. И причем манера таких преподаваний осталась неихменной (!) на протяжений десятилетий (!) - когда смотришь его лекции (мельком т.к. невозможно их долго смотреть!) Посмотрите как-нибудь - ужаснетесь! И при этом - это старейший и известный учитель! В MIT (именно из-за места преподавания - он и известен!).
В том то и дело, что никакой причины нет. Нужно догадаться методом перебора известных преобразований, которые накапливаются только с опытом. Как та известная задаче, где нужно было сделать замену x=cos(t). Только гений до этого смог бы догадаться.
Согласен. Иной раз простейшие очевидные преобразования разжёвываются до тошноты. Но почти всегда (в том числе тут) - пропущено наисущественнейшее вступление: зачем все эти пляски с бубном, в чём проблема, и как мы попытаемся действовать. И потом, в итоге всё равно sgn выносится за интеграл. Так почему же нельзя было сразу просто сократить корень с квадратом, заменив sqrt((sinx)^2) = sinx sgn(sin x) ?
@@ouTube20 Учился на мат-мехе ЛГУ и мы там не перебирали все подряд методы, иначе это займёт бесконечное время, у разных замен были причины, кроме уж совсем стандартных, вроде х=1/у Если грубо, то надо искать геометрический смысл замены, навроде взятия производной от 1/х или корня энной степени от х через геометрию, с интегралами сложнее, но смысл тот же.
1. Интеграл от sin(-x) это cos(-x). Так что ваше последующее решение неверно. 2. Решение автора является верным только на тех интервалах, где нет точки πn. Посудите сами: подынтегральная функция непрерывная и неотрицательная. Значит интеграл должен быть непрерывным и монотонно возрастающим. А на деле он имеет точки разрыва, да ещё и периодический.
Автор оригинального видео хотел найти то решение, которое приведёт к ответу, который выдал ему Вольфрам Альфа (а она выдала ответ без решения). Но этот ответ неверный. На деле же интеграл берётся иначе. 1. Рассмотрим интервал (0; π). На этом интервале sin(x)>0, значит интеграл от |sin(x)|dx будет -cos(x)+C. 2. Рассмотрим интервал (π; 2π). На этом интервале sin(x)
Можно, пожалуйста, объяснить, в чём прикол этой задачи? Для чего все эти танцы с бубнами, если по итогу был получен тот же ответ, который получили бы при извлечении из квадрата синуса корень? Или тут полагается, что интеграл берут от модуля синуса?
Просто нестандартное решение с трюками с корнями. В данном случае повезло, но вообще обычно наоборот, иррациональные функции интегрируют с помощью тригонометрических
Не очень понятно. Если попробовать воспользоваться решением задачи и посчитать такой же интеграл, но определенный в пределах от pi/2 до 5*pi/2, то по формуле Ньютона-Лейбница получим 0 (т.к. котангенс равен 0 в точках pi/2 и 5*pi/2). А исходная подынтегральная функция непрерывна, неотрицательна, и определенный интеграл от нее на промежутке длины 2*pi (5*pi/2 - pi/2) нулю равен быть не может. Возможно, я где-то ошибаюсь, тогда прошу подсказать, стало интересно.
Он и не равен нулю, потому что полученный интеграл оказался разрывной функций, а первообразная, для формулы Ньютона-Лейбница в частности, обязана быть непрерывной
А вот товарищ Алексей Сапрыкин (см. ниже) предложил единственно верное решение с разбиением прямой аргументов на отрезки (k*pi,(k+1)*pi). Я только немножко помог с доведением до алгебраической формулы. Первообразная функции sqrt(sin(x)^2) равна (-1)^[x/pi+1]*cos[x]+2*[x/pi]. Товарищ Сапрыкин большой молодец! В отличие от товарища Волкова.
А нельзя было выносить. Решение попросту неверное. Найденная первообразная на любом промежутке длиной π даст значение определенного интеграла 0, а на самом деле это значение 2.
