Как найти сумму функционального ряда с общим членом 2^(n-1)/(e^(2^(n-1)x), где n меняется от 1 до ∞?
HTML-код
- Опубликовано: 6 окт 2024
- Найти сумму функционального ряда с общим членом 2^(n-1)/(e^(2^(n-1)x), где n меняется от 1 до ∞, а x больше 0.
Решать задачу будем в два этапа. На первом выразим n-ю частичную сумму функционального ряда через n в замкнутой форме. А на втором - найдём предел полученного выражения при n, стремящимся к бесконечности, при условии, что x больше нуля.
Браво! Мои аплодисменты! Очень изящно!
Благодарю!
Мы такие на матане на первом курсе решали. Одинаковые коэффициенты в числителе и в экспоненте в знаменателе сразу наталкивают на мысль найти первообразную от каждого слагаемого. Получается ln(1/(1+exp(-2^(n-1)x))). Сумма таких логарифмов легко превращается в логарифм произведения:
ln(1/(1+e^-x)(1+e^-2x)(1+e^-4x)...). Очевидно, что надо домножить числитель и знаменатель на 1-e^-x, тогда знаменатель в соответствии с многократно применённой формулой разности квадратов превратится в тыкву. То есть в единицу. Останется ln(1-e^-x), от которого надо взять производную. Получается 1/(e^x-1).
Вроде так. Решается практически в уме.
Ну-с, заценим, чо там в ролике.
ПыСы А в ролике автор путей простых не ищет. Впрочем, как всегда.
Почти таким же способом решил задачу изначально. "Почти" - потому, что я почленно интегрировал и, после преобразований, дифференцировал именно частичную сумму ряда (кстати, законность почленного интегрирования функциональных рядов требуется обосновывать; в Вашем решении об этом не говорится ни слова).
Но потом мне захотелось придумать решение, не предполагающее интегрирований и дифференцирований, что я, собственно, и сделал. И я категорически не согласен с тем, что моё решение сложнее Вашего. Но тут уж у каждого своё мнение, и каждый при своём мнении останется. В любом случае, разнообразие - это хорошо.
@@FrolovSergeiЗаконность почленного интегрирования следует из сходимости ряда. Если ряд сходится (а сходится он абсолютно, все члены положительные), то интегрировать можно в любом порядке. А если расходится, то вообще говорить не о чем, ибо исходная задачка не имеет смысла. Так что претензий относительно законности интегрирования не понял от слова совсем.
@@romank.6813 "Законность почленного интегрирования следует из сходимости ряда."
Где можно ознакомиться с доказательством этого утверждения?
Путь автора короче. Надо прибавить и отнять 1/(1-e^-x), тогда сумма последовательно превратится в тыкву. Останется -1/(1-e^-x)
@@alfal4239 У меня изначально в видеоролике именно этот подход и был реализован. Вычитаем и прибавляем данное выражение, после чего последовательно осуществляем n вычитаний. Но потом я решил слегка видоизменить этот способ и ввёл вспомогательную сумму. В результате мы должны выполнить всё те же n вычитаний, но теперь мы можем сделать это параллельно, а значит, можем свести их к одному-единственному "обобщённому" вычитанию. Мне второй подход показался чуть более интересным, и я переписал соответствующий фрагмент видеоролика. Может, старый фрагмент тоже как-нибудь выложу, чтобы не пропадал...
Красиво! Спасибо!
Спасибо за "спасибо"! 🙂