Этот интеграл можно взять как угодно ( насколько , конечно, позволяет математический аппарат). Но не рационально из простого примера делать сложный. Ответ [- COS(X)]
@@IvanYakovlev-m8e ну ок. Интеграл от π до 3π/2. Будет -1? Но интегрируемая функция всюду неотрицательная, как может получиться отрицательный интеграл????
а навіщо так через одне місце, якщо можна набагато простіше: int (sqrt(sin^2 x) dx) = int (|sin x| dx) = sign(sin x) * int (sin x dx) = -sign(sin x) cos x + C Якщо у відповіді не подобається сігнум, то можна додати туди синусів: -sign(sin x) sin x cos x / sin x = |sin x| cot x = sqrt(sin x) cot x (тобто те саме, що й у відео, але отримано на порядок простіше)
Так, як і у blackpenredpena, АБСОЛЮТНО НЕВІРНЕ РІШЕННЯ, оскільки при х = 0, плюс/мінус пі, плюс/мінус 2пі, .... ctg x НЕВИЗНАЧЕНИЙ!!!!!!! Тому не потрібно так розумничати, щоб прийти в результаті до НЕВИЗНАЧЕНОСТІ&&&&&
@@Bogdmih ага... так і запишемо. ліміт при x = 0- дорівнюе 1+С, при x = 0+ дорівнює -1+С, але розриву і невизначенності нема, все пучком... там просто інтеграл нулю дорівнює... все логічно
@@Bogdmihвзагалі в цій задачі правильно було б говорити не про інтегрування взагалі, а про інтегрування на інтервалах. Тоді жодних проблем би не було в задачі. Та і сенсу у результаті було б більше
Выносить sgn(t) за знак неопределённого интеграла нельзя: эта функция не является постоянной. Оттого и ответ бессмысленный выходит (как ранее заметил @romank.6813): опредёленный интеграл на промежутке от pi/4 до 5 pi/4 должен быть положительным (подынтегральное выражение положительно почти всюду), а с помощью найденной первообразной получается ноль.
@blackpenredpen пробовал её решить здесь: ruclips.net/video/-kJheoMb2ys/видео.html
Ну и ответ неверный. В обоих двух роликах. Использование полученной первообразной для вычисления определённых интегралов на промежутках, включающих πn, приводит к неправильному ответу.
Это конечно не относится к тему ролика, но я придумал задачу, есть деревянная доска толщиной 20 см и есть машина с постоянной скоростью. Вопрос с какой минимальной скоростью должна двигаться машина чтобы при переезде сквозь доску в ней не успели произойти трещины? и она не сломалась?
Жаль Валерий пропустил объясните почему нельзя просто извлечь корень
Исходная подынтегральная функция была непрерывна, а полученный интеграл имеет разрыв в нуле: предел справа -1+С, предел слева 1+С. Да и во всех точках вида pi*n он имеет разрыв.
И что дальше?
@@WhiteDMaxwell То, что у всякой непрерывной функции всюду есть точная первообразная, которая, очевидно, непрерывна. Нехорошо получается
@@DEXykлюбая непрерывная функция имеет первообразную. Про непрерывность ничего не говорится.
@@WhiteDMaxwell А вы вспомните определение первообразной. Она по определению дифференцируема, а значит непрерывна
@@DEXyk разрывные функции нельзя дифференцировать? Blackpenredpen в своём видео ссылался на калькулятор и сперва взял производную от ответа, чтобы проверить его. Получилась исходная подынтегральная функция.
видел оригинал, но никак не ожидал увидеть этот же интеграл тут) спасибо, мне всегда нравятся взаимодействия между незнакомыми людьми, которых объединяет интернет и общее увлечение)
А теперь с помощью найденной первообразной считаем определенный интеграл на промежутке от π/4 до 5π/4 и получаем 0. А на самом деле он равен 2, т.к. √(sin(x)^2) строго положительная функция на данном промежутке кроме х=π.
Спасибо за подробное нахождение интеграла.
Каким образом на 2:19 sgn(t) вылез за знак интеграла, прихватив с собой переменную интегрирования?
автор - чудак. Ответом будет тики -кос(х).
Спасибо, давненько не решала задания подобного рода. Полезная информация.
Решение Изумительное.Сначала видел его на канале blackpenredpen а теперь и У Вас Валерий.Спасибо Профессор.
Надо не просто приводить решение, а указывать причины использования подобных замен переменных, иначе это ничему не научит.
Согласен. Нет никаких пояснений. Абсолютно.
На этом канале (особенно в последнее время) таких поянений нет. Пояснения, что и как и почему так тут решается у 'N Eliseeva' (великолепные!), 'Tatyana Grygoryeva' (также отличные!) и 'Лолита Кунгурцева'. Вот на этих каналах - великолепные пояснения. Самое интересное (и самое непонятное!) - смотрел как-то пару раз (больше невозможно смотреть эти кривляния) лекции (!) старейшего преподавателя по "Линейной Алгебре" из MIT. Он недавно ушел на пенсию. Так вот, почему "кривляния" и как я "посмел про него такое написать" (когда у него столько известных учеников!). На самом деле известных учеников не так уж и много, а известные они как раз благодаря своему таланту, а не заслугам этого преподавателя! Почему же "кривляния" - он (этот преподаватель), в ответственные моменты (когда нужно было пояснять что-то!) просто подносил руку к лицу типа задумываясь при этом и стоял задумываясь вроде! И решение как бы приходило как результат этой "задумчивости"! Никаких толком обхяснений что и как тут! Просто такие вот "остановки" во время лекции и быстрое писание мелом на досках. И причем манера таких преподаваний осталась неихменной (!) на протяжений десятилетий (!) - когда смотришь его лекции (мельком т.к. невозможно их долго смотреть!) Посмотрите как-нибудь - ужаснетесь! И при этом - это старейший и известный учитель! В MIT (именно из-за места преподавания - он и известен!).
В том то и дело, что никакой причины нет. Нужно догадаться методом перебора известных преобразований, которые накапливаются только с опытом. Как та известная задаче, где нужно было сделать замену x=cos(t). Только гений до этого смог бы догадаться.
Согласен. Иной раз простейшие очевидные преобразования разжёвываются до тошноты. Но почти всегда (в том числе тут) - пропущено наисущественнейшее вступление: зачем все эти пляски с бубном, в чём проблема, и как мы попытаемся действовать.
И потом, в итоге всё равно sgn выносится за интеграл. Так почему же нельзя было сразу просто сократить корень с квадратом, заменив sqrt((sinx)^2) = sinx sgn(sin x) ?
@@ouTube20 Учился на мат-мехе ЛГУ и мы там не перебирали все подряд методы, иначе это займёт бесконечное время, у разных замен были причины, кроме уж совсем стандартных, вроде х=1/у Если грубо, то надо искать геометрический смысл замены, навроде взятия производной от 1/х или корня энной степени от х через геометрию, с интегралами сложнее, но смысл тот же.
√(sinx)^2=|sinx|, для 0=
1. Интеграл от sin(-x) это cos(-x). Так что ваше последующее решение неверно.
2. Решение автора является верным только на тех интервалах, где нет точки πn. Посудите сами: подынтегральная функция непрерывная и неотрицательная. Значит интеграл должен быть непрерывным и монотонно возрастающим. А на деле он имеет точки разрыва, да ещё и периодический.
Так смысл всей задачи был в том, чтобы не извлекать корень.
Вы со Стивом (автор канала blackpenredpen) мои любимые блогеры по математике
Автор оригинального видео хотел найти то решение, которое приведёт к ответу, который выдал ему Вольфрам Альфа (а она выдала ответ без решения). Но этот ответ неверный.
На деле же интеграл берётся иначе.
1. Рассмотрим интервал (0; π). На этом интервале sin(x)>0, значит интеграл от |sin(x)|dx будет -cos(x)+C.
2. Рассмотрим интервал (π; 2π). На этом интервале sin(x)
Можно ловчее записать через целую часть от х/π.
Ответ верный усли сократить дальше
@@muzhiktadjik
Ответ верный если ты не знаешь, что такое интеграл😉
@@romank.6813
Да, я уверен, что можно свернуть это в одну формулу. Только как "засунуть" в эту формулу изменение знака перед косинусом?
@@АлексейСапрыкин-в2к Легко! (-1)^[x/pi+1]*cos(x)+2[x/pi]
Проверка где?)
Кроме того, что можно просто извлечь корень и получить ответ.... Вынос sign(t) из под интеграла, который зависит от t.. , это как-то надо доказать..
Можно, пожалуйста, объяснить, в чём прикол этой задачи? Для чего все эти танцы с бубнами, если по итогу был получен тот же ответ, который получили бы при извлечении из квадрата синуса корень? Или тут полагается, что интеграл берут от модуля синуса?
У Blackpenredpen не получилось решить эту задачу.
конечно, от модуля синуса. корень из квадрата - всегда модуль
Просто нестандартное решение с трюками с корнями. В данном случае повезло, но вообще обычно наоборот, иррациональные функции интегрируют с помощью тригонометрических
Для начала заменим квадрат синуса на единица + квадрат котангенса....:)
Это начало займёт несколько дней,....
Не очень понятно.
Если попробовать воспользоваться решением задачи и посчитать такой же интеграл, но определенный в пределах от pi/2 до 5*pi/2, то по формуле Ньютона-Лейбница получим 0 (т.к. котангенс равен 0 в точках pi/2 и 5*pi/2).
А исходная подынтегральная функция непрерывна, неотрицательна, и определенный интеграл от нее на промежутке длины 2*pi (5*pi/2 - pi/2) нулю равен быть не может.
Возможно, я где-то ошибаюсь, тогда прошу подсказать, стало интересно.
Он и не равен нулю, потому что полученный интеграл оказался разрывной функций, а первообразная, для формулы Ньютона-Лейбница в частности, обязана быть непрерывной
Почему нельзя было корень из квадрата синуса сократить до модуля от синуса?
Если бы интеграл был от 0 до x, можно было бы переписать как -cos(x)sign(sin(x))+2ceil(x/pi)-1, но в одной точке не совпадает значение(x=0)
Калькулятор говорит, что можно принять sin(x) > 0 и для учёта знака домножить интеграл на sin(x) / |sin(x)|.
А почему Вы sgn t вынесли за интеграл? Это же не константа. Надо было рассмотреть случаи с разными знаками t.
А вот товарищ Алексей Сапрыкин (см. ниже) предложил единственно верное решение с разбиением прямой аргументов на отрезки (k*pi,(k+1)*pi). Я только немножко помог с доведением до алгебраической формулы. Первообразная функции sqrt(sin(x)^2) равна (-1)^[x/pi+1]*cos[x]+2*[x/pi]. Товарищ Сапрыкин большой молодец! В отличие от товарища Волкова.
Так ведь ответ можно преобразовать в -cos(x)
С давних пор я подписчик bprp. А на Валерия я подписался относительно недавно. Круто, что они так сошлись! Есть ещё кто, смотрящий bprp?)
есть) даёшь больше кроссоверов между математиками ютуба!
Капец как я отупел 😢
то есть получается это -sign sin x * cos x + C
Самое узкое место тут - фокусы с модулем и sgn(t). Почему можно было вынести? Просто проскочили)
А нельзя было выносить. Решение попросту неверное. Найденная первообразная на любом промежутке длиной π даст значение определенного интеграла 0, а на самом деле это значение 2.
Этот интеграл можно взять как угодно ( насколько , конечно, позволяет математический аппарат). Но не рационально из простого примера делать сложный. Ответ [- COS(X)]
И этот ответ неверный.
А ты попробуй взять этот интеграл как определённый или преобразовать результат. И чудесным образом ответы будут совпадать:)
@@IvanYakovlev-m8e ну ок.
Интеграл от π до 3π/2. Будет -1?
Но интегрируемая функция всюду неотрицательная, как может получиться отрицательный интеграл????
Считай правильно. Ты “минус“ потерял. Ответ положительный и равен +1
@@IvanYakovlev-m8e
[-cos(3π/2)]-[-cos(π)]
[-0]-[-(-1)]
0-[+1]
-1
В каком месте потерян минус?)
Годно
2:15 переход на обоснован. Таких свойств интеграла в книжках я не находил. Хотелось бы подробного доказательства
это не свойство интеграла, это элементарное свойство сигнума, которое в школе проходят
@@dmitrylee3474 не знаю про что там это элементарное, но в школе не проходят никаких сигнумов, поэтому оставьте этот снобизм на кого-то другого
@@dmitrylee3474 в школе?)) Можно узнать в каком школьном учебнике об этом говорится?
@@NiceTakeOff Мерзляк, Поляков, решебник для 9 класса. Задача под номером 1.35
@@eulerspoon где сказано что из под интеграла можно выносить ФУНКЦИЮ зависящую от переменой интегрирования
Корень из квадрата синуса есть просто синус. Интеграл от синуса равняется минус косинус, что у Вас в результате и получилось
корень из квадрата синуса - это модуль синуса. отсюда и вся свистопляска
Kotangens, ne katangens
Матан чистый
а навіщо так через одне місце, якщо можна набагато простіше:
int (sqrt(sin^2 x) dx) = int (|sin x| dx) = sign(sin x) * int (sin x dx) = -sign(sin x) cos x + C
Якщо у відповіді не подобається сігнум, то можна додати туди синусів:
-sign(sin x) sin x cos x / sin x = |sin x| cot x = sqrt(sin x) cot x (тобто те саме, що й у відео, але отримано на порядок простіше)
а ще правильніше було б з самого початку розглянути інтервали, на яких цей інтеграл взагалі має сенс. тим самим одразу позбавившись модуля
Так, як і у blackpenredpena, АБСОЛЮТНО НЕВІРНЕ РІШЕННЯ, оскільки при х = 0, плюс/мінус пі, плюс/мінус 2пі, .... ctg x НЕВИЗНАЧЕНИЙ!!!!!!! Тому не потрібно так розумничати, щоб прийти в результаті до НЕВИЗНАЧЕНОСТІ&&&&&
так в тих точках і інтеграл втрачає сенс, так шо все норм
@@pro100SOm Про що ти плетеш? В цих точках інтеграл дорівнює нулю, а не невизначеності!!! А це різні речі, тут втратою сенсу і не пахне&&&&
@@Bogdmih ага... так і запишемо. ліміт при x = 0- дорівнюе 1+С, при x = 0+ дорівнює -1+С, але розриву і невизначенності нема, все пучком... там просто інтеграл нулю дорівнює... все логічно
@@Bogdmihвзагалі в цій задачі правильно було б говорити не про інтегрування взагалі, а про інтегрування на інтервалах. Тоді жодних проблем би не було в задачі. Та і сенсу у результаті було б більше
Можно на нормальном языке разговаривать, когда речь идет о математике? Не лезьте со своим украинским в прекрасный мир матана
Выносить sgn(t) за знак неопределённого интеграла нельзя: эта функция не является постоянной. Оттого и ответ бессмысленный выходит (как ранее заметил @romank.6813): опредёленный интеграл на промежутке от pi/4 до 5 pi/4 должен быть положительным (подынтегральное выражение положительно почти всюду), а с помощью найденной первообразной получается ноль.
Как говорил мой препод по матану: "Поиск интеграла это искусство"
«Поиск» - это вообще искусство;) даже если это поиск ключей от квартиры или грибов;)
Ответ оказался вида -|f(x)|g(x)/f(x), интересно)